Academic literature on the topic 'Topologie de courbe singulière'

Bien qu’il ait été défini comme un ordre des successions, le temps leibnizien s’y réduit-il ? Le recours à Deleuze permet d’en douter. D’une part, les mondes de verre de la fin de la Théodicée sont interprétés comme des cristaux, qui révèlent le temps dans son ensemble. Nous verrons pour Leibniz même, indépendamment de Deleuze, ce qui autorise une telle forme du temps. D’autre part, dès Logique du sens , Deleuze compte sur la topologie d’une courbe pour synthétiser les événements d’un monde. La convergence de leurs points entraîne enfin que les mondes divergent en une bifurcation, dont nous demanderons si la Confessio philosophi ne l’autorisait pas déjà, dans sa conception de l’acte libre.

Longtemps attachée à un modèle d’historisation qui en faisait seulement le maillon de la transmission des philosophèmes helléniques à l’Europe et qui lui conférait pour seuls traits caractéristiques ceux de la philosophie médiévale, l’étude de la philosophie en islam a été entravée et obscurcie. Les recherches actuelles révèlent sa courbe singulière comme reprise conceptuelle de la révélation religieuse. Elles mettent en évidence ses thèmes fondamentaux : une ontologie où la question de l’être se transforme en hénologie, une théologie qui se fait méditation de la souveraineté divine, une psychologie qui fait droit à toutes les facultés et conçoit la perfection de l’âme dans l’exercice de l’intellect.

L’isolation des points singuliers d'une courbe plane est la première étape vers le calcul de sa topologie. Pour cela, les méthodes numériques sont efficaces mais non certifiées en général. Nous sommes intéressés par le développement d'algorithmes numériques certifiés pour isoler les singularités. Pour ce faire, nous limitons notre attention au cas particulier des courbes planes qui sont des projections de courbes lisses en dimensions supérieures. Ce type de courbes apparaît naturellement dans les applications robotiques et la visualisation scientifique. Dans ce cadre, nous montrons que les singularités peuvent être encodées par un système carré et régulier dont les solutions peuvent être isolées avec des méthodes numériques certifiées. Notre analyse est conditionnée par des hypothèses que nous démontrons comme étant génériques en utilisant la théorie de la transversalité ; nous fournissons également un semi-algorithme pour vérifier leur validité. Enfin, nous présentons des expériences de visualisation et de robotique, dont certaines ne sont pas accessibles par d'autres méthodes, et discutons de l'efficacité de notre méthode
Isolating the singularities of a plane curve is the first step towards computing its topology. For this, numerical methods are efficient but not certified in general. We are interested in developing certified numerical algorithms for isolating the singularities. In order to do so, we restrict our attention to the special case of plane curves that are projections of smooth curves in higher dimensions. This type of curves appears naturally in robotics applications and scientific visualization. In this setting, we show that the singularities can be encoded by a regular square system whose solutions can be isolated with certified numerical methods. Our analysis is conditioned by assumptions that we prove to be generic using transversality theory. We also provide a semi-algorithm to check their validity. Finally, we present experiments in visualization and robotics, some of which are not reachable by other methods, and discuss the efficiency of our method

