Academic literature on the topic 'Statistiques fractionnaires'

Ce manuscrit se pose en termes des "méthodes et applications" pour l'analyse et la caractérisation des milieux diffusants par une approche statistique portant sur les mesures angulaires locales des figures de speckle, moyennant une modélisation préalable de ces figures par des modèles de champs fractionnaires. A ce titre, une étude des distributions des directions locales et de leurs incréments est présentée. Une mise en relation des paramètres intrinsèques de champs fractionnaires anisotropes synthétiques avec les paramètres d'un modèle de distribution est établie. Nous montrons qu'il est ainsi possible d'identifier le type d'anisotropie ainsi que la régularité locale d'un champ aléatoire. Les mesures angulaires sont extraites, des champs, par l'intermédiaire de la transformée de Riesz et modélisées à l'aide d'une famille de ψ -distributions. L'approche développée est confrontée à deux types d'anisotropie, fonctionnelle et topologique. Plus particulièrement, une méthode originale d'estimation de la fonction d'anisotropie est proposée, reposant sur une analogie faite entre les incréments des mesures angulaires des directions locales et les angles de virage d'une marche aléatoire. L'estimateur de cette fonction est calculé à partir des moments cosinusoïdaux des distributions de ces incréments. Cette approche est finalement utilisée à des fins d'analyse de figure de speckle objectif issues de différents milieux tests. De par leur caractère stochastique, ces figures font généralement l'objet d'analyses fondées sur des approches statistiques, le plus souvent du premier ou du second ordre, s'appuyant sur le formalisme proposé initialement par Goodman. Ainsi, les résultats obtenus et présentés dans ce mémoire nous amènent à penser que la statistique angulaire vient compléter avantageusement les mesures plus classiques
This manuscript is posed in terms of the "methods and applications" for the analysis and the characterization of the scattering medium by a statistical approach relating to local angular measurements of the speckle figures, to a preliminary modeling of these figures by fractional fields models. For this reason, a study of the local directions distributions and their increaments is presented. A comparison of the intrinsic parameters of synthetic anisotropic fractional fields with the parameter of models distribution is established. We show that it is possible to identify the type of anisotropy as well as the local regularity of a random field. Angular measurements are extracted, from the fields, by the intermediary of the Riesz transform and are modelled by a ψ -distributions familly. The developped approach is confronted with two types of anisotropy, functional and topological. Mora particularly, an original method to the estimation of is proposed, resting on an analogy made between the increments of angular measurements of the local directions and the turning angles of random walk. The estimator of this function is calculated as from the cosinusoïdal moments of the increments distribution. This approach is finally used at ends to analyse objective speckle patterns from various test media. From their stochastic properties, these figures are analysed using statistical approaches, generally by the first or the second order based approach. Thus, the results obtained and presented in this memory, leads us to as well think that the angular statistics come to supplement more traditional measurements advantageously

Ce mémoire présente une synthèse de mes activités de recherche depuis mon doctorat. Ces travaux sont organisés en trois parties distinctes. Les deux premières parties ont pour point commun l'inférence statistique de quelques processus stochastiques. Les processus centraux en question sont respectivement le mouvement Brownien fractionnaire (et quelques unes de ses extensions) et les processus ponctuels spatiaux de Gibbs. Comme, nous le verrons par la suite, bien que ces processus soient de nature très diff érente, ils s'inscrivent dans la modélisation de données dépendantes qu'elles soient temporelles ou spatiales. Nos travaux ont pour objectifs communs d'établir des propriétés asymptotiques de méthodes d'estimation ou de méthodes de validation, classiques ou originales. Par ailleurs, une autre similitude est la mise en perspective de ces processus avec des applications faisant intervenir des systèmes complexes (modélisation de signaux issus d'Imagerie par Résonance Magnétique Fonctionnelle et modélisation de taches solaires). La troisième partie, quant à elle, regroupe des thèmes satellites regroupés sous la dénomination contributions à la statistique appliquée.

