Dissertations / Theses on the topic 'Strichartz estimates'
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Dinh, Van Duong. "Strichartz estimates and the nonlinear Schrödinger-type equations." Thesis, Toulouse 3, 2018. http://www.theses.fr/2018TOU30247/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l'étude des aspects linéaires et non-linéaires des équations de type Schrödinger [ i partial_t u + |nabla|^sigma u = F, quad |nabla| = sqrt {-Delta}, quad sigma in (0, infty).] Quand $sigma = 2$, il s'agit de l'équation de Schrödinger bien connue dans de nombreux contextes physiques tels que la mécanique quantique, l'optique non-linéaire, la théorie des champs quantiques et la théorie de Hartree-Fock. Quand $sigma in (0,2) backslash {1}$, c'est l'équation Schrödinger fractionnaire, qui a été découverte par Laskin (voir par exemple cite{Laskin2000} et cite{Laskin2002}) en lien avec l'extension de l'intégrale de Feynman, des chemins quantiques de type brownien à ceux de Lévy. Cette équation apparaît également dans des modèles de vagues (voir par exemple cite{IonescuPusateri} et cite{Nguyen}). Quand $sigma = 1$, c'est l'équation des demi-ondes qui apparaît dans des modèles de vagues (voir cite{IonescuPusateri}) et dans l'effondrement gravitationnel (voir cite{ElgartSchlein}, cite{FrohlichLenzmann}). Quand $sigma = 4$, c'est l'équation Schrödinger du quatrième ordre ou biharmonique introduite par Karpman cite{Karpman} et par Karpman-Shagalov cite{KarpmanShagalov} pour prendre en compte le rôle de la dispersion du quatrième ordre dans la propagation d'un faisceau laser intense dans un milieu massif avec non-linéarité de Kerr. Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie étudie les estimations de Strichartz pour des équations de type Schrödinger sur des variétés comprenant l'espace plat euclidien, les variétés compactes sans bord et les variétés asymptotiquement euclidiennes. Ces estimations de Strichartz sont utiles pour l'étude de l'équations dispersives non-linéaire à régularité basse. La seconde partie concerne l'étude des aspects non-linéaires tels que les caractères localement puis globalement bien posés sous l'espace d'énergie, ainsi que l'explosion de solutions peu régulières pour des équations non-linéaires de type Schrödinger. [...]This dissertation is devoted to the study of linear and nonlinear aspects of the Schrödinger-type equations [ i partial_t u + |nabla|^sigma u = F, quad |nabla| = sqrt {-Delta}, quad sigma in (0, infty).] When $sigma = 2$, it is the well-known Schrödinger equation arising in many physical contexts such as quantum mechanics, nonlinear optics, quantum field theory and Hartree-Fock theory. When $sigma in (0,2) backslash {1}$, it is the fractional Schrödinger equation, which was discovered by Laskin (see e.g. cite{Laskin2000} and cite{Laskin2002}) owing to the extension of the Feynman path integral, from the Brownian-like to Lévy-like quantum mechanical paths. This equation also appears in the water waves model (see e.g. cite{IonescuPusateri} and cite{Nguyen}). When $sigma = 1$, it is the half-wave equation which arises in water waves model (see cite{IonescuPusateri}) and in gravitational collapse (see cite{ElgartSchlein}, cite{FrohlichLenzmann}). When $sigma =4$, it is the fourth-order or biharmonic Schrödinger equation introduced by Karpman cite {Karpman} and by Karpman-Shagalov cite{KarpmanShagalov} taking into account the role of small fourth-order dispersion term in the propagation of intense laser beam in a bulk medium with Kerr nonlinearity. This thesis is divided into two parts. The first part studies Strichartz estimates for Schrödinger-type equations on manifolds including the flat Euclidean space, compact manifolds without boundary and asymptotically Euclidean manifolds. These Strichartz estimates are known to be useful in the study of nonlinear dispersive equation at low regularity. The second part concerns the study of nonlinear aspects such as local well-posedness, global well-posedness below the energy space and blowup of rough solutions for nonlinear Schrödinger-type equations.[...]
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Ovcharov, Evgeni Y. "Global regularity of nonlinear dispersive equations and Strichartz estimates." Thesis, University of Edinburgh, 2010. http://hdl.handle.net/1842/4600.