Ce travail de thèse relève du registre de l’algorithmique de courbes et surfaces algébriques réelles. Dans le domaine de la représentation de formes nous avons développé trois algorithmes. Le premier est un algorithme symbolique-numérique certifié, fortement basé sur les propriétés des sous-résultants, et permettant le calcul de la topologie d’une courbe algébrique plane avec la meilleure complexité connue. Le deuxième algorithme traite le problème du calcul de la topologie d’une courbe algébrique spatiale définie comme intersection de deux surfaces algébriques implicites. Pour construire cet algorithme, nous avons introduit la notion de courbe spatiale en position pseudo-générique par rapport à un plan. Cette approche conduit à un algorithme symbolique-numérique certifié disposant de la meilleure complexité connue pour traiter ce problème. Le troisième est un algorithme de maillage de surfaces implicites. C’est le premier algorithme certifié et implémenté qui résoud le problème du maillage isotopique de surfaces implicites singulières. Soulignons que ce travail rentre aussi dans le cadre des applications mathématiques puisqu’on peut, à partir d’une triangulation, calculer de nombreux invariants topologiques. Enfin dans un travail sur les arrangements pouvant se placer dans le cadre des problèmes de configurations spatiales, nous évoquons un algorithme permettant le calcul d’un tel arrangement
In this thesis, we got interested into the Effective Computation of the Topology of Real Algebraic Curves and Surfaces. One can distinguish three main new algorithms in the field of shape representation. Our first algorithm is a certified symbolic-numerical based on sub-resultants properties and computes the topology of a plane algebraic curve with the best known complexity. The second algorithms computes the topology of a space curve defined as the intersection of two implicit algebraic surfaces. For the designing of this algorithm, we introduce the notion of space curve in pseudo-generic position with respect to a given plane. This approach leads to a certified symbolic-numerical algorithm with the best known complexity. The third algorithms is a new and complete one for computing the isotopic meshing of an implicit algebraic surface. It involves only subresultant computations and entirely relies on rational manipulation, which makes it direct to implement. Finally, we also design an algorithm for computing the cells in an arrangement of quadrics which may be classify on the area of configuration spaces computation

Un problème fondamental en géométrie algorithmique est celui du calcul de la topologie d'une courbe plane donnée par son équation implicite. Ce problème peut être vu comme celui du calcul d'un graphe qui approche la courbe et qui possède la même topologie que cette dernière. Une étape importante dans les algorithmes calculant la topologie d'une courbe plane concerne le calcul des points singuliers et points extrêmes (en x) de celle-ci. Ce problème se ramène naturellement à celui de la résolution de systèmes bivariés définis par la courbe et ses dérivées par rapport aux variables qui la définissent. Cette thèse porte sur l'étude, l'élaboration et l'implantation d'algorithmes robustes et efficaces pour la résolution de systèmes définis par des polynômes en deux variables à coefficients entiers. Plus précisément, nous nous somme intéressé au calcul d'une Représentation Univariée Rationnelle des solutions. Une telle représentation est constitué d'un polynôme univarié et de deux fonctions rationnelles qui envois les racines du polynôme univarié sur les coordonnées des points solutions du système. Nous présentons dans un premier temps un algorithme théorique pour calculer la RUR d'un système bivarié qui améliore la meilleure borne de complexité connue d'un facteur d^2, ou d désigne le degré des polynômes de départ, et qui permet d'obtenir une nouvelle borne sur la taille des polynômes de cette RUR. Dans un second temps, nous présentons un algorithme de calcul de RUR efficace en pratique. Cet algorithme, basé sur des choix aléatoires et sur l'utilisation du calcul multi-modulaire est probabiliste. Nous en présentons une première version Monte-Carlo, puis nous montrons comment tester la correction du résultat ce qui fourni un algorithme Las-Vegas. Cet algorithme est efficace à la fois en théorie et en pratique à en juger par l'analyse de complexité en moyenne et les nombreux testes effectués.

