Dissertations / Theses on the topic 'Rare event probability'

Cette thèse vise à formuler des méthodes innovantes de quantification d'incertitude (UQ) à la fois pour l'optimisation robuste (RO) et l'optimisation robuste et fiable (RBDO). L’application visée est l’optimisation des turbines supersoniques pour les Cycles Organiques de Rankine (ORC).Les sources d'énergie typiques des systèmes d'alimentation ORC sont caractérisées par une source de chaleur et des conditions thermodynamiques entrée/sortie de turbine variables. L'utilisation de composés organiques, généralement de masse moléculaire élevée, conduit à des configurations de turbines sujettes à des écoulements supersoniques et des chocs, dont l'intensité augmente dans les conditions off-design; ces caractéristiques dépendent également de la forme locale de la pâle, qui peut être influencée par la variabilité géométrique induite par les procédures de fabrication. Il existe un consensus sur la nécessité d’inclure ces incertitudes dans la conception, nécessitant ainsi des méthodes UQ et un outil permettant l'optimisation de form adapté.Ce travail est décomposé en deux parties principales. La première partie aborde le problème de l’estimation des événements rares en proposant deux méthodes originales pour l'estimation de probabilité de défaillance (metaAL-OIS et eAK-MCS) et un pour le calcul quantile (QeAK-MCS). Les trois méthodes reposent sur des stratégies d’adaptation basées sur des métamodèles (Kriging), visant à affiner directement la région dite Limit-State-Surface (LSS), contrairement aux methodes de type Subset Simulation (SS). En effet, ces dernières considèrent différents seuils intermédiaires associés à des LSSs devant être raffinés. Cette propriété de raffinement direct est cruciale, car elle permet la compatibilité de couplage à des méthodes RBDO existantes.En particulier, les algorithmes proposés ne sont pas soumis à des hypothèses restrictives sur le LSS (contrairement aux méthodes de type FORM/SORM), tel que le nombre de modes de défaillance, cependant doivent être formulés dans l’espace standard. Les méthodes eAK-MCS et QeAK-MCS sont dérivées de la méthode AK-MCS, et d'un échantillonnage adaptatif et parallèle basé sur des algorithmes de type K-Means pondéré. MetaAL-OIS présente une stratégie de raffinement séquentiel plus élaborée basée sur des échantillons MCMC tirés à partir d'une densité d'échantillonage d'importance (ISD) quasi optimale. Par ailleurs, il propose la construction d’une ISD de type mélange de gaussiennes, permettant l’estimation précise de petites probabilités de défaillance lorsqu’un grand nombre d'échantillons (plusieurs millions) est disponible, comme alternative au SS. Les trois méthodes sont très performantes pour des exemples analytiques 2D à 8D classiques, tirés de la littérature sur la fiabilité des structures, certaines présentant plusieurs modes de défaillance, et tous caractérisés par une très faible probabilité de défaillance/niveau de quantile. Des estimations précises sont obtenues pour les cas considérés en un nombre raisonnable d'appels à la fonction de performance
This thesis aims to formulate innovative Uncertainty Quantification (UQ) methods in both Robust Optimization (RO) and Reliability-Based Design Optimization (RBDO) problems. The targeted application is the optimization of supersonic turbines used in Organic Rankine Cycle (ORC) power systems.Typical energy sources for ORC power systems feature variable heat load and turbine inlet/outlet thermodynamic conditions. The use of organic compounds with a heavy molecular weight typically leads to supersonic turbine configurations featuring supersonic flows and shocks, which grow in relevance in the aforementioned off-design conditions; these features also depend strongly on the local blade shape, which can be influenced by the geometric tolerances of the blade manufacturing. A consensus exists about the necessity to include these uncertainties in the design process, so requiring fast UQ methods and a comprehensive tool for performing shape optimization efficiently.This work is decomposed in two main parts. The first one addresses the problem of rare events estimation, proposing two original methods for failure probability (metaAL-OIS and eAK-MCS) and one for quantile computation (QeAK-MCS). The three methods rely on surrogate-based (Kriging) adaptive strategies, aiming at refining the so-called Limit-State Surface (LSS) directly, unlike Subset Simulation (SS) derived methods. Indeed, the latter consider intermediate threshold associated with intermediate LSSs to be refined. This direct refinement property is of crucial importance since it enables the adaptability of the developed methods for RBDO algorithms. Note that the proposed algorithms are not subject to restrictive assumptions on the LSS (unlike the well-known FORM/SORM), such as the number of failure modes, however need to be formulated in the Standard Space. The eAK-MCS and QeAK-MCS methods are derived from the AK-MCS method and inherit a parallel adaptive sampling based on weighed K-Means. MetaAL-OIS features a more elaborate sequential refinement strategy based on MCMC samples drawn from a quasi-optimal ISD. It additionally proposes the construction of a Gaussian mixture ISD, permitting the accurate estimation of small failure probabilities when a large number of evaluations (several millions) is tractable, as an alternative to SS. The three methods are shown to perform very well for 2D to 8D analytical examples popular in structural reliability literature, some featuring several failure modes, all subject to very small failure probability/quantile level. Accurate estimations are performed in the cases considered using a reasonable number of calls to the performance function.The second part of this work tackles original Robust Optimization (RO) methods applied to the Shape Design of a supersonic ORC Turbine cascade. A comprehensive Uncertainty Quantification (UQ) analysis accounting for operational, fluid parameters and geometric (aleatoric) uncertainties is illustrated, permitting to provide a general overview over the impact of multiple effects and constitutes a preliminary study necessary for RO. Then, several mono-objective RO formulations under a probabilistic constraint are considered in this work, including the minimization of the mean or a high quantile of the Objective Function. A critical assessment of the (Robust) Optimal designs is finally investigated

Response adaptive designs intend to allocate more patients to better treatments without undermining the validity and the integrity of the trial. The immediacy of the primary response (e.g. deaths, remission) determines the efficiency of the response adaptive design, which often requires outcomes to be quickly or immediately observed. This presents difficulties for survival studies, which may require long durations to observe the primary endpoint. Therefore, we introduce auxiliary endpoints to assist the adaptation with the primary endpoint, where an auxiliary endpoint is generally defined as any measurement that is positively associated with the primary endpoint. Our proposed design (referred to as bivariate adaptive design) is based on the classical response adaptive design framework. The connection of auxiliary and primary endpoints is established through Bayesian method. We extend parameter space from one dimension to two dimensions, say primary and auxiliary efficacies, by implementing a conditional weigh function on the loss function of the design. The allocation ratio is updated at each stage by optimization of the loss function subject to the information provided for both the auxiliary and primary outcomes. We demonstrate several methods of joint modeling the auxiliary and primary outcomes. Through simulation studies, we show that the bivariate adaptive design is more effective in assigning patients to better treatments as compared with univariate optimal and balanced designs. As hoped, this joint-approach also reduces the expected number of patient failures and preserves the comparable power as compared with other designs.

