Dissertations / Theses on the topic 'Systèmes stochastiques de fonctions itérées'

Les systèmes de fonctions itérées (IFS) constituent des modèles fractals possédant des propriétés multiéchelles susceptibles de décrire de nombreux processus complexes. Un modèle d'IFS 1D minimal est utilisé pour en comprenbdre et en maîtriser les mécanismes. Notre étude a permis la modélisation de signaux avec un contrôle des moments géométriques, des coefficients de Fourier complexes ou réels, de la dimension fractale et de la continuité. Cette analyse systématique a ensuite été étendue à des modèles basiques d'IFS en 2 et 3 dimensions. Ces modèles ont également permis de décrire les modifications des propriétés de l'attracteur lorsqu'il est projeté. Toutes les propriétés démontrées dans cette étude améliorent la compréhension et les possibilités de contrôle de ces modèles d'IFS. Bien que s'agissant de modèles minimaux, ces modèles fractals montrent d'énormes potentialités d'applications dans des domaines très variés en signal image
Résumé en anglais

Nous montrons dans cette thèse comment la caractérisation des propriétés fractales d'un signal peut être utilisée à des fins de modélisation, segmentation et synthèse. Le principe consiste à décrire comment une représentation du signal varie d'une échelle à une autre. L'idée la plus naturelle dans notre cadre est de considérer des opérateurs qui agissent sur les coefficients d'ondelette à des résolutions successives. Dans certains cas particuliers, nous montrons que ce programme revient à représenter un signal donné comme l'attracteur d'un système de fonctions itérées (ifs). Cela nous conduit naturellement à généraliser cette notion pour obtenir deux classes plus vastes de fonctions, que nous avons appelées GIFS et FAA. Nous obtenons une caractérisation de l'ensemble des fonctions de Hölder associées à des fonctions continues et une méthode non paramétrique pour estimer la fonction de Hölder d'un signal. Nous établissons aussi un formalisme multi fractal pour les FAA. Une première application concerne l'analyse de la turbulence. Nous développons un modèle compact qui permet de retrouver les principales caractéristiques multi fractales des signaux de turbulence. Une deuxième application est la modélisation de signaux de parole qui nous permet d'effectuer des synthèses de bonne qualité et qui pourrait fournir une nouvelle approche pour la caractérisation du locuteur.

L'objet de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique des systèmes de fonctions itérées (IFS). Dans un premier chapitre, nous présenterons les notions liées à l'étude de tels systèmes et nous rappellerons différentes applications possibles des IFS telles que les marches aléatoires sur des graphes ou des pavages apériodiques, les systèmes dynamiques aléatoires, la classification de protéines ou encore les mesures quantiques répétées. Nous nous attarderons sur deux autres applications : les chaînes de Markov d'ordre infini et d'ordre variable. Nous donnerons aussi les principaux résultats de la littérature concernant l'étude des mesures invariantes pour des IFS ainsi que ceux pour le calcul de la dimension de Hausdorff. Le deuxième chapitre sera consacré à l'étude d'une classe d'IFS composés de contractions sur des intervalles réels fermés dont les images se chevauchent au plus en un point et telles que les probabilités de transition sont constantes par morceaux. Nous donnerons un critère pour l'existence et pour l'unicité d'une mesure invariante pour l'IFS ainsi que pour la stabilité asymptotique en termes de bornes sur les probabilités de transition. De plus, quand il existe une unique mesure invariante et sous quelques hypothèses techniques supplémentaires, on peut montrer que la mesure invariante admet une dimension de Hausdorff exacte qui est égale au rapport de l'entropie sur l'exposant de Lyapunov. Ce résultat étend la formule, établie dans la littérature pour des probabilités de transition continues, au cas considéré ici des probabilités de transition constantes par morceaux. Le dernier chapitre de cette thèse est, quant à lui, consacré à un cas particulier d'IFS : les chaînes de Markov de longueur variable (VLMC). On démontrera que sous une condition de non-nullité faible et de continuité pour la distance ultramétrique des probabilités de transitions, elles admettent une unique mesure invariante qui est attractive pour la convergence faible
The purpose of this thesis is the study of the asymptotic behaviour of iterated function systems (IFS). In a first part, we will introduce the notions related to the study of such systems and we will remind different applications of IFS such as random walks on graphs or aperiodic tilings, random dynamical systems, proteins classification or else $q$-repeated measures. We will focus on two other applications : the chains of infinite order and the variable length Markov chains. We will give the main results in the literature concerning the study of invariant measures for IFS and those for the calculus of the Hausdorff dimension. The second part will be dedicated to the study of a class of iterated function systems (IFSs) with non-overlapping or just-touching contractions on closed real intervals and adapted piecewise constant transition probabilities. We give criteria for the existence and the uniqueness of an invariant probability measure for the IFSs and for the asymptotic stability of the system in terms of bounds of transition probabilities. Additionally, in case there exists a unique invariant measure and under some technical assumptions, we obtain its exact Hausdorff dimension as the ratio of the entropy over the Lyapunov exponent. This result extends the formula, established in the literature for continuous transition probabilities, to the case considered here of piecewise constant probabilities. The last part is dedicated to a special case of IFS : Variable Length Markov Chains (VLMC). We will show that under a weak non-nullness condition and continuity for the ultrametric distance of the transition probabilities, they admit a unique invariant measure which is attractive for the weak convergence

