Academic literature on the topic 'Transformation birationnelle'

Cette thèse explore deux sujets distincts à l'intersection de l'algèbre commutative, de la géométrie algébrique, de l'algèbre multilinéaire et de la modélisation géométrique :1. L'étude et la construction effective des transformations birationnelles multilinéaires 2. L'extraction d'informations à partir de données discrètes à l'aide de modèles polynomiaux. La partie principale de ce travail est consacrée aux transformations birationnelles multilinéaires.Une transformation birationnelle multilinéaire est une transformation rationnelle phi : (mathbb{P}^1)^n dashrightarrow{} mathbb{P}^n, définie par des polynômes multilinéaires, qui admet une transformation rationnelle inverse.Les transformations birationnelles entre espaces projectifs constituent un sujet d'étude important de la géométrie algébrique, initié par les travaux fondateurs de Cremona, qui a connu des avancées significatives au cours des dernières décennies.Plus récemment, les transformation birationnelles multiprojectives, c'est-à-dire définies par des polynômes multi-homogènes, ont récemment suscité un regain d'intérêt, motivé notamment par l'étude des structures multigraduées en algèbre commutative et leurs applications pratique en modélisation géométrique.Dans la première partie, nous étudions les aspects algébriques et géométriques des transformations birationales multilinéaires.Nous nous concentrons principalement sur les transformations birationnelles trilinéaires phi : (mathbb{P}^1)^3 dashrightarrow{} mathbb{P}^3 dont nous établissons une classification en fonction de la structure algébrique de leur espace, du lieu base, et des résolutions libres graduées minimales de l'idéal engendré par les polynômes de définition.En outre, nous développons les premières méthodes qui permettent de construire et de manipuler des transformations birationnelles non linéaires en dimension 3 avec une flexibilité suffisante pour les applications visées en modélisation géométrique.De plus, nous établissons une caractérisation de la birationalité basée sur le rang de tenseurs, qui permet de construire efficacement et ouvre la voie à l'application des outils de l'algèbre tensorielle à la birationnalité.Nous étendons également nos résultats aux transformations birationnelles multilinéaires en dimension arbitraire, dans le cas où il existe un inverse multilinéaire.Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur l'application des polynômes à l'analyse des données discrètes.Nous nous attaquons à deux problèmes distincts.Tout d'abord, nous dérivons des bornes pour la taille des (1-epsilon)-nets pour les ensembles de non-négativité de polynômes réels.Nos résultats nous permettent d'étendre le théorème classique du point central aux inégalités polynomiales de degré supérieur.Ensuite, nous abordons la classification des cylindres réels qui passent par cinq points qui sont tels que quatre d'entre eux sont cocycliques, c'est-à-dire qu'ils se trouvent sur un cercle.Il s'agit d'un cas particulier de problèmes plus généraux que sont la classification des racines réelles des systèmes de polynômes réels et l'extraction de primitives algébriques à partir de données brutes
This thesis explores two distinct subjects at the intersection of commutative algebra, algebraic geometry, multilinear algebra, and computer-aided geometric design:1. The study and effective construction of multilinear birational maps2. The extraction of information from measures and data using polynomialsThe primary and most extensive part of this work is devoted to multilinear birational maps.A multilinear birational map is a rational map phi: (mathbb{P}^1)^n dashrightarrow{} mathbb{P}^n, defined by multilinear polynomials, which admits an inverse rational map. Birational transformations between projective spaces have been a central theme in algebraic geometry, tracing back to the seminal works of Cremona, which has witnessed significant advancement in the last decades. Additionally, there has been a recent surge of interest in tensor-product birational maps, driven by the study of multiprojective spaces in commutative algebra and their practical application in computer-aided geometric design.In the first part, we address algebraic and geometric aspects of multilinear birational maps.We primarily focus on trilinear birational maps phi: (mathbb{P}^1)^3 dashrightarrow{} mathbb{P}^3, that we classify according to the algebraic structure of their space, base loci, and the minimal graded free resolutions of the ideal generated by the defining polynomials. Furthermore, we develop the first methods for constructing and manipulating nonlinear birational maps in 3D with sufficient flexibility for geometric modeling and design.Interestingly, we discover a characterization of birationality based on tensor rank, which yields effective constructions and opens the door to the application of tools from tensors to birationality. We also extend our results to multilinear birational maps in arbitrary dimension, in the case that there is a multilinear inverse.In the second part, our focus shifts to the application of polynomials in analyzing data and measures.We tackle two distinct problems. Firstly, we derive bounds for the size of (1-epsilon)-nets for superlevel sets of real polynomials. Our results allow us to extend the classical centerpoint theorem to polynomial inequalities of higher degree. Secondly, we address the classification of real cylinders through five-point configurations where four points are cocyclic, i.e. they lie on a circumference. This is an instance of the more general problems of real root classification of systems of real polynomials and the extraction of algebraic primitives from raw data

