Academic literature on the topic 'Programmation quadratique binaire'

Dans cette thèse, nous avons présenté un nouvel algorithme hybride (HA) pour la résolution du problème (UQP). Cet algorithme est basé sur la combinaison d'un bloc de cinq procédures spéciales et de la méthode du recuit simulé. Nos procédures sont très efficaces et rapides, mais malheureusement, parfois elles sont bloquées par un minimum local. Pour surmonter cet inconvénient, nous les avons combinées avec un algorithme de recuit simulé. Ensuite, nous avons répété ces procédures plusieurs fois pour obtenir la meilleure solution en utilisant notre algorithme hybride.Nous avons remarqué que l'écart entre la solution trouvée par (HA) et le logiciel CPLEX est très faible, ce résultat implique l'efficacité de notre stratégie. Par ailleurs, nous avons intégré notre méthode hybride à un problème de relaxation semi-définie du (UQP) dans le cadre d'une stratégie de branch and bound. Pour faciliter la résolution du (UQP), nous suggérons d'appliquer des critères de fixation afin de réduire la taille du problème et d'accélérer l'obtention d'une solution exacte. La qualité de la borne inférieure trouvée par notre code (QPTOSDP) est très bonne, mais le temps d'exécution augmente avec la taille du problème. Les résultats numériques prouvent l'exactitude de notre solution optimale et l'efficacité et la robustesse de notre approche.Nous avons étendu les critères de fixation pour le problème (QP), ce qui permet, dans certains cas, de réduire la dimension du problème, voire de le résoudre entièrement en appliquant une boucle de répétition fondée sur ces critères
In this thesis, we presented a new hybrid algorithm (HA) for solving the unconstrained quadratic programming problem (UQP). This algorithm is based on the combination of a block of five special procedures and the simulated annealing method. Our procedures are very efficient and fast, but unfortunately, they sometimes get stuck in a local minimum. To overcome this drawback, we combined them with a simulated annealing algorithm. Then, we repeated these procedures several times to obtain the best solution using our hybrid algorithm.We noticed that the gap between the solution found by (HA) and the CPLEX software is very small, which implies the efficiency of our strategy. Moreover, we integrated our hybrid method into a semi-definite relaxation problem of (UQP) within a branch and bound strategy. To facilitate the resolution of (UQP), we suggest applying fixing criteria to reduce the size of the problem and speed up the process of obtaining an exact solution. The quality of the lower bound found by our code (QPTOSDP) is very good, but the execution time increases with the size of the problem. Numerical results prove the accuracy of our optimal solution and the efficiency and robustness of our approach.We extended the fixing criteria to the quadratic programming problem (QP), which in some cases allows reducing the dimension of the problem, or even solving it entirely by applying a repetition loop based on these criteria

On s'intéresse aux problèmes de régression, classification et à un problème inverse en finance. Nous abordons dans un premier temps le problème de régression en design aléatoire à valeurs dans un espace euclidien et dont la loi admet une densité inconnue. Nous montrons qu'il est possible d'élaborer une stratégie d'estimation optimale par projections localisées sur une analyse multi-résolution. Cette méthode originale offre un avantage calculatoire sur les méthodes d'estimation à noyau traditionnellement utilisées dans un tel contexte. On montre par la même occasion que le classifieur plug-in construit sur cette nouvelle procédure est optimal. De plus, il hérite des avantages calculatoires mentionnés plus haut, ce qui s'avère être un atout crucial dans de nombreuses applications. On se tourne ensuite vers le problème de régression en design aléatoire uniformément distribué sur l'hyper-sphère et on montre comment le tight frame de needlets permet de généraliser les méthodes traditionnelles de régression en ondelettes à ce nouveau contexte. On s'intéresse finalement au problème d'estimation de la densité risque-neutre à partir des prix d'options cotés sur les marchés. On exhibe une décomposition en valeurs singulières explicite d'opérateurs de prix restreints et on montre qu'elle permet d'élaborer une méthode d'estimation de la densité risque-neutre qui repose sur la résolution d'un simple programme quadratique.

