Academic literature on the topic 'Алгоритми піднесення до степеню'

Для захисту конфіденційних даних від комп'ютерних злочинів користувач має подбати про безпеку своєї інформації власноруч, використовуючи існуючі сучасні програмні засоби. Одним з таких засобів є реалізація шифрування повідомлень за допомогою прикріплення цифрового підпису до даних. Для роботи криптосистем шифрування з відкритим ключем необхідно три алгоритми: алгоритм шифрування, алгоритм розшифрування та алгоритм генерації ключів. Одним з перспективних шляхів розвитку шифрування з відкритими ключами є використання моделі піднесення до великої степені дискретних логарифмів для генерування ключів – алгоритм Діффі-Хеллмана. Аналізується спектр можливих кібератак, специфіка їх реалізації, та напрямки дії, надаються теоретичні аспекти протоколу обміну ключами Діффі-Хеллмана, проводиться їх реалізація, тестування протоколу і порівняльний аналіз реалізацій програмного продукту.

Представлено алгоритми прискореного обчислення елементів рекурентної Vk -послідовності для додатних і від’ємних значень індексу п цієї послідовності. Для кожних із цих значень розглянуто по два можливих варіанти алгоритмів — на основі бінарного методу та на основі методу з розкладанням індексу елемента послідовності. Отримано оцінки складності представлених алгоритмів, які показали, що складність обчислення елемента Vk -послідовності за модулем є приблизно на тому ж рівні як і відповідне піднесення до степеня, що забезпечує можливість ефективного використання рекурентних Vk - та Uk -послідовностей длярізних криптографічних застосувань.

Для захисту конфіденційних даних від комп'ютерних злочинів користувач має подбати про безпеку своєї інформації власноруч, використовуючи існуючі сучасні програмні засоби. Одним з таких засобів є реалізація шифрування повідомлень за допомогою прикріплення цифрового підпису до даних. Для роботи криптосистем шифрування з відкритим ключем необхідно три алгоритми: алгоритм шифрування, алгоритм розшифрування та алгоритм генерації ключів. Одним з перспективних шляхів розвитку шифрування з відкритими ключами є використання моделі піднесення до великої степені дискретних логарифмів для генерування ключів, так званий алгоритм Діффі-Хеллмана. Рекурентні відношення, що становлять основу множини Мандельброта, забезпечують хаотичну поведінку та суттєву залежність процесу від початкових умов. Ці властивості дозволяють створити криптографічну систему, що здатна використовувати їх для вирішення поставлених задач. Спроектована криптографічна система повінна поєднувати в собі засоби створення ключів, шифрування текстових повідомлень та генерації цифрового підпису. Протокол обміну ключами передбачає встановлення між учасниками спільного секретного ключа, який у подальшому можна використовувати для шифрування повідомлень тексту або зображень цифровим підписом. Проаналізовано інструментальні засоби, за допомогою яких можна вирішити і реалізувати систему фрактальних алгоритмів для захисту інформації. В ході дослідження реалізовано програмний продукт мовою програмування C# у середовищі Visual Studio 2010. Система спроектована у рамках об'єктно-орієнтованого підходу до розробки програмних продуктів, тому вона використовує програмні класи для розподілення функціональності. Реалізований алгоритм має більшу кількість можливих ключів у порівнянні з поширеною на сьогодні схемою обміну ключами Діффі-Хеллмана. Великий розмір простору ключів робить важкими для реалізації атаки перебором, також відомі як метод «грубої сили». Хаотичні властивості фрактального алгоритму не вимагають використання чисел великої розрядності, проте забезпечують високу якість шифрування. Економія часу на розрахунках дозволяє зменшити затрати ресурсів та підвищити продуктивність системи в цілому.