On étudie la stabilité et la stabilisation de systèmes différentiels stochastiques par des méthodes de type Lyapunov développées par Khasminskii ou Arnold. La première partie est consacrée à l'asymptotique stabilisation en probabilité de systèmes différentiels stochastiques. On étudie la régulation par la sortie et la stabilisation par des retours d'état localement bornés de systèmes différentiels stochastiques contrôlés par la technique des fonctions de Lyapunov contrôlées généralisées. D'autre part, des conditions nécessaires et suffisantes sont établies pour asymptotiquement stabiliser en probabilité des systèmes différentiels stochastiques contrôlées par des retours d'état dépendants de la sortie. Dans le cas de systèmes différentiels stochastiques contrôlés linéaires, on obtient un retour d'état linéaire dépendant de la sortie. Une classe de systèmes différentiels stochastiques contrôlés avec sortie à structure triangulaire est globalement asymptotiquement stabilisée en probabilité par un intégrateur. Dans la seconde partie, on stabilise exponentiellement en moyenne quadratique des systèmes différentiels stochastiques à grande échelle, écrits sous forme hiérarchique. De plus, plusieurs sortes de systèmes différentiels stochastiques composites sont stabilisés, dont des systèmes partiellement linéaires avec délais ; et des systèmes différentiels stochastiques en cascade. Le but de la troisième partie est d'étudier plusieurs sortes de systèmes différentiels stochastiques contrôlés et de déterminer des conditions suffisantes d'existence d'une fonction de Lyapunov contrôlée. La quatrième partie est consacrée à des systèmes différentiels stochastiques dirigés par une infinité de processus de Wiener. Des techniques de type Lyapunov sont obtenues pour la stabilité exponentielle en moyenne quadratique et l'asymptotique stabilité en probabilité. Un problème de filtrage non linéaire en dimension infinie est traité. Nous établissons les équations de Zakai et de Kushner-Stratonovich associées à ce problème de filtrage. De plus, dans le cas non corrélé, une forme robuste de l'équation de Zakai est obtenue
In this study we study stability and stabilization of stochastic differential systems by using Lyapunov techniques developed by Khasminskii or Arnold. The first part deals with asymptotic stabilization in probability of stochastic differential systems. The output regulation and stabilization of nonlinear control stochastic systems is studied using locally bounded state feedback. Besides, necessary and sufficient conditions are established to asymptotically stabilize in probability controlled stochastic systems by means of output feedback laws. In the linear case, a linear output feedback law is used. For a class of stochastic differential systems whose output have a triangular structure, sufficient conditions are obtained to asymptotically stabilize in probability the system by means of a smooth output feedback integrator. In the second part, large-scale stochastic differential systems in hierarchical form are exponentially stabilized in mean square if only each of the subsustems is exponentially stable in mean square. Furthermore, composite stochastic differential systems with time delays, and cascade systems are stabilized. The goal of the third part is to compute sufficient conditions for a control of Lyapunov function associated with a class of controlled stochastic differential systems. The fourth part deals with stochastic differential systems driven bay an infinite dimensional Brownian motion. Some Lyapunov techniques are obtained to exponentially stabilize in mean square or asymptotically stabilize in probability this class of systems. Moreover, a nonlinear filtering problem with correlated noises, bounded coefficients and a signal evolving in an infinite dimensional space is studied. We derive the Kushner-Stratonovich and the Zakai equations

