Academic literature on the topic 'Volume de nœuds'

International audience The Severi variety parametrizes plane curves of degree $d$ with $\delta$ nodes. Its degree is called the Severi degree. For large enough $d$, the Severi degrees coincide with the Gromov-Witten invariants of $\mathbb{CP}^2$. Fomin and Mikhalkin (2009) proved the 1995 conjecture that for fixed $\delta$, Severi degrees are eventually polynomial in $d$. In this paper, we study the Severi varieties corresponding to a large family of toric surfaces. We prove the analogous result that the Severi degrees are eventually polynomial as a function of the multidegree. More surprisingly, we show that the Severi degrees are also eventually polynomial "as a function of the surface". Our strategy is to use tropical geometry to express Severi degrees in terms of Brugallé and Mikhalkin's floor diagrams, and study those combinatorial objects in detail. An important ingredient in the proof is the polynomiality of the discrete volume of a variable facet-unimodular polytope. La variété de Severi paramétrise les courbes planes de degré $d$ avec $\delta$ nœuds. Son degré s'appelle le degré de Severi. Pour $d$ assez grand, les degrés de Severi coïncident avec les invariants de Gromov-Witten de $\mathbb{CP}^2$. Fomin et Mikhalkin (2009) ont prouvé une conjecture de 1995 que pour $\delta$ fixé, les degrés de Severi sont à terme des polynômes en $d$. Nous étudions les variétés de Severi correspondant à une large famille de surfaces toriques. Nous prouvons le résultat analogue que les degrés de Severi sont à terme des fonctions polynomiales du multidegré. De manière plus surprenante, nous montrons que les degrés de Severi sont à terme des polynômes en tant que "fonction de la surface''. Notre stratégie est d'utiliser la géométrie tropicale pour exprimer les degrés de Severi en fonction des "floor diagrams" de Brugallé et Mikhalkin, et d'utiliser ces objets combinatoires en détail. Un autre ingrédient important de la preuve est la polynomialité du volume discret d'un polytope face-unimodulaire variable.

Dans un contexte de renouvellement de l'industrie chimique et de recherche de nouveaux débouchés pour la foresterie, les extractibles deviennent des molécules de plus en plus intéressantes, tant écologiquement que financièrement parlant. Afin d'évaluer la pertinence de ces molécules comme nouvelle ressource pour la chimie et potentiel débouché pour la foresterie, il est nécessaire de faire une évaluation préalable de la ressource. Ceci nécessite de connaître le volume des compartiments riches en extractibles, particulièrement les écorces et les nœuds. La présente étude s'intéresse donc à la modélisation des volumes d'écorce et de nœuds. Elle se concentre spécifiquement sur deux régions françaises, le Grand Est et la Bourgogne-Franche-Comté et six essences d'importance, Abies alba, Picea abies, Pseudotsuga menziesii, Quercus robur, Quercus patraea, Fagus sylvatica.Cette étude est rendue possible grâce à l'utilisation d'une grande base de données comprenant des mesures d'épaisseur d'écorce pratiquées à différentes hauteurs sur la tige de nombreux arbres. D'autre part de nouveaux échantillonnages ont eu lieu ce qui a permis d'obtenir, grâce à l'utilisation d'un scanner à rayon X, une image informatique des nœuds et d'en mesurer précisément le volume.Afin de modéliser la quantité d'écorce disponible trois types de modèles ont été construits, des modèles de prédiction du volume d'écorce, des modèles de prédiction de la surface d'écorce le long de la tige et des modèles de prédiction de l'épaisseur d'écorce à 1m30. Les premiers ont permis d'atteindre une racine de l'erreur quadratique moyenne relative (RMSErel) comprise entre 16.7 % et 27.5 % en fonction des espèces.L'étude portant sur les modèles de surface d'écorce a permis de mettre en évidence la possibilité d'utiliser un modèle indépendant du diamètre-sur-écorce mais que les modèles utilisant en entrée cet variable sont encore plus précis. Le RMSErel atteint par ces modèles de surface d'écorce varie entre 23 et 38 % en fonction de l'espèce et du modèle considéré. Ce travail a montré l'importance de l'utilisation de l'épaisseur d'écorce à 1m30 comme donnée d'entrée. Celle-ci n'étant aujourd'hui que rarement mesurée, elle a aussi été modélisée à partir du D130. Cela a permis de mettre en évidence une influence de l'altitude sur l'épaisseur d'écorce à 1m30 pour trois espèces : Abies alba, Picea abies, Fagus sylvatica. Les modèles obtenus atteignent un RMSErel allant de 26.8 % à 36 % en fonction de l'espèce considérée.Enfin, les volumes de nœuds ont commencé à être étudiés. Bien que ce travail n'ai pas été entièrement mené, il montre déjà l'importance de produire de nouveaux modèles de volume de nœuds. De plus leur quantité dans le bois semble, à ce stade de l'étude, trop peu importante pour dégager de grandes ressources en extractible, malgré leur grande richesse intrinsèque. Leur intérêt pourrait donc plus se trouver dans l'extraction de molécules spécifiques