Un problème fondamental en géométrie algorithmique est celui du calcul de la topologie d'une courbe plane donnée par son équation implicite. Ce problème peut être vu comme celui du calcul d'un graphe qui approche la courbe et qui possède la même topologie que cette dernière. Une étape importante dans les algorithmes calculant la topologie d'une courbe plane concerne le calcul des points singuliers et points extrêmes (en x) de celle-ci. Ce problème se ramène naturellement à celui de la résolution de systèmes bivariés définis par la courbe et ses dérivées par rapport aux variables qui la définissent. Cette thèse porte sur l'étude, l'élaboration et l'implantation d'algorithmes robustes et efficaces pour la résolution de systèmes définis par des polynômes en deux variables à coefficients entiers. Plus précisément, nous nous somme intéressé au calcul d'une Représentation Univariée Rationnelle des solutions. Une telle représentation est constitué d'un polynôme univarié et de deux fonctions rationnelles qui envois les racines du polynôme univarié sur les coordonnées des points solutions du système. Nous présentons dans un premier temps un algorithme théorique pour calculer la RUR d'un système bivarié qui améliore la meilleure borne de complexité connue d'un facteur d^2, ou d désigne le degré des polynômes de départ, et qui permet d'obtenir une nouvelle borne sur la taille des polynômes de cette RUR. Dans un second temps, nous présentons un algorithme de calcul de RUR efficace en pratique. Cet algorithme, basé sur certain choix aléatoires et sur l'utilisation du calcul multi-modulaire est probabiliste. Nous en présentons une première version Monte-Carlo, puis nous montrons comment tester la correction du résultat ce qui fourni un algorithme Las-Vegas. Cet algorithme est efficace à la fois en théorie et en pratique à en juger par l'analyse de complexité en moyenne et les nombreux tests effectués
A fundamental problem in computational geometry is the computation of the topology of an algebraic plane curve given by its implicit equation, that is, the computation of a graph lines that approximates the curve while preserving its topology. A critical step in many algorithms computing the topology of a plane curve is the computation of the set of singular and extreme points (wrt x) of this curve, which is equivalent to the computation of the solutions of bivariate systems defined by the curve and some of its partial derivatives. In this presentation, we study form theoretical and practical perspectives the problem of solving systems of bivariate polynomials with integer coefficients. More precisely, we investigate the computation of a Rational Univariate Representation (RUR) of the solutions of a bivariate system, that is, a one-to-one mapping that sends the roots of a univariate polynomial to the solutions of the bivariate system. We first present a theoretical algorithm for computing the RUR of a bivariate system that improves the best complexity bound for this problem by a factor d^2 where d denote the degree of the input polynomials and allows to derive a new bound on the size of the polynomials of the RUR. We then present an algorithm for computing a RUR that is efficient in practice. This algorithm, based on some random choices and the use of multi-modular computation is probabilistic. We first present a Monte-Carlo variante of this algorithm, and then show how to transforme the latter into a Las-Vegas algorithm by checking the result for correctness. The complexity analysis as well as the experiment we performed show the efficiency of this algorithm

Le pétrole brut constitue une richesse considérable dans l'économie moderne. Plusieurs millions de tonnes sont traitées chaque année dans l'unité principale de chaque raffinerie : la distillation atmosphérique. L'optimisation en temps réel d'un tel procédé constitue un enjeu économique très important, mais l'analyse du pétrole brut est longue et complexe par les méthodes classiques. La spectroscopie proche infrarouge, couplée à des modèles mathématiques adaptés, permet la prédiction en ligne de la courbe de distillation du pétrole (True Boiling Point), de façon à anticiper les réglages de l'unité. La modélisation topologique, fondée sur une approche du type voisinage, présente des avantages majeurs sur la voie régressionnelle, comme par exemple l'auto-apprentissage
Crude oil constitutes a significant part of wealth of the modern economy. Several million tonnes are treated each year in the principal refinery unit, the atmospheric distillation, therefore, real time optimisation of the distillation unit represents a true economic gain, however, classical methods for crude oil analysis are long and complex, near infrared coupled with suitable mathematical modelling techniques permits on-line prediction of the true boiling point (T. B. P. ), and allows anticipatory adjustement of operating parameters. A topological modelling approach, based on a nearest neighbours concept, presents a major advantage self learning method

