Academic literature on the topic 'Variétés quotient'

Abstract. Soit X une variété projective et lisse sur un corps k de caractéristique zéro. Le groupe de Brauer de X s'envoie dans les invariants, sous le groupe de Galois absolu de k, du groupe de Brauer de la même variété considérée sur une clôture algébrique de k. Nous montrons que le quotient est fini. Sous des hypothèses supplémentaires, par exemple sur un corps de nombres, nous donnons des estimations sur l'ordre de ce quotient. L'accouplement d'intersection entre les groupes de diviseurs et de 1-cycles modulo équivalence numérique joue ici un rôle important. For a smooth and projective variety X over a field k of characteristic zero we prove the finiteness of the cokernel of the natural map from the Brauer group of X to the Galois-invariant subgroup of the Brauer group of the same variety over an algebraic closure of k. Under further conditions, e.g., over a number field, we give estimates for the order of this cokernel. We emphasise the rôle played by the exponent of the discriminant groups of the intersection pairing between the groups of divisors and curves modulo numerical equivalence.

Abstract Fig-eaters are small passerines of various genus (Sylviidés, Acrocéphalidés et Phylloscopidés); They change their diet in the time of fruits, passing from insectivorous to fructivorous. As a result they get stouter, acquiring a delicious grease which meant they became a target for hunting from Antiquity to the present day resulting in their near extinction. We know a very elaborate, long and precise recipe from Babylon. After the Greeks and Romans, Byzantines and Arabs appreciated and consumed these birds, that were prepared according to various recipes. Nevertheless, in the Arab cultures, two kinds of texts show the interest for those small birds: first, medical and paramedical texts of the hippocratic tradition, and second, texts of cookery books that provide recipes while sometimes quoting physicians. Arab authors attributed aphrodisiacal and medical properties to these small birds, but they also were suspicious of them. Résumé Les becfigues sont des petits passereaux de divers genres des Sylviidés, Acrocéphalidés et Phylloscopidés. Ils changent de régime à l’époque des fruits passant d'insectivores à frugivores. Par ce fait ils grossissent et acquièrent une graisse d'un goût délicieux qui les ont fait abondamment rechercher, depuis l'Antiquité, au risque de les faire disparaître. Nous avons déjà une recette très élaborée, longue et précise à Babylone. Après les Grecs et les Romains, les Byzantins et Arabes les ont appréciés et consommés selon des recettes variées. Dans les cultures arabes, cependant, deux sortes de textes montrent l'intérêt porté à ces petits oiseaux. D'une part les textes médicaux et paramédicaux relevant de la tradition hippocratique, d'autre part, les textes des livres de cuisine donnant des recettes, tout en citant parfois les médecins. On attribuait à ces oiseaux des propriétés à la fois aphrodisiaques et médicales, mais on s'en méfiait.

International audience The study of Schubert varieties in G/B has led to numerous advances in algebraic combinatorics and algebraic geometry. These varieties are indexed by elements of the corresponding Weyl group, an affine Weyl group, or one of their parabolic quotients. Often times, the goal is to determine which of the algebraic and topological properties of the Schubert variety can be described in terms of the combinatorics of its corresponding Weyl group element. A celebrated example of this occurs when G/B is of type A, due to Lakshmibai and Sandhya. They showed that the smooth Schubert varieties are precisely those indexed by permutations that avoid the patterns 3412 and 4231. Our main result is a characterization of the rationally smooth Schubert varieties corresponding to affine permutations in terms of the patterns 4231 and 3412 and the twisted spiral permutations. L'étude des variétés de Schubert dans G/B a mené à plusieurs avancées en combinatoire algébrique. Ces variétés sont indexées soit par l'élément du groupe de Weyl correspondant, soit par un groupe de Weyl affine, soit par un de leurs quotients paraboliques. Souvent, le but est de déterminer quelles propriétés algébriques et topologiques des variétés de Schubert peuvent être décrites en termes des propriétés combinatoires des éléments du groupe de Weyl correspondant. Un exemple bien connu, dû à Lakshmibai et Sandhya, concerne le cas où G/B est de type A. Ils ont montré que les variétés de Schubert lisses sont exactement celles qui sont indexées par les permutations qui évitent les motifs 3412 et 4231. Notre résultat principal est une caractérisation des variétés de Schubert lisses et rationnelles qui correspondent à des permutations affines pour les motifs 4231 et 3412 et les permutations spirales tordues.

