Dissertations / Theses on the topic 'Polynômes caractéristiques'

Cette thèse comporte trois volets indépendants en cryptographie, en théorie de Hodge p-adique et en analyse numérique.La première partie consiste en l'étude d'algorithmes performants de résolution du logarithme discret. La résolution du logarithme discret consiste à déterminer les exposants d'une famille fixée de générateurs dans la décomposition des éléments du groupe. Dans le cas des groupes multiplicatifs d'un corps fini, la complexité des calculs dépendent de la taille - dite de petite, moyenne ou grande caractéristique- de la caractéristique du corps dans lesquels on effectue les calculs.Nous présentons différents algorithmes dans chacune des caractéristiques (petite, moyenne ou grande) en précisant quel est l'algorithme le plus performant dans chacun des cas.La seconde partie s'inscrit dans le contexte du programme de Langlands p-adique. Nous présentons une généralisation de l'un des outils centraux de la théorie, les modules de Breuil-Kisin, en plusieurs variables La troisième partie est un travail effectué en collaboration avec Victor Vilaça Da Rocha, Roberta Tittarelli, Richard Sambilason Rafefimanana, Victor Michel-Dansac et Benjamin Couéraud. Il a été initié lors de la treizième SEME, Semaine d'Etudes Maths Entreprises organisée par l'Agence pour les Mathématiques en Interaction avec l'Entreprise et la Société (AMIES).L'Institut Français du Pétrole et des Energies Nouvelles nous a soumis un problème de résolution numérique d'un système d'équations modélisant la désorption d'un gaz de schiste en une dimension.Nous proposons plusieurs schémas du premier ordre recourant à un traitement implicite de l'équation de relaxation. Enfin nous présentons un schéma numérique d'ordre deux en temps
In this thesis, we present three independent works in cryptography, p-adic Hodge theory and Numerical analysis.First we present several algorithms to solve the discrete logarithm in several characteristic finite fields. We are particularly interested with the determination of classes of polynomial functions with small coefficients.The second part of the thesis deals with one of the major object of p-adic Hodge theory. We present a multi-variable version of Breuil-Kisin modules where the Lubin-Tate tower replaces the classical cyclotomic tower. He third proposes two numerical schemes for the modelisation of desorption of shale gaz

Le quotient d'un espace vectoriel de dimension finie par l'action d'un sous-groupe fini d'automorphismes est une variété en général singulière. Sous bonnes hypothèses, la correspondance de McKay relie la géométrie de bonnes résolutions des singularités aux représentations du groupe. Pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine, nous étudions comment les différentes correspondances (McKay, McKay duale et McKay multiplicative) sont reliées les unes aux autres. A cette fin, nous calculons des formules combinatoires pour les fibrés vectoriels usuels sur le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Parallèlement à ces questions, nous étudions le comportement multiplicatif du théorème de Bridgeland, King \& Reid construisant la correspondance de McKay pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Dans une dernière partie, nous calculons les classes de Chern du fibré tangent au schéma de Hilbert de points sur le plan affine.