Dans le cadre de la géométrie algébrique, l'étude des transformations birationnelles et des leurs proprietés jouent un rôle déterminant. Ou bien par l'approche classique de l'école italienne qui met l'accent sur le groupe de Cremona, ou bien par une approche plus moderne qui utilise des objets comme les catégories dérivées et leurs décompositions semiorthogonales. Le groupe de Cremona Crn, notamment le groupe des automorphismes birationnels du Pn, est en general peu connu notamment on travaille principalement sur le corp complexe. On connait un ensemble des générateurs seulement pour n = 2. On ne connait pas une classification des courbes et systemes linéaires de P2 pour transformations de Cremona. Un exemple des résultats qu'il y a est la caractérisation de la contractibilité des courbes irreductibles et des courbes obtenues par union des deux components irreductibles. Le but de cette thèse est de s'approcher en cas d'une configuration de droites dans P2. Le théorème final fournit les conditions nécessaires ou suffisantes à la contractibilité. En termes catégoriels, les décompositions semiorthogonales de la catégorie dérivée d'une variété fournissent des invariants pour étudier la variété. En s'inspirant de l'approche de Clemens-Griffiths sur la cubique complexe en dimension 3, on veut caractériser les obstructions à la rationalité d'une variété de dimension n. L'idée est de pouvoir isoler les composantes qui ne sont pas équivalentes à la catégorie dérivée d'une variété de dimension au plus n - 2 et, de cette façon, définir ce que l'on appelle la composante de Griffiths-Kuznetsov. Dans cette thèse on étude le cas des surfaces sur un corps arbitraire, on définit de telles composantes et on démontre qu'elles donnent un invariant birationnel. On peut voir aussi que la composante de Griffiths-Kuznetsov est nulle si et seulement si la surface est rationnelle
In the field of algebraic geometry, the study of birational transformations and their properties plays a primary role. In this, there are two different approach: the classical one due to the Italian school who focuses on the Cremona group and a modern one which utilizes instruments like derived categories and semiorthogonal decompositions. About the Cremona group, that is the group of birational self- morphisms of Pn, we do not know much in general and we focus on the complex case. We know a set of generators only in dimension n = 2. Moreover, we do not have a classification of curves and linear systems in P2 up to Cremona transformations. Among the known results there are: irreducible curves and curves with two irreducible components. In this thesis we approach tha case of a configuration of lines in the projective plane. The last theorem lists the known contractible configurations. From a categorical point of view, the semiorthogonal decompositions of the derived category of a variety provide some useful invariants in the study of the variety. Following the work of Clemens-Griffiths about the complex cubic threefold, we want to characterize the obstructions to the rationality of a variety X of dimension n. The idea is to collect the component of a semiorthogonal decomposition which are not equivalent to the derived category of a variety of dimension at least n - 1. In this way we defined the so called Griffiths-Kuznetsov component of X. In this thesis we study the case of surfaces on an arbitrary field, we define that component and show that it is a birational invariant. It appears clearly that the Griffiths-Kuznetsov component vanishes only if the surface is rational

Cette thèse se situe à l'interface entre la géométrie algébrique et les systèmes dynamiques. Le but est d'analyser la dynamique des automorphismes (ou, plus généralement, des transformations birationnelles) de variété compactes kaehleriennes avec première classe de Chern nulle, notamment des variétés hyperkaehleriennes. J'étudie l'existence de structures géométriques invariantes par la dynamique, en particulier fibrations et feuilletages, sous des hypothèses sur l'action en cohomologie de la transformation considérée
