Academic literature on the topic 'Positivité de fibrés en droites'

Ce mémoire traite de la positivité locale des fibrés en droites amples. Cette positivité locale est mesurée par les constantes de Seshadri de ces fibrés. Il est conjecturé par Ein et Lazarsfeld que les constantes de Seshadri d'un fibré en droites gros et nef sur une variété projective sont minorées par 1 pour tout point en position très générale. On montre cette conjecture:. Pour tout quel fibré en droites ample sur une variété lisse X de dimension 3 avec -Kx nef,. Pour tout fibré en droites gros et nef adjoint sur une variété X à singularités canoniques de dimension 3 avec K _X nef,. Pour tout fibré en droites ample adjoint et de "grand volume" sur une variété X lisse de dimension 3,. Pour tout fibrÈ en droites ample sur une variété X factorielle, à singularités terminales, presque de Fano et de coindice au plus 3,. Pour tout fibré en droites ample 0 x(D) sur une variété de Fano lisse de dimension 4 verifiant K_X - rD. La preuve de ces résultats utilise l'existence de sections globales non nulles pour certains fibrés en droites. Ceci fait l'objet d'une conjecture de Kawamata, la conjecture de non annulation effective, que l'on prouve en dimension 3 dans le cas des fibrés en droites de "grand volume". Enfin le dernier chapitre traite du caractère uniréglé de certains lieux de base de diviseurs gros et non nefs. De tels diviseurs apparaÎssent naturellement lorsqu'un fibré en droites gros et nef admet de "petites" constantes de Seshadri
This thesis is about local positivity ofample line bundles, mesured by the Seshadri constants ofthis line bundle. It is conjectured by Ein 1 and Lazarsfeld that Seshadri constants of a big and nef line bundle are bounded by below by 1 for each point in very general position. We show this conjecture:. For each ample line bundle on a smooth variety X of dimension 3 with -K_X nef,. For each big and nef adjoint line bundle on a variety X with canonical singularities of dimension 3 with K_X nef,. For each ample adjoint line bundle of « big volume» on a smooth variety X of dimension 3,. For each ample line bundle on a factorial almost Fano variety X, with terminal singularities, and of co-indice at most 3,. For each ample line bundle O(D) on a smooth Fano variety X of dimension 4 such that K_X - rD. The proof of this results use the existence of non-zero global sections for sorne line bundles. There is a conjecture of Kawamata about this and we prove it in dimension 3 for line bundles of « big volume ». The last chapter is about the uniruledness of the base loci of big and non-nef adjoint line bundles. Big and non-nef line bundles appear in a natural way when an ampleline bundle has a « small » Seshadri constant in a point