In a context of renewal of the chemical industry and the search for new outlets for forestry, extractives are becoming increasingly interesting molecules, both ecologically and financially speaking. In order to evaluate the relevance of these molecules as a new resource for the chemical industry and a potential outlet for forestry, it is necessary to make a preliminary evaluation of the resource. This requires knowledge of the volume of compartments rich in extractable material, particularly bark and knots. The present study therefore focuses on modeling bark and knot volumes. It focuses specifically on two French regions, the Grand Est and the Bourgogne-Franche-Comté, and on six important species, Abies alba, Picea abies, Pseudotsuga menziesii, Quercu robur, Quercus patraea, and Fagus sylvatica.This study is made possible, on one hand, by the use of a large database including numerous measurements of bark thickness made at different heights on the stems of many trees. On the other hand, new samplings have been made to allow X-ray scanning of nodes all along the stem and thus to determine precisely the volume on a computer picture.In order to model the available amount of bark, three types of models were built, models predicting the volume of bark, models predicting the surface area of bark along the stem and models predicting the thickness of bark at 1m30. The former achieved a relative root mean square error (RMSErel) of 16.7% to 27.5% depending on the species.The study of bark area models showed that it was possible to use a model independent of diameter-over-bark but that model using this variable are more accurate. The RMSErel achieved by these bark area models varied between 23 and 38% depending on the species and model considered.This work showed the importance of using the bark thickness at 1m30 as an input data. As it is rarely measured today, it was also modelled using the DBH. This allowed us to show the influence of altitude on bark thickness at 1.30 m for three species: Abies alba, Picea abies, Fagus sylvatica. The models obtained RMSErel of the models ranged from 26.8 to 36 % of RMSErel depending on the species considered.Finally, knot volumes have started to be studied. Although this work has not been fully completed, it already shows the importance of producing new models in order to fit the predicted knot patterns as closely as possible to reality. Moreover, the quantity of these compounds in the wood seems, at this stage of the study, to be too small to provide a large extractable resource, despite their great intrinsic richness. Their interest could therefore be more in the extraction of specific molecules

Grâce au théorème d'hyperbolisation, nous savons précisément quand une variété de dimension trois compacte admet une métrique hyperbolique. Par ailleurs, d'après le théorème de rigidité de Mostow, cette structure géométrique est unique. Cependant, trouver des liens pratiques entre la géométrie et la topologie est un problème difficile. La plupart des résultats décrits dans cette thèse visent à concrétiser ces liens. Toute géodésique fermée orientée dans une surface hyperbolique admet un relèvement canonique dans le fibré tangent unitaire de la surface, et on peut donc le voir comme un nœud dans une variété de dimension trois. Les extérieurs des nœuds ainsi construits admettent une structure hyperbolique. Cette thèse a pour objet d'estimer le volume des extérieurs des relèvements canoniques. Pour toute surface hyperbolique on construit une suite de géodésique sur la surface, tel que les extérieurs associées ne sont pas homéomorphes entre elles et dont la suite des volumes respectifs est bornée. Aussi on minore le volume de l'extérieur à l'aide d'un réel explicite qui décrit une relation entre la géodésique et une décomposition en pantalons de la surface. Ceci donne une méthode pour construire une suite de géodésiques dont les volumes des extérieurs associées sont minorées en termes de la longueur de la géodésique correspondant. Dans le cas particulier de la surface modulaire, on obtient des estimations du volume de l'extérieur en termes de la période de la fraction continue associée à la géodésique