Abstract We prove the injectivity of Oda-type restriction maps for the cohomology of noncompact congruence quotients of symmetric spaces. This includes results for restriction between (1) congruence real hyperbolic manifolds, (2) congruence complex hyperbolic manifolds, and (3) orthogonal Shimura varieties. These results generalize results for compact congruence quotients by Bergeron and Clozel [Quelques conséquences des travaux d’Arthur pour le spectre et la topologie des variétés hyperboliques, Invent. Math.192 (2013), 505–532] and Venkataramana [Cohomology of compact locally symmetric spaces, Compos. Math.125 (2001), 221–253]. The proofs combine techniques of mixed Hodge theory and methods involving automorphic forms.

Abstract Dans cet article on caractérise la lissité du schéma Quot ponctuel emboîté d’une variété lisse—c’est-à-dire l’espace de modules paramétrant les drapeaux de quotients de dimension $0$ d’un faisceau localement libre fixé. Nos résultats étendent la classification de Cheah dans le cadre des schémas de Hilbert ponctuels emboîtés.

Lorsqu'on considere un groupe reductif g operant sur une variete projective x, le tout sur un corps algebriquement clos, la donnee d'un fibre en droites ample et g-linearise l sur x permet de definir l'ouvert x#s#s(l) (resp. X#s(l) de x des points semi-stables (resp. Stables). L'espace d'orbites x#s(l)/g existe et on peut definir un quotient y de x#s#s(l) par g qui est une variete projective contenant x#s(l)/g comme ouvert. Cette theorie a ete developpee, dans les annees 60, par d. Mumford pour construire des espaces de modules. L'objet de cette these est de decrire le quotient y lorsque g est le groupe sl(2,k), ou k est un corps algebriquement clos de caracteristique zero. Dans une partie preliminaire, nous redonnons des preuves d'une proposition de structure locale (due a d. Luna et f. Pauer) pour les varietes munies de l'action d'un tore et du theoreme de bialynicki-birula. Dans le premier chapitre, nous appliquons principalement ces resultats pour expliciter des transformations birationnelles entre varietes quotients par le tore k*. Ceci nous amene, dans le deuxieme chapitre, et par l'exhibition d'un modele local, a decrire le quotient y en construisant un morphisme dans y d'un quotient y' d'un ouvert de x par un sous-groupe de borel b de g = sl(2,k). Les fibres de ce morphisme au-dessus de x#s(l)/g sont isomorphes a la droite projective p#1#k. Lorsque la variete x est lisse, le quotient y' est relie a un fibre sur un espace de points fixes du tore standard de g par une suite de flips entre des ouverts de x quotientes par b. Enfin, dans le troisieme chapitre, nous utilisons la description de y pour determiner, lorsque tout point semi-stable de x est stable, les nombres de betti de la cohomologie rationnelle de y. Nous retrouvons ainsi, dans ce cas particulier, des resultats etablis initialement par e. Kirwan