Les systèmes aérospatiaux sont des systèmes complexes dont la fiabilité doit être garantie dès la phase de conception au regard des coûts liés aux dégâts gravissimes qu’engendrerait la moindre défaillance. En outre, la prise en compte des incertitudes influant sur le comportement (incertitudes dites « aléatoires » car liées à la variabilité naturelle de certains phénomènes) et la modélisation de ces systèmes (incertitudes dites « épistémiques » car liées au manque de connaissance et aux choix de modélisation) permet d’estimer la fiabilité de tels systèmes et demeure un enjeu crucial en ingénierie. Ainsi, la quantification des incertitudes et sa méthodologie associée consiste, dans un premier temps, à modéliser puis propager ces incertitudes à travers le modèle numérique considéré comme une « boîte-noire ». Dès lors, le but est d’estimer une quantité d’intérêt fiabiliste telle qu’une probabilité de défaillance. Pour les systèmes hautement fiables, la probabilité de défaillance recherchée est très faible, et peut être très coûteuse à estimer. D’autre part, une analyse de sensibilité de la quantité d’intérêt vis-à-vis des incertitudes en entrée peut être réalisée afin de mieux identifier et hiérarchiser l’influence des différentes sources d’incertitudes. Ainsi, la modélisation probabiliste des variables d’entrée (incertitude épistémique) peut jouer un rôle prépondérant dans la valeur de la probabilité obtenue. Une analyse plus profonde de l’impact de ce type d’incertitude doit être menée afin de donner une plus grande confiance dans la fiabilité estimée. Cette thèse traite de la prise en compte de la méconnaissance du modèle probabiliste des entrées stochastiques du modèle. Dans un cadre probabiliste, un « double niveau » d’incertitudes (aléatoires/épistémiques) doit être modélisé puis propagé à travers l’ensemble des étapes de la méthodologie de quantification des incertitudes. Dans cette thèse, le traitement des incertitudes est effectué dans un cadre bayésien où la méconnaissance sur les paramètres de distribution des variables d‘entrée est caractérisée par une densité a priori. Dans un premier temps, après propagation du double niveau d’incertitudes, la probabilité de défaillance prédictive est utilisée comme mesure de substitution à la probabilité de défaillance classique. Dans un deuxième temps, une analyse de sensibilité locale à base de score functions de cette probabilité de défaillance prédictive vis-à-vis des hyper-paramètres de loi de probabilité des variables d’entrée est proposée. Enfin, une analyse de sensibilité globale à base d’indices de Sobol appliqués à la variable binaire qu’est l’indicatrice de défaillance est réalisée. L’ensemble des méthodes proposées dans cette thèse est appliqué à un cas industriel de retombée d’un étage de lanceur
Aerospace systems are complex engineering systems for which reliability has to be guaranteed at an early design phase, especially regarding the potential tremendous damage and costs that could be induced by any failure. Moreover, the management of various sources of uncertainties, either impacting the behavior of systems (“aleatory” uncertainty due to natural variability of physical phenomena) and/or their modeling and simulation (“epistemic” uncertainty due to lack of knowledge and modeling choices) is a cornerstone for reliability assessment of those systems. Thus, uncertainty quantification and its underlying methodology consists in several phases. Firstly, one needs to model and propagate uncertainties through the computer model which is considered as a “black-box”. Secondly, a relevant quantity of interest regarding the goal of the study, e.g., a failure probability here, has to be estimated. For highly-safe systems, the failure probability which is sought is very low and may be costly-to-estimate. Thirdly, a sensitivity analysis of the quantity of interest can be set up in order to better identify and rank the influential sources of uncertainties in input. Therefore, the probabilistic modeling of input variables (epistemic uncertainty) might strongly influence the value of the failure probability estimate obtained during the reliability analysis. A deeper investigation about the robustness of the probability estimate regarding such a type of uncertainty has to be conducted. This thesis addresses the problem of taking probabilistic modeling uncertainty of the stochastic inputs into account. Within the probabilistic framework, a “bi-level” input uncertainty has to be modeled and propagated all along the different steps of the uncertainty quantification methodology. In this thesis, the uncertainties are modeled within a Bayesian framework in which the lack of knowledge about the distribution parameters is characterized by the choice of a prior probability density function. During a first phase, after the propagation of the bi-level input uncertainty, the predictive failure probability is estimated and used as the current reliability measure instead of the standard failure probability. Then, during a second phase, a local reliability-oriented sensitivity analysis based on the use of score functions is achieved to study the impact of hyper-parameterization of the prior on the predictive failure probability estimate. Finally, in a last step, a global reliability-oriented sensitivity analysis based on Sobol indices on the indicator function adapted to the bi-level input uncertainty is proposed. All the proposed methodologies are tested and challenged on a representative industrial aerospace test-case simulating the fallout of an expendable space launcher

