Academic literature on the topic 'Théorie géométrique et ergodique de groupes'

Résumé Les conceptions de Poincaré en matière de physique mathématique demandent à être mises en relation avec son travail mathématique. Ce qu’on a appelé son « conventionnalisme géométrique » est étroitement lié à ses premiers travaux mathématiques et à son intérêt pour la géométrie de Plücker et la théorie des groupes continus de Lie. Sa conception profonde de l’espace et son insertion dans un environnement post-kantien concourent à composer les traits d’une doctrine dont on a souvent sous-estimé l’originalité, dans ses différences avec celle de Riemann.

Cette thèse explore divers sujets liés à la géométrie hyperbolique et à la dynamique de groupes, dans le but d'étudier l'interaction entre la géométrie et la théorie de groupes. Elle couvre un large éventail de disciplines mathématiques, telles que la géométrie convexe, l'analyse stochastique, la théorie ergodiques et géométriques de groupes, et la topologie en basses dimensions, et cætera. Comme résultats de recherche, la géométrie hyperbolique des corps convexes en dimension infinie est examinée en profondeur, et des tentatives sont faites pour développer la géométrie intégrale en dimension infinie d'un point de vue de l'analyse stochastique. L'étude des gros groupes de difféotopies, un sujet d'actualité en topologie en basses dimensions et en théorie géométrique de groupes, est entreprise avec une détermination complète de leur propriété de point fixe sur les compacts. La thèse étudie la connexité du bord de Gromov des graphes de courbes fins, un outil combinatoire utilisé dans l'étude des groupes d'homéomorphismes des surfaces de type fini. Enfin, la thèse clarifie également certains théorèmes folkloriques concernant les espaces hyperboliques au sens de Gromov et la dynamique des groupes moyennables sur ces espaces
This thesis explores diverse topics related to hyperbolic geometry and group dynamics, aiming to investigate the interplay between geometry and group theory. It covers a wide range of mathematical disciplines, such as convex geometry, stochastic analysis, ergodic and geometric group theory, and low-dimensional topology, etc. As research outcomes, the hyperbolic geometry of infinite-dimensional convex bodies is thoroughly examined, and attempts are made to develop integral geometry in infinite dimensions from a perspective of stochastic analysis. The study of big mapping class groups, a current focus in low-dimensional topology and geometric group theory, is undertaken with a complete determination of their fixed-point on compacta property. The thesis also clarifies certain folklore theorems regarding the Gromov hyperbolic spaces and the dynamics of amenable groups on them. Last but not the least, the thesis studies the connectivity of the Gromov boundary of fine curve graphs, a combinatorial tool employed in the study of the homeomorphism groups of surfaces of finite type

Cette thèse porte sur l’étude de certaines propriétés dynamiques de variétés M = X/ Γ à courbure sectionnelle négative pincée, où X est une variété de Hadamard et Γ = π 1(M) agit par isométries sur X. Nous considérons le cas de certains groupes de Schottky Γ de type divergent, munis d’une mesure de Bowen-Margulis mΓ 􀀀 infinie sur le fibré unitaire tangent T1X/ Γ. Sous ces hypothèses, nous définissons tout d’abord un espace symbolique permettant de coder l’action du groupe Γ sur le bord de X et celle du flot géodésique (gt)tϵR sur T1X/Γ. Ces codages nous permettent dans un premier temps de préciser la vitesse de mélange du flot géodésique ; nous montrons ensuite comment obtenir une minoration du nombre NG (R) de géodésiques fermées de longueur ≤ R contenues dans la variété M; nous donnons enfin un équivalent de la fonction orbitale # { y ϵ Γ | d(o, y o) ≤ R} quand R tend vers l’infini
We study here some dynamical properties of manifolds M = X/ Γ, endowed with a pinched negative sectional curvature, where X is a Hadamard manifold and Γ = π 1(M) acts by isometries on X. More precisely, we consider divergent Schottky groups Γ whose Bowen-Margulis measure mΓ 􀀀 is infinite on the unit tangent bundle T1X/ Γ. We first define a coding of the action of Γ on the boundary of X, which will be useful to build a symbolic space associated with the geodesic flow. Then we precise the rate of mixing of the geodesic flow (gt)tϵR on T1X/ Γ In a second part, we study the number of closed geodesics on M with length ≤ R. Finally, we give an asymptotic for the orbital counting function # { y ϵ Γ | d(o, y o) ≤ R} when R goes to infinity

