Academic literature on the topic 'Uniformly dense hypergraph'

AbstractRecently, Conlon, Fox and the author gave a new proof of a relative Szemerédi theorem, which was the main novel ingredient in the proof of the celebrated Green–Tao theorem that the primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. Roughly speaking, a relative Szemerédi theorem says that if S is a set of integers satisfying certain conditions, and A is a subset of S with positive relative density, then A contains long arithmetic progressions, and our recent results show that S only needs to satisfy a so-called linear forms condition.This paper contains an alternative proof of the new relative Szemerédi theorem, where we directly transfer Szemerédi's theorem, instead of going through the hypergraph removal lemma. This approach provides a somewhat more direct route to establishing the result, and it gives better quantitative bounds.The proof has three main ingredients: (1) a transference principle/dense model theorem of Green–Tao and Tao–Ziegler (with simplified proofs given later by Gowers, and independently, Reingold–Trevisan–Tulsiani–Vadhan) applied with a discrepancy/cut-type norm (instead of a Gowers uniformity norm as it was applied in earlier works); (2) a counting lemma established by Conlon, Fox and the author; and (3) Szemerédi's theorem as a black box.

Étant donné un k-graph (hypergraphe k-uniforme) F, la densité de Turán π(F) de F est la densité maximale parmi tous les k-graphes F-libres. Déterminer π(F) pour un k-graph donné F est un problème extrémal classique. Étant donnés deux k-graphes F et H, un F-facteur de H est une collection de copies de F disjointes sur les sommets de H qui couvrent ensemble tous les sommets de H. Les problèmes de F-facteurs, en tant que renforcement du problème de Turán, visent à trouver des conditions extrémales sur H garantissant un F-facteur, ce qui a également une histoire longue et profonde. Dans cette thèse, nous utilisons de nombreux outils puissants, dont la méthode probabiliste, la méthode de régularité des hypergraphes et la méthode d'absorption, pour étudier les densités de Turán et les F-facteurs de k-graphes F donnés dans des hypergraphes uniformément denses. Contrairement aux graphes, nous savons tous qu'il existe plusieurs notions non équivalentes de quasi-aléatoire dans les k-graphes pour k ≥ 3. Par conséquent, notre travail propose également plusieurs définitions non équivalentes de k-graphes uniformément denses. En gros, un k-graphe H est (d, μ, ⋆)-dense signifie qu'il est d-dense et ⋆-quasi-aléatoire pour une petite valeur de μ > 0 par rapport à des structures aléatoires données. En se limitant aux 3-graphes (d, μ, 1)-dense, la densité de Turán d'un 3-graphe donné F est notée π1(F). La détermination de π1(F) a été suggérée par Erdős et Sós dans les années 1980. En 2018, Reiher, Rödl et Schacht ont étendu le concept de 3-graphes (d, μ, 1)-dense à des k-graphes (d, μ, k-2)-dense pour k ≥ 3, et ils ont proposé l'étude de la densité de Turán uniforme πk-2(F) pour un k-graphe donné F dans des k-graphes (d, μ, k-2)-dense. En particulier, ils ont montré que πk-2(•) saute de 0 à au moins k-à-la-moins-k-ème puissance. Dans cette thèse, nous obtenons une condition suffisante pour les 3-graphes F qui satisfont π1(F) = 1/4. De manière intéressante, actuellement, tous les 3-graphes F connus dont π1(F) est de 1/4 satisfont cette condition. De plus, nous construisons également quelques 3-graphes intrigants F avec π1(F) = 1/4. Pour les k-graphes, nous donnons un cadre pour étudier πk-2(F) pour n'importe quel k-graphe F. En utilisant ce cadre, nous donnons une condition suffisante pour les k-graphes F satisfaisant πk-2(F) est k-à-la-moins-k-ème puissance, et nous construisons une famille infinie de k-graphes avec πk-2(F) est k-à-la-moins-k-ème puissance. En 2016, Lenz et Mubayi ont posé le problème de caractériser les k-graphes F tels que chaque k-graphe H suffisamment grand (d, μ, dot)-dense avec d > 0, v(F)|v(H) et un degré minimum de sommet positif contient un F-facteur. Motivés par ce problème, nous démontrons un théorème général sur les F-facteurs qui réduit le problème des F-facteurs de Lenz et Mubayi à un sous-problème naturel, c'est-à-dire le problème de F-cover. En utilisant ce résultat, nous répondons à la question de Lenz et Mubayi pour ceux F qui sont des k-graphes k-partis et pour tous les 