Cette thèse se décompose en six chapitres plus ou moins distincts. Cependant, tous font appel au calcul de Malliavin, aux notions de processus gaussien et processus de Lévy, et à leur utilisation en statistique. Chacune des trois parties a fait l’objet de deux articles. Dans la première partie, nous établissons les théorèmes d’Itô et de Tanaka pour le mouvement brownien bi-factionnaire multidimensionnel. Ensuite nous étudions l’existence de la densité d’occupation pour certains processus en relation avec le mouvement brownien fractionnaire. Dans la deuxième partie, nous analysons, dans un premier temps, le comportement asymptotique de la variation cubique pour le processus de Rosenblatt. Dans un deuxième temps, nous construisons d’une part des estimateurs biaisés de type James-stein qui dominent, sous le risque quadratique usuel, l’estimateur du maximum de vraisemblance. La dernière partie présente deux travaux. Dans le premier, nous utilisons une approche menant à un calcul de Malliavin pour les processus de Lévy, qui a été développée récemment par Solé et al. [106], et nous étudions des processus anticipés de type intégrale d’Itô-skorohod (au sens de [111] sur l’espace de Lévy. Dans le deuxième, nous étudions le lien entre les processus stables et les processus auto-similaires, à travers des processus qui sont infiniment divisibles en temps.

Le sujet de la thèse porte sur l'étude des approches d'estimation des Signaux à Phase Polynomiale (SPP) noyés par un bruit non gaussien. Nous considérons deux modèles pour le bruit: le premier modèle est défini par une Somme Pondérée de Gaussiennes et le second par des distributions alpha-stables. Dans un premier temps, nous abordons les méthodes classiques d'analyse des SPP. L'utilisation des statistiques d'ordre fractionnaire permet d'obtenir des algorithmes robustes en présence de bruit impulsif; nous exploitons cette propriété pour proposer une Distribution de Wigner-Ville Polynomiale pour l'analyse des SPP. Cette nouvelle distribution, permet de mieux estimer la fréquence instantanée du SPP bruité. La deuxième partie est consacrée aux méthodes récentes d'analyse spectrale adaptées aux SPP. Nous proposons un algorithme MUSIC robuste obtenu par SVD de la matrice de covariation. Cet algorithme nous permet d'estimer les coefficients de la phase dans un plan temps-coefficient. Dans la troisième partie, une approche pour l'estimation des SPP par filtrage de Kalman est présentée. Cette approche repose sur un modèle d'état non linéaire avec un bruit d'observation non gaussien. Nous présentons trois types de filtres de Kalman robustes au bruit impulsif. Le premier, appelé filtre de Kalman étendu robuste utilise un gain de Kalman dépendant de la fonction de Huber. Aussi, nous proposons d'utiliser deux filtres de Kalman étendus (EKF) opérant en parallèle couplés via le terme d'apparition du bruit impulsif. Enfin, il est possible d'améliorer les performances d'estimation en utilisant un filtre UKF ‘unscented Kalman filter' à la place du filtre EKF
Polynomial phase signals (PPS) have found use in many area of engineering such as in radar and communication. The main problem is to estimate the parameters of such signals. Many research works have been conducted in the last decade and led to the development of various algorithms based on different mathematical tools such as time-frequency, subspace methods, High order statistics and Kalman filtering. Though, these methods have proven to perform well in estimating the signal parameters, they assume that the noise is Gaussian. The research work presented in the thesis deals with the analysis of PPS in non Gaussian environment. In this context, the noise is considered to have either an alpha-stable distribution, or epsilon-contaminated model. Three approaches of estimation are explored. The first method concerns robust time-frequency analysis of PPS, we propose to integrate the fractional lower statistics in the kernel of the polynomial phase Wigner-Ville Distribution to obtain a robust time-frequency distribution able to reveal the instantaneous frequency of the PPS. The second approach, deals with robust subspace method based on the MUSIC estimator using the covariation matrix, we propose a modified MUSIC algorithm which is able to track the values of the coefficients of the phase. Finally, using the nonlinear state space model of PPS, we explore the use of the Kalman filter for robust estimation of PPS in epsilon-contaminated noise. In this context, three types of Kalman filters are proposed: The robust extended Kalman filter, the parallel extended Kalman filter. To avoid linearization an alternative method is proposed based on parallel unscented Kalman filters