Dans cette thèse, on s'intéresse à la théorie mesurée des groupes, à l'entropie sofique et aux algèbres d'opérateurs ; plus précisément, on étudie les actions des groupes sur des espaces de probabilités, des propriétés fondamentales de leur entropie sofique (pour des groupes discrets), leurs groupes pleins (pour des groupes Polonais), et les algèbres de von Neumann et leurs sous-algèbres moyennables (pour des groupes à caractère hyperbolique et des réseaux de groupes de Lie). Cette thèse est constituée de trois parties.Dans une première partie j'étudie l'entropie sofique des actions profinies. L'entropie sofique est un invariant des actions mesurées des groupes sofiques défini par L. Bowen qui généralise la notion d'entropie introduite par Kolmogorov. La définition d'entropie sofique nécessite de fixer une approximation sofique du groupe. Nous montrons que l'entropie sofique des actions profinies est effectivement dépendante de l'approximation sofique choisie dans le cas des groupes libres et certains réseaux de groupes de Lie.La deuxième partie est un travail en collaboration avec François Le Maître. Elle est constituée d'un article prépublié dans lequel nous généralisons la notion de groupe plein aux actions préservant une mesure de probabilité des groupes polonais, et en particulier, des groupes localement compacts. On définit une topologie polonaise sur ces groupes pleins et on étudie leurs propriétés topologiques fondamentales, notamment leur rang topologique et la densité des éléments apériodiques.La troisième partie est un travail en collaboration avec Rémi Boutonnet. Elle est constituée de deux articles prépubliés dans lesquels nous considérons la question de la maximalité de la sous-algèbre de von Neumann d'un sous-groupe moyennable maximal, dans celle du groupe ambiant. Nous résolvons la question dans le cas des groupes à caractère hyperbolique en utilisant les techniques de Sorin Popa. Puis, nous introduisons un critère dynamique à la Furstenberg, permettant de résoudre la question pour des sous-groupes moyennables de réseaux des groupes de Lie en rang supérieur
This dissertation is about measured group theory, sofic entropy and operator algebras. More precisely, we will study actions of groups on probability spaces, some fundamental properties of their sofic entropy (for countable groups), their full groups (for Polish groups) and the amenable subalgebras of von Neumann algebras associated with hyperbolic groups and lattices of Lie groups. This dissertation is composed of three parts.The first part is devoted to the study of sofic entropy of profinite actions. Sofic entropy is an invariant for actions of sofic groups defined by L. Bowen that generalize Kolmogorov's entropy. The definition of sofic entropy makes use of a fixed sofic approximation of the group. We will show that the sofic entropy of profinite actions does depend on the chosen sofic approximation for free groups and some lattices of Lie groups. The second part is based on a joint work with François Le Maître. The content of this part is based on a prepublication in which we generalize the notion of full group to probability measure preserving actions of Polish groups, and in particular, of locally compact groups. We define a Polish topology on these full groups and we study their basic topological properties, such as the topological rank and the density of aperiodic elements. The third part is based on a joint work with Rémi Boutonnet. The content of this part is based on two prepublications in which we try to understand when the von Neumann algebra of a maximal amenable subgroup of a countable group is itself maximal amenable. We solve the question for hyperbolic and relatively hyperbolic groups using techniques due to Popa. With different techniques, we will then present a dynamical criterion which allow us to answer the question for some amenable subgroups of lattices of Lie groups of higher rank