Soit G un groupe algébrique en type classique A, B ou D. Soit e un élément nilpotent de son algèbre de Lie et Z son centralisateur. On suppose la caractéristique nulle et l'ordre de e, vu comme endomorphisme, égal à deux. Cette thèse établit les propriétés de normalité, rationalité et Cohen-Macaulay pour toute adhérence Y d'une Z-orbite dans la variété des drapeaux de G. Elle étend ainsi un résultat de N.Perrin et E.Smirnov qui traitant le cas où Y est une composante irréductible d'une fibre de Springer pour les types A et D. Nous employons le même argument principal, à savoir un raisonnement récursif basé sur (1) la birationnalité d'un morphisme vers Y et (2) la surjectivité d'une restriction de sections. Pour produire (1), nous faisons intervenir les variétés de Schubert, de Bott-Samelson et employons la théorie des sous-groupes symétriques en recourant à des références classiques sur le sujet (R-W Richardson, T-A Springer). Pour (2), nous nous basons sur un théorème de X.He et J-F Thomsen fournissant un scindage de Frobenius. Celui-ci implique alors (2) en caractéristique positive et nous opérons une réduction p pour nous ramener à la caractéristique nulle de départ. Notre travail appelle à se prolonger dans différentes pistes de réflexion et de recherche. Il pourrait avoir des implications positives pour l'étude des composantes irréductibles de la variété de Steinberg, et à travers elles, du calcul de polynômes caractéristiques introduits par A.Joseph afin de constituer des représentations irréductibles du groupe de Weyl. Notre travail pose aussi la question naturelle de la généralisation de son résultat au type C, aux types exceptionnels et à la caractéristique positive
Let G be a connected algebraic reductive group in types A, B, or D, and e be a nilpotent element of its Lie algebra with centralizer Z:=Z_G(e). We suppose the characteristic zero and that e corresponds to a nilpotent endomorphism of order two. We sketch a proof of the following result: all Z-orbit closures Y in the flag variety X of G are normal. It extends a work of Nicolas Perrin and Evgeny Smirnov which deals with an irreducible component Y of the Springer fiber X(e) in types A and D. We use the same main arguments, namely an induction based on (1): the existence of a suitable birational morphism onto Y, and (2): the surjectivity of section restrictions of an ample line bundle. For us (1) will be obtained thanks to good Weyl group elements, Schubert varieties, Bott-Samelson varieties and several fundamental results from Roger Wolcott Richardson and Tonny Albert Springer on symmetric spaces. On the other hand, (2) follows from a theorem proved by Xuhua He and Jesper Funch Thomsen which states Frobenius splittings of Y-like varieties. It thus implies (2) in positive characteristic and we just have to pass it through the zero : we then merely produce an example of the reduction modulo p method.Our work suggests several avenues of research and could be improved in several directions. It could have implications for the study of the irreducible components of the Steinberg variety and thus for the calculation of the characteristic polynomials. They have been introduced by Anthony Joseph in order to constitute irreducible representations of the Weyl group. Our work also raises the question of its generalization to the C type, the exceptional types and the positive characteristic

Cette thèse porte sur l'étude de certaines propriétés structurelles de l'ensemble des polynômes irréductibles à coefficients dans F2. La première partie classifie ces polynômes par rapport à l'action du groupe des automorphismes de la droite projective P1(F2), à savoir PGL2(F2) S3. Nous btenons quatre familles de polynômes invariants par l'action des quatre sous-groupes non triviaux de S3, ce qui généralise la notion de polynôme réciproque. De plus, nous donnons une formule de dénombrement qui complète celle de Carlitz (qui a traité le cas réciproque). Dans la seconde partie, nous donnons des transformations permettant de générer nos polynômes invariants ainsi que le théorème général décrivant leur action précise sur les polynômes irréductibles. Cela donne deux partitions différentes par des relations simples sur leurs coefficients. Nous proposons également des moyens de construire des suites infinies explicites d'irréductibles invariants en généralisant ce qui existait pour les réciproques. Dans la troisième partie, nous étudions plus en détail nos transformations. En particulier, nous retrouvons deux d'entre elles au travers d'opérations sur les points de deux courbes elliptiques
This Ph. D. Is a study of some structural properties of the set of irreducible polynomials with coefficients in F2. The first part classify these polynomials under the action of the automorphisms group of the projective line P1(F2), i. E. PGL2(F2) S3. We obtain four families of invariant polynomials under each non trivial subgroup of S3, which generalize the notion of self-reciprocal polynomials. Moreover, we give an enumeration formula that completes Carlitz' one (which concerns the self-reciprocal polynomials). In the second part, we give transformations that generate our invariant polynomials and the general theorem describing their action on the irreducible polynomials. That gives two different partitions by easy relations on their coefficients. We also propose ways to construct infinite sequences of irreducible invariant polynomials, generalizing what was known for self-reciprocal polynomials. In the third part, we study more deeply our transformations. In particular, we show that we can find two of them through operations on the points of two elliptic curves

