Academic literature on the topic 'Schémas en groupes réductifs'

RésuméSoit F un corps local non archimédien, et G le groupe des F-points d’un groupe réductif connexe quasi-déployé défini sur F. Dans cet article, on s’intéresse aux distributions sur G invariantes par conjugaison, et à l’espace de leurs restrictions à l’algèbre de Hecke ℋ des fonctions sur G à support compact biinvariantes par un sous-groupe d’Iwahori I donné. On montre tout d’abord que les valeurs d’une telle distribution sur ℋ sont entièrement déterminées par sa restriction au sous-espace de dimension finie des éléments de ℋ à support dans la réunion des sous-groupes parahoriques de G contenant I. On utilise ensuite cette propriété pour montrer, moyennant certaines conditions sur G, que cet espace est engendré d’une part par certaines intégrales orbitales semi-simples, d’autre part par les intégrales orbitales unipotentes, en montrant tout d’abord des résultats analogues sur les groupes finis.

Les compactifications magnifiques des schémas en groupes réductifs adjoints sur un corps algébriquement clos jouent un role important dans la géométrie algébrique et la théorie des représentations.Dans cette thèse, on construit une compactification équivariante pour schémas en groupes réductifs adjoints sur schémas arbitraires. Nos compactifications paramètrent les compactifications magnifiques classiques de De Concini et Procesi en tant que fibres géométriques. Notre construction est basée sur une variante de la méthode de Artin-Weil des lois de groupes birationnelles, et, dans le cas déployé, ne dépend pas de l'existence d'une compactification magnifique classique sur un corps algébriquement clos. En particulier, notre construction donne une construction intrinsèque de compactifications magnifiques. Le schéma de groupe Picard de nos compactifications est calculé. De plus, nous discutons des différentes applications de notre compactification sur l'étude des torseurs sous schémas de groupes réductifs
Wonderful compactifications of adjoint reductive groups over an algebraically closed field play an important role in algebraic geometry and representation theory. In this thesis, we construct an equivariant com- pactification for adjoint reductive groups over arbitrary base schemes. Our compactifications parameterize classical wonderful compactifications of De Concini and Pro- cesi as geometric fibers. Our construction is based on a variant of the Artin-Weil method of birational group laws, and, in the split case, dose not depend on the existence of the classical wonderful compactification over an algebraically closed field. In particular, our construction gives a new intrinsic construction of wonderful compac- tifications. The Picard group scheme of our compactifi- cations is computed. We also discuss several applications of our compactification in the study of torsors under reductive group schemes

Le but de cette thèse est d'étudier la structure galoisienne de torseurs sous des schémas en groupes finis (ou quasi-finis) et plats. Pour cela, nous utilisons (et généralisons) un homomorphisme défini par W. Waterhouse, ainsi que le << class invariant homomorphism >> défini par M. J. Taylor.

Dans le chapitre I, nous étudions les propriétés fonctorielles de ces homomorphismes. Nous en déduisons une généralisation de résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas concernant le noyau du class invariant homomorphism pour les variétés abéliennes ayant partout bonne réduction qui sont isogènes à un produit de courbes elliptiques.

Dans le chapitre II, nous donnons une lecture du class invariant homomorphism dans le langage des 1-motifs.

Dans le chapitre III, nous généralisons la construction du class invariant homomorphism pour un sous-groupe fini et plat d'un schéma en groupes semi-stable (sur un schéma de base intègre, normal et noethérien) dont la fibre générique est une variété abélienne. Nous étendons également les résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas à cette situation.

Dans le chapitre IV, nous généralisons la construction du chapitre III en considérant un sous-groupe fermé, quasi-fini et plat du modèle de Néron d'une variété abélienne (la base étant un schéma de Dedekind). Ceci nous permet de généraliser un résultat arakélovien du à Agboola et Pappas.