Dans un article sur les sommes de carrés, SCHEIDERER a prouvé que pour toute courbe algébrique, réelle, projective, irréductible, lisse, ayant des points réels, il existait un entier N tel que tout diviseur de degré plus grand que N soit linéairement équivalent à un diviseur dont le support est totalement réel. Ensuite HUISMAN et MONNIER ont montré que dans le cas des courbes avec beaucoup de composantes connexes, ie. celle en ayant au moins autant que le genre g, ici supposé strictement positif, de la courbe, on pouvait prendre N égal à 2g − 1. MONNIER a également abordé la question pour les cas des courbes singulières : il en a exhibé pour lesquelles un tel entier n'existait pas et d'autres pour lesquelles il existait. Dans cette thèse on étend la classe des courbes singulières pour lesquelles un tel entier existe, essentiellement des courbes avec des noeuds ou des cusps, et on arrive dans certains cas a contrôlé explicitement cet entier en fonction du genre de la courbe et du nombre de ces singularités. Pour y parvenir on utilise d'une part une " singularisation successive " et d'autre part une variante de l'invariant où l'on demande qu'en plus les points du support soient deux-à-deux distincts. Pour ce nouvel invariant, on étend tel quel les résultats sur les courbes ayant beaucoup de composantes et on traite celui des courbes de genre 2 ayant une seule composante, le " premier " cas jusqu'alors inconnu : dans ce cas la borne 3 est impossible en général, mais par contre 5 convient.

Ce travail relève du registre de l'algorithmique de courbes et surfaces algébriques réelles. Dans le domaine de la représentation de formes, nous avons développé trois algorithmes. Le premier est un algorithme symbolique-numérique certifié, fortement basé sur les propriétés des polynômes sous-résultants, et permettant le calcul de la topologie d'une courbe algébrique plane avec la meilleur complexité connue. Le deuxième algorithme traite le problème du calcul de la topologie d'une courbe algébrique spatiale définie comme intersection de deux surfaces implicites. Pour construire cet algorithme, nous introduisons la notion de courbe spatiale en position pseudo-générique par rapport à un plan. Cette approche conduit à un algorithme symbolique- numérique certifié disposant de la meilleur complexité connue. Le troisième est un algorithme de maillages de surfaces implicites. C'est le premier algorithme certifié et implémenté qui traite le problème du maillage isotopique de surfaces implicites singulières. Enfin dans un travail sur les arrangements de quadriques nous fournissons un algorithme permettant de calculer un tel arrangement.

On s'intéresse, dans cette thèse, à des questions concernant le nombre maximum de points rationnels d'une courbe singulière définie sur un corps fini, sujet qui, depuis Weil, a été amplement abordé dans le cas lisse. Cette étude se déroule en deux temps. Tout d'abord on présente une construction de courbes singulières de genres et corps de base donnés, possédant un grand nombre de points rationnels : cette construction, qui repose sur des notions et outils de géométrie algébrique et d'algèbre commutative, permet de construire, en partant d'une courbe lisse X, une courbe à singularités X', de telle sorte que X soit la normalisée de X', et que les singularités ajoutées soient rationnelles sur le corps de base et de degré de singularité prescrit. Ensuite, en utilisant une approche euclidienne, on prouve une nouvelle borne sur le nombre de points fermés de degré deux d'une courbe lisse définie sur un corps fini.La combinaison de ces résultats, à priori indépendants, permet notamment d'étudier le problème de savoir quand la borne d'Aubry-Perret, analogue de la borne de Weil dans le cas singulier, est atteinte. Cela nous amène de façon naturelle à l'étude des propriétés des courbes maximales et, lorsque la cardinalité du corps de base est un carré, à l'analyse du spectre des genres de ces dernières
In this PhD thesis, we focus on some issues about the maximum number of rational points on a singular curve defined over a finite field. This topic has been extensively discussed in the smooth case since Weil's works. We have split our study into two stages. First, we provide a construction of singular curves of prescribed genera and base field and with many rational points: such a construction, based on some notions and tools from algebraic geometry and commutative algebra, yields a method for constructing, given a smooth curve X, another curve X' with singularities, such that X is the normalization of X', and the added singularities are rational on the base field and with the prescribed singularity degree. Then, using a Euclidian approach, we prove a new bound for the number of closed points of degree two on a smooth curve defined over a finite field.Combining these two a priori independent results, we can study the following question: when is the Aubry-Perret bound (the analogue of the Weil bound in the singular case) reached? This leads naturally to the study of the properties of maximal curves and, when the cardinality of the base field is a square, to the analysis of the spectrum of their genera