Full textAbstract:
The main part of the thesis is set to review and extend the theory of the so called Strichartztype estimates. We present a new viewpoint on the subject according to which our primary goal is the study of the (endpoint) inhomogeneous Strichartz estimates. This is based on our result that the class of all homogeneous Strichartz estimates (understood in the wider sense of homogeneous estimates for data which might be outside the energy class) are equivalent to certain types of endpoint inhomogeneous Strichartz estimates. We present our arguments in the abstract setting but make explicit derivations for the most important dispersive equations like the Schr¨odinger , wave, Dirac, Klein-Gordon and their generalizations. Thus some of the explicit estimates appear for the first time although their proofs might be based on ideas that are known in other special contexts. We present also several new advancements on well-known open problems related to the Strichartz estimates. One problem we pay a special attention is the endpoint homogeneous Strichartz estimate for the kinetic transport equation (and its generalization to estimates with vector-valued norms.) For example, this problem was considered by Keel and Tao [30], but at the time the authors were not able to resolve it. We also fall short of resolving that problem but instead we prove a weaker version of it that can be useful for applications. Moreover, we also make a conjecture and give a counterexample related to that problem which might be useful for its potential resolution. Related to the latter is the fact that we now primarily use complex interpolation in the proof of the homogeneous and the inhomogeneous Strichartz estimates, which produces more natural norms in the vector-valued and the abstract setting compared to the real method of interpolation employed in earlier works. Another important direction of the thesis is to study the range of validity of the Strichartz estimates for the kinetic transport equation which requires a separate and more delicate approach due to its vector-valued dispersive inequality and a special invariance property. We produce an almost optimal range of estimates for that equation. It is an interesting fact that the failure of certain endpoint estimates with L∞ or L1-space norms can be shown on characteristics of Besicovitch sets. With regard to applications of these estimates we demonstrate for the first time in the context of a nonlinear kinetic system (the Othmer-Dunbar-Alt kinetic model of bacterial chemotaxis) that its global well-posedness for small data can be achieved via Strichartz estimates for the kinetic transport equation. Another new development in the thesis is connected to the question of the global regularity of the Dirac-Klein-Gordon system in space dimensions above one for large initial data. That question was instigated in the 1970’s by Chadam and Glassey [12, 13, 22] and although a great number of mathematicians have made contributions in the past 30 years, we, together with the independent recent preprint by Gr¨unrock and Pecher [24], present the first global result for large data. In particular, we prove that in two space dimensions the system has spherically symmetric solutions for all time if the initial data is spherically symmetric and lies in a certain regularity class. Our result is achieved via new inhomogeneous Strichartz estimates for spherically symmetric functions that we prove in the abstract setting and in particular for the wave equation. We make a number of other lesser improvements and generalizations in relation to the Strichartz estimates that shall be presented in the main body of this text.
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Savostianov, Anton. "Strichartz estimates and smooth attractors of dissipative hyperbolic equations." Thesis, University of Surrey, 2015. http://epubs.surrey.ac.uk/808756/.
Full textAbstract:
In this thesis we prove attractor existence and its smoothness for several classes of damped wave equations with critical nonlinearity. The term "critical" refers to the fact that behaviour of the solutions is determined not only by the energy but also by some more subtle space-time norms which are known as Strichartz norms. One of the main achievements of the work is the construction of the global attractor to the so called weakly damped wave equation with nonlinearity that admits fifth order polynomial growth. This problem was open from the first part of the 90's and its solution required combination of tools from various branches of mathematics. The ideas that we have developed we apply to several classes of wave equation with non-local damping. In this case the amount of energy dissipation that occurs in a fixed bunch of space depends on the solution in the whole region where the problem is considered. Though this model may seem to be more complicated at first sight, in fact, in this case solutions of the corresponding problem possess better regularizing properties. Finally we would like to remark that the developed ideas have general nature and thus open new opportunities for further investigations. In particular, the newly discovered techniques and ideas have already been successfully implemented for the construction of the global attractor in problems of phase separation.
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Blair, Matthew D. "Strichartz estimates for wave equations with coefficients of Sobolev regularity /." Thesis, Connect to this title online; UW restricted, 2005. http://hdl.handle.net/1773/5745.
Full text
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Meas, Len. "Estimations de dispersion et de Strichartz dans un domaine cylindrique convexe." Thesis, Université Côte d'Azur (ComUE), 2017. http://www.theses.fr/2017AZUR4038/document.
