Academic literature on the topic 'Systèmes stochastiques de fonctions itérées'

Les systèmes de fonctions itérées (IFS) constituent des modèles fractals possédant des propriétés multiéchelles susceptibles de décrire de nombreux processus complexes. Un modèle d'IFS 1D minimal est utilisé pour en comprenbdre et en maîtriser les mécanismes. Notre étude a permis la modélisation de signaux avec un contrôle des moments géométriques, des coefficients de Fourier complexes ou réels, de la dimension fractale et de la continuité. Cette analyse systématique a ensuite été étendue à des modèles basiques d'IFS en 2 et 3 dimensions. Ces modèles ont également permis de décrire les modifications des propriétés de l'attracteur lorsqu'il est projeté. Toutes les propriétés démontrées dans cette étude améliorent la compréhension et les possibilités de contrôle de ces modèles d'IFS. Bien que s'agissant de modèles minimaux, ces modèles fractals montrent d'énormes potentialités d'applications dans des domaines très variés en signal image
Résumé en anglais

Nous montrons dans cette thèse comment la caractérisation des propriétés fractales d'un signal peut être utilisée à des fins de modélisation, segmentation et synthèse. Le principe consiste à décrire comment une représentation du signal varie d'une échelle à une autre. L'idée la plus naturelle dans notre cadre est de considérer des opérateurs qui agissent sur les coefficients d'ondelette à des résolutions successives. Dans certains cas particuliers, nous montrons que ce programme revient à représenter un signal donné comme l'attracteur d'un système de fonctions itérées (ifs). Cela nous conduit naturellement à généraliser cette notion pour obtenir deux classes plus vastes de fonctions, que nous avons appelées GIFS et FAA. Nous obtenons une caractérisation de l'ensemble des fonctions de Hölder associées à des fonctions continues et une méthode non paramétrique pour estimer la fonction de Hölder d'un signal. Nous établissons aussi un formalisme multi fractal pour les FAA. Une première application concerne l'analyse de la turbulence. Nous développons un modèle compact qui permet de retrouver les principales caractéristiques multi fractales des signaux de turbulence. Une deuxième application est la modélisation de signaux de parole qui nous permet d'effectuer des synthèses de bonne qualité et qui pourrait fournir une nouvelle approche pour la caractérisation du locuteur.

L'objet de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique des systèmes de fonctions itérées (IFS). Dans un premier chapitre, nous présenterons les notions liées à l'étude de tels systèmes et nous rappellerons différentes applications possibles des IFS telles que les marches aléatoires sur des graphes ou des pavages apériodiques, les systèmes dynamiques aléatoires, la classification de protéines ou encore les mesures quantiques répétées. Nous nous attarderons sur deux autres applications : les chaînes de Markov d'ordre infini et d'ordre variable. Nous donnerons aussi les principaux résultats de la littérature concernant l'étude des mesures invariantes pour des IFS ainsi que ceux pour le calcul de la dimension de Hausdorff. Le deuxième chapitre sera consacré à l'étude d'une classe d'IFS composés de contractions sur des intervalles réels fermés dont les images se chevauchent au plus en un point et telles que les probabilités de transition sont constantes par morceaux. Nous donnerons un critère pour l'existence et pour l'unicité d'une mesure invariante pour l'IFS ainsi que pour la stabilité asymptotique en termes de bornes sur les probabilités de transition. De plus, quand il existe une unique mesure invariante et sous quelques hypothèses techniques supplémentaires, on peut montrer que la mesure invariante admet une dimension de Hausdorff exacte qui est égale au rapport de l'entropie sur l'exposant de Lyapunov. Ce résultat étend la formule, établie dans la littérature pour des probabilités de transition continues, au cas considéré ici des probabilités de transition constantes par morceaux. Le dernier chapitre de cette thèse est, quant à lui, consacré à un cas particulier d'IFS : les chaînes de Markov de longueur variable (VLMC). On démontrera que sous une condition de non-nullité faible et de continuité pour la distance ultramétrique des probabilités de transitions, elles admettent une unique mesure invariante qui est attractive pour la convergence faible
The purpose of this thesis is the study of the asymptotic behaviour of iterated function systems (IFS). In a first part, we will introduce the notions related to the study of such systems and we will remind different applications of IFS such as random walks on graphs or aperiodic tilings, random dynamical systems, proteins classification or else $q$-repeated measures. We will focus on two other applications : the chains of infinite order and the variable length Markov chains. We will give the main results in the literature concerning the study of invariant measures for IFS and those for the calculus of the Hausdorff dimension. The second part will be dedicated to the study of a class of iterated function systems (IFSs) with non-overlapping or just-touching contractions on closed real intervals and adapted piecewise constant transition probabilities. We give criteria for the existence and the uniqueness of an invariant probability measure for the IFSs and for the asymptotic stability of the system in terms of bounds of transition probabilities. Additionally, in case there exists a unique invariant measure and under some technical assumptions, we obtain its exact Hausdorff dimension as the ratio of the entropy over the Lyapunov exponent. This result extends the formula, established in the literature for continuous transition probabilities, to the case considered here of piecewise constant probabilities. The last part is dedicated to a special case of IFS : Variable Length Markov Chains (VLMC). We will show that under a weak non-nullness condition and continuity for the ultrametric distance of the transition probabilities, they admit a unique invariant measure which is attractive for the weak convergence

