Academic literature on the topic 'P-adic logarithmic forms'

We prove that logarithmic derivatives of certain twisted Hilbert class polynomials are holomorphic modular forms modulo p of filtration p + 1. We derive p-adic information about twisted Hecke traces and Hilbert class polynomials. In this framework, we formulate a precise criterion for p-divisibility of class numbers of imaginary quadratic fields in terms of the existence of certain cusp forms modulo p. We explain the existence of infinite classes of congruent twisted Hecke traces with fixed discriminant in terms of the factorization of the associated Hilbert class polynomial modulo p. Finally, we provide a new proof of a theorem of Ogg classifying those p for which all supersingular j-invariants modulo p lie in Fp.

AbstractWe present p-adic algorithms for computing Hecke polynomials and Hecke eigenforms associated to spaces of classical modular forms, using the theory of overconvergent modular forms. The algorithms have a running time which grows linearly with the logarithm of the weight and are well suited to investigating the dimension variation of certain p-adically defined spaces of classical modular forms.

Cette thèse porte sur les minorations des plus grands diviseurs premiers de suites récurrentes linéaires. Tout d’abord, nous obtenons une version uniforme et explicite du résultat séminal de Stewart sur les diviseurs premiers des suites de Lucas. Nous montrons que les constantes du théorème de Stewart ne dépendent que du corps quadratique correspondant à la suite de Lucas, mais pas d’autres paramètres. Nous étudions ensuite les diviseurs premiers des ordres de courbes elliptiques sur des corps finis. En fixant une courbe elliptique sur un corps fini Fq avec q puissance d’un nombre premier, la suite #E(Fqn) s’avère être une suite récurrente linéaire d’ordre 4. Soit P(x) le plus grand nombre premier divisant x. Une minoration de P(#E(Fqn)) est donnée en utilisant l’argument de Stewart et quelques discussions plus délicates. Ensuite, motivés par nos deux projets précédents, nous pouvons montrer que lorsque γ est un nombre algébrique de degré 2 et non une racine d’unité, il existe un idéal premier p de Q(γ) vérifiant νp(γn − 1) ≥ 1, tel que le nombre premier rationnel p sous-jacent à p croît plus rapidement que n. Enfin, nous considérons une application de la méthode de Stewart aux nombres de Fibonacci Fn. Nous obtenons des bornes relativement plus nettes pour P(Fn). Tous les sujets ci-dessus s’appuient essentiellement sur l’estimation de Yu pour des formes linéaires de logarithmique p-adiques
This thesis is about lower bounds for the biggest prime divisors of linear recurrent sequences. First, we obtain a uniform and explicit version of Stewart’s seminal result about prime divisors of Lucas sequences. We show that constants in Stewart’s theorem depend only on the quadratic field corresponding to a Lucas sequence. Then we study the prime divisors of orders of elliptic curves over finite fields. Fixing an elliptic curve over Fq with q power of a prime number, the sequence #E(Fqn) happens to be a linear recurrent sequence of order 4. Let P(x) be the biggest prime dividing x. A lower bound of P(#E(Fqn)) is given by using Stewart’s argument and some more delicate discussions. Next, motivated by our previous two projects, we can show that when γ is an algebraic number of degree 2 and not a root of unity, there exists a prime ideal p of Q(γ) satisfying νp(γn − 1) ≥ 1, such that the rational prime p underlying p grows quicker than n. Finally, we consider a numerical application of Stewart’s method to Fibonacci numbers Fn. Relatively sharp bounds for P(Fn) are obtained. All of the above work relies heavily on Yu’s estimate for p-adic logarithmic forms