L'algèbre linéaire est une brique de base essentielle du calcul scientifique. Initialement dominée par le calcul numérique, elle connaît depuis les dix dernières années des progrès considérables en calcul exact. Ces avancées algorithmiques rendant l'approche exacte envisageable, il est devenu nécessaire de considérer leur mise en pratique. Nous présentons la mise en oeuvre de routines de base en algèbre linéaire exacte dont l'efficacité sur les corps finis est comparable celles des BLAS numériques. Au délà des applications propres au calcul exact, nous montrons qu'elles offrent une alternative au calcul numérique multiprécision pour la résolution de certains problèmes numériques mal conditionnés.

Le calcul du polynôme caractéristique est l'un des problèmes classiques en algèbre linéaire. Son calcul exact permet par exemple de déterminer la similitude entre deux matrices, par le calcul de la forme normale de Frobenius, ou la cospectralité de deux graphes. Si l'amélioration de sa complexité théorique reste un problème ouvert, tant pour les méthodes denses que boîte noire, nous abordons la question du point de vue de la praticabilité : des algorithmes adaptatifs pour les matrices denses ou boîte noire sont dérivés des meilleurs algorithmes existants pour assurer l'efficacité en pratique. Cela permet de traiter de façon exacte des problèmes de dimensions jusqu'alors inaccessibles.