3-graphes F, séparément. Dans le travail de Lenz et Mubayi, ils ont également construit une séquence de 3-graphes (1/8, μ, dot)-dense avec un degré minimum de sommet positif n'ayant pas de F-facteur, où F est un 3-graph k-parti complet équilibré. Dans cette thèse, nous prouvons que 1/8 est le seuil de densité pour garantir tous les 3-graphes 3-partis facteurs dans (d, μ, dot)-dense 3-graphes avec une condition de minimum degré de sommet Ω(n). De plus, nous montrons que l'on ne peut pas remplacer la condition de minimum degré de sommet par une condition de minimum degré de sommet. En particulier, nous étudions le seuil de densité optimal des F-facteurs pour chaque 3-graph 3-parti F dans (d, μ, dot)-dense 3-graphes avec un minimum degré de sommet Ω(n). De plus, nous étudions également les problèmes de F-facteurs pour les k-graphes k-partis F avec une hypothèse quasi-aléatoire plus forte et un minimum degré de sommet positif
Given a k-graph (k-uniform hypergraph) F, the Turán density π(F) of F is the maximum density among all F-free k-graphs. Determining π(F) for a given k-graph F is a classical extremal problem. Given two k-graphs F and H, a perfect F-tiling (or F-factor) of H is a collection of vertex-disjoint copies of F in H that together cover all the vertices of H. Perfect tiling problems, as a strengthening of the Turán problem, aim to find extremal conditions on H which guarantee an F-factor, which also has a long and profound history. In this thesis, we use many powerful tools including the probabilistic method, hypergraph regularity method and absorbing method to study Turán densities and perfect tilings of given k-graphs F in uniformly dense hypergraphs. Unlike graphs, we all know that there are several non-equivalent notions of quai-randomness in k-graphs for k ≥ 3. Hence, our work also has several non-equivalent definitions of uniformly dense k-graphs. Roughly speaking, a k-graph H is (d, μ, ⋆)-dense means that it is d-dense and ⋆-quai-randomness for some small μ > 0 with respect to given random structures. Restricting to (d, μ, 1)-dense 3-graphs, the Turán density of a given 3-graph F is denoted by π1(F). Determining π1(F) was suggested by Erdős and Sós in the 1980s. In 2018, Reiher, Rödl and Schacht extended the concept of (d, μ, 1)-dense 3-graphs to (d, μ, k-2)-dense k-graphs for k ≥ 3, and they proposed the study of uniform Turán density πk-2(F) for a given k-graph F in (d, μ, k-2)-dense k-graphs. In particular, they showed that πk-2(•) “jumps” from 0 to at least k-to-the-minus-kth-power. In this thesis, we obtain a sufficient condition for 3-graphs F which satisfy π1(F)= 1/4. Interestingly, currently all known 3-graphs F whose π1(F) is 1/4 satisfy this condition. In addition, we also construct some intriguing 3-graphs F with π1(F) = 1/4. For k-graphs, we give a framework to study πk-2(F) for any k-graph F. By using this framework, we give a sufficient condition for k-graphs F satisfying πk-2(F) is k-to-the-minus-kth-power, and construct an infinite family of k-graphs with πk-2(F) is k-to-the-minus-kth-power.In 2016, Lenz and Mubayi posed the problem of characterizing the k-graphs F such that every sufficiently large (d, μ, dot)-dense k-graph H with d > 0, v(F)|v(H) and positive minimum vertex degree contains an F-factor. Motivated by this problem, we prove a general theorem on F-factors which reduces the F-factors problem of Lenz and Mubayi to a natural sub-problem, that is, the F-cover problem. By using this result, we answer the question of Lenz and Mubayi for those F which are k-partite k-graphs and for all 3-graphs F, separately. In the work of Lenz and Mubayi, they also constructed a sequence of (1/8, μ, dot)-dense 3-graphs with positive minimum vertex degree having no F-factor, where F is a balanced complete 3-partite 3-graph. In this thesis, we prove that 1/8 is the density threshold for ensuring all 3-partite 3-graphs perfect tilings in (d, μ, dot)-dense 3-graphs given a minimum codegree condition Ω(n). Moreover, we show that one can not replace the minimum codegree condition with a minimum vertex degree condition. In particular, we study the optimal density threshold of F-factors for each 3-partite 3-graph F in (d, μ, dot)-dense 3-graphs with minimum codegree Ω(n). In addition, we also study F-factor problems for k-partite k-graphs F with stronger quasi-random assumption and positive minimum 1-degree