Au début du XXème siècle, Poincaré puis Birkhoff ont été amenés, lors de leur recherche sur le problème restreint des trois corps, à étudier les courbes invariantes par une transformation d’une surface préservant l’aire. Cinquante ans plus tard, les théorèmes KAM démontrent la persistance de courbes invariantes après perturbation en topologie de classe k plus grande ou égale à trois. On peut alors se demander ce que devient ce résultat en topologie de classe moins élevée. Par ailleurs, l’étude des dynamiques C1-génériques connaît de nombreux développements, grâce notamment au Connecting Lemma. Par exemple, Bonatti et Crovisier on démontré qu’un difféomorphisme C1-générique d’une telle surface possède un ensemble dense de points dont l’orbite sort de tout compact. Ces deux résultats permettent de penser qu’un difféomorphisme C1-générique d’une surface n’admet pas de courbes fermées simples invariantes. C’est ce que nous démontrons dans ce travail. On obtient assez facilement, en utilisant le Connecting Lemma ainsi que les propriétés topologiques de l’anneau, qu’un difféomorphisme C1-générique de l’anneau possède des points périodiques sur toute courbe fermée simple invariante. Cela se généralise à une surface quelconque en utilisant une famille dénombrable d’anneau constituant une base de voisinages d’une courbe fermée simple quelconque. La construction d’une telle famille d’anneaux est le principal résultat du premier chapitre. Il s’agit alors de supprimer les points périodiques sur les courbes invariantes. Dans un premier temps, nous nous inspirerons d’un argument qu’Herman utilise dans le cadre de courbes invariantes par les twists de l’anneau pour montrer que tous les points périodiques ne peuvent être hyperboliques. Ensuite, nous définissons une propriété, la propriété G, qui si elle est vérifiée par un difféomorphisme symplectique et l’un de ses points périodiques elliptiques, empêche que ce point périodique appartienne à une courbe invariante. En montrant que cette propriété est vérifiée par un difféomorphisme C1-générique et tous ses points périodiques elliptiques, nous obtenons le résultat souhaité. Dans le quatrième chapitre, nous nous employons à définir de façon rigoureuse la notion de fonction génératrice qui est l’outil classique pour perturber des difféomorphismes symplectiques
Poincaré and Birkhoff were led, during their research on the restricted problem of three bodies, to study invariant curves under an area preserving map of a surface. Fifty years later, theorems KAM show the persistance of invariant curves in topology Ck with k greater or equal to three. What becomes this result in topology class lower. Moreover, the study of C1-generic dynamics knows many developments particulary through the Connecting Lemma. For example, Bonatti and Crovisier showed a C1-generic symplectic diffeomorphism of a compact surface is transitive. What they have adapted with M.-C. Arnaud to a non compact surface : a C1-generic symplectic diffeomorphism of a non compact surface has a dense set of points whose orbit leaves every compacts. These two results suggest a such application has not an invariant simple closed curve. The proof of this result is the aim of this work. We obtain, using the Connecting Lemma, a C1-generic symplectic diffeomorphism has periodic points on all the invariant curves. Then, deleting the periodic points from the invariant curves is the challenge. At first, we use an argument that Herman used in the context of curves invariant by a twist of annulus, to show that all periodic points cannot be hyperbolic. Then, we define a property, the property G, which, if it is verified by a symplectic diffeomorphism and one of its periodic elliptic points, prevents this periodic point belongs to an invariant curve. By showing that property is verified by a C1-generic symplectic diffeomorphism, we obtain the desired result. In the fourth chapter, we explain how to pertube a symplectic diffeomorphism with generating functions