On étudie dans cette thèse certaines propriétés d’exemples classiques d’algèbres de Poisson, et de leurs déformations : propriété de finitude de la structure de Lie associée au crochet de Poisson, étude du groupe d’homologie en degré zéro lié à la structure de Poisson ou à la structure non commutative de la déformation, propriété de rationalité. Soit A une algèbre de Poisson, et G un groupe fini d’automorphismes de Poisson de A, on démontre dans les exemples suivants que la propriété de finitude comme algèbre de Lie passe aux invariants : lorsque G est un sous-groupe fini de SL(2,C) et A l’algèbre de Poisson symplectique C[x, y] ; lorsque G est le groupe de Weyl A2 ou B2, et A l’algèbre de Poisson symplectique C[h ⊕ h_] ; lorsque G est un sous-groupe fini de SL(2, Z), et A l’algèbre de Poisson multiplicative C[x±1, y±1] munie du crochet Poisson défini par {x, y} = xy. Cette propriété de finitude passe à la déformation A1(C)G de C[x, y]G par le gradué associé, et dans le cas multiplicatif, la déformation par les invariants du tore quantique Cq[x±1, y±1]G est également de type fini. Dans une autre partie, on effectue la recherche du centre de Poisson, et du groupe d’homologie de Poisson en degré 0 pour des structures de Poisson jacobiennes, qui apparaissent naturellement dans de nombreuse situations. Enfin, on s’intéresse à une version Poisson de la conjecture de Gelfand-Kirillov : l’existence d’un isomorphisme de Poisson entre les corps Frac(A) et Frac(AG). On vérifie cette propriété pour les surfaces de Klein, les invariants de l’algèbre symplectique en dimension 4 sous l’action du groupe de Weyl B2, et l’algèbre des invariants multiplicatifs sous l’action de h−idi
In this thesis, we study some properties of classical examples of Poisson algebras, and of their deformations : finiteness property for the Lie structure associated to the Poisson bracket, study of the zeroth homology group linked to the Poisson structure or to the non-commutative structure of the deformation, raionality property. Let A be a Poisson algebra, and G a finite group of Poisson automorphisms of A, we prove in the following examples that the finiteness property as a Lie algebra still holds in the invariant algebra : when G is a finite subgroup of SL(2,C) and A the symplectic Poisson algebra C[x, y] ; when G is the Weyl group A2 or B2, and A the symplectic Poisson algebra C[h ⊕ h_] ; when G is a finite subgroup of SL(2, Z), and A the multiplicative Poisson algebra C[x±1, y±1] provided with the Poisson bracket defined by {x, y} = xy. The finiteness property still holds in the deformation A1(C)G of C[x, y]G via the associated graded, and in the multiplicative case, the deformation by the invariants of the quantum torus Cq[x±1, y±1]G is also of finite type. In another part, we look for the Poisson center, and the zeroth Poisson homology group for Jacobian Poisson structures, which appear naturally in many situations. Finally, we take an interest in a Poisson version of the Gelfand-Kirillov conjecture : the existence of a Poisson isomorphism between the fields Frac(A) et Frac(AG). We check this property for the Kleinian surfaces, for the invariants of the 4-dimensional symplectic algebra under the action of the Weyl group B2, and for the invariants of the multiplicative Poisson algebra under the action of h−idi