Dans cette thèse, nous étudions certains aspects de la positivité des diviseurs sur les variétés irréductibles holomorphes symplectiques (IHS). Fixons une variété IHS projective X de dimension complexe 2n. Inspirés par le travail de Bauer, Küronya et Szemberg, nous montrons que le cône big de X a une décomposition localement finie en sous-cônes localement rationnelles polyhédraux, qu'on appelle chambres de Boucksom-Zariski. Ces sous-cônes ont une signification géométrique : sur chacun d'eux, la fonction volume est exprimée par un polynôme homogène de degré 2n. De plus, à l'intérieur de toute chambre de Boucksom-Zariski, la partie divisorielle du lieu base augmenté des diviseurs big reste la même. Après avoir analysé le cône big, nous déterminons la structure du cône pseudo-effectif de X, généralisant ainsi un résultat bien connu de Kovács pour les surfaces K3. En particulier, nous montrons que si le nombre de Picard de X est au moins 3, le cône pseudo-effectif de X est soit circulaire, soit ne contient pas de parties circulaires et est égal à la clôture du cône engendré par les classes des diviseurs premiers exceptionnels. De ce résultat en géométrie convexe, nous déduisons quelques propriétés géométriques de X et nous montrons l'existence de diviseurs rigides uniréglés sur certaines variétés symplectiques singulières. Nous étudions le comportement des lieux de base asymptotiques des diviseurs big sur X et nous en donnons une caractérisation numérique. En conséquence de cette caractérisation numérique, nous obtenons une description des duaux des cônes mathrm{Amp}_k(X), pour tout 1leq k leq 2n, où mathrm{Amp}_k(X) est le cône convexe des classes des diviseurs big ayant le lieu base augmenté de dimension strictement plus petite que k. En utilisant la décomposition divisorielle de Zariski, la forme de Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) et la décomposition du cône big de X en chambres de Boucksom-Zariski, nous associons à toute classe de diviseurs big alpha et à un diviseur premier E sur X un polygone Delta_E(alpha), dont la géométrie est liée à la variation de la décomposition divisorielle de alpha dans le cône big de X. Le volume euclidien est exprimé en termes de la forme BBF et est indépendant du choix de E. Nous montrons que ces polygones s'inscrivent dans un cône convexe Delta_E(X) sous forme de tranches, globalisant ainsi la construction. En conclusion, nous montrons que sous certaines hypothèses, les polygones Delta_E(alpha) peuvent être écrits comme une somme de Minkowski de certains polygones {Delta_E(Beta_i)}_{iin I}, pour certaines classes big {Beta_i}_{i in I}. Il est remarquable que ces polygones se comportent comme les corps de Newton-Okounkov des diviseurs big sur les surfaces projectives lisses
In this thesis, we study some aspects of the positivity of divisors on irreducible holomorphic symplectic (IHS) manifolds. Fix a projective IHS manifold X of complex dimension 2n. Inspired by the work of Bauer, Küronya, and Szemberg, we show that the big cone of X has a locally finite decomposition into locally rational polyhedral subcones, called Boucksom-Zariski chambers. These subcones have a geometric meaning: on any of them, the volume function is expressed by a homogeneous polynomial of degree 2n. Furthermore, in the interior of any Boucksom-Zariski chamber, the divisorial part of the augmented base locus of big divisors stays the same. After analyzing the big cone, we determine the structure of the pseudo-effective cone of X, generalizing a well-known result due to Kovács for K3 surfaces. In particular, we show that if the Picard number of X is at least 3, the pseudo-effective cone either is circular or does not contain circular parts and is equal to the closure of the cone generated by the prime exceptional divisor classes. From this result in convex geometry, we deduce some geometric properties of X and show the existence of rigid uniruled divisors on some singular symplectic varieties. We study the behaviour of the asymptotic base loci of big divisors on X, and we provide a numerical characterization for them. As a consequence of this numerical characterization, we obtain a description for the dual of the cones mathrm{Amp}_k(X), for any 1leq k leq 2n, where mathrm{Amp}_k(X) is the convex cone of big divisor classes having the augmented base locus of dimension strictly smaller than k. Using the divisorial Zariski decomposition, the Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) form, and the decomposition of the big cone of X into Boucksom-Zariski chambers, we associate to any big divisor class alpha and a prime divisor E on X a polygon Delta_E(alpha) whose geometry is related to the variation of the divisorial Zariski decomposition of alpha in the big cone. Its euclidean volume is expressed in terms of the BBF form and is independent of the choice of E. We show that these polygons fit in a convex cone Delta_E(X) as slices, globalizing in this way the construction. To conclude, we show that under some hypothesis, the polygons Delta_E(alpha) can be expressed as a Minkowski sum of some polygons {Delta_E(Beta_i)}_{i in I}, for some big classes {Beta_i}_{_ iin I}. Remarkably, these polygons behave like the Newton-Okounkov bodies of big divisors on smooth projective surfaces

