Academic literature on the topic 'Oseen Frank model'

Within the framework of the generalised Landau-de Gennes theory, we identify a Q-tensor-based energy that reduces to the four-constant Oseen–Frank energy when it is considered over orientable uniaxial nematic states. Although the commonly considered version of the Landau-de Gennes theory has an elastic contribution that is at most cubic in components of the Q-tensor and their derivatives, the alternative offered here is quartic in these variables. One clear advantage of our approach over the cubic theory is that the associated minimisation problem is well-posed for a significantly wider choice of elastic constants. In particular, this quartic energy can be used to model nematic-to-isotropic phase transitions for highly disparate elastic constants. In addition to proving well-posedness of the proposed version of the Landau-de Gennes theory, we establish a rigorous connection between this theory and its Oseen–Frank counterpart via a Г-convergence argument in the limit of vanishing nematic correlation length. We also prove strong convergence of the associated minimisers.

In this work we recover the Oseen–Frank theory of nematic liquid crystals as a [Formula: see text]-limit of a particular mean-field free energy as the sample size becomes infinitely large. The Frank constants are not necessarily all equal. Our analysis takes place in a broader framework however, also providing results for more general systems such as biaxial or polar molecules. We start from a mesoscopic model describing a competition between entropy and a non-local pairwise interaction between molecules. We assume the interaction potential is separable so that the energy can be reduced to a model involving a macroscopic order parameter. We assume only integrability and decay properties of the macroscopic interaction, but no regularity assumptions are required. In particular, singular interactions are permitted. The analysis becomes significantly simpler on a translationally invariant domain, so we first consider periodic domains with increasing domain of periodicity. Then we tackle the problem on a Lipschitz domain with non-local boundary conditions by considering an asymptotically equivalent problem on periodic domains. We conclude by applying the results to a case which reduces to the Oseen–Frank model of elasticity, and give expressions for the Frank constants in terms of integrals of the interaction kernel.

This paper concerns the uniqueness of weak solutions to the Cauchy problem to the Ericksen–Leslie system of liquid crystal models in [Formula: see text], with both general Leslie stress tensors and general Oseen–Frank density. It is shown here that such a system admits a unique weak solution provided that the Frank coefficients are close to some positive constant. One of the main ideas of our proof is to perform suitable energy estimates at the level one order lower than the natural basic energy estimates for the Ericksen–Leslie system.

AbstractWe propose a robust and efficient augmented Lagrangian-type preconditioner for solving linearizations of the Oseen–Frank model arising in nematic and cholesteric liquid crystals. By applying the augmented Lagrangian method, the Schur complement of the director block can be better approximated by the weighted mass matrix of the Lagrange multiplier, at the cost of making the augmented director block harder to solve. In order to solve the augmented director block, we develop a robust multigrid algorithm which includes an additive Schwarz relaxation that captures a pointwise version of the kernel of the semi-definite term. Furthermore, we prove that the augmented Lagrangian term improves the discrete enforcement of the unit-length constraint. Numerical experiments verify the efficiency of the algorithm and its robustness with respect to problem-related parameters (Frank constants and cholesteric pitch) and the mesh size.

Abstract In a thin layer of liquid crystal the configuration of the director field depends on the interaction between the elastic properties of the material, the thickness $d$ of the layer, the boundary conditions and the external fields that may have been applied. Suitable combinations of these factors can give rise to distorted configurations (Freedericksz transitions). In this paper we assume the Oseen-Frank model for the energy and that the director field depends only on the direction orthogonal to the layer; we assume also weak anchoring conditions at the two bounding surfaces, and we mainly study the problem of uniqueness of such distorted configurations. More precisely, we first consider the nematic case in the presence of a magnetic field $\mathbf H$, and we prove the uniqueness of the stable configuration provided the magnitude of $\mathbf H$ is between two critical thresholds, simplifying some results already known in the literature, and calculating explicitly the critical thresholds. Then we study the case of a cholesteric liquid crystal without external field. In this case the director field tends to form a right-angle helicoid around a twist axis orthogonal to the layer, and we have distorted configurations (namely oblique helicoid) for suitable value of $d$. Also in this case, with suitable restrictions on the elastic constants in the Oseen-Frank energy, we find two critical thresholds for $d$, and we prove the existence of only one stable director configuration if $d$ is between them.