Un problème quadratique en variables binaires est un problème d'optimisation en variables binaires consistant à minimiser une fonction objectif quadratique sous des contraintes linéaires. Dans le cas général, c'est un problème dificile à résoudre de manière exacte (NP- difficile), trouvant de nombreuses applications pratiques. La résolution exacte du problème passe par la détermination de bornes inférieures qu'il convient d'intégrer dans des schémas de séparation et évaluation progressive (ou Branch-and-Bound). Plusieurs techniques, allant de la programmation semi-définie positive à l'optimisation globale, sont utilisées pour déterminer ces bornes. Nous nous sommes particulièrement intéressés aux méthodes lagrangiennes et aux techniques de linéarisation. Nous avons traité dans cette thèse deux instances particulières du problème : "la bipolarisation de graphes avec contrainte de cardinalité" et "le problème quadratique en variables binaires sans contrainte". Pour la bipartition de graphes, nous avons proposé une démarche hybride mêlant relaxation lagrangienne et linéarisation de problème. Les tests numériques, issus de l'algorithme résultant, ont montré des améliorations significatives par rapport à certaines techniques existantes. Pour le problème quadratique en variables binaires sans contrainte, des études sur les techniques de linéarisation ont été effectuées. Elles consistent à remplacer la fonction objectif quadratique par une forme linéaire, grâce à l'ajout de variables permettant de remplacer les parties quadratiques de la fonction. L'ajout de ces variables entraînent [sic] aussi l'ajout de contraintes visant à s'assurer de la validité du remplacement. Après étude et tests des linéarisations existantes, nous unifions ces techniques dans un schéma général de linéarisation. De nouveaux modèles ont, grâce à ce schéma , vu le jour et améliorent significativement les résultats numériques des formulations linéaires précédentes
A quadratic 0/1 problem is an optimization problem where a quadratic objective function, subject to linear contraints, have to be minimized. In the general case, the problem is NP-Hard and arises in mathematical modeling of several real world applications. Exact methods, for solving the problem, are based on Branch-and-Bound scheme for which the corresponding lower bands may be divided in four groups : Semidefinite Relaxations, Lagrangean Relaxations, Posiform Methods and Linearization Techniques. In this thesis, linearization and lagrangean relaxation techniques have been particularly studied. Two instances of the general quadratic problem have been considered : "the graph bipartitioning problem and the unconstrained quadratic 0/1 problem". For the graph bipartitioning problem, an hybrid scheme, mixing linearization and lagrangean relaxations, have been proposed. The new scheme provides significative improvements compared to the state-of-the-art approaches. For the unconstrained quadratic 0/1 problem, a general linearization framework, unifying and generalizing the existing linearization techniques have been proposed. Based on this new framework, including many linear models, some new linearizations have been tested. In comparison with existing linearizations, many encouraging results have been noticed in the numerical tests

Cette thése étudie le problème NP-difficile de optimization quadratique en variables binaires (BQO), à savoir le problème de la maximisation d'une fonction quadratique en variables binaires. BQO peut représenter de nombreux problèmes importants de différents domaines et servir de modèle unifié pour un grand nombre de problèmes d'optimisation combinatoire portant sur les graphes. Cette thèse est consacrée au développement d'algorithmes métaheuristiques efficaces pour résoudre le BQO et ses applications. Premièrement, nous proposons algorithmes de "backbone guided" recherche tabou et d'un algorithme mémétique multi-niveaux sur la base de la technique de la fixation de variables. Ces techniques sont toutes deux basées sur l'idée de la réduction du problème afin de mener à bien une exploitation exhaustive d'une petite région de recherche. Ensuite, nous nous concentrons sur des procédés avancés de génération des solutions initiales préférables et développons des algorithmes combinant GRASP avec la recherche tabou et les algorithmes de path-relinking. En outre, nous résolvons des problèmes, y compris le problème de coupe maximum, de clique maximum, de clique maximale de sommets pondérés et la somme coloration minimum, soit en appliquant directement ou avec une légère adaptation de nos algorithmes développés pour BQO, avec l'hypothèse que ces problèmes sont reformulés en BQO. Enfin, nous présentons un algorithme mémétique basé sur la recherche tabou qui s'attaque efficacement au BQO avec contrainte de cardinalité.