Mes travaux portent essentiellement sur des champs aléatoires qui satisfont une propriété d'autosimilarité globale ou locale, éventuellement anisotrope. Au cours de ces dernières années, je me suis concentrée sur l'étude de la régularité des trajectoires de tels champs mais aussi de leur simulation, de l'estimation des paramètres ou encore de certaines propriétés géométriques (dimension d'Hausdorff). J'ai été amenée à introduire de nouvelles notions d'autosimilarité : autosimilarité locale pour des champs indexés par une variété et autosimilarité locale anisotrope. Une partie de mes travaux porte sur des séries de type shot noise (vitesse de convergence, régularité). Ces séries permettent notamment de proposer une méthode de simulation pour les champs fractionnaires ou multifractionnaires. Elles nous ont permis d'obtenir une majoration du module de continuité de champs aléatoires anisotropes stables mais sont aussi utiles pour l'étude de champs plus généraux (champs définis par une série aléatoire conditionnellement sous-gaussienne, champs multi-stables). L'étude de modèles anisotropes est motivée par la modélisation de roches mais aussi de radiographies d'os en vue de l'aide à la détection précoce de l'ostéoporose (projet ANR MATAIM). J'ai aussi abordé des questions plus statistiques : estimations des paramètres, propriété LAN (Local Asymptotic Normality). Enfin, au sein de l'équipe INRIA BIology Genetics and Statistics, je travaille sur des problématiques tournées vers des applications médicales en collaboration avec des automaticiens. J'ai en particulier travaillé sur un algorithme de débruitage en vue d'application à des ECG.

Les anyons sont des quasiparticules ayant des statistiques fractionnaires, entre les bosons et les fermions, qui apparaissent dans des systèmes bidimensionnels. Lorsque la trajectoire d’un anyon décrit adiabatiquement une boucle entourant un second anyon, constituant une opération de tressage, la fonction d’onde représentant le système acquiert une phase non triviale. Ces statistiques fractionnaires ont été observées expérimentalement en 2020. Elles donnent aux anyons une mémoire des échanges entre eux via la phase de tressage et leur octroient des propriétés dynamiques uniques encore inexplorées. Expérimentalement, les anyons sont les excitations élémentaires des phases topologiques survenant dans l’effet Hall quantique fractionnaire (FQHE). Dans ces phases, le coeur du matériau devient isolant et le transport électronique a lieu seulement à travers des états de bords délocalisés et chiraux, de manière balistique et cohérente. Un transfert tunnel entre deux canaux de bords opposés peut se produire à un point de contact quantique (QPC). Pour les anyons, le mécanisme dominant pour le transfert des particules n’est pas la transmission tunnel directe des excitations arrivantes, mais un processus de tressage dans le domaine temporel entre les excitations arrivantes et des paires particule-trou créées au QPC. Dans cette thèse, nous étudions le mécanisme de tressage d’anyons à un QPC dans des expériences d’interférométrie à deux particules en régime dc et ac. Nous mesurons les propriétés topologiques d’échange (la phase de tressage) et les propriétés dynamiques de bord (la dimension d’échelle) des anyons. Nous poursuivons l’expérience du collisionneur d’anyons à ν = 1/3 et prouvons la robustesse du résultat d’une phase de tressage 2π/3 obtenu précédemment, en étendant la gamme des paramètres et en étudiant le rôle de la dimension d’échelle. En effectuant la même expérience dans un état d’une plus grande complexité topologique, ν = 2/5, nous montrons que le collisionneur d’anyons est capable non seulement de distinguer les anyons des fermions, mais également différents types d’anyons entre eux par le biais de leur phase de tressage. Finalement, nous réalisons une expérience de Hong-Ou-Mandel entre des pulses de courant contenant un anyon à ν = 1/3 pour étudier la dynamique des anyons directement dans le domaine temporel. Nous obtenons la première signature expérimentale de l’effet du tressage sur la dynamique du transfert tunnel des anyons et nous accédons indépendamment à la dimension d’échelle et à la phase de tressage dans la même expérience
Anyons are quasiparticles obeying fractional statistics, in between bosons and fermions, that arise in two-dimensional systems. When an anyon moves adiabatically in a loop around a second one, resulting in a braiding operation, the wavefunction describing the system acquires a non-trivial braiding phase. These fractional statistics were evidenced in 2020. They allow anyons to keep a robust memory of the exchanges between them via the braiding phase, and provide them with unique dynamical properties so far unexplored. Experimentally, anyons appear as the elementary excitations of the topological phases that emerge in the fractional quantum Hall effect (FQHE). In such phases, the bulk of the material becomes insulating and electronic transport occurs solely through chiral delocalized edge states, in a ballistic and coherent manner. Tunneling between opposite edge channels can take place at a quantum point contact (QPC). For anyons, the dominant mechanism for particle transfer is not the direct tunneling of the incoming excitations, but rather a time-domain braiding process between the incoming excitations and particle-hole excitations created at the QPC. In this work, we investigate the mechanism of anyon braiding at a QPC with two-particle interferometry experiments in the dc and ac regime. We measure topological exchange properties (the braiding phase) and dynamical edge properties (the scaling dimension) of anyons. We follow up on the anyon collider experiment at ν = 1/3 and prove the robustness of the previously obtained 2π/3 braiding phase result by extending the range of parameters and studying the role of the scaling dimension. By performing the same experiment in the more topologically complex ν = 2/5 state, we show that the anyon collider is able to not only distinguish anyons from fermions but also to discriminate between different types of anyons based on their braiding phase. Finally, we implement a Hong-Ou-Mandel experiment between triggered anyon pulses at ν = 1/3 to study the dynamics of anyons directly in the time domain. We obtain the first experimental signature of the effect of braiding on anyon tunneling dynamics and we access independently the scaling dimension and the braiding phase in the same experiment