Dans cette thèse, nous étudions d'abord la notion de discrépance, qui mesure le taux de convergence des moyennes ergodiques. Nous démontrons des estimations pour la discrépance d'actions sur la sphère, le tore et le shift de Bernoulli, ainsi que pour des actions de groupes localement compacts ; nous démontrons une inégalité qui permet de situer la discrépance dans le cas des actions de groupes dans le cadre général des méthodes de Monte-Carlo. Nous considérons ensuite l'action du groupe libre sur le bord de l'arbre de Cayley qui lui est associé. Nous démontrons un théorème ergodique pour certaines moyennes pondérées pour cette action, qui ne préserve que la classe des mesures naturelles sur ce bord. Nous retrouvons ainsi l'irréductibilité de la représentation unitaire associée à l'action. La troisième thématique concerne la propriété de Howe-Moore. Les groupes qui la vérifient ont la propriété que toutes leurs actions ergodiques sont automatiquement mélangeantes, mais cette propriété n'est pas stable par produit direct. Nous proposons une généralisation de la propriété de Howe-Moore, qui passe par une axiomatisation du phénomène de Mautner, qui permet d'étudier le cas des produits. Enfin, nous montrons que tous les réseaux héritent de la propriété de décroissance rapide radiale, et nous donnons l'exemple explicite d'un groupe discret, muni d'une fonction de longueur naturelle, quasi-isométrique à une longueur des mots, qui possède la propriété RRD, mais pas la propriété RD
In this thesis, we first study the notion of discrepance, which measures the rate of convergence of ergodic means. We prove estimations for the discrepancy of actions on the sphere, the torus and the Bernoulli shift, as well as for actions of locally compact groups. Moreover, we prove an inequality that allows us to locate these discrepancies in the larger framework of the Monte-Carlo method. We consider the action of the free group on the boundary of its Cayley tree. We prove a convergence theorem of some means associated with this action, that only preserves the class of the natural measures on this boundary. We recover the previously known result that the unitary representation associated to it is irreducible. We then investigate the Howe-Moore property. Groups that satisfy it have the property that whenever they act ergodically on some probability space, then the action is mixing ; unfortunately, this property is not stable by direct products. We formulate a generalization of the Howe-Moore property, relying on an axiomatization of the Mautner phenomenon, that allows us to treat the case of products. Finally, we prove that every lattice inherits the radial rapid decay property, and give an explicit example of a discrete group, endowed with a natural length function which is quasi-isometric to a word-length, that has RRD but doesn't have RD

Cette thèse est consacrée à l'inégalité de Haagerup pour les groupes discrets. Cette inégalité a été introduite par U. Haagerup et utilisée par A. Connes et H. Moscovici pour démontrer la conjecture de Novikov dans le cas des groupes hyperboliques. Dans une première partie, nous caractérisons les groupes moyennables discrets (non nécessairement fini) qui vérifient l'inégalité de Haagerup. Ce sont ceux qui sont à croissance polynômiale pour une longueur propre. Ils son limite inductive d'une suite croissante de groupe de type fini, le premier étant nilpotent et d'indice fini dans les autres. Dans une seconde partie, nous introduisons des méthodes géométriques permettant de démontrer l'inégalité de Haagerup dans le cas des groupes agissant librement par isométries sur un espace métrique X. Grâce à des opérations de pincement et de changement de faces tétraédiques sur les triangles de X, nous ramenons la vérification de l'inégalité de Haagerup à des triangles d'un type particulier, qui s'avèrent être dégénérés dans de nombreux cas. Notre méthode de nature géométrique permet de démontrer l'inégalité de Haagerup pour les groupes agissant sur des immeubles de type Ãi1 x. . . X Ãik où ij [appartient à] {1, 2}. Mais elle s'applique aussi à tout immeuble euclidien et permet de réduire la vérification de l'inégalité de Haagerup à une classe particulière de triangles que nous caractérisons dans certains cas.

Le sujet de cette thèse est l'étude de la dynamique des endomorphismes dilatants de l'intervalle d'un point de vue ergodique. Dans la première partie utilisant les métriques projectives introduites par G. Birkhoff, dans le cadre des endomorphismes dilatants markoviens, nous exhibons une mesure de probabilité invariante absolument continue dont les propriétés métriques découlent de la construction (mesure de Gibbs exponentiellement mélangeante et vérifiant un principe variationnel). Dans le deuxième partie, nous étudions des perturbations aléatoires de ces mêmes endomorphismes. Sous des hypothèses de type dilatation en moyenne, nous montrons l'existence d'une mesure de probabilité invariante pour le processus stochastique associé. Si de plus, nous faisons l'hypothèse d'indépendance des perturbations, nous établissons des propriétés de grandes déviations de niveau 2 (therminologie thermodynamique) ; ces propriétés induisent en particulier des thèorèmes limites pour les lois de probabilité des temps d'entrée dans des ensembles rares. Enfin, dans la troisième partie, sous des hypothèses de distorsion borne, nous montrons que les endomorphismes de l'intervalle admettent des probabilités invariantes absolument continues et de densité essentiellement bornée relativement à la mesure de Lebesgue.