A. Iliev et L. Manivel inspirés par la construction par S. Mukai d'une variété classant les réductions de Gauss d'une quadrique projective lisse, et les dégénérescences de ces réductions, définissent la variété des réductions d'une algèbre de Jordan simple. En étudiant ces variétés, ils trouvent trois nouvelles variétés de Fano. Les variétés de Fano sont intéressantes pour leur riche géométrie et pour le rôle qu'elles jouent en géométrie birationnelle, il est cependant rare d'en découvrire de nouvelles. Je généralise la construction des variétés de réductions pour les paires symétriques réductives, démontre des propriétés générales de ces variétés et étudie trois exemples. La variété des réductions d'une paire symétrique réductive est une variété projective quasi-homogène sous l'action du groupe fixe de la paire symétrique, dont l'orbite ouverte est l'ensemble des algèbres anisotropes, réductives, maximales de la paire symétrique. Pour les propriétés générales, l'application centralisateur, une application rationnelle de l'espace anisotrope vers la variété des réductions, permet d'isoler un gros ouvert du lieu lisse de la variété des réductions, d'y élucider la combinatoire des orbites, et de généraliser aux paires symétriques un résultat connu sur le lieu irrégulier d'une algèbre de Lie simple. Je classe les sous-espaces linéaires de la variété des réductions contenant un point général, et en déduit dans les cas favorables un résultat de positivité pour la classe anticanonique de la variété. Parmi les trois cas particuliers étudiés, on trouve deux variétés de Fano, l'une lisse de dimension 6 et indice 2, l'autre singulière et normale, de dimension 8 et indice 3
Inspired by the construction by S. Mukai of a variety classifying Gauss reductions of a smooth projective quadric, A. Iliev and L. Manivel define the variety of reductions for a simple Jordan algebra. Study of these varieties bring up three new Fano varieties. General interset towards Fano varieties is two-fold: on the first side, their intrinsec geometry is remarkable, an the second side, they play a crucial part in birational geometry. New ones are however seldom found. I generalise this construction to reductive symmetric pairs, study some of their general properties and three small dimension examples. These varieties are projective, quasi-homogenous under the operation of the fixed point group of the symmetric pair. Points in the open orbit are the anisotropic, reductive, maximal subalgebras of the symmetric pair. In the general setup, I explain how the centralizer map, a rational map from the anisotropic space to the variety of reductions, parametrizes a smooth open subset, simplifies the study of combinatorial properties of the orbits in this open subset, and allows to slightly generalise to symmetric-pair's context the well-known description of the irregular locus of simple Lie algebras. I classify linear subspaces of the variety of reductions through a general point, and deduce, for the good cases, the positivity of the anticanonical class of the variety. Among studied examples lie two Fano varieties, one is a smooth 6-fold of index 2, the second is a singular normal 8-fold of index 3