Dans cette thèse on s'intéresse à la convergence et aux grandes déviations de la mesure empirique associée à certains processus ponctuels déterminantaux. Le point commun entre ces processus ponctuels est que leur polynôme caractéristique moyen est un polynôme orthogonal multiple, une généralisation des polynômes orthogonaux usuels. L'exemple le plus simple est fourni par un gaz de Coulomb bidimensionnel dans un potentiel confinant à température inverse bêta = 2; son polynôme caractéristique moyen est alors un polynôme orthogonal. Il a été prouvé, même dans le cas plus général où bêta > 0, que la mesure empirique satisfait à un principe de grande déviation, avec une fonction de taux qui fait intervenir un problème d'équilibre bien connu en théorie logarithmique du potentiel. En guise d'échauffement, nous allons montrer que ce résultat s'étend au cas d'un potentiel faiblement confinant, c'est-à-dire satisfaisant une condition de croissance plus faible que d'habitude. Pour ce faire, nous utilisons un argument de compactification qui sera d'importance pour la suite. Anticipant la description asymptotique de processus déterminantaux plus complexes, nous développons alors un cadre adéquat pour définir rigoureusement des problèmes d'équilibre vectoriels avec des potentiels faiblement confinants. Nous prouvons l'existence et l'unicité de leurs solutions, un résultat nouveau en théorie du potentiel, et aussi que les fonctionnelles associées ont des ensembles de niveau compacts. Après, nous nous intéressons à un processus ponctuel déterminantal associé à une perturbation additive d'une matrice de Wishart, pour lequel le polynôme caractéristique moyen est un polynôme orthogonal multiple à deux poids. Nous établissons un principe de grande déviation pour la mesure empirique avec une fonction de taux qui fait intervenir un problème d'équilibre vectoriel ayant des potentiels faiblement confinants. C'est la première fois qu'un problème d'équilibre vectoriel intervient dans la description des grandes déviations de matrices aléatoires. Finalement, on étudie de façon générale quand est-ce que la mesure empirique associée à un processus ponctuel déterminantal et la distribution des zéros du polynôme caractéristique moyen associé convergent vers la même limite. Nous obtenons une condition suffisante pour une classe de processus ponctuels déterminantaux qui contient les processus liés aux polynômes orthogonaux multiples. En chemin, nous donnons aussi une condition suffisante pour améliorer la convergence en moyenne de la mesure empirique en une convergence presque sûre. Comme application, on décrit les distributions asymptotiques des zéros des polynômes de Hermite multiple et de Laguerre multiple en termes de convolutions libres de distributions classiques avec des mesures discrètes, et puis nous dérivons des équations algébriques pour leur transformée de Cauchy- Stieltjes
In this thesis we investigate the convergence and large deviations of the empirical measure associated with several determinantal point processes. These point processes have in common that their average characteristic polynomial is a multiple orthogonal polynomial, the latter being a generalization of orthogonal polynomials. The first simplest example is a 2D Coulomb gas in a confining potential at inverse temperature beta = 2, for which the average characteristic polynomial is an orthogonal polynomial. A large deviation principle for the empirical measure is known to hold, even in the general beta > 0 case, with a rate function involving an equilibrium problem arising from logarithmic potential theory. As a warming up, we show this result actually extends to the case where the potential is weakly confining, i. E. Satisfying a weaker growth assumption that usual. To do so, we introduce a compactification procedure which will be of important use in what follows. Motivated by more complex determinantal point processes, we then develop a general framework for vector equilibrium problems with weakly confining potentials to make sense. We prove existence and uniqueness of their solutions, which improves the existing results in the potential theory literature, and moreover show that the associated functionals have compact level sets. Next, we investigate a determinantal point process associated with an additive perturbation of a Wishart matrix, for which the average characteristic polynomial is a multiple orthogonal polynomial associated with two weights. We establish a large deviation principle for the empirical measure with a rate function related to a vector equilibrium problem with weakly confining potentials. This is the first time that a vector equilibrium problem is shown to be involved in a large deviation principle for random matrix models. Finally, we study on a more general level when both the empirical measure of a determinantal point process and the zero distribution of the associated average characteristic polynomial converge to the same limit. We obtain a sufficient condition for a class of determinantal point processes which contains the ones related to multiple orthogonal polynomials. On the way, we provide a sufficient condition to strengthen the mean convergence of the empirical measure to the almost sure one. As an application, we describe the limiting distributions for the zeros of multiple Hermite and multiple Laguerre polynomials in terms of free convolutions of classical distributions with atomic measures, and then derive algebraic equations for their Cauchy-Stieltjes transforms

Cette thèse porte sur l'étude de la topologie des fibres d'un polynôme complexe. Dans les préliminaires, on présente les différentes techniques qui seront utilisées comme les champs de vecteurs stratifiés et les conditions de contrôles sur ces champs, les variétés toriques. On présente aussi quelques résultats préparatoires sur les propriétés de la compactification torique des fibres d'un polynôme.

Le chapitre 2 donne les principaux résultats de cette thèse dans le cas d'une compactification torique par poids de l'espace affine C^n. On démontre la trivialité affine d'un polynôme à l'aide de l'hypothèse de modération sur le gradient par poids de Malgrange-Paunescu : |grad_Wf(z)|_W est minoré. On démontre aussi grâce à la même hypothèse de modération sur le gradient la propriété locale suivante : le champ de vecteurs de Kuo-Paunescu après modification torique donne un champ de vecteurs controlé par rapport au diviseur à l'infini. Cette dernière condition nous donne la condition la plus importante : la condition non-caractéristique. On en déduit la trivialité locale en un point du diviseur.

Le chapitre 3 est basé sur les travaux de Hamm, Lê et Mebkhout. Il décrit la correspondance entre la condition non-caractéristique obtenue au chapitre 2 et la notion de cycles évanescents ainsi que celle de trivialité locale.

Le chapitre 4 présente la généralisation des théorèmes du chapitre 2 pour une compactification torique quelconque de l'espace affine C^n.