On étudie la stabilité et la stabilisation de systèmes différentiels stochastiques par des méthodes de type Lyapunov développées par Khasminskii ou Arnold. La première partie est consacrée à l'asymptotique stabilisation en probabilité de systèmes différentiels stochastiques. On étudie la régulation par la sortie et la stabilisation par des retours d'état localement bornés de systèmes différentiels stochastiques contrôlés par la technique des fonctions de Lyapunov contrôlées généralisées. D'autre part, des conditions nécessaires et suffisantes sont établies pour asymptotiquement stabiliser en probabilité des systèmes différentiels stochastiques contrôlées par des retours d'état dépendants de la sortie. Dans le cas de systèmes différentiels stochastiques contrôlés linéaires, on obtient un retour d'état linéaire dépendant de la sortie. Une classe de systèmes différentiels stochastiques contrôlés avec sortie à structure triangulaire est globalement asymptotiquement stabilisée en probabilité par un intégrateur. Dans la seconde partie, on stabilise exponentiellement en moyenne quadratique des systèmes différentiels stochastiques à grande échelle, écrits sous forme hiérarchique. De plus, plusieurs sortes de systèmes différentiels stochastiques composites sont stabilisés, dont des systèmes partiellement linéaires avec délais ; et des systèmes différentiels stochastiques en cascade. Le but de la troisième partie est d'étudier plusieurs sortes de systèmes différentiels stochastiques contrôlés et de déterminer des conditions suffisantes d'existence d'une fonction de Lyapunov contrôlée. La quatrième partie est consacrée à des systèmes différentiels stochastiques dirigés par une infinité de processus de Wiener. Des techniques de type Lyapunov sont obtenues pour la stabilité exponentielle en moyenne quadratique et l'asymptotique stabilité en probabilité. Un problème de filtrage non linéaire en dimension infinie est traité. Nous établissons les équations de Zakai et de Kushner-Stratonovich associées à ce problème de filtrage. De plus, dans le cas non corrélé, une forme robuste de l'équation de Zakai est obtenue
In this study we study stability and stabilization of stochastic differential systems by using Lyapunov techniques developed by Khasminskii or Arnold. The first part deals with asymptotic stabilization in probability of stochastic differential systems. The output regulation and stabilization of nonlinear control stochastic systems is studied using locally bounded state feedback. Besides, necessary and sufficient conditions are established to asymptotically stabilize in probability controlled stochastic systems by means of output feedback laws. In the linear case, a linear output feedback law is used. For a class of stochastic differential systems whose output have a triangular structure, sufficient conditions are obtained to asymptotically stabilize in probability the system by means of a smooth output feedback integrator. In the second part, large-scale stochastic differential systems in hierarchical form are exponentially stabilized in mean square if only each of the subsustems is exponentially stable in mean square. Furthermore, composite stochastic differential systems with time delays, and cascade systems are stabilized. The goal of the third part is to compute sufficient conditions for a control of Lyapunov function associated with a class of controlled stochastic differential systems. The fourth part deals with stochastic differential systems driven bay an infinite dimensional Brownian motion. Some Lyapunov techniques are obtained to exponentially stabilize in mean square or asymptotically stabilize in probability this class of systems. Moreover, a nonlinear filtering problem with correlated noises, bounded coefficients and a signal evolving in an infinite dimensional space is studied. We derive the Kushner-Stratonovich and the Zakai equations