Dans cette thèse, on s'intéresse à la possibilité de plonger un tore T dans un groupe réductif G selon une donnée radicielle tordue sur un schéma S. Un cas particulier de ce problème est lié au problème de plongement d'une algèbre étale avec involution dans une algèbre centrale simple avec involution, qui est considérée par Prasad et Rapinchuk. Pour aborder ce problème, on définit le foncteur de plongement, ensuite on montre qu'il est représentable. Par suite, on peut reformuler le problème original en un problème d'existence des S-points du foncteur de plongement. Afin de fixer une composante connexe du foncteur de plongement, on définit une orientation u de la donnée radicielle par rapport à G et considère le foncteur de plongement orienté. On montre que le foncteur de plongement orienté est un espace homogène sous l'action adjointe de G. De plus, on montre que sur un corps local L, l'orientation u et l'index de Tits de G détermine l'existence des L-points du foncteur de plongement orienté. Utilisant aussi les techniques développées par Borovoi, on prouve le principe local-global pour les foncteurs de plongement orientés danscertains cas. En fait, l'obstruction de Brauer-Manin est la seule obstruction au principe local-global pour les foncteurs de plongement orientés. Enfin, on donne une preuve plus conceptuelle du théorème de Prasad et Rapinchuk en appliquant les résultats sur les foncteurs de plongement orienté, tout en généralisant le Théorème 7. 3 dans l’article « Local-Global Principles for Embedding of Fields with Involution into Simple Algebras with Involution » par Prasad et Rapinchuk
In this thesis, we focus on how to embed a torus T into a reductive group G with respect to a given root datum  over a scheme S. This problem also relates to how to embed an étale algebra with involution into a central simple algebra with involution. We approach this problem by defining the embedding functor, and prove that it is a left homogeneous space over S under the automorphism group AutS-grp(G) and a right principal homogeneous space over the scheme of maximal tori under the automorphism group Aut(). Therefore, it is representable. Then we can reformulate the original problem into the problem of existence of the S-points of the embedding functor. In order to fix a connected component of the embedding functor, we define an orientation u of  with respect to G. We show that the oriented embedding functor is a homogeneous space under the adjoint action of G. Moreover, we show that over a local field L, the orientation u and the Tits index of G determine the existence of L-points of the oriented embedding functor. We also use the techniques developed in Borovoi's paper to prove that the local-global principle holds for oriented embedding functors in certain cases. Actually, the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to the local-global principle for the oriented embedding functor. Finally, we apply the results of oriented embedding functors to give an alternative proof of Prasad and Rapinchuk's Theorem, and improve Theorem 7. 3 in their paper “Local-Global Principles for Embedding of Fields with Involution into Simple Algebras with Involution”

Les integrales orbitales ordinaires ou tordues sur un groupe de lie reductif g reel apparaissent au meme titre que leurs analogues sur les groupes reductifs p-adique, dans la theorie des formes automorphes. Elles forment le cote geometrique de la formule des traces dans le cas d'un sous-groupe discret co-compact ou dans la description du spectre discret dans le cas general. On obtient tout d'abord une caracterisation des integrales orbitales tordues. On etablit ensuite un theoreme de type paley-wiener invariant et on en donne une application au calcul de multiplicites dans la formule des traces tordues. On obtient ensuite une formule d'inversion des integrales orbitales tordues