Cette thèse comporte deux parties dans lesquelles les mesures de probabilités invariantes sur les solénoïdes jouent un rôle majeur. Les solénoïdes (c’est-à-dire les groupes abéliens compacts connexes de dimension topologique finie) sont des généralisations naturelles des tores usuels. Dans la première partie, nous étudions les groupes de transformations affines de solénoïdes ; nous obtenons une condition nécessaire et suffisante pour que l’action d’un tel groupe possède un trou spectral quand le solénoïde est muni de la mesure de Haar. Dans la deuxième partie nous étudions les traces et caractères des groupes algébriques sur le corps des nombres rationnels. Les traces d’un groupe dénombrable sont des fonctions de type positif sur le groupe qui sont invariantes par conjugaison. Les caractères (c’est-à-dire les traces qui sont indécomposables dans un certain sens) sont des généralisations des caractères usuels des représentations de dimension finie et interviennent en théorie des algèbres d’opérateurs ainsi que dans l’étude des sous-groupes distingués aléatoires. Nous commençons par classifier ces caractères dans le cas des groupes unipotents. Puis nous étendons cette classification au cas des groupes algébriques généraux, à l’aide de l’étude du cas unipotent et de la détermination des mesures invariantes sur les solénoïdes adéliques
This thesis is divided in two parts in which the invariant probability measures on solenoids play a major role. The solenoids (that is a compact finite dimensional connected abelian group) are a natural generalization of the usual torus. In the first part, we will study the action of groups on a solenoid by affine transformation; we obtain a necessary and sufficient condition for the action of such a group to have the spectral gap property when the solenoid is provided with the Haar measure. In the second part we will study the trace and characters of algebraic groups over the field of rational numbers. The trace of a countable group are function of positive type on the group which are invariant under conjugation. The characters (that are the indecomposable traces in a certain way) are generalization of the usual characters of finite dimensional representations and intervene in the theory of operator algebra and in the study of invariant random subgroups. We begin with the classification of this characters in the case of unipotent groups. Then we extend this classification to general algebraic groups, using the study of the unipotent case et the establishment of the invariant measure on adelic solenoids

Dans les deux premiers chapitres on expose des notions élémentaires concernant les algèbres de Lie nilpotentes et les opérateurs différentiels. Une vue d'ensemble des résultats de Fujiwara, Corwin-Greenleaf & al. Liées à la conjecture de Duflo est donnée. La quantification de Kontsevich est expliquée en détails. Sa généralisation aux cas des variétés coisotropes, due à Cattaneo-Felder, est également exposée et la notion de l'algèbre de réduction y est définie. Dans le troisième chapitre, en considérant un caractère différent de zéro d'une sous-algèbre fixe d'une algèbre de Lie, nous démontrons un théorème indiquant que l'algèbre de réduction de l'espace affine est isomorphe à une déformation de l'algèbre des opérateurs différentiels invariants. Une formule explicite de cet isomorphisme est donnée. D'autres algèbres de réduction sont examinées, les relations entre elles et leurs spécialisations sont décrites en détails. Dans le quatrième chapitre, nous calculons des caractères de l'algèbre de réduction grâce aux diagrammes de triquantification et nous donnons une formule explicite pour ces caractères. Par double récurrence nous prouvons que ce caractère est égal au caractère construit avec la distribution propre de Penney. Finalement on calcule en détail toutes les formules introduites dans le texte pour une algèbre de Lie nilpotente de dimension 5. On montre que la formule du caractère fournit un isomorphisme explicite pour la conjecture de Duflo faisant intervenir l'exponentielle d'un opérateur différentiel de degré 3 à coefficients rationnels
The first two chapters review the necessary notions concerning nilpotent Lie algebras, and invariant differential operators. An overview of the existing results of Fujiwara, Corwin-Greenleaf & al. Related to the Duflo conjecture is given in details. The Kontsevich formulation of Deformation Quantization is also reviewed. The generalization for coisotropic submanifolds due to Cattaneo-Felder is also covered and the notion of the reduction algebra is defined. In the third chapter considering a nonzero character of a fixed Lie subalgebra of a general Lie algebra, we prove a Theorem stating that the reduction algebra of the affine space is isomorphic to a deformation of the algebra of invariant differential operators. An explicit formula of this isomorphism is given. Other reduction algebras are examined, and the relations between them and their specializations is described in details. In the forth chapter we calculate characters of the reduction algebra and its specialization thanks to triquantization diagrams and we give an explicit formula for this character. Using double induction, we prove that this character equals the character constructed with the Penney eigendistribution Finally we compute in full detail all the formulas introduced in the text for a 5-dimensional nilpotent Lie algebra. It is shown that the character formula obtained gives an isomorphism between reduction algebras containing the exponential of a differential operator of degree 3 with rational coefficients