Dans cette thèse, nous étudions divers problèmes statistiques liés à deux modèles paramétriques stochastiques que sont le mouvement brownien fractionnaire (mbf) et le mouvement brownien multifractionnaire (mbm). Le mbf a été introduit en statistique à partir de 1968 pour modéliser des phénomènes autosimilaires (i.e. invariants par changements d'échelle) et des séries chronologiques exhibant une structure de dépendance uniforme qui décroî t de manière hyperbolique avec le temps. Le mbm, apparu beaucoup plus récemment, constitue une extension du mbf au sens où la structure de dépendance peut évoluer au cours du temps : l'autosimilarité n'est alors vérifiée qu'asymptotiquement localement. L'objectif initial de ce travail de recherche a été l'identification de ce dernier modèle. Néanmoins, ce travail a nécessité des connaissances théoriques constituées par un traitement approfondi et pertinent du mbf, tant sur la compréhension des résultats obtenus jusqu'alors que sur leurs extensions.

Cette thèse porte sur l’analyse statistique de quelques modèles de processus stochastiques gouvernés par des bruits de type fractionnaire, en temps discret ou continu.Dans le Chapitre 1, nous étudions le problème d’estimation par maximum de vraisemblance (EMV) des paramètres d’un processus autorégressif d’ordre p (AR(p)) dirigé par un bruit gaussien stationnaire, qui peut être à longue mémoire commele bruit gaussien fractionnaire. Nous donnons une formule explicite pour l’EMV et nous analysons ses propriétés asymptotiques. En fait, dans notre modèle la fonction de covariance du bruit est supposée connue, mais le comportement asymptotique de l’estimateur (vitesse de convergence, information de Fisher) n’en dépend pas.Le Chapitre 2 est consacré à la détermination de l’entrée optimale (d’un point de vue asymptotique) pour l’estimation du paramètre de dérive dans un processus d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire partiellement observé mais contrôlé. Nous exposons un principe de séparation qui nous permet d’atteindre cet objectif. Les propriétés asymptotiques de l’EMV sont démontrées en utilisant le programme d’Ibragimov-Khasminskii et le calcul de transformées de Laplace d’une fonctionnellequadratique du processus.Dans le Chapitre 3, nous présentons une nouvelle approche pour étudier les propriétés du mouvement brownien fractionnaire mélangé et de modèles connexes, basée sur la théorie du filtrage des processus gaussiens. Les résultats mettent en lumière la structure de semimartingale et mènent à un certain nombre de propriétés d’absolue continuité utiles. Nous établissons l’équivalence des mesures induites par le mouvement brownien fractionnaire mélangé avec une dérive stochastique, et en déduisons l’expression correspondante de la dérivée de Radon-Nikodym. Pour un indice de Hurst H > 3=4, nous obtenons une représentation du mouvement brownien fractionnaire mélangé comme processus de type diffusion dans sa filtration naturelle et en déduisons une formule de la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à la mesurede Wiener. Pour H < 1=4, nous montrons l’équivalence de la mesure avec celle la composante fractionnaire et obtenons une formule pour la densité correspondante. Un domaine d’application potentielle est l’analyse statistique des modèles gouvernés par des bruits fractionnaires mélangés. A titre d’exemple, nous considérons le modèle de régression linéaire de base et montrons comment définir l’EMV et étudié son comportement asymptotique