Cette thèse porte sur l’étude des actions (rationnelles) des schémas en groupes infinitésimaux, avec un accent particulier sur les schémas en groupes infinitésimaux commutatifs unipotents et les actions génériquement libres et les actions fidèles. Pour tout k-schéma en groupes fini G agissant rationnellement sur une k-variété X, si l’action est génériquement libre, alors la dimension de l’algèbre Lie(G) est majorée par la dimension de la variété. Nous montrons que c’est la seule obstruction lorsque k est un corps parfait de caractéristique positive et que G est infinitésimal commutatif trigonalisable. Si G est unipotent, nous montrons aussi que toute action rationnelle génériquement libre sur X du noyau de (toute puissance du) Frobenius de G s’étend à une action rationnelle génériquement libre de G sur X. De plus, nous donnons des conditions nécessaires pour avoir des actions rationnelles fidèles de schémas en groupes infinitésimaux commutatifs trigonalisables sur des variétés, et des conditions suffisantes (différentes) dans le cas unipotent sur un corps parfait. L’étude des actions fidèles des schémas en groupes sur une variété X fournit des informations sur les sous-groupes représentables du foncteur-groupe des automorphismes AutX de X. Pour tout corps k, PGL2,k représente le foncteur-groupe des automorphismes de P1 k et donc les sous-schémas en groupes de PGL2,k correspondent aux actions fidèles sur P1 k. De plus, PGL2,k(k) coïncide avec le groupe de Cremona en dimension un, c’est-à-dire les morphismes birationnels de P1 k, puisque toute application rationnelle d’une courbe projective non singulière dans elle-même s’étend à la courbe entière. En caractéristique positive, la situation est complètement différente si l’on considère les actions rationnelles de schémas en groupes infinitésimaux. La plupart des actions infinitésimales fidèles sur la droite affine ne s’étendent pas à P1 k. Si la caractéristique d’un corps k est impaire, tout sous-schéma en groupes infinitésimal de PGL2,k se relève à SL2,k. Ceci n’est pas vrai en caractéristique 2 et, dans ce cas, nous donnons une description complète, à isomorphisme près, des sous-schémas en groupes infinitésimaux unipotents de PGL2,k. Enfin, nous prouvons un résultat qui donne une description explicite de tous les k-schémas en groupes infinitésimaux commutatifs unipotents avec algèbre de Lie unidimensionnelle définis sur un corps algébriquement clos k, montrant qu’il y a exactement n tels schémas en groupes non isomorphes d’ordre fixé pn
This thesis focuses on the study of (rational) actions of infinitesimal group schemes, with a particular emphasis on infinitesimal commutative unipotent group schemes and generically free actions and faithful actions. For any finite k-group scheme G acting rationally on a k-variety X, if the action is generically free then the dimension of Lie(G) is upper bounded by the dimension of the variety. We show that this is the only obstruction when k is a perfect field of positive characteristic and G is infinitesimal commutative trigonalizable. If G is unipotent, we also show that any generically free rational action on X of (any power of) the Frobenius kernel of G extends to a generically free rational action of G on X. Moreover, we give necessary conditions to have faithful rational actions of infinitesimal commutative trigonalizable group schemes on varieties, and (different) sufficient conditions in the unipotent case over a perfect field. Studying faithful group scheme actions on a variety X yields information on representable subgroups of the automorphism group functor AutX of X. For any field k, PGL2,k represents the automorphism group functor of P1 k and thus subgroup schemes of PGL2,k correspond to faithful actions on P1 k. Moreover, PGL2,k(k) coincides with the Cremona group in dimension one, i.e. birational self-maps of P1 k, since any rational self-map of a projective non-singular curve extends to the whole curve. In positive characteristic, the situation is completely different if we consider rational actions of infinitesimal group schemes. Most of the faithful infinitesimal actions on the affine line do not extend to P1 k. If the characteristic of a field k is odd, any infinitesimal subgroup scheme of PGL2,k lifts to SL2,k. This is not true in characteristic 2 and, in this case, we give a complete description, up to isomorphism, of infinitesimal unipotent subgroup schemes of PGL2,k. Finally, we prove a result that gives an explicit description of all infinitesimal commutative unipotent k-group schemes with one-dimensional Lie algebra defined over an algebraically closed field k, showing that there are exactly n non-isomorphic such group schemes of fixed order pn

Ce travail comprend deux parties indépendantes. La première (chap. I à III) porte sur la géométrie logarithmique. Au chap. I on définit le groupe fondamental logarithmique d'un log schéma fs, et l'on prouve pour celui-ci un théorème de spécialisation à la Grothendieck dans le cas propre et log lisse sur un trait hensélien. On se place ensuite sur un point logarithmique standard s de caractèristique p. Au chap. II, on montre que, si X est un log schéma fs séparé et de type fini sur s, la cohomologie Kummer étale l-adique (l différent de p) de la fibre log géométrique de X est de type fini et munie d'une action quasi-unipotente de l'inertie logarithmique; on étudie les exposants. Au chap. III, pour s = Spec(k), k fini de cardinal q, on définit à la Rapoport la fonction zêta semi-simple Kummer étale l-adique de X. On prouve sa rationalité et son indépendance en l. Dans le cas propre log lisse vertical de Cartier, on en donne une interprétation log cristalline, et l'on décrit ses zéros et ses pôles sur les couronnes p-adiques de rayon une puissance entière de q. .
This work consists of two independent parts. The first one (chaps. I through III) deals with logarithmic geometry. In chap. I we define the logarithmic fundamental group of an fs log scheme and in the proper and log smooth case over the spectrum of a henselian dvr we prove that it satisfies a specialization theorem à la Grothendieck. We then consider a standard logarithmic point s of characteristic p. In chap. II we show that if X is an fs log scheme, separated and of finite type over s, the l-adic Kummer etale cohomology (l different from p) of the log geometric fiber of X finitely generated and endowed with a quasi-unipotent action of the logarithmic inertia, and we study the exponents. In chap. III, for k finite with q elements we define, à la Rapoport, the l-adic Kummer etale semi-simple zeta function of X. We prove it is rational and independent of l. In the proper, log smooth, vertical, Cartier type case we interpret it in terms of log crystalline cohomology and describe its zeroes and poles on the p-adic annuli of radius an integral power of q. .