Deux sujets sont abordés : les G-graphes, ou l'aspect géométrique des groupes et HLC, ou l'aspect géométrique des images appliqué à la compression. Introduits par Alain Bretto et Alain Faisant en 2003, les G-graphes sont d'abord conçus pour l'étude du problème d'isomorphisme de graphe et sont proches des graphes de Cayley. Nous montrons d'abord comment les G-graphes sont construits et comment ils permettent de visualiser des informations liées à leur groupe d'origine. Un algorithme de construction est donné et des propositions sont mises en place pour permettre de déterminer si un graphe est un G-graphe. Deux théorèmes caractérisant les G-graphes bipartis et établissant un lien avec les graphes de Cayley sont donnés ainsi qu'un outil automatique pour la détection des G-graphes. Il en découle une liste des graphes usuels étant des G-graphes (les graphes de Heawood, de Möbius-Kantor et de Dyck, par exemple). La classification des graphes symétriques est aussi abordée. Avec les G-graphes le Foster Census peut être étendu de l'ordre 768 à l'ordre 1322. Des tables de graphes cubiques et quintiques, symétriques ou semisymétriques sont construites. Nous introduisons une représentation géométrique des images, basée sur des hypergraphes de rectangle. Cette représentation donne un algorithme de compression sans pertes très efficace sur les images synthétiques et appelé HLC. Nous montrons que HLC se combine efficacement avec un algorithme de compression de données génériques, en l'occurrence PPMd, choix que nous justifions par une étude empirique. Nous donnons des résultats expérimentaux et nous généralisons la technique aux images 3D et à la compression presque sans pertes
There are two main subject in this thesis : the G-graphs, or the geometrical aspect of the groups, and HLC, or the geometrical aspect of the images applied to the compression. The G-graphs are introduced by Alain Bretto and Alain Faisant in 2003 for studying the group isomorphism problem. But many others applications are possible. We first study the construction of the G-graphs and how groups informations can be visualised on the graph. We gives an algorithm for constructing G-graphs and some theorems for solving the G-graph recognition problem and for the characterisation of bipartite G-graphs. We presents an automatic tool for the recognition of G-graphs and we construct a list of common graphs being G-graphs (Heawood's, Möbius-Kantor's and Dyck's graphs, etc. ). We also work on the classification of symmetric graphs. With G-graphs it is possible to extend the Foster Census, the current reference for cubic symmetric graphs, from the order 768 to the order 1322. We establish some lists of cubic and guintic, symmetric and semisymmetric graphs. Finally we introduce a geometrical representation of the pictures based on rectangle hypergraph. This representation leads ton a lossless compression scheme very efficient on synthetic pictures and named HLC. We show that HLC can be combined with a generic data compression algorithm : PPMd. The choice of PPMd is motivated by an experimental study. We give some experimental results showing the efficiency of HLC+PPMd and we generalise HLC for near-lossless compression and 3D pictures