L'objectif de cette thèse consiste en l'étude du revêtement universel des variétés kählériennes compactes, de leurs systèmes pluricanoniques et des liens qui les unissent. Dans un premier temps, nous étudions la $\Gamma$-réduction d'une variété kählérienne compacte vue comme quotient de Remmert biméromorphe de son revêtement universel. La dimension de l'espace quotient est par définition la $\Gamma$-dimension d'une telle variété. Les grandes lignes de l'étude de cet invariant sont les suivantes : lien avec l'existence de formes holomorphes $L^2$ sur le revêtement universel, comportement de la $\Gamma$-dimension dans les fibrations, place de la $\Gamma$-réduction dans la théorie de la classification, structure des variétés de type $\pi_1$-général (au moins en petite dimension). La fin de cette première partie est consacrée à l'étude de l'invariance par déformation de la $\Gamma$-dimension en dimension 3. Cette propriété est établie dans diverses situations, par exemple dans les cas des familles de variétés kählériennes qui ne sont pas de type général. La deuxième partie porte sur la méthode One-Tower d'extension de formes pluricanoniques. Nous mettons en effet cette partie à profit pour montrer comment adapter cette méthode dans différentes situations. Ainsi, après quelques rappels sur les différentes notions de positivité des fibrés en droites et sur les idéaux multiplicateurs, nous établissons des résultats d'extension de sections pluricanoniques dans les contextes suivants : famille projective de variétés (avec fibré canonique tordu par un fibré en droites pseudo-effectif), hypersurface d'une variété projective, fibre générale de la $\Gamma$-réduction pour les variétés de type général et famille des revêtements universels.

Ce travail est consacré à l'étude des fibres vectoriels stables de rang deux sur les espaces projectifs de dimension deux et trois dont le schéma des droites de saut est de dimension anormalement grande. Dans l'espace projectif de dimension trois, on montre que l'ensemble des plans instables pour un fibré donné est réunion finie de droites et de points. Sur le plan projectif on étudie des fibrés introduits par Schwarzenberger. Ces fibrés sont obtenus par image directe de fibrés en droite sur une quadrique lisse qui est un revêtement double du plan projectif ramifié le long d'une conique non singulière du plan. Les droites de saut de ces fibres sont les droites tangentes à la conique de ramification. On vérifie tout d'abord que le schéma des droites multisauteuses est un diviseur. Plus précisément ce diviseur est un multiple de la conique duale de la ramification. Cette multiplicité dépend de l'ordre de saut. On étudie ensuite le schéma des zéros des sections de ces fibrés et on en déduit directement des résultats classiques concernant les courbes de Poncelet. Enfin, dans la suite de ce texte, on conjecture que les seuls fibrés dont le schéma des droites de saut est un diviseur supporté par une conique lisse sont les fibrés de Schwarzenberger. On prouve cette conjecture lorsque l'ordre de saut est égal à un, et on donne plusieurs caractérisations des fibres de Schwarzenberger qui devraient permettre de montrer cette conjecture sans hypothèse restrictive.

L'étude des espaces fibrés est un sujet très important dans la géométrie complexe. Cette thèse traite l'étude des fibres en droites affines sur les espaces complexes. Les fibres en droites affines sont une généralisation naturelle des fibres en droites. La première partie de cette thèse examine le problème des modules classiques. En analogie avec le problème linéaire, un foncteur de Picard affine est définie. On démontre que cette espace de modules sera pas Hausdorff, sauf dans les cas triviaux puis une théorie utilisant les repères est développé. Une critère exacte de la représentabilité est donnée. L'existence d'une espace des modules est très rare entrainant la nécessité d'un approche plus moderne, l'utilisation de champs. Une théorie autour d'extensions scindées à chaque fibre est introduite. Cette méthode est très générale et pourrait être intéressante en soi. Sur un espace complexe projective X, elle permet d'identifier le champs de fibre en droite affine avec un champs quotient de fibre linéaire sur le schéma de Picard Pic(X). Par la suite, le type d'homotopie de ce champ est calculé
The study of fibre bundles is an important subject in complex geometry. This thesis considers the particular case of affine line bundles over complex spaces. Affine line bundles are a natural generalisation of line bundles. The first part of this thesis studies the classical moduli problem and the existence of fine moduli spaces. In analogy to the study of line bundles, an affine Picard functor is defined. It is shown that this moduli space will (unless trivial) not be Hausdorff which leads to the study of framed affine line bundles. An exact criterion for the existence of a moduli space for this problem is given. Since the existence of such moduli spaces is very rare, the modern approach of stacks is used in the second part. To give a simpler description of this stack, the theory of fibrewise split extensions is developed. This theory is very general and is of independent interest. For a complex projective variety X, this approach allows to identify the stack of affine line bundles with a quotient stack of linear fibre spaces over the Picard scheme Pic(X). As an application, the homotopy type of this stack is calculated