Nous nous intéressons à l'étude des propriétés théoriques des équations récurrentes stochastiques (SRE) et de leurs applications en finance. Ces modèles sont couramment utilisés en économétrie, y compris en économétrie de la finance, pour styliser la dynamique d'une variété de processus tels que la volatilité des rendements financiers. Cependant, la structure de probabilité ainsi que les propriétés statistiques de ces modèles sont encore mal connues, particulièrement lorsque le modèle est considéré en dimension infinie ou lorsqu'il est généré par un processus non indépendant. Ces deux caractéristiques entraînent de formidables difficultés à l'étude théorique de ces modèles. Dans ces contextes, nous nous intéressons à l'existence de solutions stationnaires, ainsi qu'aux propriétés statistiques et probabilistes de ces solutions.Nous établissons de nouvelles propriétés sur la trajectoire de la solution stationnaire des SREs que nous exploitons dans l'étude des propriétés asymptotiques de l'estimateur du quasi-maximum de vraisemblance (QMLE) des modèles de volatilité conditionnelle de type GARCH. En particulier, nous avons étudié la stationnarité et l'inférence statistique des modèles GARCH(p,q) semi-forts dans lesquels le processus d'innovation n'est pas nécessairement indépendant. Nous établissons la consistance du QMLE des GARCH (p,q) semi-forts sans hypothèses d'existence de moment, couramment supposée pour ces modèles, sur la distribution stationnaire. De même, nous nous sommes intéressés aux modèles GARCH à deux facteurs (GARCH-MIDAS); un facteur de volatilité à long terme et un autre à court terme. Ces récents modèles introduits par Engle et al. (2013) ont la particularité d'avoir des solutions stationnaires avec des distributions à queue épaisse. Ces modèles sont maintenant fréquemment utilisés en économétrie, cependant, leurs propriétés statistiques n'ont pas reçu beaucoup d'attention jusqu'à présent. Nous montrons la consistance et la normalité asymptotique du QMLE des modèles GARCH-MIDAS et nous proposons différentes procédures de test pour évaluer la présence de volatilité à long terme dans ces modèles. Nous illustrons nos résultats avec des simulations et des applications sur des données financières réelles.Enfin, nous étendons le résultat de Kesten (1975) sur le taux de croissance des séquences additives aux processus superadditifs. Nous déduisons de ce résultat des généralisations de la propriété de contraction des matrices aléatoires aux produits d'opérateurs stochastiques. Nous utilisons ces résultats pour établir des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions stationnaires du modèle affine à coefficients positifs des SREs dans l'espace des fonctions continues. Cette classe de modèles regroupe la plupart des modèles de volatilité conditionnelle, y compris les GARCH fonctionnels
We are interested in the theoretical properties of Stochastic Recurrent Equations (SRE) and their applications in finance. These models are widely used in econometrics, including financial econometrics, to explain the dynamics of various processes such as the volatility of financial returns. However, the probability structure and statistical properties of these models are still not well understood, especially when the model is considered in infinite dimensions or driven by non-independent processes. These two features lead to significant difficulties in the theoretical study of these models. In this context, we aim to explore the existence of stationary solutions and the statistical and probabilistic properties of these solutions.We establish new properties on the trajectory of the stationary solution of SREs, which we use to study the asymptotic properties of the quasi-maximum likelihood estimator (QMLE) of GARCH-type (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) conditional volatility models. In particular, we study the stationarity and statistical inference of semi-strong GARCH(p,q) models where the innovation process is not necessarily independent. We establish the consistency of the QMLE of semi-strong GARCHs without assuming the commonly used condition that the stationary distribution admits a small-order moment. In addition, we are interested in the two-factor volatility GARCH models (GARCH-MIDAS); a long-run, and a short-run volatility. These models were recently introduced by Engle et al. (2013) and have the particularity to admit stationary solutions with heavy-tailed distributions. These models are now widely used but their statistical properties have not received much attention. We show the consistency and asymptotic normality of the QMLE of the GARCH-MIDAS models and provide various test procedures to evaluate the presence of long-run volatility in these models. We also illustrate our results with simulations and applications to real financial data.Finally, we extend a result of Kesten (1975) on the growth rate of additive sequences to superadditive processes. From this result, we derive generalizations of the contraction property of random matrices to products of stochastic operators. We use these results to establish necessary and sufficient conditions for the existence of stationary solutions of the affine case with positive coefficients of SREs in the space of continuous functions. This class of models includes most conditional volatility models, including functional GARCHs