This thesis focuses on the statistical analysis of some models of stochastic processes generated by fractional noise in discrete or continuous time.In Chapter 1, we study the problem of parameter estimation by maximum likelihood (MLE) for an autoregressive process of order p (AR (p)) generated by a stationary Gaussian noise, which can have long memory as the fractional Gaussiannoise. We exhibit an explicit formula for the MLE and we analyze its asymptotic properties. Actually in our model the covariance function of the noise is assumed to be known but the asymptotic behavior of the estimator ( rate of convergence, Fisher information) does not depend on it.Chapter 2 is devoted to the determination of the asymptotical optimal input for the estimation of the drift parameter in a partially observed but controlled fractional Ornstein-Uhlenbeck process. We expose a separation principle that allows us toreach this goal. Large sample asymptotical properties of the MLE are deduced using the Ibragimov-Khasminskii program and Laplace transform computations for quadratic functionals of the process.In Chapter 3, we present a new approach to study the properties of mixed fractional Brownian motion (fBm) and related models, based on the filtering theory of Gaussian processes. The results shed light on the semimartingale structure andproperties lead to a number of useful absolute continuity relations. We establish equivalence of the measures, induced by the mixed fBm with stochastic drifts, and derive the corresponding expression for the Radon-Nikodym derivative. For theHurst index H > 3=4 we obtain a representation of the mixed fBm as a diffusion type process in its own filtration and derive a formula for the Radon-Nikodym derivative with respect to the Wiener measure. For H < 1=4, we prove equivalenceto the fractional component and obtain a formula for the corresponding derivative. An area of potential applications is statistical analysis of models, driven by mixed fractional noises. As an example we consider only the basic linear regression setting and show how the MLE can be defined and studied in the large sample asymptotic regime

Le sujet de la thèse porte sur l'étude des approches d'estimation des Signaux à Phase Polynomiale (SPP) noyés par un bruit non gaussien. Nous considérons deux modèles pour le bruit: le premier modèle est défini par une Somme Pondérée de Gaussiennes et le second par des distributions alpha-stables. Dans un premier temps, nous abordons les méthodes classiques d'analyse des SPP. L'utilisation des statistiques d'ordre fractionnaire permet d'obtenir des algorithmes robustes en présence de bruit impulsif; nous exploitons cette propriété pour proposer une Distribution de Wigner-Ville Polynomiale pour l'analyse des SPP. Cette nouvelle distribution, permet de mieux estimer la fréquence instantanée du SPP bruité. La deuxième partie est consacrée aux méthodes récentes d'analyse spectrale adaptées aux SPP. Nous proposons un algorithme MUSIC robuste obtenu par SVD de la matrice de covariation. Cet algorithme nous permet d'estimer les coefficients de la phase dans un plan temps-coefficient. Dans la troisième partie, une approche pour l'estimation des SPP par filtrage de Kalman est présentée. Cette approche repose sur un modèle d'état non linéaire avec un bruit d'observation non gaussien. Nous présentons trois types de filtres de Kalman robustes au bruit impulsif. Le premier, appelé filtre de Kalman étendu robuste utilise un gain de Kalman dépendant de la fonction de Huber. Aussi, nous proposons d'utiliser deux filtres de Kalman étendus (EKF) opérant en parallèle couplés via le terme d'apparition du bruit impulsif. Enfin, il est possible d'améliorer les performances d'estimation en utilisant un filtre UKF ‘unscented Kalman filter' à la place du filtre EKF.