This thesis lies at the interface between algebraic geometry and dynamical systems. The goal is to analyse the dynamical behaviour of automorphisms (or, more generally, of birational transformations) of compact Kaehler manifolds having trivial first Chern class, in particular of hyperkaehler manifolds. I study the existence of geometric structures which are preserved by the dynamics, in particular fibrations and foliations, under some assumptions about the cohomological action of the transformation

Dans ce mémoire de thèse je considère une généralisation des groupes kleiniens en géométrie algébrique complexe. Le problème peut aussi être vu comme l'uniformisation des variétés projectives complexes sous une hypothèse algébrico-géométrique sur l'action du groupe de revêtement. Je donne une classification des groupes kleiniens birationnels en dimension deux. Il s'agit d'une interaction entre les transformations birationnelles des surfaces, les groupes de Kähler, les feuilletages holomorphes sur des surfaces complexes, et les espaces de Teichmüller
In this thesis I study a generalisation of Kleinian groups in the setting of complex algebraic geometry. The problem can also be seen as uniformization of projective varieties under an algebro-geometric hypothesis on the group of deck transformations. I give a classification of birational Kleinian groups in dimension two. It implements an interaction between birational transformations of surfaces,Kähler, groups, holomorphic foliations on complex surfaces, and Teichmüller spaces

Dans cette thèse nous commençons par décrire le groupe des automorphismes extérieurs du groupe des automorphismes polynomiaux du plan affine : il s'identifie au groupe des automorphismes du corps des complexes. Nous étendons ce résultat au groupe de Cremona ; les techniques utilisées sont différentes, le premier groupe ayant une structure de produit amalgamé ce qui n'est pas connu pour le second. Ensuite nous nous intéressons aux représentations de certains réseaux dans le groupe de Cremona ; nous obtenons un théorème de rigidité pour SL(3,Z) et des obstructions à ce que certains réseaux se plongent dans le groupe de Cremona. Enfin nous exhibons une famille de transformations birationnelles curieuses : bien qu'elles présentent toutes les caractéristiques des transformations réputées sans dynamique les expériences numériques révèlent des orbites chaotiques situées dans le complément de deux zones où les adhérences des orbites sont des tores ou des cercles.

Mon travail de thèse porte sur les doubles EPW sextiques, une famille de variétés hyperkähleriennes qui, dans le cas général, sont équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de deux points sur une surface K3. Notamment j'ai utilisé le lien que ces variétés ont avec les variétés de Gushel-Mukai, qui sont des variétés de Fano dans une Grassmannienne si leur dimension est plus grande que deux, des surface K3 si la dimension est deux.Le premier chapitre contient quelques rappels de théorie des équations de Pell et des réseaux, qui sont fondamentals pour l’étude des variétés hyperkähleriennes. Ensuite je rappelle la construction qui associe un revêtement double à un faisceau sur une variété normale.Dans le deuxième chapitre j’aborde les variétés hyperkähleriennes et je décris leurs premières propriétés ; j’introduis aussi le premier cas de variété hyperkählerienne qui a été étudiée, les surfaces K3. Cette famille de surfaces correspond aux variétés hyperkähleriennes en dimension deux.Je présente ensuite brièvement certains des derniers résultats dans ce domaine, notamment je définis différents espaces de modules de variétés hyperkähleriennes et je décris l’action d’un automorphisme sur le deuxième groupe de cohomologie d’une variété hyperkähleriennes.Les outils introduits dans le chapitre précédent ne fournissent pas de description géométrique de l'action de l'automorphisme sur la variété, dans le cas où la variété est un schéma de Hilbert de points sur une surface K3. Dans le troisième chapitre, j’introduis donc une description géométrique à une certaine déformation près. Cette déformation prend en compte la structure du schéma de la variété de Hilbert. Pour ce faire, j'introduis un isomorphisme entre une composante connexe de l'espace de modules des variétés de type K3[n] avec une polarization, et l'espace de modules des variétés de même type avec une involution dont le rang de l'invariant est un. Il s’agit d’une généralisation d’un résultat obtenu par Boissière, An. Cattaneo, Markushevich et Sarti en dimension deux. Les deux premières parties de ce chapitre sont un travail en collaboration avec Alberto Cattaneo.Dans le quatrième chapitre, je définis les EPW sextiques, en présentant l'argument de O'Grady, qui montre qu'un double revêtement d'un EPW sextique dans le cas général est une variété de type K3[2]. Ensuite, je présente les variétés Gushel-Mukai, en mettant l'accent sur leur lien avec les EPW sextiques ; cette approche a été introduite par O'Grady, poursuivie par Iliev et Manivel et systématisée par Kuznetsov et Debarre.Dans le cinquième chapitre, j’utilise les outils introduits dans le quatrième chapitre dans le