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nousdonnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbrespréalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie,nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associées à un système des fonctions itérées. Nouscomparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS desalgèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relationsentre ces états et les mesures trouvée dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour lessystèmes de fonctions itérées.

La première partie est un travail de synthèse sur les transformations dilatantes de l'intervalle ayant une partition finie ou dénombrable: existence de mesures invariantes absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, théorèmes limites central et local, vitesse de convergence. On précise aussi les théorèmes limites obtenus par des théorèmes de grands écarts. On donne des conditions d'annulation de la variance basées sur des points périodiques de la transformation. Dans la seconde partie, on étudie le comportement asymptotique du n-ième reste t#nx et des variables aléatoires a#n(x) générées par l'algorithme de Jacobi-Perron quand x est uniformément reparti dans 0,1#d. On montre que t#nx converge en loi vers l'unique mesure de probabilité invariante par t, absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et que la densité est strictement positive, analytique sur chacun des ensembles 0x##(#1#). . . X##(#d#)1, est une permutation. On montre que les variables aléatoires a#n(x) sont presque indépendantes et identiquement distribuées de loi de type de Gauchy: en particulier leurs sommes donnent lieu à des théorèmes de convergence vers des lois stables. Dans la troisième partie, on étudie les approximations diophantiennes obtenues par l'algorithme de Jacobi-Perron ainsi que par les algorithmes de Brun et de Jacobi-Perron ordonné. On montre certaines inégalités entre les exposants de Lyapunov pour tous ces algorithmes, elles donnent alors certaines vitesses de convergence. On compare ensuite des algorithmes

Dans cette thèse, j’étudie quelques aspects des processus à valeurs dans des espaces de matrices ainsi que leurs processus des valeurs propres en dimensions finie et infinie. J’ai recours à des structures algébriques connues sous le nom de systèmes de racines et qui définissent une diffusion à valeurs dans un cône généralisant les processus des valeurs propres de certaines diffusions matricielles. Ensuite, je définit et étudie l’analogue en dimension infinie du processus de Jacobi matriciel hermitien. La dernière partie est consacrée à l’étude d’un problème de grandes déviations pour des statistiques de processus de Jacobi en dimension un.