Tese de mestrado, Física (Estatísatica não linear) Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2017
For the past decade, one of the trends in liquid crystal studies has been the development of the fundamental understanding of interfacial and wetting phenomena of different liquid crystal phases. The reason to do so lays on the complexity and richness behind the characteristic anisotropic properties of liquid crystals that represent a viable path to the creation of novel applications, so far inaccessible with the use simple isotropic liquids. A pictorial example of the usefulness of these properties is that they allow a controlled assembly from surfaces of immersed particles in liquid crystals. These surfaces can be lithographic controlled substrates or interfaces. Thus, each of these systems has been subject to systematic and progressive study in order to complete the comprehension of this field. This thesis is inserted on this trend and is focused on the study of the Blue Phase (BP) interface with the Isotropic (I) and the Cholesteric (C) phases at the mesoscale with respect to their surface tension and interface roughness. Such study is developed for the triple coexistence, using the Landau-de Gennes (LdG) phenomenological model. As a first result of this study it was found at the triple phase coexistence line a hyperbolic relation between the two constant approximation LdG rescaled elastic constant and the pitch. Moreover, regardless of the position in the phase diagram, the blue phase periodicity has a linear relation with that of the cholesteric phase. For the BP-I coexistence it is observed that the interface equilibrium configuration has a zig-zag arrangement of double-twist cells and that the undulation profile has two distinct roughness behaviours, depending on the pitch. The transition between behaviours occurs due to an interface anchoring transition, in which for low pitch values cells have small deformations and have planar anchoring while for high pitch values cells are highly deformed and have homeotropic anchoring. Moreover, it is observed that it is possible to have a continuous transition between the roughness profiles of the BP-I and C-I interfaces over the triple phase line. For the BP-C coexistence it is found that the interface equilibrium configuration has a linear arrangement of undistorted double-twist cells with cholesteric layers tilted by _=4, regardless of the pitch values, and that there is no anchoring transition like in the BP-I interface. It is also observed that for low pitch values only the BP-I can coexist. An introductory study of the behaviour of rough substrate confined cholesterics is also presented, showing that for a sawtooth substrate weak planar anchoring the cholesteric layers adopt a parallel orientation at the substrate regardless of the substrate aperture.
Ao longo da última década, uma das tendências no estudo de Cristais Líquidos baseou-se no desenvolvimento da compreensão fundamental dos fenómenos interfaciais e de molhagem de diferentes fases. A razão para tal assenta na complexidade e riqueza por de trás das propriedades anisotrópicas características destes materiais, a partir das quais poderá vir a ser aberto um caminho viável para a criação de novas aplicações, até agora inacessíveis com o uso the líquidos isotrópicos. Um exemplo pitoresco da utilidade das propriedades destes sistemas é o de permitirem a montagem controlada de estruturas de partículas imersas que crescem a partir das superfícies do cristal líquido. Estas superfícies podem ser substratos controlados por processos litográficos ou interfaces. Como tal, cada um destes sistemas tem vindo a ser sujeito a um estudo esquematizado e progressivo a fim de completar a compreensão fundamental do ramo. Esta tese está inserida nesta tendência e foca-se no estudo de interfaces à mesoescala de um sistema em coexistência tripla entre a Blue Phase o Colestérico e o Isotrópico em relação à tensão de superfície e rugosidade das interfaces usando o modelo fenomenológico de Landau de-Gennes. Como primeiro resultado vê-se que na coexistência tripla de fases existe uma relação hiperbólica entre a constante elática rescalada de LdG e o pitch. Além disso observa-se que, independentemente da posição¸ no diagrama de fases, a periodicidade da blue phase tem uma relação linear com a periodicidade do colestérico. Para a coexistência entre a BP-I, é observado que a configuração de equilíbrio da interface tem um arrajo em zig-zag das células de double-twist e que o perfil de ondulações tem dois comportamentos de rugosidade distintos, dependendo do pitch. A transição entre comportamentos ocorre devido a uma transição de ancoramento da interface, em que para valores baixos de pitch as células são pouco deformadas e o ancoramento ´e paralelo e em que para valores elevados de pitch as células são altamente deformadas e o ancoramento é homeotrópico. É também observado que é possível ter uma transição contínua entre os perfis de rugosidade das interfaces BP-I e C-I sobre a linha de coexistência tripla. Para a coexistência entre a blue phase e o colestérico, é observado que a configuração de equilíbrio da interface tem um arranjo linear das células de double-twist com as camadas de colestérico a fazer um ângulo de_=4 na superfície, independentemente do pitch, e que não há transição de ancoramento como na interface BP-I. É também observado que para valores baixos do pitch apenas pode ocorrer a coexistência entre a blue phase e o isotrópico. Um estudo introdutório sobre o comportamento do colestérico confinado por um substrato rugoso é apresentado, mostrando que para um susbtrato dente de serra com ancoramento planar fraco, as camadas de colestérico adoptam uma orientação paralela ao substrato, indepentemente