Full textAbstract:
Dans ce travail, nous allons établir des estimations de dispersion et des applications aux inégalités de Strichartz pour les solutions de l’équation des ondes dans un domaine cylindrique convexe Ω ⊂ R³ à bord C∞, ∂Ω ≠ ∅. Les estimations de dispersion sont classiquement utilisées pour prouver les estimations de Strichartz. Dans un domaine Ω général, des estimations de Strichartz ont été démontrées par Blair, Smith, Sogge [6,7]. Des estimations optimales ont été prouvées dans [29] lorsque Ω est strictement convexe. Le cas des domaines cylindriques que nous considérons ici généralise les resultats de [29] dans le cas où la courbure positive dépend de l'angle d'incidence et s'annule dans certaines directionsIn this work, we establish local in time dispersive estimates and its application to Strichartz estimates for solutions of the model case Dirichlet wave equation inside cylindrical convex domains Ω ⊂ R³ with smooth boundary ∂Ω ≠ ∅. Let us recall that dispersive estimates are key ingredients to prove Strichartz estimates. Strichartz estimates for waves inside an arbitrary domain Ω have been proved by Blair, Smith, Sogge [6,7]. Optimal estimates in strictly convex domains have been obtained in [29]. Our case of cylindrical domains is an extension of the result of [29] in the case where the nonnegative curvature radius depends on the incident angle and vanishes in some directions
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Bolleyer, Andreas [Verfasser], and L. [Akademischer Betreuer] Weis. "Spectrally Localized Strichartz Estimates and Nonlinear Schrödinger Equations / Andreas Bolleyer. Betreuer: L. Weis." Karlsruhe : KIT-Bibliothek, 2015. http://d-nb.info/1071894269/34.
Full text
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Metcalfe, Jason L. "Global Strichartz estimates for solutions of the wave equation exterior to a convex obstacle." Available to US Hopkins community, 2003. http://wwwlib.umi.com/dissertations/dlnow/308072.
Full text
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Negro, Giuseppe. "Sharp estimates for linear and nonlinear wave equations via the Penrose transform." Thesis, Sorbonne Paris Cité, 2018. http://www.theses.fr/2018USPCD071.
Full textAbstract:
Nous appliquons la transformée de Penrose, qui est un outil basique de la physique relativiste, à des estimations optimales pour les équations des ondes linéaire et non linéaire. Nous infirmons une conjecture de Foschi concernant les points extrémaux de l’inégalité de Strichartz à données dans l’espace de Sobolev Ḣ½ x Ḣ⁻½ (Rᵈ) où d ⩾2 est pair. En revanche, nous donnons des indications appuyant cette conjecture en dimension impaire, ainsi qu’une version raffinée de son inégalité optimale sur R¹⁺³, en ajoutant un terme proportionnel à la distance des données initiales de l’ensemble des points extrémaux. À l’aide de ce résultat, nous obtenons une formule asymptotique pour la norme de Strichartz des solutions petites de l’équation des ondes cubique dans l’espace-temps de Minkowski. Le coefficient principal est donné par la constante optimale de Foschi. Nous calculons le terme suivant, qui change de signe et de valeur absolue selon que la non-linéarité est focalisante ou défocalisanteWe apply the Penrose transform, which is a basic tool of relativistic physics, to the study of sharp estimates for linear and nonlinear wave equations. We disprove a conjecture of Foschi, regarding extremizers for the Strichartz inequality with data in the Sobolev space Ḣ½ x Ḣ⁻½ (Rᵈ), for even d ⩾2. On the other hand, we provide evidence to support the conjecture in odd dimensions and refine his sharp inequality in R¹⁺³, adding a term proportional to the distance of the initial data from the set of extremizers. Using this, we provide an asymptotic formula for the Strichartz norm of small solutions to the cubic wave equation in Minkowski space. The leading coefficient is given by Foschi’s sharp constant. We calculate the constant in the second term, whose absolute value and sign changes depending on whether the equation is focusing or defocusing
Aplicamos la transformada de Penrose, una herramienta básica de la fı́sica relativista, a unas estimaciones óptimas para ecuaciones de ondas lineales y no lineales. Invalidamos una conjetura de Foschi, sobre extremizadores para la estimación de Strichartz con datos en el espaciode Sobolev Ḣ½ x Ḣ⁻½ (Rᵈ), para d ⩾2 par. Por otro lado, vamos a dar indicios en favor de su conjetura en dimension impar, ası́ como una versión refinada de su desigualdad óptimaen R¹⁺³, añadiendo un término proporcional a la distancia de los datos iniciales del conjuntode puntos extremales. Utilizando este resultado, conseguimos una fórmula asintótica para la norma de Strichartz de soluciones pequeñas de la ecuación de ondas cúbica en el espacio-tiempo de Minkowski. El coeficiente principal coincide con la constante óptima de Foschi. Calculamos explı́citamente el coeficiente del otro término, cuyo módulo y signo cambian dependiendo de siestamos en el caso focusing o defocusing
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Chen, I.-Kun. "Spherical averaged endpoint Strichartz estimates for the two-dimensional Schrodinger equations with inverse square potential." College Park, Md.: University of Maryland, 2009. http://hdl.handle.net/1903/9473.
Full textAbstract:
Thesis (Ph.D.) -- University of Maryland, College Park, 2009.Thesis research directed by: Dept. of Mathematics. Title from t.p. of PDF. Includes bibliographical references. Published by UMI Dissertation Services, Ann Arbor, Mich. Also available in paper.