Il est essentiel de calculer la probabilité de collisions aériennes pour optimiser le trafic aérien tout en maintenant de hauts standards de sécurité. Cette nécessité s'est accentuée dans les années 1960 avec l'augmentation du trafic aérien commercial transatlantique. Initialement, les modèles analytiques tels que ceux de Reich et Anderson-Hsu étaient les références pour évaluer les risques de collision en vol, mais s’avèrent peu adaptés aux espaces aériens complexes autour des aéroports.Les méthodes basées sur les données, et en particulier les simulations de Monte-Carlo, sont devenues une alternative prometteuse pour l'évaluation du risque de collision. Elles offrent une grande flexibilité grâce à des hypothèses simplifiées, les rendant adaptables à divers contextes. Toutefois, les simulations de Monte-Carlo classiques se révèlent peu efficaces pour estimer les probabilités d'événements rares, nécessitant un grand nombre de trajectoires d'avions et des ressources computationnelles importantes. Cette thèse propose un modèle de risque de collision basé sur les simulations de Monte-Carlo, utilisant un modèle de génération de trajectoires pour pallier ces limitations dues aux événements rares. Ces méthodes génératives reproduisent fidèlement les distributions de trajectoires observées tout en intégrant les incertitudes dues à des facteurs externes. Trois axes de recherche principaux sont définis : (i) le développement d'une méthode de génération de trajectoires, (ii) la construction d'un modèle de risque de collision basé sur les méthodes de Monte-Carlo utilisant des trajectoires synthétiques, et (iii) l'amélioration de l'interprétabilité des estimations du risque de collision.La génération d'échantillons synthétiques nécessite l'estimation de la distribution des données observées pour garantir une distribution identique des nouveaux échantillons. C'est particulièrement important pour les trajectoires aériennes, où le modèle doit refléter les incertitudes causant des écarts par rapport aux trajectoires nominales. Nous avons d’abord utilisé des méthodes d'apprentissage statistique traditionnelles pour estimer des trajectoires aériennes complexes en deux dimensions. Malgré la réduction de la dimensionnalité du problème, les méthodes conventionnelles peinent à estimer les distributions en grande dimension. Nous avons alors exploré l’utilisation des autoencodeurs variationnels pour une estimation plus fine de la densité de probabilité. Convenablement adaptés aux applications de séries temporelles multivariées, les autoencodeurs variationnels se révèlent efficaces pour estimer la distribution de trajectoires aériennes complexes.En utilisant la méthode de génération développée, nous estimons alors le risque de perte de séparation induit par les procédures de décollage et d'atterrissage de l'aéroport de Paris-Orly à l'aide de simulations de Monte-Carlo. L'emploi d'une méthode de génération de trajectoires se révèle prometteur, permettant de créer l'équivalent de 20 ans de trajectoires aériennes à partir de seulement deux mois d'observations. Toutefois, les contraintes inhérentes aux méthodes classiques de Monte-Carlo ne sont pas réellement surmontées mais simplement différées par la production d'un ensemble de trajectoires de taille arbitrairement grande.Le travail final de cette thèse unifie les cadres de l'autoencodeur variationnel et de la quantification de l'incertitude. Il démontre comment les autoencodeurs variationnels peuvent construire des distributions d'entrée adaptées pour les algorithmes de quantification de l'incertitude, améliorant la fiabilité des simulations de Monte-Carlo grâce au subset simulation et l'explicabilité de l'estimation de la probabilité de collision en vol par l'analyse de sensibilité. Plus généralement, nous avons montré que l’autoencodeur variationel représente un outil prometteur à associer aux problèmes de quantification d’incertitudes
It is essential to calculate the probability of aircraft collisions to optimise air traffic while maintaining high safety standards. This need became more pronounced in the 1960s with the increase in transatlantic commercial air traffic. Initially, analytical models such as those of Reich and Anderson-Hsu were benchmarks for assessing in-flight collision risks, but they proved to be less suited for the complex airspace around airports.Data-driven methods, especially Monte Carlo simulations, have become a promising alternative for collision risk assessment. They offer significant flexibility through simplified assumptions, making them adaptable to various contexts. However, traditional Monte Carlo simulations are inefficient for estimating rare event probabilities, requiring a large number of aircraft trajectories and substantial computational resources. This thesis proposes a collision risk model based on Monte Carlo simulations, using a trajectory generation model to overcome these limitations associated with rare events. These generative methods faithfully reproduce observed trajectory distributions while incorporating uncertainties from external factors. Three main research areas are defined: (i) developing a trajectory generation method, (ii) constructing a Monte Carlo-based collision risk model using synthetic trajectories, and (iii) improving the interpretability of collision risk estimates.Generating synthetic samples involves estimating the distribution of observed data to ensure identical distribution in new samples. This is particularly important for aircraft trajectories, where the model must reflect uncertainty sources causing deviations from standard trajectories. We initially use traditional statistical learning methods to estimate complex two-dimensional aircraft trajectories. Despite reducing the problem's dimensionality, conventional methods struggle with high-dimensional distribution estimation. We then explore the use of variational autoencoders for more refined probability density estimation. Suitably adapted for multivariate time-series applications, variational autoencoders prove effective for estimating the distribution of complex aircraft trajectories.Using the developed generation method, we estimate the risk of loss of separation induced by the departure and approach procedures of Paris-Orly Airport using Monte Carlo simulations. The use of a trajectory generation method proves promising, allowing the creation of the equivalent of 20 years of air traffic trajectories from only two months of observations. However, this direct method has limitations for estimating extremely low collision probabilities, requiring the use of one variational autoencoder per flight procedure considered in the studied scenario. The processes of trajectory generation and collision risk evaluation are distinctly separated. Consequently, the inherent constraints of classical Monte Carlo methods are not truly overcome but merely postponed by the production of a set of arbitrarily large trajectories.The thesis's final work unifies the frameworks of variational autoencoders and uncertainty quantification. It demonstrates how variational autoencoders can build suitable input distributions for uncertainty quantification algorithms, enhancing the reliability of Monte Carlo simulations through subset simulation and the explainability of mid-air collision probability estimation through sensitivity analysis. More broadly, we show that the variational autoencoder represents a promising tool to be associated with uncertainty quantification problems