Cette thèse est consacrée à l'étude des solutions d'équations différentielles stochastiques dirigées par des bruits fractionnaires gaussiens et non gaussiens. Les bruits fractionnaires considérés sont modélisés par les processus d'Hermite qui forment une famille de processus stochastiques autosimilaires, à accroissements stationnaires et qui sont représentés par des intégrales stochastiques multiples de Wiener-Itô. Dans un premier travail, nous étudions la solution de l'équation stochastique de la chaleur linéaire dirigée par un champ d'Hermite. Nous établissons les différentes propriétés de la solution mild et analysons en particulier sa distribution en probabilité dans le cas non gaussien. La deuxième partie de cette thèse concerne le comportement asymptotique des solutions d'équations stochastiques lorsque l'exposant de Hurst H qui caractérise le bruit fractionnaire converge vers ses valeurs limites. Nous étudions en particulier le comportement en loi de la solution de l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un champ d'Hermite et le processus d'Ornstein-Uhlenbeck type Hermite qui est la solution de l'équation de Langevin dirigée par un processus d'Hermite. Dans la dernière partie de ce travail, nous analysons le comportement asymptotique en loi des variations généralisées de la solution de l'équation stochastique des ondes dirigée par un bruit gaussien fractionnaire. Ces résultats ont permis de construire des estimateurs consistants pour l'indice d’autosimilarite H
This doctoral thesis is devoted to the study of the solutions of stochastic differential equations driven by additive Gaussian and non-Gaussian noises. As a non-Gaussian driving noise, we use the Hermite processes. These processes form a family of self-similar stochastic processes with stationary increments and long memory and they can be expressed as multiple Wiener-Itô integrals. The class of Hermite processes includes the well-known fractional Brownian motion which is the only Gaussian Hermite process, and the Rosenblatt process. In a first chapter, we consider the solution to the linear stochastic heat equation driven by a multiparameter Hermite process of any order and with Hurst multi-index H. We study the existence and establish various properties of its mild solution. We discuss also its probability distribution in the non-Gaussian case. The second part deals with the asymptotic behavior in distribution of solutions to stochastic equations when the Hurst parameter converges to the boundary of its interval of definition. We focus on the case of the Hermite Ornstein-Uhlenbeck process, which is the solution of the Langevin equation driven by the Hermite process, and on the case of the solution to the stochastic heat equation with additive Hermite noise. These results show that the obtained limits cover a large class of probability distributions, from Gaussian laws to distribution of random variables in a Wiener chaos of higher order. In the last chapter, we consider the stochastic wave equation driven by an additive Gaussian noise which behaves as a fractional Brownian motion in time and as a Wiener process in space. We show that the sequence of generalized variations satisfies a Central Limit Theorem and we estimate the rate of convergence via the Stein-Malliavin calculus. The results are applied to construct several consistent estimators of the Hurst index

Les contributions apportées dans le chapitre sont les suivantes. Premièrement, nous proposons un modèle statistique associé à un champ aléatoire rose fractionnaire afin de caractériser le mur de l'oeil du cyclone et la rugosité de l'oeil (modélisation de texture). Deuxièmement, nous proposons une méthode d'estimation du paramètre de ce modèle de champ fractionnaire rose et de détection de la position spatiale de l'oeil du cyclone. La détection de l'oeil est effectuée par trame d'image, en recherchant la région présentant le plus petit paramètre fractal sous la contrainte que cette region soit entouré par des régions associées à des paramètres d'intensité fractale maximum (mur de l'oeil). Un suivi de l'oeil est aussi proposé sur la base de la méthode de détection de l'oeil, en se focalisant sur une recherche de fenêtre plus serrée et en détectant la position future de l'oeil. Nous construisons une suite chronologique de paramètres associés à chaque position spatiale géoréférencée et décrivons cette suite comme un processus autorégressif à moyenne mobile et intégration fractionnaire (ARFIMA). Le modèle ARFIMA capture les variations statistiques tant à long terme qu'à court terme du processus aléatoire d'intensité fractale du cyclone. L'ouragan Isaac est utilisé comme étude de cas.