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Abdelkaled, Houda. "Caractère bien posé probabiliste pour une équation non linéaire faiblement dispersive." Thesis, CY Cergy Paris Université, 2020. http://www.theses.fr/2020CYUN1075.
Full textAbstract:
Nous nous proposons dans cette thèse d’étudier la propagation d’ondes non-linéairesdans le régime haute fréquence par des méthodes provenant de la théorie des probabilitéset de la théorie des équations aux dérivées partielles. On considère l’équation d’onde fractionnaire cubique, posée sur un domaine borné de l’espace euclidien, avec des conditionsau bord périodiques. On montrera pour commencer, sur quels espaces ce problème estbien-posé au sens d’Hadamard à l’aide de méthodes de point fixe. Dans un deuxièmetemps, on va démontrer des résultats d’instabilité à haute fréquence qui montrent leslimites des méthodes standards. Pour finir, on envisagera de construire des mesures deprobabilité sur l’espace des données initiales telles que dans le contexte des résultatsd’instabilité, une forme de caractère bien-posé persiste, presque surementWe propose in this thesis to study the propagation of non-linear wavesin the high frequency regime by methods from probability theoryand the theory of partial differential equations. We consider the cubic fractional wave equation, posed on a bounded domain of Euclidean space, with conditionsat the edge periodic. We will show to begin with, on which spaces this problem iswell-posed in Hadamard’s sense using fixed point methods. Then, we're going to proof high frequency instability results that shows thelimit of standard methods. Finally, we will consider building probabilistic measures on the space of the initial data such as in the context of the instability results, a well-posedness form persists, almost surely
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Lim, Zhuo Min. "Well-posedness and scattering of the Chern-Simons-Schrödinger system." Thesis, University of Cambridge, 2017. https://www.repository.cam.ac.uk/handle/1810/267816.
Full textAbstract:
The subject of the present thesis is the Chern-Simons-Schrödinger system, which is a gauge-covariant Schrödinger system in two spatial dimensions with a long-range electromagnetic field. The present thesis studies two aspects of the system: that of well-posedness and that of the long-time behaviour. The first main result of the thesis concerns the large-data well-posedness of the initial-value problem for the Chern-Simons-Schrödinger system. We impose the Coulomb gauge to remove the gauge-invariance, in order to obtain a well-defined initial-value problem. We prove that, in the Coulomb gauge, the Chern-Simons-Schrödinger system is locally well-posed in the Sobolev spaces $H^s$ for $s\ge 1$, and that the solution map satisfies a weak Lipschitz continuity estimate. The main technical difficulty is the presence of a derivative nonlinearity, which rules out the naive iteration scheme for proving well-posedness. The key idea is to retain the non-perturbative part of the derivative nonlinearity in the principal operator, and to exploit the dispersive properties of the resulting paradifferential-type principal operator, in particular frequency-localised Strichartz estimates, using adaptations of the $U^p$ and $V^p$ spaces introduced by Koch and Tataru in other contexts. The other main result of the thesis characterises the large-time behaviour in the case where the interaction potential is the defocusing cubic term. We prove that the solution to the Chern-Simons-Schrödinger system in the Coulomb gauge, starting from a localised finite-energy initial datum, will scatter to a free Schrödinger wave at large times. The two crucial ingredients here are the discovery of a new conserved quantity, that of a pseudo-conformal energy, and the cubic null structure discovered by Oh and Pusateri, which reveals a subtle cancellation in the long-range electromagnetic effects. By exploiting pseudo-conformal symmetry, we also prove the existence of wave operators for the Chern-Simons-Schrödinger system in the Coulomb gauge: given a localised finite-energy final state, there exists a unique solution which scatters to that prescribed state.