Une image obtenue par IRM, c'est plus de 60 000 pixels. La plus grosse protéine connue chez l'être humain est constituée d'environ 30 000 acides aminés. On parle de données en grande dimension. En réalité, la plupart des données en grande dimension ne le sont qu'en apparence. Par exemple, de toutes les images que l'on pourrait générer aléatoirement en coloriant 256 x 256 pixels, seule une infime proportion ressemblerait à l'image IRM d'un cerveau humain. C'est ce qu'on appelle la dimension intrinsèque des données. En grande dimension, apprentissage rime donc souvent avec réduction de dimension. Il existe de nombreuses méthodes de réduction de dimension, les plus récentes pouvant être classées selon deux approches.Une première approche, connue sous le nom d'apprentissage de variétés (manifold learning) ou réduction de dimension non linéaire, part du constat que certaines lois physiques derrière les données que l'on observe ne sont pas linéaires. Ainsi, espérer expliquer la dimension intrinsèque des données par un modèle linéaire est donc parfois irréaliste. Au lieu de cela, les méthodes qui relèvent du manifold learning supposent un modèle localement linéaire.D'autre part, avec l'émergence du domaine de l'analyse statistique de formes, il y eu une prise de conscience que de nombreuses données sont naturellement invariantes à certaines symétries (rotations, permutations, reparamétrisations...), invariances qui se reflètent directement sur la dimension intrinsèque des données. Ces invariances, la géométrie euclidienne ne peut pas les retranscrire fidèlement. Ainsi, on observe un intérêt croissant pour la modélisation des données par des structures plus fines telles que les variétés riemanniennes. Une deuxième approche en réduction de dimension consiste donc à généraliser les méthodes existantes à des données à valeurs dans des espaces non-euclidiens. On parle alors d'apprentissage géométrique. Jusqu'à présent, la plupart des travaux en apprentissage géométrique se sont focalisés sur l'analyse en composantes principales.Dans la perspective de proposer une approche qui combine à la fois apprentissage géométrique et manifold learning, nous nous sommes intéressés à la méthode appelée locally linear embedding, qui a la particularité de reposer sur la notion de barycentre, notion a priori définie dans les espaces euclidiens mais qui se généralise aux variétés riemanniennes. C'est d'ailleurs sur cette même notion que repose une autre méthode appelée barycentric subspace analysis, et qui fait justement partie des méthodes qui généralisent l'analyse en composantes principales aux variétés riemanniennes. Ici, nous introduisons la notion nouvelle de plongement barycentrique, qui regroupe les deux méthodes. Essentiellement, cette notion englobe un ensemble de méthodes dont la structure rappelle celle des méthodes de réduction de dimension linéaires et non linéaires, mais où le modèle (localement) linéaire est remplacé par un modèle barycentrique -- affine.Le cœur de notre travail consiste en l'analyse de ces méthodes, tant sur le plan théorique que pratique. Du côté des applications, nous nous intéressons à deux exemples importants en apprentissage géométrique : les formes et les graphes. En particulier, on démontre que par rapport aux méthodes standard de réduction de dimension en analyse statistique des graphes, les plongements barycentriques se distinguent par leur meilleure interprétabilité. En plus des questions pratiques liées à l'implémentation, chacun de ces exemples soulève ses propres questions théoriques, principalement autour de la géométrie des espaces quotients. Parallèlement, nous nous attachons à caractériser géométriquement les plongements localement barycentriques, qui généralisent la projection calculée par locally linear embedding. Enfin, de nouveaux algorithmes d'apprentissage géométrique, novateurs dans leur approche, complètent ce travail
An MRI image has over 60,000 pixels. The largest known human protein consists of around 30,000 amino acids. We call such data high-dimensional. In practice, most high-dimensional data is high-dimensional only artificially. For example, of all the images that could be randomly generated by coloring 256 x 256 pixels, only a very small subset would resemble an MRI image of a human brain. This is known as the intrinsic dimension of such data. Therefore, learning high-dimensional data is often synonymous with dimensionality reduction. There are numerous methods for reducing the dimension of a dataset, the most recent of which can be classified according to two approaches.A first approach known as manifold learning or non-linear dimensionality reduction is based on the observation that some of the physical laws behind the data we observe are non-linear. In this case, trying to explain the intrinsic dimension of a dataset with a linear model is sometimes unrealistic. Instead, manifold learning methods assume a locally linear model.Moreover, with the emergence of statistical shape analysis, there has been a growing awareness that many types of data are naturally invariant to certain symmetries (rotations, reparametrizations, permutations...). Such properties are directly mirrored in the intrinsic dimension of such data. These invariances cannot be faithfully transcribed by Euclidean geometry. There is therefore a growing interest in modeling such data using finer structures such as Riemannian manifolds. A second recent approach to dimension reduction consists then in generalizing existing methods to non-Euclidean data. This is known as geometric learning.In order to combine both geometric learning and manifold learning, we investigated the method called locally linear embedding, which has the specificity of being based on the notion of barycenter, a notion a priori defined in Euclidean spaces but which generalizes to Riemannian manifolds. In fact, the method called barycentric subspace analysis, which is one of those generalizing principal component analysis to Riemannian manifolds, is based on this notion as well. Here we rephrase both methods under the new notion of barycentric embeddings. Essentially, barycentric embeddings inherit the structure of most linear and non-linear dimension reduction methods, but rely on a (locally) barycentric -- affine -- model rather than a linear one.The core of our work lies in the analysis of these methods, both on a theoretical and practical level. In particular, we address the application of barycentric embeddings to two important examples in geometric learning: shapes and graphs. In addition to practical implementation issues, each of these examples raises its own theoretical questions, mostly related to the geometry of quotient spaces. In particular, we highlight that compared to standard dimension reduction methods in graph analysis, barycentric embeddings stand out for their better interpretability. In parallel with these examples, we characterize the geometry of locally barycentric embeddings, which generalize the projection computed by locally linear embedding. Finally, algorithms for geometric manifold learning, novel in their approach, complete this work