Одним із головних чинників, які впливають на ефективність освіти, можна вважати управління якістю підготовки спеціалістів, зокрема вчителів математики. Практично управляти якістю підготовки майбутніх вчителів можна за допомогою такої методики навчання, яка дає можливість враховувати індивідуальні особливості кожного і контролювати їх зміни під час навчання.В результаті вивчення роботи молодих вчителів ми прийшли до висновку, що в більшості своїй у молодих вчителів виникають труднощі, які пов’язані з тим, що вони не можуть у повній мірі реалізувати отримані у вузі знання та вміння, а також є такі аспекти педагогічної діяльності вчителя математики в школі, які не були розглянуті при навчанні у вузі. Анкетування дозволило зробити висновки: у молодих вчителів виникають труднощі, які пов’язані з методичним аналізом тем, з постановкою задач до кожного уроку; при реалізації задач, які поставлені до уроку, одним з найбільш важливих є підбір системи вправ, і з цим у деяких починаючих вчителів не все в порядку.Анкетування завучів показало, що їх думка з приводу роботи молодих вчителів майже однакова: вчителі не вміють ставити мету до уроку, не аналізують уроки, не вносять корективи у послідуючі уроки, а також відмічають скованість, малу степінь спілкування з учнями. Однією з причин таких труднощів є недостатня якість методичної підготовки студентів, яка у найбільшій степені формується на заняттях з шкільного курсу математики.Для того, щоб у деякій мірі ліквідувати ці недоліки, сформулюємо основні методичні принципи проведення практикумів з шкільного курсу математики:вивчення будь-якої теми починати з розгляду відповідних питань шкільного курсу математики, пропонуючи студентам повторити по шкільним підручникам необхідний теоретичний матеріал;при розгляді кожного питання вказувати той мінімум знань і вмінь, який повинен бути досягнутий учнями, а також той рівень, який можна вважати вищим для учнів шкіл та вважати обов’язковим досягнення кожним студентом цього рівня, а вищим рівнем складності вправ вважати ті вправи, які пропонуються на факультативних заняттях, вступних іспитах, де потрібна поглиблена математична підготовка;особливу увагу приділяти розв’язуванню задач, які є типовими для шкільного курсу математики з чітким виділенням основних кроків їх розв’язання ( під типовими будемо розуміти задачі з даної теми, у яких найбільш сильно відображені основні методи, які використовуються для розв’язання задач);якщо задача розв’язується декількома способами, обговорити недоліки і переваги кожного з них ( наприклад, розв’язання дробово-лінійних нерівностей та ін.). Ця робота служить основою для подальшого постійного підвищення кваліфікації вчителя математики;пропонувати студентам методичні завдання, зокрема сформулювати у явному виді основні алгоритми шкільного курсу, записати вправи для формування алгоритму, виділяти базисні знання та вміння учнів, пропонувати вивчити різні методи розв’язання вправ, нові вправи, використовуючи матеріали з журналів, збірників задач і т.п.;навчати студентів розв’язувати визначені методичні проблеми, які виникають в учбовому процесі (наприклад, вчитель намітив деякий шлях розв’язання задачі, а учні пропонують зовсім інший, якою може бути реакція вчителя; знайти помилки у висловлювані учнів);при розв’язанні вправ особливу увагу приділяти пошуку розв’язку, у явному виді виділяти ті міркування, які висувались учнем до розв’язання, пропонувати студентам задавати друг другу “добре” питання, яке спрямовує думку у відповідному напрямку.При такому підході надзвичайно актуальним має бути процес індивідуалізації навчання студентів за допомогою якого можна управляти навчанням. Індивідуалізацію навчання доцільно починати задовго до педагогічної практики і після вивчення загального курсу методики викладання математики та починати з виявлення спеціальних знань шкільного курсу математики та методичних вмінь шляхом тестування.Аналіз результатів тестування дає змогу виділити чотири групи студентів:перша група об’єднує студентів з високими математичними і методичними вміннями;друга група – студенти, які мають високі математичні вміння та виражені методичні;третя група – студенти, які мають високі методичні вміння та менш виражені предметні;четверта група – з низькими знаннями теорії та методики шкільної математики.Домінуючим методом індивідуальної методичної підготовки є система тем індивідуальних завдань, які пропонуються для самостійного вивчення. Самостійні роботи, різні за змістом, степеню складності, методами та прийомами виконання, виконують всі студенти у кожному семестрі вивчення курсу шкільної математики та методики її викладання.Аналіз результатів проходження педагогічної практики показав, що при такому підході педагогічна діяльність студента мала творчий, пошуковий характер, спрямований на індивідуальний підхід до навчання учнів, активізацію розумової діяльності та розвитку кожного учня.Такий, або близький до нього, підхід до методики проведення практикуму з шкільної математики є ефективним та доцільним для використання у практиці роботи педагогічного вузу.Проілюструємо сказане прикладом вивчення студентами теми “Обернені тригонометричні функції”. З початку зупинимось на тій підготовчій роботі, за допомогою якої визначимо методику вивчення студентами теми на заняттях з шкільного курсу математики. З початку визначимо місце теми у шкільному курсі математики, вимоги програми, обов’язковий мінімум засвоєння теми учнями, типи завдань з теми у підручнику “Алгебра і початки аналізу, 10–11”. Обернені тригонометричні функції розглядаються у темі “Тригонометричні рівняння та нерівності”, основною метою вивчення якої є формування у учнів вмінь розв’язувати тригонометричні рівняння та нерівності. Звідси витікає, що учні повинні засвоїти – це знання, смисл символів “arcsina”, “arccosa”, вміти находити значення обернених тригонометричних функцій (у окремих часткових випадках на основі знань значень тригонометричних функцій деяких чисел, за допомогою калькулятора).Слідує мати на увазі, що тема має великі дидактичні можливості для розвитку логічної культури учнів, математизації та повторення багатьох розділів математики. При цьому можна обмежитись тільки вправами, які не потребують виконання складних перетворень. Навряд є розумним при роботі з “сильними” учнями (індивідуально, на гуртках, факультативах) не використати ці можливості.Визначаючи зміст та методику вивчення обернених тригонометричних функцій на шкільному курсі математики слідує також прийняти до уваги деякі методичні зауваження:у шкільному курсі математики ввести обернені тригонометричні функції можливо або як розв’язок відповідного тригонометричного рівняння, або як функції оберненої до відповідної тригонометричної функції на проміжку існування оберненої функції;для того, щоб відшукати значення обернених тригонометричних функцій потрібно знання формул:arcsin(–a)=–arcsina, arccos(–a)=–arccosa,arctg(–a)=–arctga;у теперішній час у школі широко використовується мікрокалькулятор, який є основним засобом обчислень.З урахуванням цих зауважень визначимо таку методику вивчення теми студентами:1. Обговорюємо основні теоретичні та деякі методичні положення: поняття функція, обернена до даної, зв’язок між графіками, властивостями взаємно-обернених функцій, два способу введення обернених функцій.2. Розглядаємо означення обернених тригонометричних функцій, їх графіки та властивості, смисл означень arcsina, arccosa, arctga і arcсtga, находження значень обернених тригонометричних функцій за допомогою мікрокалькулятора, обговорюємо думки відносно способів введення у школі понять обернених тригонометричних функцій;3. Всі пропоновані завдання та вправи природно умовно розіб’ємо на три рівня складності:вправи, за допомогою яких перевіряємо, як студенти засвоїли базисні поняття теми, вони же дають можливість показати студентам, як можна організувати роботу з “сильними” учнями для початкового засвоєння ними основних понять;вправи, які формують деякі алгоритми, володіння якими забезпечує можливість розв’язувати досить широкий клас задач з теми;вправи творчого характеру, такі для розв’язку яких потрібно знайти новий шлях, який спирається на засвоєні знання і алгоритми.Багатьом вправам корисно придавати методичну спрямованість.Наведемо приклад одного з можливих рівнів:1 рівень.1) Які з висловлень є істинними? Якщо висловлення хибне, то у чому помилка?а) sin 5/6=½, тому arcsin ½=5/6б) arcsin ½=13/6, оскільки sin13/6=½в) arcsina – це число, сінус якого дорівнює а.2) Обчислити:а) sin(arcsin0,8);б) sin(arcsin3);в) cos(arcsin0,6);г) tg(arcsin12/13);д) arcsin(sin0,25);є) arcsin(sin2,3);ж) arcsin(sin4,3);з) arcsin(cos0,7).Розв’язок завдань типу д),є) з студентами представляє інтерес, оскільки дає можливість вияснити, чи розуміють вони поняття.У випадку невірної відповіді доцільно пропонувати студентам подумати чи вірно твердження: arcsin(sinx)=x для будь-якого х.3) Побудувати графік функції y=arcsin(sinx).4) Записати формулою функцію, обернену до функції y=sinx на [/2;3/2], використовуючи смисл означення arcsina.5) Побудувати графік функції:а) у=sin(arcsinx);б) y=cos(arcsinx).6) Довести тотожності:а) arcsin(–x)=–arcsinx;б) arccos(–x)=–arccosx;в) arcsinx+arccosx=/2Можна пропонувати студентам такі методичні завдання: учень, який розв’язує приклад а) довів, що sin(arcsin(–x))==sin(–arcsinx). Чи досить цього, щоб зробити висновок про істинність першої формули? Чим треба доповнити проведені міркування для того, щоб забезпечити повноту доведення?При розгляданні завдань пропонувати використовувати графіки відповідних функцій для доведення тотожностей.7) Знайти область визначення функцій:а) у=arcsin(x–2);б) y=arccos(x2–4x+2).8) Скільки розв’язків має рівняння:а) arccosx=2x;б) arcsinx=x2–1;в) arccosx=aпри різних значеннях параметра а?При розв’язку цих завдань зручно використовувати графіки відповідних функцій.9) Розв’язати рівняння та нерівності:а) (arcsinx)2–4 arcsinx=0;б) arcsinx+arccosx=;в) arcsin(x+1)+arcsin(y–1)=;г) arcsinxarcsin(1–x);д) arccos2xarccos(x+1).

