Academic literature on the topic 'Ondes topologiques'

Dans la première partie on définit une suite infinie d'invariants de Vassiliev du premier ordre pour les nœuds et les nœuds frames du tore plein. On obtient ainsi une suite d'invariants des nœuds legendriens dans la variété des éléments de contact co-orientés du plan (et donc des fronts d'onde dans le plan). Dans la seconde partie on discute la classification des fronts des immersions legendriennes du point de vue de la théorie des singularités : on considère les invariants duaux aux strates qui correspondent aux singularités de co-dimension un des fronts. Tous les invariants locaux et additifs sont déterminés. Dans la troisième partie on établit un isomorphisme entre l'ensemble des courbes arborescentes (courbes planes séparées par chaque point double en deux boucles disjointes) et les arbres planaires pourvus d'une structure supplémentaire. On donne des formules pour calculer les invariants d'Arnold des courbes arborescentes

Les cristaux granulaires sont des structures périodiques de particules disposées en réseau cristallin. Les interactions entre ces billes peuvent être modélisées par leurs contacts, qui ont des dimensions et des masses effectives beaucoup plus petites que celles des billes. Ceci induit une propagation d'ondes élastiques dans les structures granulaires avec des vitesses significativement plus lentes que dans le matériau des grains individuels. En outre, en raison de forces de cisaillement non centrales, les rotations de particules peuvent être initiées, conduisant à des modes de phononiques supplémentaires dans ces cristaux. Dans ce manuscrit, on étudie la propagation d’ondes dans les cristaux granulaires monocouche bidimensionnels avec un mouvement des particules hors-plan ou dans le plan. Les propriétés phononiques sont étudiées, y compris les points de Dirac, les modes de fréquence nulle, les modes à vitesse de groupe nulle et leur transformation en modes de propagation lente. En outre, en présence de bords, on peut prévoir également des ondes de bord élastiques à fréquence nulle et extrêmement lentes dans des cristaux granulaires en « nid d'abeille » (graphène granulaire). En outre, les propriétés topologiques des ondes de bord rotationelles-transverses dans un graphène granulaire sont théoriquement démontrées. En induisant une transition topologique, qui transforme l'ordre topologique du graphène granulaire de trivial en non trivial, on peut observer le transport de bord topologique dans le graphène granulaire. Les théories développées pourraient mener potentiellement à des applications sur le contrôle des ondes élastiques par des structures granulaires
Granular crystals are spatially periodic structures of elastic particles arranged in crystal lattices. The interactions between particles take place via their elastic interconnections, which are of much smaller dimensions and weights than the beads. This induces propagation of elastic waves in granular structures at significantly slower velocities than in the individual grains. In addition, due to the existence of non-central shear forces, rotations of particles can be initiated, leading to extra phononic modes in the crystals. In the manuscript, wave dynamics in two-dimensional monolayer granular crystals with either out-of-plane or in-plane particle motion is studied. The phononic properties are investigated, including Dirac points, zero-frequency modes, zero-group-velocity modes and their transformation into slow propagating phononic modes. Furthermore, in the presence of edges/boundaries, zero-frequency and extremely slow elastic edge waves can be also predicted in mechanical granular honeycomb crystals (granular graphene). In addition, topological properties of rotational edge waves in a granular graphene are theoretically demonstrated. By inducing topological transition, which turns the topological order of granular graphene from trivial to nontrivial, topological edge transport in the granular graphene can be observed. The developed theories could promote the potential applications of designed granular structures with novel elastic wave propagation properties