Due to the Hyperbolization Theorem, we know precisely when does a given compact three dimensional manifold admits a hyperbolic metric. Moreover, by the Mostow's Rigidity Theorem this geometric structure is unique. However, finding effective and computable connections between the geometry and topology is a challenging problem. Most of the results on this thesis fit into the theme of making the connections more concrete. To every oriented closed geodesic on a hyperbolic surface has a canonical lift on the unit tangent bundle of the surface, and we can see it as a knot in a three dimensional manifold. The knot complement given in this way has a hyperbolic structure. The objective of this thesis is to estimate the volume of the canonical lift complement. For every hyperbolic surface we give a sequence of geodesics on the surface, such that the knot complements associated are not homeomorphic with each other and the sequence of the corresponding volumes is bounded. We also give a lower bound of the volume of the canonical lift complement by an explicit real number which describes a relation between the geodesic and a pants decomposition of the surface. This give us a method to construct a sequence of geodesics where the volume of the associated knot complements is bounded from below in terms of the length of the corresponding geodesic. For the particular case of the modular surface, we obtain estimations for the volume of the canonical lift complement in terms of the period of the continuous fraction expansion of the corresponding geodesic

Grâce au théorème d'hyperbolisation, nous savons précisément quand une variété de dimension trois compacte admet une métrique hyperbolique. Par ailleurs, d'après le théorème de rigidité de Mostow, cette structure géométrique est unique. Cependant, trouver des liens pratiques entre la géométrie et la topologie est un problème difficile. La plupart des résultats décrits dans cette thèse visent à concrétiser ces liens. Toute géodésique fermée orientée dans une surface hyperbolique admet un relèvement canonique dans le fibré tangent unitaire de la surface, et on peut donc le voir comme un nœud dans une variété de dimension trois. Les extérieurs des nœuds ainsi construits admettent une structure hyperbolique. Cette thèse a pour objet d'estimer le volume des extérieurs des relèvements canoniques. Pour toute surface hyperbolique on construit une suite de géodésique sur la surface, tel que les extérieurs associées ne sont pas homéomorphes entre elles et dont la suite des volumes respectifs est bornée. Aussi on minore le volume de l'extérieur à l'aide d'un réel explicite qui décrit une relation entre la géodésique et une décomposition en pantalons de la surface. Ceci donne une méthode pour construire une suite de géodésiques dont les volumes des extérieurs associées sont minorées en termes de la longueur de la géodésique correspondant. Dans le cas particulier de la surface modulaire, on obtient des estimations du volume de l'extérieur en termes de la période de la fraction continue associée à la géodésique
Due to the Hyperbolization Theorem, we know precisely when does a given compact three dimensional manifold admits a hyperbolic metric. Moreover, by the Mostow's Rigidity Theorem this geometric structure is unique. However, finding effective and computable connections between the geometry and topology is a challenging problem. Most of the results on this thesis fit into the theme of making the connections more concrete. To every oriented closed geodesic on a hyperbolic surface has a canonical lift on the unit tangent bundle of the surface, and we can see it as a knot in a three dimensional manifold. The knot complement given in this way has a hyperbolic structure. The objective of this thesis is to estimate the volume of the canonical lift complement. For every hyperbolic surface we give a sequence of geodesics on the surface, such that the knot complements associated are not homeomorphic with each other and the sequence of the corresponding volumes is bounded. We also give a lower bound of the volume of the canonical lift complement by an explicit real number which describes a relation between the geodesic and a pants decomposition of the surface. This give us a method to construct a sequence of geodesics where the volume of the associated knot complements is bounded from below in terms of the length of the corresponding geodesic. For the particular case of the modular surface, we obtain estimations for the volume of the canonical lift complement in terms of the period of the continuous fraction expansion of the corresponding geodesic