La thèse porte sur la conception et l'analyse mathématique de méthodes de Monte Carlo fiables et précises pour l'estimation de la (très petite) probabilité qu'un processus de Markov atteigne une région critique de l'espace d'état avant un instant final déterministe. L'idée sous-jacente aux méthodes de branchement multi-niveaux étudiées ici est de mettre en place une suite emboitée de régions intermédiaires de plus en plus critiques, de telle sorte qu'atteindre une région intermédiaire donnée sachant que la région intermédiaire précédente a déjà été atteinte, n'est pas si rare. En pratique, les trajectoires sont propagées, sélectionnées et répliquées dès que la région intermédiaire suivante est atteinte, et il est facile d'estimer avec précision la probabilité de transition entre deux régions intermédiaires successives. Le biais dû à la discrétisation temporelle des trajectoires du processus de Markov est corrigé en utilisant des régions intermédiaires perturbées, comme proposé par Gobet et Menozzi. Une version adaptative consiste à définir automatiquement les régions intermédiaires, à l’aide de quantiles empiriques. Néanmoins, une fois que le seuil a été fixé, il est souvent difficile voire impossible de se rappeler où (dans quel état) et quand (à quel instant) les trajectoires ont dépassé ce seuil pour la première fois, le cas échéant. La contribution de la thèse consiste à utiliser une première population de trajectoires pilotes pour définir le prochain seuil, à utiliser une deuxième population de trajectoires pour estimer la probabilité de dépassement du seuil ainsi fixé, et à itérer ces deux étapes (définition du prochain seuil, et évaluation de la probabilité de transition) jusqu'à ce que la région critique soit finalement atteinte. La convergence de cet algorithme adaptatif à deux étapes est analysée dans le cadre asymptotique d'un grand nombre de trajectoires. Idéalement, les régions intermédiaires doivent êtres définies en terme des variables spatiale et temporelle conjointement (par exemple, comme l'ensemble des états et des temps pour lesquels une fonction scalaire de l’état dépasse un niveau intermédiaire dépendant du temps). Le point de vue alternatif proposé dans la thèse est de conserver des régions intermédiaires simples, définies en terme de la variable spatiale seulement, et de faire en sorte que les trajectoires qui dépassent un seuil précocement sont davantage répliquées que les trajectoires qui dépassent ce même seuil plus tardivement. L'algorithme résultant combine les points de vue de l'échantillonnage pondéré et du branchement multi-niveaux. Sa performance est évaluée dans le cadre asymptotique d'un grand nombre de trajectoires, et en particulier un théorème central limite est obtenu pour l'erreur d'approximation relative
The thesis deals with the design and mathematical analysis of reliable and accurate Monte Carlo methods in order to estimate the (very small) probability that a Markov process reaches a critical region of the state space before a deterministic final time. The underlying idea behind the multilevel splitting methods studied here is to design an embedded sequence of intermediate more and more critical regions, in such a way that reaching an intermediate region, given that the previous intermediate region has already been reached, is not so rare. In practice, trajectories are propagated, selected and replicated as soon as the next intermediate region is reached, and it is easy to accurately estimate the transition probability between two successive intermediate regions. The bias due to time discretization of the Markov process trajectories is corrected using perturbed intermediate regions as proposed by Gobet and Menozzi. An adaptive version would consist in the automatic design of the intermediate regions, using empirical quantiles. However, it is often difficult if not impossible to remember where (in which state) and when (at which time instant) did each successful trajectory reach the empirically defined intermediate region. The contribution of the thesis consists in using a first population of pilot trajectories to define the next threshold, in using a second population of trajectories to estimate the probability of exceeding this empirically defined threshold, and in iterating these two steps (definition of the next threshold, and evaluation of the transition probability) until the critical region is reached. The convergence of this adaptive two-step algorithm is studied in the asymptotic framework of a large number of trajectories. Ideally, the intermediate regions should be defined in terms of the spatial and temporal variables jointly (for example, as the set of states and times for which a scalar function of the state exceeds a time-dependent threshold). The alternate point of view proposed in the thesis is to keep intermediate regions as simple as possible, defined in terms of the spatial variable only, and to make sure that trajectories that manage to exceed a threshold at an early time instant are more replicated than trajectories that exceed the same threshold at a later time instant. The resulting algorithm combines importance sampling and multilevel splitting. Its preformance is evaluated in the asymptotic framework of a large number of trajectories, and in particular a central limit theorem is obtained for the relative approximation error

Les études de Sûreté de Fonctionnement (SdF) sur les barrières instrumentées de sécurité représentent un enjeu important dans de nombreux domaines industriels. Afin de pouvoir réaliser ce type d'études, TOTAL développe depuis les années 80 le logiciel GRIF. Pour prendre en compte la complexité croissante du contexte opératoire de ses équipements de sécurité, TOTAL est de plus en plus fréquemment amené à utiliser le moteur de calcul MOCA-RP du package Simulation. MOCA-RP permet d'analyser grâce à la simulation de Monte-Carlo (MC) les performances d'équipements complexes modélisés à l'aide de Réseaux de Petri (RP). Néanmoins, obtenir des estimateurs précis avec MC sur des équipements très fiables, tels que l'indisponibilité, revient à faire de la simulation d'événements rares, ce qui peut s'avérer être coûteux en temps de calcul. Les méthodes standard d'accélération de la simulation de Monte-Carlo, initialement développées pour répondre à cette problématique, ne semblent pas adaptées à notre contexte. La majorité d'entre elles ont été définies pour améliorer l'estimation de la défiabilité et/ou pour les processus de Markov. Par conséquent, le travail accompli dans cette thèse se rapporte au développement de méthodes d'accélération de MC adaptées à la problématique des études de sécurité se modélisant en RP et estimant notamment l'indisponibilité. D'une part, nous proposons l'Extension de la Méthode de Conditionnement Temporel visant à accélérer la défaillance individuelle des composants. D'autre part, la méthode de Dissociation ainsi que la méthode de ``Truncated Fixed Effort'' ont été introduites pour accroitre l'occurrence de leurs défaillances simultanées. Ensuite, nous combinons la première technique avec les deux autres, et nous les associons à la méthode de Quasi-Monte-Carlo randomisée. Au travers de diverses études de sensibilité et expériences numériques, nous évaluons leur performance, et observons une amélioration significative des résultats par rapport à MC. Par ailleurs, nous discutons d'un sujet peu familier à la SdF, à savoir le choix de la méthode à utiliser pour déterminer les intervalles de confiance dans le cas de la simulation d'événements rares. Enfin, nous illustrons la faisabilité et le potentiel de nos méthodes sur la base d'une application à un cas industriel
The dependability analysis of safety instrumented systems is an important industrial concern. To be able to carry out such safety studies, TOTAL develops since the eighties the dependability software GRIF. To take into account the increasing complexity of the operating context of its safety equipment, TOTAL is more frequently led to use the engine MOCA-RP of the GRIF Simulation package. Indeed, MOCA-RP allows to estimate quantities associated with complex aging systems modeled in Petri nets thanks to the standard Monte Carlo (MC) simulation. Nevertheless, deriving accurate estimators, such as the system unavailability, on very reliable systems involves rare event simulation, which requires very long computing times with MC. In order to address this issue, the common fast Monte Carlo methods do not seem to be appropriate. Many of them are originally defined to improve only the estimate of the unreliability and/or well-suited for Markovian processes. Therefore, the work accomplished in this thesis pertains to the development of acceleration methods adapted to the problematic of performing safety studies modeled in Petri nets and estimating in particular the unavailability. More specifically, we propose the Extension of the "Méthode de Conditionnement Temporel" to accelerate the individual failure of the components, and we introduce the Dissociation Method as well as the Truncated Fixed Effort Method to increase the occurrence of their simultaneous failures. Then, we combine the first technique with the two other ones, and we also associate them with the Randomized Quasi-Monte Carlo method. Through different sensitivities studies and benchmark experiments, we assess the performance of the acceleration methods and observe a significant improvement of the results compared with MC. Furthermore, we discuss the choice of the confidence interval method to be used when considering rare event simulation, which is an unfamiliar topic in the field of dependability. Last, an application to an industrial case permits the illustration of the potential of our solution methodology