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Scrobogna, Stefano. "On some models in geophysical fluids." Thesis, Bordeaux, 2017. http://www.theses.fr/2017BORD0601/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse nous étudions trois modèles décrivant la dynamique de l’écoulement d’un fluide à densité variable, dans des échelles spatio-temporelles grandes. Dans ce cadre, le mouvement relatif induit par des forces extérieures,comme la force de Coriolis ou la poussée hydrostatique, s’avère être beaucoup plus important que le mouvement intrinsèque du fluide induit par le transport des particules. Une tel déséquilibre contraint ainsi le mouvement, induisant des structures persistantes dans l’écoulement du fluide.D’un point de vue mathématique, l’une des difficultés consiste en l’étude des perturbations induites par les forces extérieures, qui se propagent à grande vitesse.Ce type d’analyse peut être effectué au moyen de plusieurs outils mathématiques ;on choisit ici d’employer des techniques caractéristiques de l’analyse de Fourier,comme l’analyse des propriétés dispersives des intégrales oscillantes.Tout au long de cette thèse, on se restreint à considérer des domaines spatiaux sans frontière : c’est le cas de l’espace entier, ou encore de l’espace périodique. Les modèles considérés sont donc les suivants: équations primitives dont les nombres de Froude et de Rossby sont comparables,et pour lesquelles la diffusion verticale est nulle, fluides stratifiés dans un régime à faible nombre de Froude, fluides faiblement compressibles et tournants dans un régime où les nombres de Mach et de Rossby sont comparables.On prouve que ces systèmes propagent globalement dans le temps des donnés peu régulières. Nous n’imposons jamais de condition de petitesse sur les données initiales. Toutefois, on prendra en compte certaines hypothèses spécifiques de régularité, lorsque des raisons techniques l’imposentIn this thesis we discuss three models describing the dynamics of density-dependent fluids in long lifes pans and on a planetary scale. In such setting the relative displacement induced by various external physical forces, such as the Coriolis force and the stratification buoyancy, is far more relevant than the intrinsic motion generated by the collision of particles of the fluid itself. Such disproportion of balance limits hence the motion, inducing persistent structures in the velocity flow.On a mathematical level one of the main difficulties relies in giving a full description of the perturbations induced by the external forces, which propagate at high speed. This analysis can be performed by the aid of several tools, we chose here to adopt techniques characteristic of harmonic analysis, such as the analysis of the dispersive properties of highly oscillating integrals.All along the thesis we consider boundary-free, three-dimensional domains, and inspecific we study only the case in which the domain in either the whole space or the periodic space . The models we consider are the following ones : primitive equations with comparable Froude and Rossby number and zero vertical diffusivity, density-dependent stratified fluids in low Froude number regime, weakly compressible and fast rotating fluid in a regime in which Mach and Rossbynumber are comparable. We prove that these systems propagate globally-in-time data with low-regularity. Nosmallness assumption is ever made, specific constructive hypothesis are assumed on the initial data when required
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Lafontaine, David. "Effets dispersifs et asymptotique en temps long d'équations d'ondes dans des domaines extérieurs." Thesis, Université Côte d'Azur (ComUE), 2018. http://www.theses.fr/2018AZUR4067/document.
Full textAbstract:
L'objet de cette thèse est l'étude des équations de Schrödinger et des ondes, à la fois linéaires et non linéaires, dans des domaines extérieurs. Nous nous intéressons en particulier aux inégalités dites de Strichartz, qui sont une famille d'estimations dispersives mesurant la décroissance du flot linéaire, particulièrement utiles à l'étude des problèmes non linéaires correspondants. Dans des géométries dites non-captantes, c'est à dire où tous les rayons de l'optique géométrique partent à l'infini, de nombreux résultats montrent que de telles estimations sont aussi bonnes que dans l'espace libre. D'autre part, la présence d'une trajectoire captive induit nécessairement une perte au niveau d'une autre famille d'estimations à priori, les estimations d'effet régularisant et de décroissance locale de l'énergie, respectivement pour Schrödinger et pour les ondes. En contraste de quoi, nous montrons des estimations de Strichartz sans perte dans une géométrie captante instable : l'extérieur de plusieurs obstacles strictement convexes vérifiant la condition d'Ikawa. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'étude du comportement en temps long des équations non-linéaires sous-jacentes. Lorsque le domaine dans lequel elles vivent n'induit pas trop de concentration de l'énergie, on s'attend à ce qu'elles diffusent, c'est à dire se comportent de manière linéaire asymptotiquement en temps. Nous montrons un tel résultat pour les ondes non linéaires critiques à l'extérieur d'une classe d'obstacles généralisant la notion d'étoilé. A l'extérieur de deux obstacles strictement convexes, nous obtenons un résultat de rigidité concernant les solutions à flot compact, premier pas vers un résultat général. Enfin, nous nous intéressons à l'équation de Schrödinger non linéaire, dans l'espace libre, mais avec un potentiel. Nous montrons que les solutions diffusent si l'on prend un potentiel répulsif, ainsi qu'une somme de deux potentiels répulsifs ayant des surfaces de niveau convexes, ce qui fournit un exemple de diffusion dans une géométrie captante analogue à l'extérieur de deux convexes strictsWe are concerned with Schrödinger and wave equations, both linear and non linear, in exterior domains. In particular, we are interested in the so-called Strichartz estimates, which are a family of dispersive estimates measuring decay for the linear flow. They turn out to be particularly useful in order to study the corresponding non linear equations. In non-captive geometries, where all the rays of geometrical optics go to infinity, many results show that Strichartz estimates hold with no loss with respect to the flat case. Moreover, the local smoothing estimates for the Schrödinger equation, respectively the local energy decay for the wave equation, which are another family of dispersive estimates, are known to fail in any captive geometry. In contrast, we show Strichartz estimates without loss in an unstable captive geometry: the exterior of many strictly convex obstacles verifying Ikawa's condition. The second part of this thesis is dedicated to the study of the long time asymptotics of the corresponding non linear equations. We expect that they behave linearly in large times, or scatter, when the domain they live in does not induce too much concentration effect. We show such a result for the non linear critical wave equation in the exterior of a class of obstacles generalizing star-shaped bodies. In the exterior of two strictly convex obstacles, we obtain a rigidity result concerning compact flow solutions, which is a first step toward a general result. Finally, we consider the non linear Schrödinger equation in the free space but with a potential. We prove that solutions scatter for a repulsive potential, and for a sum of two repulsive potentials with strictly convex level surfaces. This provides a scattering result in a framework similar to the exterior of two strictly convex obstacles
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Kian, Yavar. "Equations des ondes avec des perturbations dépendantes du temps." Thesis, Bordeaux 1, 2010. http://www.theses.fr/2010BOR14101/document.