On étudie quelques aspects de certaines diffusions matricielles pour lesquelles on utilise des outils d'analyse harmonique pour répondre à des questions de nature probabiliste : on commence par le processus de Laguerre, puis on s'intéresse au processus de Dunkl radial qui généralise le processus des valeurs propres de ces diffusions. On regarde ensuite le processus de Jacobi dans le cas où la taille de la matrice tend vers l'infini, ceci nous plonge dans le monde des probabilités libres. Le dernier chapitre est consacré à la résolution d'un problème de grandes déviations pour des statistiques de processus de Jacobi univariés.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux contraintes résultants de l'intégration d'un module de diagnostic de pannes et d'un module de reconfiguration de lois de commandes. Contraintes pouvant conduire à une perte de performances, voir une instabilité, du système. La formalisation mathématique de cette problématique nous a amené à nous intéresser à une classe de systèmes hybrides stochastiques à sauts markoviens. La première partie du travail de thèse a été consacrée à la synthèse de lois de commande, par retour de sortie, stabilisant stochastiquement cette classe de systèmes à des bruits multiplicatifs. Les approches développées sont basées sur la théorie de Lyapunov et de Supermartingale. Les différentes conditions de synthèse sont données en termes d’inégalités matricielles non linéaires. Des algorithmes d'optimisation non convexe nt alors été proposés pour la résolution de ces différentes conditions. En deuxième partie de thèse, nous nous sommes intéressés au problème de commande multi-performances de cette classe de systèmes. Plus particulièrement, nous avons considéré des critères H∞ et des critères H2. Là aussi, et nous avons proposé des conditions sous forme LMI, BMI et NLMI pour la résolution de ce problème. En dernière partie de thèse, nous nous sommes intéressés au cas des systèmes à temps discret. Nous avons là aussi considéré des problèmes de stabilisation stochastique et de commande multi-objectifs, pour lesquels des conditions sous forme LMI et NLMI ont été établies. Nous avons ensuite appliqué ces résultats à la problématique de commande de systèmes en réseaux sujets à des retards, des pertes de paquets et d'éventuels pannes
Despite the evident interaction between FDI and reconfiguration algorithms, it is true that the research on FDI and reconfiguration methods has often evolved separately, certainly because of the difficulty of each of these problems. The main contribution of this work is to use a mathematical model that includes in the same analysis framework the FDI and reconfiguration algorithms. Such a model belongs to the class of Markovian jump linear systems. In this class of systems, two random processes are defined: the first represents system components failures and the second represents the FDI process. The first problematic considered in this thesis is related to the synthesis of output feedback controllers that stochastically stabilize this class of systems subject to Brownian motion. The developed results are based essentially on Lyapunov theory and Supermartingale notion. The different synthesis conditions are formulated as nonlinear matrix inequalities problematic. Noncovex optimization algorithms were then proposed to solve these conditions. The second problematic addressed in this work concerns the multi-objective control of this class of Markovian jump systems. The specifications and objectives under consideration include stochastic stability, H2 and H∞ performances. Output feedback controllers synthesis conditions were also proposed in term of LMI, BMI and NLMI. Finally, we have addressed the discrete-time counterpart and proposed H2/H∞ synthesis conditions. The developed results were applied to the problematic of control of networked systems subject to delays, packet loss and failures