En raison de la gravité des accidents liés au phénomène de fatigue-propagation de fissure, les préoccupations de l'industrie aéronautique à assurer l'intégrité des structures soumises à ce mode de sollicitation revêtent un caractère tout à fait essentiel. Les travaux de thèse présentés dans ce mémoire visent à appréhender le problème de sûreté des structures aéronautiques dimensionnées en tolérance aux dommages sous l'angle probabiliste. La formulation et l'application d'une approche fiabiliste menant à des processus de conception et de maintenance fiables des structures aéronautiques en contexte industriel nécessitent cependant de lever un nombre important de verrous scientifiques. Les efforts ont été concentrés au niveau de trois domaines dans ce travail. Une méthodologie a tout d'abord été développée afin de capturer et de retranscrire fidèlement l'aléa du chargement de fatigue à partir de séquences de chargement observées sur des structures en service et monitorées, ce qui constitue une réelle avancée scientifique. Un deuxième axe de recherche a porté sur la sélection d'un modèle mécanique apte à prédire l'évolution de fissure sous chargement d'amplitude variable à coût de calcul modéré. Les travaux se sont ainsi appuyés sur le modèle PREFFAS pour lequel des évolutions ont également été proposées afin de lever l'hypothèse restrictive de périodicité de chargement. Enfin, les analyses probabilistes, produits du couplage entre le modèle mécanique et les modélisations stochastiques préalablement établies, ont entre autre permis de conclure que le chargement est un paramètre qui influe notablement sur la dispersion du phénomène de propagation de fissure. Le dernier objectif de ces travaux a ainsi porté sur la formulation et la résolution du problème de fiabilité en tolérance aux dommages à partir des modèles stochastiques retenus pour le chargement, constituant un réel enjeu scientifique. Une méthode de résolution spécifique du problème de fiabilité a été mise en place afin de répondre aux objectifs fixés et appliquée à des structures jugées représentatives de problèmes réels.

Les ingénieurs utilisent de plus en plus de modèles numériques leur permettant de diminuer les expérimentations physiques nécessaires à la conception de nouveaux produits. Avec l’augmentation des performances informatiques et numériques, ces modèles sont de plus en plus complexes et coûteux en temps de calcul pour une meilleure représentation de la réalité. Les problèmes réels de mécanique sont sujets en pratique à des incertitudes qui peuvent impliquer des difficultés lorsque des solutions de conception admissibles et/ou optimales sont recherchées. La fiabilité est une mesure intéressante des risques de défaillance du produit conçu dus aux incertitudes. L’estimation de la mesure de fiabilité, la probabilité de défaillance, nécessite un grand nombre d’appels aux modèles coûteux et deviennent donc inutilisable en pratique. Pour pallier ce problème, la métamodélisation est utilisée ici, et plus particulièrement les méthodes AK qui permettent la construction d’un modèle mathématique représentatif du modèle coûteux avec un temps d’évaluation beaucoup plus faible. Le premier objectif de ces travaux de thèses est de discuter des formulations mathématiques des problèmes de conception sous incertitudes. Cette formulation est un point crucial de la conception de nouveaux produits puisqu’elle permet de comprendre les résultats obtenus. Une définition des deux concepts de fiabilité et de robustesse est aussi proposée. Ces travaux ont abouti à une publication dans la revue internationale Structural and Multidisciplinary Optimization (Lelièvre, et al. 2016). Le second objectif est de proposer une nouvelle méthode AK pour l’estimation de probabilités de défaillance associées à des évènements rares. Cette nouvelle méthode, nommée AK-MCSi, présente trois améliorations de la méthode AK-MCS : des simulations séquentielles de Monte Carlo pour diminuer le temps d’évaluation du métamodèle, un nouveau critère d’arrêt sur l’apprentissage plus stricte permettant d’assurer le bon classement de la population de Monte Carlo et un enrichissement multipoints permettant la parallélisation des calculs du modèle coûteux. Ce travail a été publié dans la revue Structural Safety (Lelièvre, et al. 2018). Le dernier objectif est de proposer de nouvelles méthodes pour l’estimation de probabilités de défaillance en grande dimension, c’est-à-dire un problème défini à la fois par un modèle coûteux et un très grand nombre de variables aléatoires d’entrée. Deux nouvelles méthodes, AK-HDMR1 et AK-PCA, sont proposées pour faire face à ce problème et sont basées respectivement sur une décomposition fonctionnelle et une technique de réduction de dimension. La méthode AK-HDMR1 fait l’objet d’une publication soumise à la revue Reliability Engineering and Structural Safety le 1er octobre 2018
Engineers increasingly use numerical model to replace the experimentations during the design of new products. With the increase of computer performance and numerical power, these models are more and more complex and time-consuming for a better representation of reality. In practice, optimization is very challenging when considering real mechanical problems since they exhibit uncertainties. Reliability is an interesting metric of the failure risks of design products due to uncertainties. The estimation of this metric, the failure probability, requires a high number of evaluations of the time-consuming model and thus becomes intractable in practice. To deal with this problem, surrogate modeling is used here and more specifically AK-based methods to enable the approximation of the physical model with much fewer time-consuming evaluations. The first objective of this thesis work is to discuss the mathematical formulations of design problems under uncertainties. This formulation has a considerable impact on the solution identified by the optimization during design process of new products. A definition of both concepts of reliability and robustness is also proposed. These works are presented in a publication in the international journal: Structural and Multidisciplinary Optimization (Lelièvre, et al. 2016). The second objective of this thesis is to propose a new AK-based method to estimate failure probabilities associated with rare events. This new method, named AK-MCSi, presents three enhancements of AK-MCS: (i) sequential Monte Carlo simulations to reduce the time associated with the evaluation of the surrogate model, (ii) a new stricter stopping criterion on learning evaluations to ensure the good classification of the Monte Carlo population and (iii) a multipoints enrichment permitting the parallelization of the evaluation of the time-consuming model. This work has been published in Structural Safety (Lelièvre, et al. 2018). The last objective of this thesis is to propose new AK-based methods to estimate the failure probability of a high-dimensional reliability problem, i.e. a problem defined by both a time-consuming model and a high number of input random variables. Two new methods, AK-HDMR1 and AK-PCA, are proposed to deal with this problem based on respectively a functional decomposition and a dimensional reduction technique. AK-HDMR1 has been submitted to Reliability Enginnering and Structural Safety on 1st October 2018