Full text
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Pinto, Aldo Vieira. "Teoria de Littlewood-Paley e o problema de Cauchy para a equação da onda cúbica." Universidade Federal de São Carlos, 2010. https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/5867.
Full textAbstract:
Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1
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Previous issue date: 2010-07-08Financiadora de Estudos e Projetos
Neste trabalho, estudamos o resultado de boa-colocação para a equação da onda cúbica u +uR3 = 0 em R3, devido a H. Bahouri e J.-Y. Chemin, no qual os dados de Cauchy estão no espaço de Sobolev homogêneo H3/4 (R3) H-1/4 (R3). A prova utiliza um método de interpolação não-linear, decomposição de Bony e desigualdade logarítmica de Strichartz, todas formuladas na Teoria de Littlewood-Paley.
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Nascimento, Wanderley Nunes do. "Klein-Gordon models with non-effective time-dependent potential." Universidade Federal de São Carlos, 2016. https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/7453.
Full textAbstract:
Submitted by Livia Mello (liviacmello@yahoo.com.br) on 2016-09-23T20:38:51Z
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Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-26T20:35:33Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseWNN.pdf: 1247691 bytes, checksum: 63f743255181169a9bb4ca1dfd2312c2 (MD5)
Made available in DSpace on 2016-09-26T20:35:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseWNN.pdf: 1247691 bytes, checksum: 63f743255181169a9bb4ca1dfd2312c2 (MD5) Previous issue date: 2016-02-19
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)
In this thesis we study the asymptotic properties for the solution of the Cauchy problem for the Klein-Gordon equation with non-effective time-dependent potential. The main goal was define a suitable energy related to the Cauchy problem and derive decay estimates for such energy. Strichartz’ estimates and results of scattering and modified scattering was established. The C m theory and the stabilization condition was applied to treat the case where the coefficient of the potential term has very fast oscillations. Moreover, we consider a semi-linear wave model scale-invariant time- dependent with mass and dissipation, in this step we used linear estimates related with the semi-linear model to prove global existence (in time) of energy solutions for small data and we show a blow-up result for a suitable choice of the coefficients.
Nesta tese estudamos as propriedades assintóticas para a solução do problema de Cauchy para a equação de Klein-Gordon com potencial não efetivo dependente do tempo. O principal objetivo foi definir uma energia adequada relacionada ao problema de Cauchy e derivar estimativas para tal energia. Estimativas de Strichartz e resultados de scatering e scatering modificados também foram estabelecidos. A teoria C m e a condição de estabilização foram aplicados para tratar o caso em que o coeficiente da massa oscila muito rápido. Além disso, consideramos um mod- elo de onda semi-linear scale-invariante com massa e dissipação dependentes do tempo, nesta etapa usamos as estimativas lineares de tal modelo para provar ex- istência global (no tempo) de solução de energia para dados iniciais suficientemente pequenos e demonstramos um resultado de blow-up para uma escolha adequada dos coeficientes.