Nous développons des métamatériaux élastiques à piliers pour manipuler les ondes de Lamb. Dans un premier temps, les propriétés négatives associées aux résonances de flexion, de compression et de torsion dans deux structures constituées de piliers sur un seul côté d’une membrane sont examinées. Nous décrivons deux mécanismes différents des propriétés de double négativité. Le potentiel de ces structures pour la réfraction négative et le cloaking acoustique est démontré. Deuxièmement, nous présentons le transport protégé topologiquement des ondes de Lamb par analogie avec les effets Hall quantiques de spin et de vallée. En réorganisant les structures précédentes en un réseau en nid d'abeille, un cône de Dirac simple et un cône de Dirac double sont introduits. Nous discutons de l’apparition d’états de bord protégés topologiquement par une vallée dans une structure à piliers double face asymétrique. La propagation unidirectionnelle des états de bord est étudiée. De plus, nous considérons un système double face symétrique. Les états de bord protégés topologiquement sur le pseudospin et sur le pseudospin-vallée sont démontrés. Troisièmement, nous proposons une approche pour contrôler activement la transmission de l’onde de Lamb antisymétrique se propageant à travers une ligne infinie de piliers. Deux situations différentes avec les résonances de flexion et de compression respectivement séparées ou superposées sont étudiées. Une force de traction externe et une pression sont appliquées sur les piliers, ce qui permet de les coupler avec les vibrations de flexion et de compression. La transmission est étudiée en fonction de l’amplitude et de la phase relative des sources externes
We develop elastic pillared metamaterials to manipulate Lamb waves. Firstly, the negative properties associated with bending, compression and torsion resonances in two structures consisting of pillars on one side of a thin plate are examined. We describe in details two different mechanisms at the origin of doubly negative property. The potential of these structures for negative refraction of Lamb waves and acoustic cloaking is demonstrated numerically. Secondly, we present the topologically protected transport of Lamb waves by analogy with quantum spin and valley quantum Hall effects. By rearranging the previous structures into a honeycomb network, a single Dirac cone and a double Dirac cone are introduced. We discuss the appearance of topologically valley-protected edge states in an asymmetrical double-sided pillar structure. The unidirectional propagation of edge states on different domain walls is studied. In addition, we consider a symmetrical double-sided system allowing the separation of the symmetric and antisymmetric modes. Combined edge states protected topologically by pseudospin and pseudospin-valley degree of freedom are demonstrated. Third, we propose an approach to actively control the transmission of the antisymmetric Lamb wave propagating through an infinite line of pillars. Two different situations with bending and compression resonances respectively separated or superimposed are studied. External tensile force and pressure are applied to the pillars, which allows them to couple with the bending and compressive vibrations. The transmission is studied as a function of the amplitude and the relative phase of the external sources