Initiée dans le cadre d’un projet ANR (le projet MODNAT) ciblé sur la modélisation stochastique de phénomènes naturels et la quantification probabiliste de leurs effets dynamiques sur des systèmes mécaniques et structuraux, cette thèse a pour objet le calcul de probabilités d’événements rares liés aux maxima en horizon fini de processus stochastiques, avec prise en compte des quatre contraintes imposées suivantes : (1) l’ensemble des processus considérés doit contenir les quatre grandes catégories de processus rencontrés en dynamique aléatoire, à savoir les gaussiens stationnaires, les gaussiens non stationnaires, les non gaussiens stationnaires et les non gaussiens non stationnaires ; (2) ces processus doivent pouvoir être, soit décrits par leurs lois, soit fonctions de processus décrits par leurs lois, soit solutions d’équations différentielles stochastiques, soit même solutions d’inclusions différentielles stochastiques ; (3) les événements en question sont des dépassements de seuils très élevés par les maxima en horizon fini des processus considérés et ces événements sont de très faible occurrence, donc de très faible probabilité (de l’ordre de 10 −4 à 10 −8 ), du fait de la valeur élevée des seuils ; et enfin (4) le recours à une approche Monte-Carlo pour effectuer ce type de calcul doit être banni, car trop chronophage compte tenu des contraintes précédentes. Pour résoudre un tel problème, dont le domaine d’intérêt s’étend bien au delà de la mécanique probabiliste et de la fiabilité structurale (on le rencontre notamment dans tous les secteurs scientifiques en connexion avec la statistique des valeurs extrêmes, comme par exemple les mathématiques financières ou les sciences économiques) une méthode innovante est proposée, dont l’idée maîtresse est née de l’analyse des résultats d’une étude statistique de grande ampleur menée dans le cadre du projet MODNAT. Cette étude, qui porte sur l’analyse du comportement des valeurs extrêmes des éléments d’un vaste ensemble de processus, a en effet mis en évidence deux fonctions germes dépendant explicitement de la probabilité cible (la première en dépendant directement, la seconde indirectement via une probabilité conditionnelle auxiliaire elle-même fonction de la probabilité cible) et possédant des propriétés de régularité remarquables et récurrentes pour tous les processus de la base de données, et c’est sur l’exploitation conjointe de ces propriétés et d’un principe d’approximation bas niveau-extrapolation haut niveau que s’appuie la construction de la méthode. Deux versions de celle-ci en sont d’abord proposées, se distinguant par le choix de la fonction germe et dans chacune desquelles cette fonction est approximée par un polynôme. Une troisième version est également développée, basée sur le formalisme de la deuxième version mais utilisant pour la fonction germe une approximation de type "fonction de survie de Pareto". Les nombreux résultats numériques présentés attestent de la remarquable efficacité des deux premières versions. Ils montrent également que celles-ci sont de précision comparable. La troisième version, légèrement moins performante que les deux premières, présente quant à elle l’intérêt d’établir un lien direct avec la théorie des valeurs extrêmes. Dans chacune de ses trois versions, la méthode proposée constitue à l’évidence un progrès par rapport aux méthodes actuelles dédiées à ce type de problème. De par sa structure, elle offre en outre l’avantage de rester opérationnelle en contexte industriel
Initiated within the framework of an ANR project (the MODNAT project) targeted on the stochastic modeling of natural hazards and the probabilistic quantification of their dynamic effects on mechanical and structural systems, this thesis aims at the calculation of probabilities of rare events related to the maxima of stochastic processes over a finite time interval, taking into account the following four constraints : (1) the set of considered processes must contain the four main categories of processes encountered in random dynamics, namely stationary Gaussian, non-stationary Gaussian, stationary non-Gaussian and non-stationary non-Gaussian ones ; (2) these processes can be either described by their distributions, or functions of processes described by their distributions, or solutions of stochastic differential equations, or solutions of stochastic differential inclusions ; (3) the events in question are crossings of high thresholds by the maxima of the considered processes over finite time intervals and these events are of very weak occurrence, hence of very small probability, due to the high size of thresholds ; and finally (4) the use of a Monte Carlo approach to perform this type of calculation must be proscribed because it is too time-consuming given the above constraints. To solve such a problem, whose field of interest extends well beyond probabilistic mechanics and structural reliability (it is found in all scientific domains in connection with the extreme values theory, such as financial mathematics or economical sciences), an innovative method is proposed, whose main idea emerged from the analysis of the results of a large-scale statistical study carried out within the MODNAT project. This study, which focuses on analyzing the behavior of the extreme values of elements of a large set of processes, has indeed revealed two germ functions explicitly related to the target probability (the first directly related, the second indirectly via a conditional auxiliary probability which itself depend on the target probability) which possess remarkable and recurring regularity properties for all the processes of the database, and the method is based on the joint exploitation of these properties and a "low level approximation-high level extrapolation" principle. Two versions of this method are first proposed, which are distinguished by the choice of the germ function and in each of which the latter is approximated by a polynomial. A third version has also been developed. It is based on the formalism of the second version but which uses as germ function an approximation of "Pareto survival function" type. The numerous presented numerical results attest to the remarkable effectiveness of the first two versions. They also show that they are of comparable precision. The third version, slightly less efficient than the first two, presents the interest of establishing a direct link with the extreme values theory. In each of its three versions, the proposed method is clearly an improvement compared to current methods dedicated to this type of problem. Thanks to its structure, it also offers the advantage of remaining operational in industrial context