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p>0. Soit C/k une courbe algébrique, propre, lisse et de genre g>1, munie d'un p-groupe G d'automorphismes tel que |G|/g> 2p/(p-1). Un tel couple (C,G) est appelé une "grosse action". Sous ces hypothèses, C--> C/G est un revêtement étale de la droite affine Spec k[X], complètement ramifié à l'infini. Après avoir précisé certaines propriétés du deuxième groupe de ramification G_2 de G à l'infini, on donne des exemples de telles actions avec G_2 abélien d'exposant quelconque. Ces exemples trouvent leur source dans la construction , via les corps de classes de rayon, de courbes algébriques sur un corps fini possédant beaucoup de points rationnels. On se concentre ensuite sur le cas où G_2 est un p-groupe abélien élémentaire. En considérant une filtration d'anneau de k[X] liée aux polynômes additifs, on obtient un théorème de structure pour les fonctions paramétrant le revêtement d'Artin-Schreier: C --> C/G_2. On exhibe alors des familles universelles et on discute l'espace de déformation correspondant lorsque p=5. On déduit de ces résultats une classification et une paramétrisation de telles actions lorsque |G|/g^2 est supérieur ou égal à 4/(p^2-1)^2
Let k be an algebraically closed field of characteristic p>0 and C a connected nonsingular projective curve over k with genus g>1. We define a big action as a pair (C,G) where G is a p-subgroup of the k-automorphism group of C such that |G| /g > 2p / p-1. Then, C ---> C/G is an étale cover of the affine line Spec k[X] totally ramified at infinity. We first give necessary conditions on the second ramification G_2 of G at infinity for (C,G) to be a big action. We also display realizations of such actions with G_2 abelian of exponent as large as we want. Our main source of examples comes from the construction of curves with many rational points using ray class field theory for global function fields. Then we focus on the case where G_2 is p-elementary abelian. In particular, considering additive polynomials of k[X], we obtain a structure theorem for the functions parametrizing the Artin-Schreier cover C --> C/G_2. Then we display universal families and discuss the corresponding deformation space for p=5. All these results lead to the classification and the parametrization of big actions for |G|/g^2 greater or equal to 4/(p^2-1)^2

Les codes espace-temps sont des codes correcteurs dédiés aux transmissions MIMO. Mathématiquement, un code espace-temps est un ensemble fini de matrices complexes. Ses performances dépendent de plusieurs critères, dont la distance minimale en métrique rang. Les codes de Gabidulin sont des codes dans cette métrique, connus pour leur optimalité et pour l'existence d'algorithmes de décodage efficaces. C'est pourquoi ils sont utilisés pour concevoir des codes espace-temps. La principale difficulté est alors de construire des matrices complexes à partir de matrices binaires. Les travaux présentés dans ce documents consistent à généraliser les codes de Gabidulin à des corps de nombres, en particulier des extensions cyclique. Nous verrons qu'ils ont les mêmes propriétés que leurs analogues sur les corps finis. Nous étudierons plusieurs modèles d'erreurs et d'effacements et présenterons un algorithme qui permettra de retrouver l'information transmise avec une complexité quadratique. En calculant dans des corps infinis, nous serons confrontés au problème de la taille des éléments, qui augmente exponentiellement au gré des calculs. Pour éviter ce désagrément, nous verrons qu'il est possible de réduire le code afin de calculer dans un corps fini. Enfin, nous proposerons une famille de codes espace-temps dont la construction est basée sur les codes de Gabidulin généralisés. Nous verrons que leurs performances sont similaires à celles des codes existants, et qu'ils disposent d'une structure supplémentaire
Space-time codes are error correcting codes dedicated to MIMO transmissions. Mathematically, a space-time code is a finite family of complex matrices. Its preformances rely on several parameters, including its minimal rank distance. Gabidulin codes are codes in this metric, famous for their optimality and thanks to efficient decoding algorithms. That's why they are used to design space-time codes. The main difficulty is to design complex matrices from binary matrices. The aim of the works collected here is to generalize Gabidulin codes to number fields, especially cyclique extesnions. We see that they have the same properties than Gabidulin codes over finite fields. We study several errors and erasures models and introduce a quadratic algorithm to recover transmitted information. When computing in finite fields, we are faced with the growing size problem. Indeed, the size of the coefficients grows exponentielly along the algorithm. To avoid this problem, it is possible to reduce the code, in order to compute in a finite field. Finally, we design a family of space-time codes, based on generalised Gabidulin codes. We see that our codes have performances similar to those of existing codes, and that they have additional structure