Ce travail est la synthèse de travaux de recherches en mathématiques, dont les thèmes sont empruntés à la géométrie algébrique, la combinatoire analytique et les probabilités. La première partie concerne les variétés algébriques complexes de dimension trois. On y présente un calcul de la cohomologie singulière de variétés toriques lisses non complètes, ainsi que la construction d'un modèle toroïdal des singularités-quotient, dont le calcul nécessite l'étude combinatoire fine de l'action des groupes finis de matrices unitaires sur le plan projectif. La deuxième partie développe une adaptation "hybride" de la méthode de Darboux et de l'analyse des singularités pour le développement asymptotique des coefficients d'une série entière dans certains cas de frontière naturelle d'analyticité. De nombreux exemples issus de l'analyse combinatoire sont ainsi traités, dont celui de l'analyse d'algorithmes de factorisation de polynômes sur les corps finis qui sont utilisés en calcul formel et pour les codes correcteurs d'erreurs. La troisième partie résout une conjecture sur les arbres $m$-aires de recherche qui sont une structure fondamentale de l'algorithmiques des ensembles de données. Le modèle considéré est un modèle d'urnes qui se généralise en la notion de processus aléatoires de Pòlya dont le comportement asymptotique général est étudié. Dans la quatrième partie, on construit un arbre aléatoire associé à la \emph{Chaos Game Representation} utilisée en bio-mathématique et en bio-informatique du génôme. Les asymptotiques de la hauteur et de la profondeur d'insertion de ces arbres y sont établies.

L'objet de cette thèse est l'étude de certaines classes de variétés complexes compactes non kählériennes. On regarde d'abord la classe des surfaces de Kato. Étant donnés une surface de Kato minimale S, D le diviseur maximal de S formé des courbes rationnelles de S et ϖ : Š ͢ S le revêtement universel de S, on démontre que Š \ϖ-1 (D) est une variété de Stein. Les variétés LVMB sont la seconde classe de variétés non kählériennes étudiées. Ces variétés complexes sont obtenues en quotientant un ouvert U de Pn par un sous-groupe de Lie fermé G de (C*)n de dimension m. On reformule ce procédé en remplaçant U par la donnée d'un sous-éventail de celui de Pn et G par un sous-espace vectoriel de Rn convenable. On construit ensuite de nouvelles variétés complexes compactes non kählériennes en combinant une méthode due à Sankaran et celle donnant les variétés LVMB. Sankaran considère un ouvert U d'une variété torique dont le quotient par un groupe W discret est une variété compacte. Ici, on munit une certaine variété torique Y de l'action d'un sous-groupe de Lie G de (C*)n de sorte que le quotient X de Y par G soit une variété, puis on quotiente un ouvert de X par un groupe discret W analogue à celui de Sankaran.Enfin, on étudie les variétés OT, une autre classe de variétés non kählériennes, dont on démontre que leur dimension algébrique est nulle. Ces variétés sont obtenues comme quotient d'un ouvert de Cm par le produit semi-direct du réseau des entiers d'une extension de corps finie K de Q et d'un sous-groupe des unités de K bien choisi
In this thesis we study certain classes of complex compact non-Kähler manifolds. We first look at the class of Kato surfaces. Given a minimal Kato surface S, D the divisor consisting of all rational curves of S and ϖ : Š ͢ S the universal covering of S, we show that Š \ϖ-1 (D) is a Stein manifold. LVMB manifolds are the second class of non-Kähler manifolds that we study here. These complex compact manifolds are obtained as quotient of an open subset U of Pn by a closed Lie subgroup G of (C*)n of dimension m. We reformulate this procedure by replacing U by the choice of a subfan of the fan of Pn and G by a suitable vector subspace of R^{n}. We then build new complex compact non Kähler manifolds by combining a method of Sankaran and the one giving LVMB manifolds. Sankaran considers an open subset U of a toric manifold whose quotient by a discrete group W is a compact manifold. Here, we endow some toric manifold Y with the action of a Lie subgroup G of (C^{*})^{n} such that the quotient X of Y by G is a manifold, and we take the quotient of an open subset of X by a discrete group W similar to Sankaran's one.Finally, we consider OT manifolds, another class of non-Kähler manifolds, and we show that their algebraic dimension is 0. These manifolds are obtained as quotient of an open subset of C^{m} by the semi-direct product of the lattice of integers of a finite field extension K over Q and a subgroup of units of K well-chosen