La programmation non linéaire mixte peut modéliser un grand nombre de problèmes réels. Cependant, ces problèmes peuvent contenir de nombreuses variables ou contraintes, il convient donc de proposer des méthodes de décomposition afin de les résoudre efficacement. Parmi ces techniques on peut citer la génération de colonnes et notamment la décomposition de Dantzig-Wolfe. Il s’agit d’une reformulation du problème original, qui permet de générer une séquence de sous-problèmes plus simples, appelés maître etpricing, pour obtenir la valeur optimale. Développée d’abord pour les problèmes linéaires, la décomposition de Dantzig-Wolfe peut être généralisée à des problèmes convexes: dans ce contexte, elle est notamment connue sous le nom de décomposition simpliciale. Cette thèse présente des algorithmes de décomposition pour des problèmes quadratiques. La première partie de ce manuscrit est dédiée aux problèmes quadratiques convexes, continus et mixtes binaires. Dans la deuxième partie, des algorithmes pour résoudre des problèmes binaires avec contraintes quadratiques sont présentés. La première partie est consacrée à la résolution de problèmes convexes, quadratiques et continus. Un algorithme basé sur la décomposition simpliciale est proposé: des nouveaux éléments sont ajoutés à la fois au problème maître et au pricing; nous avons testé notre algorithme sur une grande quantité d’instances avec une structure déterminée, et nos résultats montrent que l’algorithme que nous proposons est très efficace par rapport à Cplex, un solveur générique pour ces problèmes. Ce premier travail a été soumis à un journal pour publication. Ensuite, nous étendons cet algorithme aux problèmes convexes mixtes binaires. Nous incorporons la méthode pour le cas continu dans un algorithme de branch and bound qui nous permet d’exploiter des propriétés de notre formulation. Dans ce contexte aussi, des résultats numériques sont fournis: ils montrent que, dans certains cas, les performances de notre algorithme sont efficaces par rapport à Cplex. Ce travail est en préparation pour soumission à un journal. La deuxième partie de cette thèse est dédiée à l’étude d’algorithmes pour des problèmes quadratiques avec contraintes quadratiques. On se concentre sur les problèmes binaires, dont la relaxation continue peut être non convexe. Nous considérons en premier lieu la formulation étendue avec une matrice qui représente les produits des variables. Nous proposons ensuite un algorithme basé sur la décomposition de Dantzig-Wolfe pour obtenir une relaxation dans le Boolean Quadric Polytope (BQP). Ce polytope est connu aussi comme Correlation polytope et il est strictement contenu dans le cône des matrices complètement positives et des matrices semi définies positives. Notre algorithme permet de résoudre cette relaxation, les bornes obtenues sont plus fortes que les bornes SDP et, dans certains cas, les temps de calcul sont comparables ou meilleurs que ceux de BiqCrunch, unsolveur ad-hoc. On montre aussi que la relaxation BQP est une reformulation du problème binaire original, en exploitant un résultat sur les matrices complètement positives, pour les problèmes à contraintes linéaires en égalité. Ensuite, nous considérons des problèmes où les matrices sont décomposables par blocs. On montre aussi que la relaxation BQP est une reformulation du problème binaire original, en exploitant un résultat sur les matrices complètement positives, pour les problèmes à contraintes linéaires en égalité. Ensuite, nous considérons des problèmes où les matrices sont décomposables par blocs. Une relaxation basée sur les blocs est proposée et nous prouvons que cette relaxation est valide pour la relaxation BQP. De plus, prouver l’équivalence entre les deux relaxations est un problème de complétion BQP. La relaxation décomposée par blocs est BQP complétable dans certains cas, mais n’est pas possible dans d’autres cas [....]
Non linear programming problems. There are several solution methods in literature for these problems, which are, however, not always efficient in general, in particular for large scale problems. Decomposition strategies such as Column Generation have been developed in order to substitute the original problem with a sequence of more tractable ones. One of the most known of these techniques is Dantzig-Wolfe Decomposition: it has been developed for linear problems and it consists in solving a sequence of subproblems, called respectively master and pricing programs, which leads to the optimum. This method can be extended to convex non linear problems and a classic example of this, which can be seen also as a generalization of the Frank-Wolfe algorithm, is Simplicial Decomposition(SD).In this thesis we discuss decomposition algorithms for solving quadratic optimization problems. In particular, we start with quadratic convex problems, both continuous and mixed binary. Then we tackle the more general class of binary quadratically constrained, quadratic problems. In the first part, we concentrate on SD based-methods for continuous, convex quadratic programming. We introduce new features in the algorithms, for both the master and the pricing problems of the decomposition, and provide results for a wide set of instances, showing that our algorithm is really efficient if compared to the state-of-the-art solver Cplex. This first work is accepted for publication in the journal Computational Optimization and Applications.We then extend the SD-based algorithm to mixed binary convex quadratic problems;we embed the continuous algorithm in a branch and bound scheme that makes us able to exploit some properties of our framework. In this context again we obtain results which show that in some sets of instances this algorithm is still more efficient than Cplex,even with a very simple branch and bound algorithm. This work is in preparation for submission to a journal. In the second part of the thesis, we deal with a more general class of problems, that is quadratically constrained, quadratic problems, where the constraints can be quadratic and both the objective function and the constraints can be non convex. For this class of problems we extend the formulation to the matrix space of the products of variables; we study an algorithm based on Dantzig-Wolfe Decomposition that exploits a relaxation on the Boolean Quadric Polytope (BQP), which is strictly contained in the Completely Positive cone and hence in the cone of positive semi definite (PSD) matrices. This is a constructive algorithm to solve the BQP relaxation of a binary problem an dwe obtain promising results for the root node bound for some quadratic problems. We compare our results with those obtained by the Semi definite relaxation of the ad-hocsolver BiqCrunch. We also show that, for linearly constrained quadratic problems, our relaxation can provide the integer optimum, under certain assumptions. We further study block decomposed matrices and provide results on the so-called BQP-completion problem ; these results are connected to those of PSD and CPP matrices. We show that, given a BQP matrix with some unspecified elements, it can be completed to a full BQP matrix under some assumptions on the positions of the specified elements. This result is related to optimization problems. We propose a BQP-relaxation based on the block structure of the problem. We prove that it provides a lower bound for the previously introduced relaxation, and that in some cases the two formulations are equivalent. We also conjecture that the equivalence result holds if and only if its so-called specification graph is chordal. We provide computational results which show the improvement in the performance of the block-based relaxation, with respect to the unstructured relaxation, and which support our conjecture. This work is in preparation for submission to a journal