Pour une variété affine S définie sur un corps k de caracteristique nulle, il y a une correspondence bijective entre les actions algébriques du groupe additif k+=(k,+) sur S et les dérivations localement nilpotentes de l'algèb re des fonctions régulières sur S. Dans cette thèse, nous transposons cette équi valence entre actions et dérivations à la situation plus générale où p:S ? X est un schéma de base X donnée, admettant des actions d'un fibré en droites p:L ? X sur X. Nous étudions en détail une sous-classe de schémas S de ce type, ayant la propriété d'être muni d'une structure de fibré principal homogène sous l'action d'un second fibré en droites p':L' ? Y sur un X-schéma d:Y ? X, de telle sorte que l'action de d*L sur S se factorise via celle de L'. Nous les appelons schémas de Danielewski-Fieseler. Nous donnons plusieurs procédés de construction de ces schémas. En particulier, lorsque X est affine, nous décrivons un algorithmique permettant d'obtenir des plongements explicites d'un schéma de ce type dans un espace affine relatif de base X. Dans un second temps, nous étudions la situation où le schéma de base X est une droite affine sur un corps k de caractéristique nulle. Dans ce cas, nous établissons qu'un sc héma de Danielewski-Fieseler X est déterminé de manière unique par la donnée combinatoire d'un arbre pondéré. Nous donnons une classification de ces schémas en fonction des arbres associés. Finalement, nous caractérisons les schémas de ce type qui admettent plusieurs actions du groupe additif k+ avec orbites générales distinctes
On a affine algebraic variety S defined over a field k of characteristic zer o, there exists a well-known correspondence between algebraic actions of the add itive group k+=(k,+) and locally nilpotent derivations of the algebra of regular functions on S. Here we extend this equivalence between actions and derivations to the following relative situation : p:S ? X is a scheme over a fixed base scheme X, which comes equipped with an algebraic action of a l ine bundle p:L?X over X. We study a special sub-class of schemes S as above, with the additional property that p:S ? X factors through the structural morphism p':S?Y of a principal homogeneous bundle under a line bundle p':L'?Y over an X-scheme d:Y?X, in such a way that the action of d*L on S factors through the one of L'. We call them Danielewski-Fieseler schemes. We give different procedures to construct these schemes. In particular, in case that the base scheme X is affine, we give an algorithm which produces explicit embeddings of these schemes in relatives affine spaces over X. Then we study the case that the base scheme X is isomorphic to the affine line over a field k of characteristic zero. In this case, we establish that a Danielewski-Fieseler scheme is uniquely determined by a combinatorial data consisting of a weighted rooted tree. We classify these schemes through their associated trees. Finally, we give a combinatorial characterization of those schemes which admit many actions of the additive group k+ with distinct gener al orbits

L'objet de cette these est l'etude des proprietes de positivite algebriques, analytiques et co-homologiques des fibres vectoriels holomorphes sur les varietes kahleriennes compactes lisses. Dans la premiere partie, nous decrivons les proprietes de positivite algebriques et analytiques des fibres vectoriels obtenus comme images directes par des morphismes lisses de fibres en droites numeriquement effectifs adjoints par le fibre canonique relatif. Dans la deuxieme partie, nous etendons aux varietes kahleriennes compactes le theoreme, du a f. Bogomolov, d'annulation des espaces de p-formes holomorphes a valeurs dans un fibre en droites de dual numeriquement effectif. La troisieme partie, motivee par les travaux de m. Green et r. Lazarsfeld, est consacree aux theoremes d'annulation generique des groupes de cohomologie de fibres vectoriels semi-negatifs. Nous decrivons aussi la structure des lieux exceptionnels de cohomologie