Recurrence rate is often used to describe volcanic activity. There are numerous documented ex- amples of non-constant recurrence rate (e.g. Dohrenwend et al., 1984; Condit and Connor, 1996; Cronin et al., 2001; Bebbington and Cronin, 2011; Bevilacqua, 2015), but current techniques for calculating recurrence rate are unable to fully account for temporal changes in recurrence rate. A local–window recurrence rate model, which allows for non-constant recurrence rate, is used to calculate recurrence rate from an age model consisting of estimated ages of volcanic eruption from a Monte Carlo simulation. The Monte Carlo age assignment algorithm utilizes paleomagnetic and stratigraphic information to mask invalid ages from the radiometric date, represented as a Gaussian probability density function. To verify the age assignment algorithm, data from Heizler et al. (1999) for Lathrop Wells is modeled and compared. Synthetic data were compared with expected results and published data were used for cross comparison and verification of recurrence rate and volume flux calculations. The latest recurrence rate fully constrained by the data is reported, based upon data provided in the referenced paper: Cima Volcanic Field, 33 +55/-14 Events per Ma (Dohren- wend et al., 1984), Cerro Negro Volcano, 0.29 Events per Year (Hill et al., 1998), Southern Nevada Volcanic Field, 4.45 +1.84/-0.87 (Connor and Hill, 1995) and Arsia Mons, Mars, 0.09 +0.14/-0.06 Events per Ma (Richardson et al., 2015). The local–window approach is useful for 1) identifying trends in recurrence rate and 2) providing the User the ability to choose the best median recurrence rate and 90% confidence interval with respect to temporal clustering.

Ce travail de thèse est une contribution à l’analyse de santé structurale de la caisse de véhicules militaires terrestres à roues. Appartenant à la gamme 20 - 30 tonnes, de tels véhicules sont déployés dans des contextes opérationnels variés où les conditions de roulage sont sévères et difficilement caractérisables. De plus, faisant face à la concurrence, la fonction mobilité des véhicules est acquise auprès de fournisseurs et n’est plus développée par Nexter Systems. De ce fait, la définition complète de cette fonction n’est plus connue. S’appuyant sur ce contexte, l’objectif principal de la thèse est d’aborder l’état de santé de la structure porteuse par approche probabiliste, afin de maitriser les techniques de calcul permettant la prise en compte de l’aléa intrinsèque des chargements liés à la diversité d’emploi des véhicules militaires terrestres. En particulier, les stratégies les plus pertinentes pour propager les incertitudes de roulage au sein d’un modèle mécanique d’un véhicule terrestre sont définies. Ces travaux décrivent comment il est possible d’exploiter une grandeur d’intérêt au sein du véhicule dans un objectif d’évaluation de la fiabilité par rapport à un critère de dommage donné. Une application sur un démonstrateur entièrement conçu par Nexter Systems illustre l’approche proposée
This thesis is a contribution to the structural health analysis of the body of ground military vehicles. Belonging to the 20 - 30 tons range, such vehicles are deployed in a variety of operational contexts where driving conditions are severe and difficult to characterize. In addition, due to a growing industrial competition, the mobility function of vehicles is acquired from suppliers and is no longer developed by Nexter Systems. As a result, the complete definition of this function is unknown. Based on this context, the main objective of this thesis is to analyze the health of the vehicle body using a probabilistic approach in order to control the calculation techniques allowing to take into account the random nature of loads related to the use of ground military vehicles. In particular, the most relevant strategies for propagating uncertainties due to the terrain within a vehicle dynamics model are defined. This work describes how it is possible to manage an observation data measured in the vehicle for the purpose of assessing the reliability with respect to a given damage criterion. An application on a demonstrator entirely designed by Nexter Systems illustrates the proposed approach

L'objectif de cette thèse est de développer des méthodes statistiques basées sur la théorie des valeurs extrêmes pour estimer des probabilités d'évènements rares et des quantiles extrêmes conditionnelles. Nous considérons une suite de variables aléatoires indépendantes X_{t_1}$, $X_{t_2}$,...$,$X_{t_n}$ associées aux temps $0≤t_{1}< …
The objective of this PhD thesis is to develop statistical methods based on the theory of extreme values to estimate the probabilities of rare events and conditional extreme quantiles. We consider independent random variables $X_{t_1},…,X_{t_n}$ associated to a sequence of times $0 ≤t_1 <… < t_n ≤ T_{\max}$ where $X_{t_i}$ has distribution function $F_{t_i}$ and $F_t$ is the conditional distribution of $X$ given $T = t \in [0,T_{\max}]$. For each $ t \in [0, T {\max}]$, we propose a nonparametric adaptive estimator for extreme quantiles of $F_t$. The idea of our approach is to adjust the tail of the distribution function $F_t$ with a Pareto distribution of parameter $\theta {t,\tau}$ starting from a threshold $\tau$. The parameter $\theta {t,\tau}$ is estimated using a nonparametric kernel estimator of bandwidth $h$ based on the observations larger than $\tau$. We propose a sequence testing based procedure for the choice of the threshold $\tau$ and we determine the bandwidth $h$ by two methods: cross validation and an adaptive procedure. Under some regularity assumptions, we prove that the adaptive estimator of $\theta {t, \tau}$ is consistent and we determine its rate of convergence. We also propose a method to choose simultaneously the threshold $\tau$ and the bandwidth $h$. Finally, we study the proposed procedures by simulation and on real data set to contribute to the survey of aquatic systems