En utilisant le concept des fonctions de partition , nous étudions le comportement asymptotique des nombres de Betti gradués des puissances d’idéaux homogènes dans un polynôme sur un corp.Pour un Z-graduer positif, notre résultat principal affirme que les nombres de Betti des puissances est codé par un nombre fini des polynômes. Plus précisément, Z^2 peut être divisé en un nombre fini des régions telles que, dans chacun d’eux, dimk Tor^{S}_{i} (I^t,k)μ est un quasi-polynôme en (μ,t). Ce affine, dans une situation graduée, le résultat de Kodiyalam sur nombres de Betti des puissances dans [33].La déclaration principale traite le cas des produits des puissances d’idéaux homogènes dans un algèbre Z^d -graduée , pour un graduer positif, dans le sens de [37] et il est généralise également pour les filtrations I -good.Dans la deuxième partie, en utilisant la version paramétrique de l’algorithme de Barvinok, nous donnons une formule fermée pour les fonctions de Hilbert non-standard d’anneaux de polynômes, en petites dimensions
Using the concept of vector partition functions, we investigate the asymptotic behavior of graded Betti numbers of powers of homogeneous ideals in a polynomial ring over a field. For a positive Z-grading, our main result states that the Betti numbers of powers is encoded by finitely many polynomials. More precisely, Z^2 can be splitted into a finite number of regions such that, in each of them, dim_k Tor^{S}_{i} (I^t,k)μ is a quasi-polynomial in (μ,t). This refines, in a graded situation, the result of Kodiyalam on Betti numbers of powers in [33]. The main statement treats the case of a power products of homogeneous ideals in a Z^d -graded algebra, for a positive grading, in the sense of [37] and it is also generalizes to I -good filtrations . In the second part , using the parametric version of Barvinok’s algorithm, we give a closed formula for non-standard Hilbert functions of polynomial rings, in low dimensions

La résolution de singularités des courbes sur C est connue depuis longtemps et possède de nombreuses preuves. L'une d'entre elles consiste à utiliser le théorème de Newton-Puiseux pour obtenir l'uniformisation locale d'une valuation centrée sur l'anneau de départ. Ce théorème fournit une série de Puiseux permettant de paramétrer les branches de la courbe ainsi qu'un ensemble de polynômes décrivant complètement la valuation. Dans cette thèse, nous généralisons cette méthode à l'aide des polynômes-clés indexés sur un ensemble bien ordonné qui deviennent, après éclatements, des coordonnées. Notre premier résultat fournit une généralisation effective du théorème de Newton-Puiseux pour une valuation de rang 1, centrée sur un anneau local régulier et complet, ainsi que des résultats de dépendance intégrale sur les séries tronquées. Dans un second temps, nous montrons qu'il n'y a pas de polynômes-clés limites en caractéristique nulle et proposons une méthode pour obtenir l'uniformisation locale des schémas quasi-excellents. Cette méthode consiste à désingulariser l'idéal premier implicite, engendré par un polynôme, en monomialisant les polynômes-clés. Enfin, en caractéristique positive ou mixte, nous montrons que, pour obtenir l'uniformisation locale, il suffit, sous certaines conditions, de monomialiser le premier polynôme-clé limite.