L'objet principal de cette these est l'etude des fibres en droites numeriquement effectifs sur les varietes complexes compactes et les proprietes des varietes kahleriennes compactes a classe de ricci nef. Dans une premiere partie, nous demontrons que la notion d'effectivite numerique, generalisee au sens de la courbure des metriques hermitiennes, est invariante par image inverse via les morphismes surjectifs entre varietes complexes compactes. Dans le cadre des varietes de moishezon, ceci implique l'equivalence des deux formulations de l'effectivite numerique, au sens de la courbure d'une part, au sens algebrique usuel de la non-negativite du degre sur les courbes d'autre part. En utilisant des techniques analytiques de j. -p. Demailly, nous donnons ensuite deux caracterisations de cette notion en termes de restrictions a des sous-varietes analytiques. Dans la seconde partie, nous nous interessons principalement aux proprietes du groupe fondamental et des 1-formes holomorphes des varietes kahleriennes compactes a classe de ricci nef, en nous appuyant sur les outils de la geometrie des espaces a courbure de ricci minoree. En combinant des techniques de demailly, peternell et schneider avec une version du lemme de margulis demontre par cheeger-colding, nous montrons la presque-nilpotence du groupe fondamental des varietes kahleriennes compactes a classe de ricci nef. Pour certaines classes de telles varietes, nous ameliorons nettement ce resultat et demontrons que le groupe fondamental est presque abelien. En ce qui concerne les 1-formes holomorphes, nous demontrons que la dimension de l'espace vectoriel qu'elles engendrent est toujours majore par la dimension complexe de la variete. Nous obtenons egalement des informations qualitatives pour les 1-formes holomorphes, en estimant la variation en moyenne de leur norme. Comme application, nous donnons une reponse partielle a une conjecture de demailly, peternell et schneider.

Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps k algébriquement clos de caractéristique positive et soit B un sous-groupe de Borel. La cohomologie des fibrés en droites G-équivariants sur G/B induits par des caractères de B sont des objets importants dans la théorie des représentations de G. Dans cette thèse, on se concentre sur G = SL3. Dans le premier chapitre,on montre l’existence d’une filtration à deux étages de H1(μ) et H2(μ) pour μ dans l’adhérence de la région de Griffith. Dans le deuxième chapitre, on montre l’existence d’une p-Hi-D-filtration de Hi(μ) pour tout i et μ, qui généralise la p filtration de H0(μ) introduite par Jantzen. Dans le troisième chapitre, on étudie et détermine la structure des modules apparaissants dans la p-Hi-D-filtration.Dans le dernier chapitre, on donne une description explicite et combinatoire de H2(μ) pour μ dans la région de Griffith et on généralise cette description à Hd(G/B, μ) pour G = SLd+1 et certains poids μ
Let G be a semi-simple algebraic group over an algebraically closed field of positive characteristic. The cohomology of G-equivariant line bundles over G/B induced by a character of B are important objects in the representation theory of G. In this thesis, we concentrate on G = SL3. In the first chapter,we prove the existence of a two-step filtration of H1(μ) and H2(μ) when μ is in the closure of the Griffith region. In the second chapter, we prove the existence ofa p-Hi-D-filtration of Hi(μ) for all i and μ, which generalizes the p-filtration ofH0(μ) introduced by Jantzen. In the third chapter, we study and determine the structure of the modules appearing in the p-Hi-D-filtration. In the last chapter,we give an explicit and combinatorial description of H2(μ) for μ in the Griffith region and we generalize this description to Hd(G/B, μ) for G = SLd+1 and certain weights μ

Ce mémoire est une synthèse des résultats que j'ai obtenus depuis une dizaine d'années; il est divisé en trois parties : 1. Géométrie classique 2. Fibrés vectoriels 3. Géométrie classique et Fibrés vectoriels. L'objectif de ce va et vient entre géométrie classique et fibrés vectoriels est de démontrer des résultats de géométrie élémentaire avec le langage moderne des fibrés vectoriels mais aussi de démontrer des résultats sur les fibrés en utilisant des théorèmes de géométrie élémentaire. En guise d'illustration nous associons par exemple : - Revêtement du plan et fibrés vectoriels, - Variétés de sécantes de courbes rationnelles et fibrés de Schwarzenberger, - Variétés de Poncelet et déterminant de sections globales d'un fibré donné, - Coniques Poncelet associées (polygones de Poncelet) et coniques de saut, - Arrangements d'hyperplans et fibrés logarithmiques, - Variétés discriminants et droites de saut des fibrés logarithmiques.