Au sens large, le terme de localisation ondulatoire fait référence à un phénomène où les ondes sont spatialement confinées dans de petites régions de l'espace sans la contrainte de barrières matérielles. Dans cette thèse, nous étudions (analytiquement, numériquement et expérimentalement) différents mécanismes physiques collectifs pour localiser spatialement, et donc pour contrôler les ondes électromagnétiques. En particulier, nous nous concentrons sur le rôle des potentiels non corrélés et corrélés, ainsi que sur des effets topologiques pour réaliser le confinement des ondes. Les études analytiques et numériques sont réalisées dans le cadre d'une approche récente de la modélisation de la localisation d'Anderson appelée théorie du paysage de localisation. D'autre part, des expériences sont réalisées à l'aide d'une plate-forme micro-ondes composée de petits cylindres diélectriques placés à l'intérieur d'une cavité constituée de deux plaques métalliques. La cavité met en œuvre un système d'ondes propagatives, où nous pouvons contrôler efficacement la permittivité locale au moyen des cylindres agissant comme des diffuseurs, ou comme un système de de liaison forte analogique, où, dans ce cas, les cylindres diélectriques jouent le rôle de résonateurs. Dans un premier temps, nous étendons le champ d'application de l'approche du paysage de localisation à une large classe de systèmes de liaison forte unidimensionnels et bidimensionnels en présence d'un désordre non corrélé, où des fonctions propres localisées apparaissent en bord de bande. Nous démontrons comment la théorie du paysage de localisation est capable de prédire avec précision non seulement les emplacements, mais aussi les énergies des fonctions propres localisées dans les régimes de basse et de haute énergie. Ensuite, en utilisant notre cavité expérimentale comme système de propagation, nous réalisons des expériences de transport de micro-ondes dans des réseaux planaires bidimensionnels. Les expériences sont réalisées sur un réseau désordonné et sur une spirale de Vogel apériodique à partir de laquelle nous caractérisons les structures modales électromagnétiques dans l'espace réel. Nos résultats révèlent que les systèmes apériodiques possèdent une grande variété de modes à longue durée de vie - avec des décroissances spatiales gaussiennes, exponentielles et en loi de puissance - qui sont capables de survivre même dans un environnement tridimensionnel. Ceci est confirmé par différentes quantités de transport telles que la densité d'états, le temps de décroissance caractéristique et la conductance de Thouless qui sont également accessibles expérimentalement. À l'inverse, nous montrons que les états propres dans les milieux désordonnés traditionnels sont toujours limités à des décroissances radiales exponentielles avec d'importantes fuites dès que les systèmes ne sont plus bidimensionnels. Enfin, nous utilisons la configuration expérimentale de liaison forte pour étudier la propagation des états hélicoïdaux topologiques. En particulier, nous analysons expérimentalement un ensemble de structures en nid d'abeille construites à l'aide d'un réseau triangulaire avec une cellule unitaire hexagonale, qui sont caractérisées par l'invariant topologique Z_2. En accédant à la structure modale dans l'espace réel et à la densité d'états, nos résultats révèlent la possibilité d'ouvrir une bande interdite topologique, peuplée d'états de bord localisés en bordure de la structure. Nous démontrons la nature unidirectionelle de la propagation de ces états de bord hélicoïdaux contre-propagatifs. Dans l'ensemble, nos résultats démontrent qu'il est possible de modéliser, de contrôler et de localiser les ondes électromagnétiques non seulement du point de vue d'Anderson, mais aussi au-delà. Grâce aux différents jalons que nous avons posés, nous ouvrons une voie vers l'hypothétique localisation d'Anderson des ondes électromagnétiques tridimensionnelles
In a broad sense, the term wave localization refers to a phenomenon where waves are spatially confined in small regions of the space without any bounding material barriers.In this Thesis, we investigate (analytically, numerically and experimentally) different physical collective mechanisms to spatially localize, and therefore, to control electromagnetic waves. Specifically, we focus on the role of uncorrelated and correlated potentials, as well as of topological effects to achieve wave confinement. Analytical and numerical studies are accomplished in the framework of a recent approach in the modeling of Anderson localization called localization landscape theory. On the other hand, experiments are performed using a microwave platform composed by small dielectric cylinders placed inside a cavity made of two metallic plates. The cavity implements a propagative wave system, where we can efficiently control the local permittivity by means of the cylinders acting as scatterers, or as an analogic tight-binding system, where, in this case, the dielectric cylinders play the role of resonators.First, we extend the scope of the localization landscape approach to a wide class of one and two dimensional tight-binding systems in the presence of uncorrelated disorder, where localized eigenfunctions appear in both band-edges. We demonstrate how the landscape theory is able to predict accurately not only the locations, but also the energies of localized eigenfunctions in the low- and high-energy regimes. Later, by using our experimental cavity as a propagative system, we perform microwave transport experiments in two dimensional planar arrays. Experiments are carried out on a disordered lattice and on an aperiodic Vogel spiral from where we characterize the electromagnetic modal structures in real space. Our results reveals that aperiodic systems can carry a rich variety of long-lived modes—with Gaussian, exponential, and power law spatial decays—which are able to survive even in a three-dimensional environment. This is supported by different transport quantities such as the density of states, the characteristic decay time, and the Thouless conductance that are also experimentally accessible. On the contrary, we show that the eigenstates in traditional disordered media are always limited to exponential radial decays with leaking features beyond two-dimensions.Finally, we use the experimental tight-binding configuration to investigate the propagation of topological helical states. Particularly, we experimentally analyze a set of honeycomb-like structures built using a triangular lattice with an hexagonal unit cell, which are characterized by the Z_2 topological invariant. By recovering the modal structure in real space and the density of states, our results reveal the possibility to open a topological gap, dwelt by edge states that lives in the border of the structure.We demonstrate the unidirectional counterpropagative features of such helical edge states.Taken together, our results demonstrate that it is possible to model, control and localize electromagnetic waves not only within, but beyond Anderson's conception. Thanks to the crossroads we have taken, we have mapped out an itinerary that brings us closer to the main avenue leading perhaps to Anderson localization of three dimensional electromagnetic waves

Depuis les années 80 et la découverte de l’effet Hall quantique, la topologie s’est avérée être un outil crucial pour analyser divers phénomènes ondulatoires. Parmi les concepts clés ayant émergés de ce domaine, la correspondance bord-volume se distingue. Elle établit un lien entre l'existence d'états de bords d'énergie nulle dans des matériaux isolants dans leur volume et des propriétés topologiques définies dans le-dit volume. Cependant, de nombreux autres phénomènes topologiques, tels que les isolants d'ordre supérieur ou les semi-métaux sont documentés dans la littérature, chacun avec sa propre phénoménologie distincte. Cette thèse présente un nouveau formalisme, baptisé "mode-shell correspondence", qui harmonise ces divers résultats de la recherche et généralise la correspondance bord-volume. En effet, cette correspondance démontre la possibilité de lier, de manière générale, les propriétés des modes topologiques à basse énergie à une propriété topologique définie dans la coquille (shell), représentant la surface entourant ces modes dans l'espace des phases. De plus, cette thèse explore les extensions de ce formalisme aux systèmes non-linéaires et non-Hermitiens, lesquels revêtent une importance particulière pour l'étude des propriétés topologiques des ondes classiques
Since the 1980s and the discovery of the quantum Hall effect, topology has proven to be a crucial tool for analyzing various wave phenomena. Among the key concepts that have emerged from this field, bulk-edge correspondence stands out. It establishes a link between the existence of zero energy edge states in bulk-insulating materials and topological properties defined in the bulk. However, many other topological phenomena, such as higher order insulators or semimetals, are documented in the literature, each with their own distinct phenomenology. This thesis presents a new formalism, called "mode-shell correspondence", which harmonizes these various research results and generalizes the bulk-edge correspondence. Indeed, this correspondence demonstrates the possibility of linking, in a general way, the properties of low energy topological modes to a topological property defined in the shell, representing the surface surrounding these modes in phase space. Furthermore, this thesis explores the extensions of this formalism to non-linear and non- Hermitian systems, which are of particular importance for the study of the topological properties of classical waves