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Nguyen, Quang Huy. "Analyse hautes fréquences pour les équations des ondes de surface." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2016. http://www.theses.fr/2016SACLS175.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique de l'équation d'Euler incompressible à surface libre. On se concentre sur la propriété dispersive et sur la théorie de Cauchy à faible régularité. Une grande part de la thèse est consacrée à l'étude de l'équation des ondes de gravité-capillarité. On établit des critères d'explosion et la persistance de régularité dans les espaces de Sobolev. En démontrant les estimations de Strichartz pour les solutions à faible régularité, on obtient des théories de Cauchy pour les données initiales dont la vitesse peut être non-lipschitzienne. Dans une autre part de la thèse, on étudie la propriété dispersive des équations des ondes de surface. Plus précisément, on s'intéresse aux estimations de Strichartz. On démontre que, pour les solutions raisonnablement régulières, les équations des ondes de surface non linéaires obéissent aux mêmes estimations de Strichartz comme dans le cas des équations linéariséesThis dissertation is devoted to the mathematical analysis of the water waves systems. We focus on the dispersive property and the Cauchy problem for rough initial data. One of the main objects of study is the gravity-capillary water waves system. We establish blow-up criteria and the persistence of Sobolev regularity. By proving Strichartz estimates for rough solutions, we obtain Cauchy theories for non-Lipschitz initial velocity. In another part of the dissertation, we study the dispersive property of the fully nonlinear water waves systems. More specifically, we are interested in Strichartz estimates. We prove for sufficiently smooth solutions that the nonlinear systems obey the same Strichartz estimates as their linearizations do
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Hassani, Ali. "ÉQUATION DES ONDES SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES RIEMANNIENS DE TYPE NON COMPACT." Phd thesis, Université de Nanterre - Paris X, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00669082.
Full textAbstract:
Ce mémoire porte sur l'étude des équations d'évolution sur des variétés à coubure non nulle, plus particulièrement l'équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact. Des propriétés de dispersion des solutions du problème de Cauchy homogène sont démontrées. Ces propriétés sont ensuite utilisées pour établir des estimations dites estimations de Strichartz. L'examen de ces estimées permet de déduire que le problème de Cauchy non linéaire avec des non-linéarités de type puissance est globalement bien posé pour des données initiales petites et localement bien posé pour des données arbitraires. Après un chapitre introductif dédié aux définitions, propriétés algébriques et géométriques des espaces symétriques et à quelques aspects élémentaires d'analyse harmonique sphérique sur ces espaces, un article est présenté : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. Cet article contient nos résultats principaux. Dans le dernier chapitre nous présentons en détail deux problèmes ouverts qui prolongent nos travaux. Il s'agit respectivement d'établir le lien entre le comportement asymptotique des estimées et les orbites nilpotentes, et l'étude de l'équation des ondes pour les formes différentielles sur les espaces symétriques.
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Farias, Marcos Alves de. "O problema de Cauchy para a equação da onda cúbica." Universidade Federal de São Carlos, 2011. https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/5878.
Full textAbstract:
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Previous issue date: 2011-05-27Financiadora de Estudos e Projetos
In this work, we study the result of global well-Posedness for the cubic wave equation @2 t u��_u+u3 = 0 in R_R3, where the Cauchy data is in the Sobolev space Hs(R3)_ Hs��1(R3) with 13 18 < s < 1. The proof is based on the work of T. Roy, [23], in this paper Roy propose a almost conservation law for the energy and from this he get a inequality that together with the local well-posedness theory proved by Lindbald and Sogge in [18] guarantee the global well-posedness for the problem.
Neste trabalho estudamos um resultado de boa colocação global para a equação da onda cúbica δ(_t^2)u-∆_u+U^3=0 em R_R3, no qual os dados de Cauchy estão no espaço de Sobolev Hs(R3) x Hs��1(R3), para 13 18 < s < 1. A prova é baseada no rabalho de T. Roy, [23], nele é estabelecido uma lei de quase conservação de energia e a partir disso se obtém uma desigualdade que aliada a teoria da boa colocação local estabelecida por Lindbald e Sogge em [18] garante a boa colocação global para o problema.
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Fino, Ahmad. "Contributions aux problèmes d'évolution." Phd thesis, Université de La Rochelle, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00437141.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de trois équations aux dérivées partielles et d'évolution non-locales en espace et en temps. Les solutions de ces trois solutions peuvent exploser en temps fini. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons l'équation de la chaleur nonlinéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et obtenons notamment que, dans le cas d'exposant sur-critique, le comportement asymptotique de la solution lorsque $t\rightarrow+\infty$ est déterminé par le terme de diffusion anormale. D'autre part, dans le cas d'exposant sous-critique, l'effet du terme non-linéaire domine. Dans une deuxième partie, nous étudions une équation parabolique avec le laplacien fractionnaire et un terme non-linéaire et non-local en temps. On montre que la solution est globale dans le cas sur-critique pour toute donnée initiale ayant une mesure assez petite, tandis que dans le cas sous-critique, on montre que la solution explose en temps fini $T_{\max}>0$ pour toute condition initiale positive et non-triviale. Dans ce dernier cas, on cherche le comportement de la norme $L^1$ de la solution en précisant le taux d'explosion lorsque $t$ s'approche du temps d'explosion $T_{\max}.$ Nous cherchons encore les conditions nécessaires à l'existence locale et globale de la solution. Une toisième partie est consacré à une généralisation de la deuxième partie au cas de systèmes $2\times 2$ avec le laplacien ordinaire. On étudie l'existence locale de la solution ainsi qu'un résultat sur l'explosion de la solution avec les mêmes propriétés étudiées dans le troisième chapitre. Dans la dernière partie, nous étudions une équation hyperbolique dans $\mathbb{R}^N,$ pour tout $N\geq2,$ avec un terme non-linéaire non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale de la solution sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et les exposants du terme non-linéaire. De plus on obtient, sous certaines conditions sur les exposants, que la solution explose en temps fini, pour toute condition initiale ayant de moyenne strictement positive.