Nous nous intéressons à l'étude des propriétés théoriques des équations récurrentes stochastiques (SRE) et de leurs applications en finance. Ces modèles sont couramment utilisés en économétrie, y compris en économétrie de la finance, pour styliser la dynamique d'une variété de processus tels que la volatilité des rendements financiers. Cependant, la structure de probabilité ainsi que les propriétés statistiques de ces modèles sont encore mal connues, particulièrement lorsque le modèle est considéré en dimension infinie ou lorsqu'il est généré par un processus non indépendant. Ces deux caractéristiques entraînent de formidables difficultés à l'étude théorique de ces modèles. Dans ces contextes, nous nous intéressons à l'existence de solutions stationnaires, ainsi qu'aux propriétés statistiques et probabilistes de ces solutions.Nous établissons de nouvelles propriétés sur la trajectoire de la solution stationnaire des SREs que nous exploitons dans l'étude des propriétés asymptotiques de l'estimateur du quasi-maximum de vraisemblance (QMLE) des modèles de volatilité conditionnelle de type GARCH. En particulier, nous avons étudié la stationnarité et l'inférence statistique des modèles GARCH(p,q) semi-forts dans lesquels le processus d'innovation n'est pas nécessairement indépendant. Nous établissons la consistance du QMLE des GARCH (p,q) semi-forts sans hypothèses d'existence de moment, couramment supposée pour ces modèles, sur la distribution stationnaire. De même, nous nous sommes intéressés aux modèles GARCH à deux facteurs (GARCH-MIDAS); un facteur de volatilité à long terme et un autre à court terme. Ces récents modèles introduits par Engle et al. (2013) ont la particularité d'avoir des solutions stationnaires avec des distributions à queue épaisse. Ces modèles sont maintenant fréquemment utilisés en économétrie, cependant, leurs propriétés statistiques n'ont pas reçu beaucoup d'attention jusqu'à présent. Nous montrons la consistance et la normalité asymptotique du QMLE des modèles GARCH-MIDAS et nous proposons différentes procédures de test pour évaluer la présence de volatilité à long terme dans ces modèles. Nous illustrons nos résultats avec des simulations et des applications sur des données financières réelles.Enfin, nous étendons le résultat de Kesten (1975) sur le taux de croissance des séquences additives aux processus superadditifs. Nous déduisons de ce résultat des généralisations de la propriété de contraction des matrices aléatoires aux produits d'opérateurs stochastiques. Nous utilisons ces résultats pour établir des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions stationnaires du modèle affine à coefficients positifs des SREs dans l'espace des fonctions continues. Cette classe de modèles regroupe la plupart des modèles de volatilité conditionnelle, y compris les GARCH fonctionnels
We are interested in the theoretical properties of Stochastic Recurrent Equations (SRE) and their applications in finance. These models are widely used in econometrics, including financial econometrics, to explain the dynamics of various processes such as the volatility of financial returns. However, the probability structure and statistical properties of these models are still not well understood, especially when the model is considered in infinite dimensions or driven by non-independent processes. These two features lead to significant difficulties in the theoretical study of these models. In this context, we aim to explore the existence of stationary solutions and the statistical and probabilistic properties of these solutions.We establish new properties on the trajectory of the stationary solution of SREs, which we use to study the asymptotic properties of the quasi-maximum likelihood estimator (QMLE) of GARCH-type (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) conditional volatility models. In particular, we study the stationarity and statistical inference of semi-strong GARCH(p,q) models where the innovation process is not necessarily independent. We establish the consistency of the QMLE of semi-strong GARCHs without assuming the commonly used condition that the stationary distribution admits a small-order moment. In addition, we are interested in the two-factor volatility GARCH models (GARCH-MIDAS); a long-run, and a short-run volatility. These models were recently introduced by Engle et al. (2013) and have the particularity to admit stationary solutions with heavy-tailed distributions. These models are now widely used but their statistical properties have not received much attention. We show the consistency and asymptotic normality of the QMLE of the GARCH-MIDAS models and provide various test procedures to evaluate the presence of long-run volatility in these models. We also illustrate our results with simulations and applications to real financial data.Finally, we extend a result of Kesten (1975) on the growth rate of additive sequences to superadditive processes. From this result, we derive generalizations of the contraction property of random matrices to products of stochastic operators. We use these results to establish necessary and sufficient conditions for the existence of stationary solutions of the affine case with positive coefficients of SREs in the space of continuous functions. This class of models includes most conditional volatility models, including functional GARCHs