Soit p un nombre premier. Cette thèse est une contribution à la théorie des représentations modulo p des groupes réductifs p-adiques, jusque là essentiellement centrée sur le groupe linéaire général GL(n) défini sur un corps local non archimédien F complet pour une valuation discrète, de caractéristique résiduelle p et de corps résiduel fini. L'originalité de nos travaux réside notamment dans le fait qu'ils concernent d'autres groupes : nous nous intéressons en effet à la description des classes d'isomorphisme des représentations modulo p de groupes formés des F-points d'un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé de rang semi-simple égal à 1 sur F. Une place particulière est accordée au groupe spécial linéaire SL(2) et au groupe unitaire quasi-déployé non ramifié en trois variables U(2,1). Dans ces deux cas, nous montrons que les classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles admissibles à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique p se scindent en deux familles : les représentations non supersingulières et les représentations supersingulières. Nous décrivons complètement les représentations non supersingulières, et montrons que la notion de supersingularité est équivalence à la notion de supercuspidalité apparaissant dans la théorie complexe. Nous donnons aussi une description explicite des représentations supersingulières de SL(2,Q_{p}), ce qui nous permet de définir dans ce cas une correspondance de Langlands locale semi-simple modulo p compatible à celle construite par Breuil pour GL(2). Nous généralisons ensuite les méthodes utilisées jusqu'alors pour obtenir la description des représentations non supercuspidales de G(F) lorsque G est un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé, et rang semi-simple égal à 1 sur F. Elle fait apparaître trois familles deux à deux disjointes de représentations : les caractères, les représentations de la série principale et celles de la série spéciale. Nous terminons par une classification des modules à droite simples sur la pro-p-algèbre de Hecke-Iwahori H de SL(2,F). On déduit en particulier que l'application qui envoie une représentation lisse modulo p de SL(2,F) sur son espace de vecteurs invariants sous l'action du pro-p-sous-groupe d'Iwahori induit une bijection entre l'ensemble des classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles non supersingulières de SL(2,F) et l'ensemble des classes d'isomorphisme des H-modules à droite simples non supersinguliers. Cette bijection s'étend aux objets supersinguliers lorsque l'on suppose que F = Q_{p}, ce qui est de bon augure dans la recherche d'une équivalence de catégories analogue à celle obtenue par Ollivier dans le cadre de la théorie existant pour GL(2, Q_{p}).

Cette thèse achève la classification des sous-schémas en groupes paraboliques des groupes algébriques semi-simples sur un corps algébriquement clos, en particulier de caractéristique deux et trois. Dans un premier temps, nous présentons la classification en supposant que la partie réduite de ces sous-groupes soit maximale, avant de passer au cas général. Nous parvenons à une description quasiment uniforme : à l'exception d'un groupe de type G₂ en caractéristique deux, chaque sous-schémas en groupes parabolique est obtenu en multipliant des paraboliques réduits par des noyaux d'isogénies purement inséparables, puis en prenant l'intersection. En conclusion, nous discutons quelques implications géométriques de cette classification
This thesis brings to an end the classification of parabolic subgroup schemes of semisimple groups over an algebraically closed field, focusing on characteristic two and three. First, we present the classification under the assumption that the reduced part of these subgroups is maximal; then we proceed to the general case. We arrive at an almost uniform description: with the exception of a group of type G₂ in characteristic two, any parabolic subgroup scheme is obtained by multiplying reduced parabolic subgroups by kernels of purely inseparable isogenies, then taking the intersection. In conclusion, we discuss some geometric implications of this classification