Dans ce travail de thèse, on s'intéresse à la géométrie des variétés algébriques qui apparaissent comme résolutions minimales de quotients du produit de courbes par l’action d’un groupe fini. On étudie alors la positivité de leur fibré cotangent, en raison de ses nombreuses implications géométriques et les informations importantes qui peuvent être obtenues pour aborder certains problèmes difficiles comme la résolution des célèbres conjectures de Lang, Lang-Vojta et Green-Griffiths-Lang qui donnent en particulier de fortes contraintes sur la distribution des courbes rationnelles dans les variétés de type général.Dans le cas de la dimension deux, on donne un critère de positivité du fibré cotangent et l'on étudie l’hyperbolicité algébrique des surfaces produit-quotient. Ces résultats s'appliquent aux cas des surfaces produit-quotient de type général avec genre géométrique, irrégularité et second nombre de Segre nuls, pour lesquelles on démontre des versions effectives des conjectures mentionnées ci-dessus. Plus généralement, en dimension supérieure, on obtient aussi un critère de positivité du fibré cotangent dans le cas de quotients lisses et l’on étudie en détail le cas des produits symétriques de courbes
In this thesis, we are interested in the geometry of algebraic varieties that appear as minimal resolutions of quotients of the product of curves by the action of a finite group. We then study the positivity of their cotangent bundle because of its many geometric implications and the valuable and useful information that can be obtained in order to approach some difficult problems such as the famous conjectures of Lang, Lang-Vojta and Green-Griffiths-Lang which in particular give strong constraints on the distribution of the rational curves in varieties of general type.In the case of dimension two, we give a criterion for the positivity of the cotangent bundle and we study the algebraic hyperbolicity of product-quotient surfaces. These results apply to the case of product-quotient surfaces of general type with geometric genus, irregularity and second Segre number equal to zero, for which we prove effective versions of the conjectures mentioned above. More generally in higher dimension, we obtain a criterion for the positivity of the cotangent bundle in the case of smooth quotients and we study in detail the case of the symmetric products of curves

Soient p le plan projectif complexe, g le groupe des automorphismes de p, s#n la variete des points infiniment voisins d'ordre n de p. On montre que le corps des fonctions rationnelles sur s#n, invariantes par g, est une extension transcendante pure de c. On construit un quotient (au sens de mumford) de s#g par g, qui est une surface normale dont le groupe des diviseurs de weil est de rang 2

Initiée indépendamment par Beilinson et Bernstein et par Brylinski et Kashiwara, l'étude des opérateurs différentiels sur les variétés de drapeaux complets a permis de répondre à une conjecture de Kazhdan et Lusztig. Ayant été poursuivie notamment par les travaux de Borho et Brylinski, cette étude a mis à jour plusieurs propriétés intéressantes sur les opérateurs différentiels sur les variétés de drapeaux. Cependant, en dehors du cas des variétés de drapeaux et du cas des variétés toriques projectives, qui a été étudié de manière combinatoire, les opérateurs différentiels sont plutôt mal compris sur les variétés projectives.Dans cette thèse, nous nous pencherons sur le cas de certaines compactifications magnifiques Y d'espaces symétriques G/H de petit rang, et nous comparerons les résultats obtenus avec ceux connus sur les variétés de drapeaux. Nous allons commencer par construire un opérateur différentiel global sur Y qui ne provient pas de l'action infinitésimale de l'algèbre de Lie de G, ce qui constitue une différence avec le cas des variétés de drapeaux.Ensuite, nous nous intéresserons à trois cas particulier que nous exprimerons comme des quotients GIT d'une certaine grassmannienne X. Grâce à cette description, nous verrons plusieurs similitudes avec le cas des variétés de drapeaux : nous montrerons que l'algèbre des opérateurs globaux sur Y est de type fini, et que pour tout faisceau inversible L sur Y, ses sections globales forment un module simple pour l'algèbre des opérateurs différentiels globaux de Y tordus par L. Enfin, en utilisant des arguments de cohomologie locale, nous montrerons que c'est également le cas pour les groupes de cohomologie supérieurs
Started independently by Beilinson and Bernstein, and by Brylinski and Kashiwara, the study of global differential operators on complete flag varieties has been very useful to answer a conjecture of Kazhdan and Lusztig. In their subsequent work, Borho and Brylinski have discovered many interesting properties on differential operators on flag varieties. But apart from the case of flag varieties, and the case of projective toric varieties, which has been investigated with combinatorial methods, differential operators on projective varieties are rather badly known.In this thesis, we will investigate the case of some wonderful compactifications Y of symmetric spaces G/H of small rank, and we will compare our results with what is known in the case of flag varieties. We will first construct a differential operator on Y which does not come from the infinitesimal action of G, which is different from the case of flag varieties.We will then look at three particular cases, which will be expressed as GIT quotients of some Grassmannian X. With this description, we will find some similarities with the case of flag varieties : we will show that the algebra of global differential operators is of finite type, and that for each invertible sheaf L on Y, the module of its global sections is simple as a module over the algebra of global differential operators of Y twisted by L. Finally, using arguments of local cohomology, we will show that it is still the case for higher cohomology groups