da abertura do substrato. O Capítulo 1 é dedicado à motivação por trás do desenvolvimento desta tese. É feita a distinção conceptual entre líquidos convencionais e cristais líquidos através do desenvolvimento das ideias de ordem posicional e ordem orientacional. Em função dos diferentes tipos de ordem são apresentadas várias fases de cristais líquidos e o que as distingue fundamentalmente. Feita esta distinção apresentam-se as fases que serão estudadas nesta tese, nemáticos quirais, e de que forma elas se relacionam através das suas propriedades elásticas e quiralidade. Em seguida é introduzida a ideia de campo orientacional usada para descrever cada uma destas fases e de que forma a sua quebra de simetria se manifesta, ou em defeitos topológicos ou em interfaces. São também apresentados alguns exemplos da necessidade e da utilidade de estudar as manifestações da quebra de simetria do campo orientacional. Por fim apresentam-se alguns avanços nos estudos das fases nemático, colestérico e blue phase, com respeito à presença de colóides, substratos e interfaces. No Capítulo 2 desenvolvem-se tanto conceptualmente como analiticamente os conceitos apresentados no capítulo anterior. Começa-se por desenvolver as noções de campo orientacional e simetria uniaxial e biaxial nos nemáticos. Acrescenta-se então a influência da quiralidade nestes compostos e de que forma o nemático pode ser visto como um limite do colestérico. Partindo da presença de quiralidade explora-se a forma em como esta está envolvida nas frustrações no campo orientacional e como através da nucleação de defeitos topológicos ocorre o aparecimento da blue phase. Para explorar de forma analítica a estabilidade e o perfil orientacional de cada uma destas fases, é desenvolvido o primeiro modelo contínuo de cristais líquidos, o modelo de Frank-Oseen. Este modelo permite ver como a energia livre do sistema está relacionada com distorções do campo orientacional, através do splay, twist, bend e saddle-splay. Mostra-se também de que forma este modelo pode contemplar a presença de células de double-twist. Em seguida, explora-se este modelo sob a presença de defeitos topológicos e qual é a forma típica das suas penalizações energéticas. Estabelece-se também a ponte entre estas penalizações e a forma em como as diferentes fases da blue phase estão organizadas face às suas frustrações intrínsecas do campo orientacional. Dado que este modelo falha na explicação do sistema na presença de interfaces é introduzido o conceito de parâmetro de ordem que serve de base para o modelo de Landau para transições de fase. Explora-se de que forma a diferença entre transições de fase de primeira e segunda ordem permitem ligar este modelo aos cristais líquidos no modelo de Landau-de Gennes que usa parâmetros de ordem escalar e tensorial. Por consistência e de forma a dar uma interpretação intuitiva deste modelo, estabelece-se a ligação com o modelo de Frank-Oseen para diferentes aproximações na degenerescência entra as constantes elásticas. De forma a obter um modelo transversal a qualquer composto líquido cristalino, realiza-se o rescalamento da energia livre neste modelo. Por fim, faz-se uma breve extensão deste modelo aos efeitos da presença de uma superfície ordenada. No Capítulo 3, é explicada em primeiro lugar a equação de Euler-Lagrange do funcional de energia livre do modelo de Landau-de Gennes para obter o estado de equilíbrio, a partir do qual é possível fazer a leitura da tensão de superfície para os diferentes parâmetros do sistema. Este estado é dado em função do perfil do parâmetro de ordem tensorial em todo o sistema, que expressa o perfil do campo orientacional, permitindo portanto estudar a estrutura das diferentes interfaces. Em seguida é feita uma breve passagem sobre as ideias envolvidas no método computacional de Elementos Finitos e de que forma são obtidas as soluções numéricas das equações de Euler Lagrange dos diferentes termos do tensor de ordem. Desenvolvidos todos os conceitos e ferramentas necessárias, o Capítulo 4 é então dedicado à revisão dos resultados obtidos nos estudos da interface C-I. A interface C-I foi estudada em função da tensão de superfície e do perfil ondulatório da superfície, que aparece devido à presença do pitch. Observou-se que quando o ancoramento é homeotrópico a configuração de equilíbrio da interface, i.e, com a menor tensão de superfície, ocorre quando as camadas de colestérico se orientam perpendicularmente à superfície e a amplitude das ondulações tem um crescimento sub-linear com a raiz quadrada do pitch. Já quando o ancoramento ´e planar a configuração de equilíbrio da interface ocorre quando as camadas de colestérico se orientam paralelamente à superfície e não há ondulações na interface. Para o caso do ancoramento homeotrópico observou-se adicionalmente que para valores pequenos de pitch ocorria a nucleação de células junto da interface, ou seja, que ocorria uma transição de fase para a blue phase. Por fim, nos Capítulos 5 e 6 são apresentados os novos resultados. Começa-se por construir um diagrama de fases (triplo) para definir para que valores do pitch e constantes elásticas do colestérico é que, à temperatura de coexistência com o isotrópico, o isotrópico, o colestérico e a blue phase coexistem. Desta forma é então possível estudar separadamente cada interface sobre a linha tripla. As interfaces BPI e BP-C são estudadas para cada uma das suas duas configurações em função da tensão de superfície e perfil de ondulações. Para concluir o trabalho, explora-se o comportamento de um colestérico confinado por um substrato em forma de dente de serra com ancoramento planar fraco para diferentes ângulos das camadas do colestérico, dimensões dos dentes do substrato e valores de pitch, com elasticidade fixa.