Cette thèse est consacrée à la construction et l'analyse multifractale de fonctions aléatoires et de leurs graphes. La construction de ces objets se fait dans le cadre de la théorie des T-martingales de Kahane, et plus spécifiquement des [0, 1]-martingales. Cette théorie est fréquemment utilisée pour construire des martingales à valeurs dans les mesures de Borel positives dont la limite soit presque sûrement singulière par rapport à la mesure de Lebesgue. Ceci se fait en perturbant cette dernière à l'aide d'une suite de densités aléatoires qui sont des martingales positives d'espérance 1. Ici, nous autorisons ces martingales à prendre des valeurs complexes, et plutôt que des martingales à valeurs dans les mesures, nous considérons des martingales à valeurs dans les fonctions continues à valeurs complexes, puis la question de leur convergence uniforme presque sûre. Nous obtenons une condition suffisante de convergence pour les éléments d'une large classe de [0, 1]-martingales complexes. Les limites non dégénérées sont toutes candidates à être des fonctions multifractales. L'étude de leur nature multifractale révèle de nouvelles diffiultés. Nous la menons de façon complète dans le cas des "cascades b-adiques indépendantes" complexes. Ceci conduit à de nouveaux phénomènes. En particulier, nous construisons des fonctions continues statistiquement autosimilaires dont le spectre de singularité est croissant et entièrement supporté par l'intervalle [0;\infty]. Nous considérons également de nouveaux spectres de singularité associés au graphe, à l'image, ainsi qu'aux ensembles de niveau d'une fonction multifractale f donnée. Ces spectres s'obtiennent de la façon suivante. Soit Eh l'ensemble iso-Hölder de f associé à l'exposant h. Soit h le sous-ensemble du graphe de f obtenu en y relevant Eh. Pour tout h, on cherche la dimension de Hausdorff de h, celle de f(Eh), et celle des ensembles du type h \ Ly, où Ly est l'ensemble de niveau y de f. Pour les cascades b-adiques indépendantes non conservatives à valeurs réelles, nous obtenons presque sûrement les spectres associés au graphe et à l'image, et pour les spectres associés aux ensembles de niveau, nous obtenons un résultat en regardant des lignes de niveau dans "Lebesgue presque toute direction". Enfin, nous considérons les mêmes questions que précédemment pour une autre classe de foncions aléatoires multifractales obtenues comme séries d'ondelettes pondérées par des mesures de Gibbs. Nous obtenons presque sûrement les spectres associés au graphe et à l'image.

La performance des réseaux sans fil où les utilisateurs partagent l'air comme moyen de communication est fortement limitée par le phénomène d'interférence électromagnétique. En effet, deux utilisateurs proches qui communiquent sur la même fréquence verront leurs ondes interférer, ce qui peut entraîner la perte de l'information transmise. Ainsi, il est indispensable de mettre en place des protocoles d'accès visant à limiter l'interférence en choisissant de manière efficace les utilisateurs autorisés à émettre à chaque instant. D'un point de vue scientifique, il s'agit d'un problème difficile qui a attiré l'attention de la communauté en informatique et probabilités appliquées depuis plus de 30 ans. Récemment, une nouvelle classe de protocoles d'accès - appelés protocoles CSMA adaptatifs - a émergé, et semble très prometteuse : par exemple, il a été montré que ces nouveaux protocoles possèdent une propriété très attrayante de stabilité maximale. Le but de ce projet est d'approfondir la connaissance que l'on a des protocoles CSMA adaptatifs dits QB (pour l'anglais "Queue-Based") qui à ce jour est encore extrêmement limitée. Concernant ces protocoles, le but de ce projet est de prouver des résultats théoriques permettant de comprendre le compromis réalisable entre débit et délai. Modèle probabiliste - d'un point de vue technique, il s'agit d'étudier le modèle suivant: chaque utilisateur du réseau est représenté par le nœud d'un graphe G, appelé graphe d'interférence, et tel que deux voisins du graphe ne peuvent être actifs simultanément. Des paquets à transmettre arrivent à chaque nœud au cours du temps, et le but est de choisir quels nœuds sont actifs à un moment donné. Le protocole CSMA-QB répond à cette question de la manière suivante : lorsqu'un nœud est actif, il se désactive à taux constant et lorsqu'il est inactif et qu'aucun de ses voisins ne le bloquent, alors il s'active à un taux qui dépend du nombre de paquets en attente de transmission via une fonction ψ appelée fonction d'activation. Le but général de la thèse est de comprendre l'influence de la topologie de G et du choix de ψ sur la performance du protocole. Pour cela, il s'agira d'étudier le temps de mélange de la dynamique de Glauber ainsi qu'un phénomène classique en théorie des probabilités, appelé phénomène de moyennisation stochastique, qui permettent une compréhension fine du comportement dynamique du réseau
Performance of wireless networks, in which users share the air as support for their communications is strongly limited by electromagnetic interference. That is, two users close to each other trying to send a message on the same frequency will experience interference between their messages, eventually leading to the loss of some information. It is then crucial to develop medium access protocols aiming to limit the occurrence of such a phenomena by choosing in an effective (and distributed) manner which station is allowed to transmit. From a scientific point of view, it is a difficult issue which has had some attention from the community in the field of computer science and applied probability in the past 30 years. Recently, a new class of medium access protocols - called adaptive CSMA - emerged and seem quite promising: for example, it has been shown that they exhibit a desirable property: throughput optimality (maximum stability). The goal of this project is to increase the knowledge we have the adaptive CSMA (or CSMA QB, for Queue Based) which is to this day quite limited (notably in the expected waiting time of a request arriving in the system, called delay). Our goal will be to prove theoric results to enhance our understanding of the throughput/delay trade-off