Cette thèse est une contribution à la résolution du problème d'optimisation sous contrainte de fiabilité. Cette méthode de dimensionnement probabiliste vise à prendre en compte les incertitudes inhérentes au système à concevoir, en vue de proposer des solutions optimales et sûres. Le niveau de sûreté est quantifié par une probabilité de défaillance. Le problème d'optimisation consiste alors à s'assurer que cette probabilité reste inférieure à un seuil fixé par les donneurs d'ordres. La résolution de ce problème nécessite un grand nombre d'appels à la fonction d'état-limite caractérisant le problème de fiabilité sous-jacent. Ainsi,cette méthodologie devient complexe à appliquer dès lors que le dimensionnement s'appuie sur un modèle numérique coûteux à évaluer (e.g. un modèle aux éléments finis). Dans ce contexte, ce manuscrit propose une stratégie basée sur la substitution adaptative de la fonction d'état-limite par un méta-modèle par Krigeage. On s'est particulièrement employé à quantifier, réduire et finalement éliminer l'erreur commise par l'utilisation de ce méta-modèle en lieu et place du modèle original. La méthodologie proposée est appliquée au dimensionnement des coques géométriquement imparfaites soumises au flambement.

Nous étudions, dans cette thèse, le modèle de branchement avec duplication des trajectoires d'abord introduit pour l'étude des événements rares destiné à accélérer la simulation. Dans cette technique, les échantillons sont dupliqués en R copies à différents niveaux pendant la simulation. L'optimisation de l'algorithme à coût fixé suggère de prendre les probabilités de transition entre les niveaux égales à une constante et de dupliquer un nombre égal à l'inverse de cette constante, nombre qui peut être non entier. Nous étudions d'abord la sensibilité de l'erreur relative entre la probabilité d'intérêt P(A) et son estimateur en fonction de la stratégie adoptée pour avoir des nombres de retirage entiers. Ensuite, puisqu'en pratique les probabilités de transition sont généralement inconnues (et de même pour les nombres de retirages), nous proposons un algorithme en deux étapes pour contourner ce problème. Des applications numériques et comparaisons avec d'autres modèles sont proposés
This thesis deals with the splitting method first introduced in rare event analysis in order to speed-up simulation. In this technique, the sample paths are split into R multiple copies at various stages during the simulation. Given the cost, the optimization of the algorithm suggests to take the transition probabilities between stages equal to some constant and to resample the inverse of that constant subtrials, which may be non-integer and even unknown but estimated. First, we study the sensitivity of the relative error between the probability of interest P(A) and its estimator depending on the strategy that makes the resampling numbers integers. Then, since in practice the transition probabilities are generally unknown (and so the optimal resampling umbers), we propose a two-steps algorithm to face that problem. Several numerical applications and comparisons with other models are proposed

Esta tesis incluye tres capítulos que exploran diferentes aspectos de la distinción entre decisiones desde la descripción y decisiones desde la experiencia. El capítulo 1 estudia escenarios de decisión cuando las personas cuentan con información tanto desde la descripción como desde la experiencia. Los resultados sugieren que la experiencia es desatendida ante una descripción.También se explora el impacto sobre las decisiones de diferencias individales con respecto a la habilidad racional.Las personas con habilidad racional más alta obtienen muestras de mayor tamaño que los participantes con menor habilidad racional.El capítulo 2 examina situaciones en las que la información obtenida desde la experiencia resulta una mejor fuente que una descripción.La complejidad y las demoras favorecen a la experiencia sobre la descripción como fuente de información. No se evidencian diferencias individuales con respecto a habilidades numéricas o racionales. Sin embargo, se evidencia una relación entre mayor habilidad racional y mayor tamaño muestral. Por último, el capítulo 3 explora, para una tarea de lotería,la interacción entre la ilusión de control y la fuente de información.
This thesis includes three chapters that study different aspects of the distinction between decisions from description and decisions from experience. Chapter 1 studies choice when decision makers have both information from description and information from experience. Results suggest that experience is disregarded in the face of description. Individual differences with respect to rational ability are also explored. Participants with higher rational ability draw larger samples than participants with lower rational ability. Chapter 2 examines situations in which information from experience is a better source of information than information from description. Complex scenarios and delayed judgmental tasks favor experience over description as source of information. Moreover, there were no individual differences due to numerical/rational abilities. Additional evidence was found that relates higher rational ability to larger samples.Finally,chapter 3 explores how illusion of control interacts with the source of information in a lottery task.

Simulation methods are used when closed-form solutions do not exist. An interesting simulation method that has been widely used in many scientific fields is the Monte Carlo method. Not only it is a simple technique that enables to estimate the quantity of interest, but it can also provide relevant information about the value to be estimated through its confidence interval. However, the use of classical Monte Carlo method is not a reasonable choice when dealing with rare event probabilities. In fact, very small probabilities require a huge number of simulation runs, and thus, the computational time of the simulation increases significantly. This observation lies behind the main motivation of the present work. In this thesis, we propose efficient importance sampling estimators to evaluate rare events probabilities. In the first part of the thesis, we consider a variety of turbulence regimes, and we study the outage probability of free-space optics communication systems under a generalized pointing error model with both a nonzero boresight component and different horizontal and vertical jitter effects. More specifically, we use an importance sampling approach,based on the exponential twisting technique to offer fast and accurate results. We also show that our approach extends to the multihop scenario. In the second part of the thesis, we are interested in assessing the outage probability achieved by some diversity techniques over generalized fading channels. In many circumstances, this is related to the difficult question of analyzing the statistics of the sum of random variables. More specifically, we propose robust importance sampling schemes that efficiently evaluate the outage probability of diversity receivers over Gamma-Gamma, α − µ, κ − µ, and η − µ fading channels. The proposed estimators satisfy the well-known bounded relative error criterion for both maximum ratio combining and equal gain combining cases. We show the accuracy and the efficiency of our approach compared to naive Monte Carlo via some selected numerical simulations in both case studies. In the last part of this thesis, we propose efficient importance sampling estimators for the left tail of positive Gaussian quadratic forms in both real and complex settings. We show that these estimators possess the bounded relative error property. These estimators are then used to estimate the outage probability of maximum ratio combining diversity receivers over correlated Nakagami-m or correlated Rician fading channels