Метою доповіді є вивчення та вдосконалення методів n-кратної декомпозиції багаторозрядних числових значень. В роботі розглянуто існуючі методи швидкого піднесення до степеню по модулю, які використовуються в сучасних криптоалгоритмах та алгоритми однократного піднесення до степеню по модулю.

Викладено основи сучасної алгоритмічної теорії чисел. Основна увага приділяється молекулярній арифметиці великих чисел. Розглянуто алгоритми обчислення лишку, дискретного логарифму, модульного піднесення до степені, квадратного кореня за модулем, алгоритми генерації простих чисел та створення основних криптосистем з ключами загального доступу. Наведено нові алгоритми швидкого знаходження лишків, піднесення до степені за допомогою чисел Фібоначчі. Розглянуто коаліційні системи захисту інформації з ключами загального доступу.

Викладено основи сучасної алгоритмічної теорії чисел. Основна увага приділяється молекулярній арифметиці великих чисел. Розглянуто алгоритми обчислення лишку, дискретного логарифму, модульного піднесення до степені, квадратного кореня за модулем, алгоритми генерації простих чисел та створення основних криптосистем з ключами загального доступу. Наведено нові алгоритми швидкого знаходження лишків, піднесення до степені за допомогою чисел Фібоначчі. Розглянуто коаліційні системи захисту інформації з ключами загального доступу.