Etude de quelques algorithmes de calcul d'éléments propres de matrices de grande taille : méthode des puissances, itérations de Tchébychev simultanées et algorithme de Lanczos, base orthonormée du sous-espace dominant construite à partir de la forme de Schur de la matrice de projection. Présentation des résultats numériques

Cette thèse étudie les formes normales rationnelles de perturbations de matrices en vue de la résolution du problème de perturbations pour les valeurs propres : le comportement asymptotique des valeurs propres d'une perturbation de matrice pouvant être entièrement décrit à partir de seulement quelques monômes du polynôme caractéristique, il s'agit essentiellement d'arriver à "lire" ces invariants matriciels directement sur la matrice de départ (perturbations quasi-génériques) ou, à défaut, sur une perturbation qui lui soit semblable (forme réduite). Partant des travaux de Moser et de Lidskii, on propose deux premières formes réduites, chacune étant associée à une famille de perturbations quasi-génériques. Des algorithmes de réduction par similitude polynomiale ainsi que les formes normales correspondantes sont également présentés. Enfin, une généralisation d'un théorème de Lidskii indique une troisième forme réduite, pour laquelle le problème de départ est complètement résolu. L'ensemble de ces résultats trouve une interprétation simple avec le polygone de Newton et l'implantation en Maple des algorithmes proposés a permis de développer une première "boîte à outils" pour les perturbations de matrices.

Dans cette thèse, nous étudions le volume et la caractéristique d'Euler de sous-variétés aléatoires de codimension r ∈ {1, . . . , n} dans une variété ambiante M de dimension n. Dans un premier modèle, dit des ondes riemanniennes aléatoires, M est une variété riemannienne fermée. Nous considérons alors le lieu Zλ des zéros communs de r combinaisons linéaires aléatoires indépendantes de fonctions propres du laplacien associées à des valeurs propres inférieures à λ 0. Nous obtenons alors les asymptotiques du volume moyen et de la caractéristique d'Euler moyenne de Zλ lorsque λ tend vers l'infini. Dans un second modèle, M est le lieu réel d'une variété projective définie sur les réels. On s'intéresse dans ce cadre au lieu d'annulation réel Zd d'une section holomorphe réelle globale aléatoire de E⊗Ld, où E est un fibré hermitien de rang r, L est un fibré en droites hermitien ample et tous deux sont définis sur les réels. Nous estimons alors les moyennes du volume et de la caractéristique d'Euler de Zd quand d tend vers l'infini. Dans ce modèle algébrique réel, nous calculons aussi l'asymptotique de la variance du volume de Zd pour 1 r < n. Nous en déduisons, dans ce cas, des résultats asymptotiques d'équidistribution de Zd dans M
We study the volume and Euler characteristic of codimension r ∈ {1, . . . , n} random submanifolds in a dimension n manifold M. First, we consider Riemannian random waves. That is M is a closed Riemannian manifold and we study the common zero set Zλ of r independent random linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian associated to eigenvalues smaller than λ 0. We compute estimates for the mean volume and Euler characteristic of Zλ as λ goes to infinity. We also consider a model of random real algebraic manifolds. In this setting, M is the real locus of a projective manifold defined over the reals. Then, we consider the real vanishing locus Zd of a random real global holomorphic section of E ⊗ Ld, where E is a rank r Hermitian vector bundle, L is an ample Hermitian line bundle and both these bundles are defined over the reals. We compute the asymptotics of the mean volume and Euler characteristic of Zd as d goes to infinity. In this real algebraic setting, we also compute the asymptotic of the variance of the volume of Zd, when 1 r < n. In this case, we prove asympotic equidistribution results for Zd in M

Etude de quelques algorithmes de calcul d'éléments propres de matrices de grande taille : méthode des puissances, itérations de Tchébychev simultanées et algorithme de Lanczos, base orthonormée du sous-espace dominant construite à partir de la forme de Schur de la matrice de projection. Présentation des résultats numériques