Dans cette thèse nous étudions deux problèmes. Le premier est la non-existence de pointsrationnels non spéciaux sur des quotients d’Atkin-Lehner de courbes de Shimura. Le se-cond est l’absence de surfaces abéliennes rationnelles à multiplication potentiellementquaternioniques munies d’une structure de niveau. Ces deux problèmes sont liés car unesurface abélienne rationnelle simple à multiplication potentiellement quaternionique cor-respond à un point rationnel non spécial sur un certain quotient d’Atkin-Lehner de courbede Shimura.Dans une première partie nous expliquons comment vérifier un critère de Parent etYafaev en grande généralité pour prouver que dans les conditions du cas non ramifié deOgg, et si p est assez grand par rapport à q, alors le quotient X^pq/w_q n’a pas de pointrationnel non spécial.Dans une seconde partie nous déterminons une borne effective pour les structures deniveaux possibles pour une surface abélienne rationnelle acquérant sur un corps quadra-tique imaginaire fixé multiplication par un ordre fixé dans une algèbre de quaternions
In this thesis we study two problems. The first one is the non-existence of rational non-special points on Atkin-Lehner quotients of Shimura curves. The second one is the absence of rational abelian surfaces with potential quaternionique multiplication endowed with a level structure. These two problems are linked because a simple rational abelian surface with potential quaternionique multiplication is associated to a rational non-special point on an Atkin-Lehner quotients of Shimura curve. In a first part of our work we explain how to verify in wide generality a criterium of Parent and Yafaev in order to prove that in the conditions of Ogg's non ramified case, and if $p$ is big enough compared two $q$, then the quotient $X^{pq}/w_q$ has no non-special rational point. In a second part we determine an effective born for possible level structures on rational abelian surfaces having, over a fixed quadratic field, multiplication by a fixed order in a quaternion algebra

Dans cette thèse, nous étudions les triangulations définies par un ensemble de points dans des espaces de topologies différentes. Nous proposons une définition générale de la triangulation de Delaunay, valide pour plusieurs classes d'espaces, ainsi qu'un algorithme de construction. Nous fournissons une implantation pour le cas particulier du tore plat tridimensionnel. Ce travail est motivé à l'origine par le besoin de logiciels calculant des triangulations de Delaunay périodiques, dans de nombreux domaines dont l'astronomie, l'ingénierie des matériaux, le calcul biomédical, la dynamique des fluides, etc. Les triangulations périodiques peuvent être vues comme des triangulations du tore plat. Nous fournissons une définition et nous développons un algorithme incrémentiel efficace pour calculer la triangulation de Delaunay dans le tore plat. L'algorithme est adapté de l'algorithme incrémentiel usuel dans R^d. Au contraire des travaux antérieurs sur les triangulations périodiques, nous évitons de maintenir plusieurs copies périodiques des points, lorsque cela est possible. Le résultat fourni par l'algorithme est toujours une triangulation du tore plat. Nous présentons une implantation de notre algorithme, à présent disponible publiquement comme un module de la bibliothèque d'algorithmes géométriques CGAL. Nous généralisons les résultats à une classe plus générale d'espaces quotients plats, ainsi qu'à des espaces quotients de courbure constante positive. Enfin, nous considérons le cas du tore double, qui est un exemple de la classe beaucoup plus riche des espaces quotients de courbure négative constante.