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Dannawi, Ihab. "Contributions aux équations d'évolutions non locales en espace-temps." Thesis, La Rochelle, 2015. http://www.theses.fr/2015LAROS007/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en tempsIn this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term
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Taggart, Robert James Mathematics & Statistics Faculty of Science UNSW. "Evolution equations and vector-valued Lp spaces: Strichartz estimates and symmetric diffusion semigroups." 2008. http://handle.unsw.edu.au/1959.4/43298.
Full textAbstract:
The results of this thesis are motivated by the investigation of abstract Cauchy problems. Our primary contribution is encapsulated in two new theorems. The first main theorem is a generalisation of a result of E. M. Stein. In particular, we show that every symmetric diffusion semigroup acting on a complex-valued Lebesgue space has a tensor product extension to a UMD-valued Lebesgue space that can be continued analytically to sectors of the complex plane. Moreover, this analytic continuation exhibits pointwise convergence almost everywhere. Both conclusions hold provided that the UMD space satisfies a geometric condition that is weak enough to include many classical spaces. The theorem is proved by showing that every symmetric diffusion semigroup is dominated by a positive symmetric diffusion semigoup. This allows us to obtain (a) the existence of the semigroup's tensor extension, (b) a vector-valued version of the Hopf--Dunford--Schwartz ergodic theorem and (c) an holomorphic functional calculus for the extension's generator. The ergodic theorem is used to prove a vector-valued version of a maximal theorem by Stein, which, when combined with the functional calculus, proves the pointwise convergence theorem. The second part of the thesis proves the existence of abstract Strichartz estimates for any evolution family of operators that satisfies an abstract energy and dispersive estimate. Some of these Strichartz estimates were already announced, without proof, by M. Keel and T. Tao. Those estimates which are not included in their result are new, and are an abstract extension of inhomogeneous estimates recently obtained by D. Foschi. When applied to physical problems, our abstract estimates give new inhomogeneous Strichartz estimates for the wave equation, extend the range of inhomogeneous estimates obtained by M. Nakamura and T. Ozawa for a class of Klein--Gordon equations, and recover the inhomogeneous estimates for the Schr??dinger equation obtained independently by Foschi and M. Vilela. These abstract estimates are applicable to a range of other problems, such as the Schr??dinger equation with a certain class of potentials.
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Chen, Jia-Hao, and 陳家豪. "Strichartz Estimates for Schrödinger Equation and Semiclassical Limit of the Long Wave-Short Wave Interaction Equations." Thesis, 2010. http://ndltd.ncl.edu.tw/handle/57060467953483168378.
Full textAbstract:
碩士國立交通大學
應用數學系所
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There are two parts in this paper. In part I, we discuss the Strichartz estimates on Schrödinger equation. First, we observe the restrictions on exponent pair (p,q) from the viewpoint of dimension. Then we also provide a rigid proof, and conclude that the so-called admissible pair coincides with the arguments of dimensional analysis. In part II, we study the semiclassical limit of the three coupled long wave-short wave interaction equations. First, we employ the Madelung transformation to discuss the hydrodynamical structures and the conservation laws. Then, we apply the modified Madelung transformation and energy estimates to justify the existence and uniqueness of the local classical solution. Finally, we prove the existence of the semiclassical limit of the solution.
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Hsu, Yi-Cheng, and 徐義程. "Strichartz Estimate for Discrete Schrodinger Equation." Thesis, 2007. http://ndltd.ncl.edu.tw/handle/87106837554524210879.
Full textAbstract:
碩士國立臺灣大學
數學研究所
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In this paper we show the Strichartz estimate to the discrete Schr"{o}dinger equation. The continuous Strichartz is essential for the proof of the existence of solution of nonlinear Schr"{o}dinger equation in some function space[3]. It is believed that this is also a key step to the proof of the convergence for finite difference method for nonlinear Schrodinger equation.
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Hsu, Yi-Cheng. "Strichartz Estimate for Discrete Schrodinger Equation." 2007. http://www.cetd.com.tw/ec/thesisdetail.aspx?etdun=U0001-2506200714322700.
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He, Daoyin. "Critical exponents for semilinear Tricomi-type equations." Doctoral thesis, 2016. http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-002B-7CBB-0.
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