cas où on peut associer une surface K3 à une EPW sextique X. Dans ce cas je donne des conditions explicites sur le groupe de Picard de la surface pour que X soit une variété hyperkählerienne. Cela permet d'utiliser le théorème de Torelli pour une surface K3 pour démontrer l'existence de quelques automorphismes sur X. Je donne des bornes sur la structure d'un sous-groupe d'automorphismes d'une EPW sextique sous conditions d'existence d'un point fixe pour l'action du groupe.Toujours dans le cas d'existence d'une surface K3 associée à une EPW sextique X, j’améliore la borne obtenue précédemment sur les automorphismes de X, en donnant un lien explicite avec le nombre de coniques sur la surface K3. Je montre que la symplecticité d'un automorphisme sur X dépend de la symplecticité d'un automorphisme correspondant sur la surface K3.Le sixième chapitre est un travail en collaboration avec Alberto Cattaneo. J'étudie le groupe d'automorphismes birationels sur le schéma de Hilbert des points sur une surface projective K3, dans le cas générique. Cela généralise le résultat obtenu en dimension deux par Debarre et Macrì. Ensuite j’étudie les cas où il existe un modèle birationel où ces automorphismes sont réguliers. Je décris de façon géométrique quelques involutions dont on avait prouvé l'existence auparavant
My thesis work focuses on double EPW sextics, a family of hyperkähler manifolds which, in the general case, are equivalent by deformation to Hilbert's scheme of two points on a K3 surface. In particular I used the link that these manifolds have with Gushel-Mukai varieties, which are Fano varieties in a Grassmannian if their dimension is greater than two, K3 surfaces if their dimension is two.The first chapter contains some reminders of the theory of Pell's equations and lattices, which are fundamental for the study of hyperkähler manifolds. Then I recall the construction which associates a double covering to a sheaf on a normal variety.In the second chapter I discuss hyperkähler manifolds and describe their first properties; I also introduce the first case of hyperkähler manifold that has been studied, the K3 surfaces. This family of surfaces corresponds to the hyperkähler manifolds in dimension two.Furthermore, I briefly present some of the latest results in this field, in particular I define different module spaces of hyperkähler manifolds, and I describe the action of automorphism on the second cohomology group of a hyperkähler manifold.The tools introduced in the previous chapter do not provide a geometrical description of the action of automorphism on the manifold for the case of the Hilbert scheme of points on a general K3 surface. In the third chapter, I therefore introduce a geometrical description up to a certain deformation. This deformation takes into account the structure of Hilbert scheme. To do so, I introduce an isomorphism between a connected component of the module space of manifolds of type K3[n] with a polarization, and the module space of manifolds of the same type with an involution of which the rank of the invariant is one. This is a generalization of a result obtained by Boissière, An. Cattaneo, Markushevich and Sarti in dimension two. The first two parts of this chapter are a joint work with Alberto Cattaneo.In the fourth chapter, I define EPW sextics, using O'Grady's argument, which shows that a double covering of a EPW sextic in the general case is deformation equivalent to the Hilbert square of a K3 surface. Next, I present the Gushel-Mukai varieties, with emphasis on their connection with EPW sextics; this approach was introduced by O'Grady, continued by Iliev and Manivel and systematized by Kuznetsov and Debarre.In the fifth chapter, I use the tools introduced in the fourth chapter in the case where a K3 surface can be associated to a EPW sextic X. In this case I give explicit conditions on the Picard group of the surface for X to be a hyperkähler manifold. This allows to use Torelli's theorem for a K3 surface to demonstrate the existence of some automorphisms on X. I give some bounds on the structure of a subgroup of automorphisms of a sextic EPW under conditions of existence of a fixed point for the action of the group.Still in the case of the existence of a K3 surface associated with a EPW sextic X, I improve the bound obtained previously on the automorphisms of X, by giving an explicit link with the number of conics on the K3 surface. I show that the symplecticity of an automorphism on X depends on the symplecticity of a corresponding automorphism on the surface K3.The sixth chapter is a work in collaboration with Alberto Cattaneo. I study the group of birational automorphisms on Hilbert's scheme of points on a projective surface K3, in the generic case. This generalizes the result obtained in dimension two by Debarre and Macrì. Then I study the cases where there is a birational model where these automorphisms are regular. I describe in a geometrical way some involutions, whose existence has been proved before