Les travaux effectués, dans le cadre de cette thèse, concernent l'analyse et la synthèse de systèmes dynamiques continus complexes de grande dimension. Pour la classe des systèmes étudiés, est mise en exergue en particulier l'importance du choix de la description des systèmes sur l'étendue des résultats pouvant être obtenus lorsque la méthode d'étude de la stabilité est fixée.L'utilisation des normes vectorielles comme fonction d'agrégation et du critère pratique de Borne et Gentina pour l'étude de la stabilité, associée à la description des systèmes par des matrices caractéristiques de forme en flèche, a permis l'élaboration de nouvelles conditions suffisantes de stabilisabilité de systèmes dynamiques continus non linéaires, monovariables et multivariables, formulées en théorèmes et corollaires.Ces résultats obtenus, pour une classe de processus, pouvant être caractérisés par des matrices instantanées de forme en flèche mince, ont été généralisés au cas des matrices quelconques, pouvant être mises sous forme en flèche mince généralisée ou en flèche épaisse.Les critères élaborés, soit pour l'analyse de la stabilité soit pour la synthèse d'une loi de commande stabilisante, sont ensuite exploités, avec succès, pour la formulation de nouvelles conditions suffisantes de vérification des propriétés de synchronisation, d'anti-synchronisation et de synchronisation hybride de systèmes chaotiques du type maître-esclave, d'un grand intérêt, en particulier, pour garantir une transmission sécurisée

Ce travail de thèse se situe dans le contexte de l'appariement d'images par difféomorphismes qui a été récemment développé dans le but d'applications à l'anatomie computationnelle et l'imagerie médicale. D'un point de vue mathématique, on utilise l'action de groupe de difféomorphismes de l'espace euclidien pour décrire la variabilité des formes biologiques.

Le cas des images discontinues n'était compris que partiellement. La première contribution de ce travail est de traiter complètement le cas des images discontinues en considérant comme modèle d'image discontinues l'espace des fonctions à variations bornées. On apporte des outils techniques pour traiter les discontinuités dans le cadre d'appariement par difféomorphismes. Ces résultats sont appliqués à la formulation Hamiltonienne des géodésiques dans le cadre d'un nouveau modèle qui incorpore l'action d'un difféomorphisme sur les niveaux de grille de l'image pour prendre en compte un changement d'intensité. La seconde application permet d'étendre la théorie des métamorphoses développée par A.Trouvé et L.Younes aux fonctions discontinues. Il apparait que la géométrie de ces espaces est plus compliquée que pour des fonctions lisses.

La seconde partie de cette thèse aborde des aspects plus probabilistes du domaine. On étudie une perturbation stochastique du système Hamiltonien pour le cas de particules (ou landmarks). D'un point de vue physique, on peut interpréter cette perturbation comme des forces aléatoires agissant sur les particules. Il est donc naturel de considérer ce modèle comme un premier modèle de croissance de forme ou au moins d'évolutions aléatoires de formes.

On montre que les solutions n'explosent pas en temps fini presque sûrement et on étend ce modèle stochastique en dimension infinie sur un espace de Hilbert bien choisi (en quelque sorte un espace de Besov ou Sobolev sur une base de Haar). En dimension infinie la propriété précédente reste vraie et on obtient un important (aussi d'un point de vue numérique) résultat de convergence du cas des particules vers le cas de dimension infinie. Le cadre ainsi développé est suffisamment général pour être adaptable dans de nombreuses situations de modélisation.