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nousdonnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbrespréalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie,nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associées à un système des fonctions itérées. Nouscomparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS desalgèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relationsentre ces états et les mesures trouvée dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour lessystèmes de fonctions itérées.

La première partie est un travail de synthèse sur les transformations dilatantes de l'intervalle ayant une partition finie ou dénombrable: existence de mesures invariantes absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, théorèmes limites central et local, vitesse de convergence. On précise aussi les théorèmes limites obtenus par des théorèmes de grands écarts. On donne des conditions d'annulation de la variance basées sur des points périodiques de la transformation. Dans la seconde partie, on étudie le comportement asymptotique du n-ième reste t#nx et des variables aléatoires a#n(x) générées par l'algorithme de Jacobi-Perron quand x est uniformément reparti dans 0,1#d. On montre que t#nx converge en loi vers l'unique mesure de probabilité invariante par t, absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et que la densité est strictement positive, analytique sur chacun des ensembles 0x##(#1#). . . X##(#d#)1, est une permutation. On montre que les variables aléatoires a#n(x) sont presque indépendantes et identiquement distribuées de loi de type de Gauchy: en particulier leurs sommes donnent lieu à des théorèmes de convergence vers des lois stables. Dans la troisième partie, on étudie les approximations diophantiennes obtenues par l'algorithme de Jacobi-Perron ainsi que par les algorithmes de Brun et de Jacobi-Perron ordonné. On montre certaines inégalités entre les exposants de Lyapunov pour tous ces algorithmes, elles donnent alors certaines vitesses de convergence. On compare ensuite des algorithmes

Dans cette thèse, j’étudie quelques aspects des processus à valeurs dans des espaces de matrices ainsi que leurs processus des valeurs propres en dimensions finie et infinie. J’ai recours à des structures algébriques connues sous le nom de systèmes de racines et qui définissent une diffusion à valeurs dans un cône généralisant les processus des valeurs propres de certaines diffusions matricielles. Ensuite, je définit et étudie l’analogue en dimension infinie du processus de Jacobi matriciel hermitien. La dernière partie est consacrée à l’étude d’un problème de grandes déviations pour des statistiques de processus de Jacobi en dimension un.

On étudie quelques aspects de certaines diffusions matricielles pour lesquelles on utilise des outils d'analyse harmonique pour répondre à des questions de nature probabiliste : on commence par le processus de Laguerre, puis on s'intéresse au processus de Dunkl radial qui généralise le processus des valeurs propres de ces diffusions. On regarde ensuite le processus de Jacobi dans le cas où la taille de la matrice tend vers l'infini, ceci nous plonge dans le monde des probabilités libres. Le dernier chapitre est consacré à la résolution d'un problème de grandes déviations pour des statistiques de processus de Jacobi univariés.