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et expérimentale de la phase des ondes sismiques et des ultrasons se propageant dans les milieux désordonnés. La théorie des distributions et des corrélations des dérivées spatiales et temporelles de la phase est développée dans l'hypothèse d'un champ scalaire analytique gaussien et circulaire. Ces fonctions statistiques permettent de caractériser les diffuseurs dans les deux dispositifs expérimentaux au coeur de cette thèse. D'une part, les fluctuations temporelles de la phase d'ultrasons sont utilisées pour sonder la dynamique d'une suspension de billes millimétriques sur des échelles de temps allant de la milliseconde à la seconde. D'autre part les fluctuations spatiales de la phase donnent une caractérisation de la diffusion multiple des ondes de flexion dans une plaque de Plexiglas ® perforée aléatoirement. Le comportement asymptotique en loi de puissance des distributions des dérivées de la phase démontre les propriétés gaussiennes des codas dans ces deux dispositifs. Enfin, l'étude de la coda de séismes régionaux en Californie a permis de proposer une application à la détermination du libre parcours moyen des ondes sismiques dans la croûte terrestre : il est montré que c'est la seule échelle caractéristique de la fonction de corrélation de la dérivée spatiale de la phase
In this thesis we study, both theoretically and experimentally, the phase of seismic and ultrasonic waves propagating in disordered media. The theory for the derivatives of phase with respect to either position or time is developped in the framework of a scalar gaussian and circular wave field. Different statistical functions allow us to characterize the scatterers in the two experimental set-ups discussed in this thesis. On the one hand, the temporal phase fluctuations of ultrasound in a suspension of glass spheres probe scatterer motions on time scales ranging from milliseconds to seconds. On the other hand, the spatial phase fluctuations characterize multiple scattering of flexural waves propagating in a Plexiglas R plate with random holes. In both set-ups the gaussian properties of the coda field are scrutinized using the asymptotic power law decay of the distribution functions of the phase derivatives. The study of the seismic coda of regional events in California provides a possible application to the determination of the mean free path in the Earth?s crust : it is shown to be the only characteristic length scale of the spatial phase derivative correlation function

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et expérimentale de la phase des ondes sismiques et des ultrasons se propageant dans les milieux désordonnés.
La théorie des distributions et des corrélations des dérivées spatiales et temporelles de la phase est développée dans l'hypothèse d'un champ scalaire analytique gaussien et circulaire. Ces fonctions statistiques permettent de caractériser les diffuseurs dans les deux dispositifs expérimentaux au coeur de cette thèse. D'une part, les fluctuations temporelles de la phase d'ultrasons sont utilisées pour sonder la dynamique d'une suspension de billes millimétriques sur des échelles de temps allant de la milliseconde à la seconde. D'autre part les fluctuations spatiales de la phase donnent une caractérisation de la diffusion multiple des ondes de flexion dans une plaque de Plexiglas ® perforée aléatoirement. Le comportement asymptotique en loi de puissance des distributions des dérivées de la phase démontre les propriétés gaussiennes des codas dans ces deux dispositifs.
Enfin, l'étude de la coda de séismes régionaux en Californie a permis de proposer une application à la détermination du libre parcours moyen des ondes sismiques dans la croûte terrestre : il est montré que c'est la seule échelle caractéristique de la fonction de corrélation de la dérivée spatiale de la phase.

La détection, la localisation et le suivi de l’évolution de défauts dans les milieux périodiques et les guides d’ondes est un enjeu majeur dans le domaine du Contrôle Non Destructif (CND). La propagation d’ondes dans ce genre de milieux est complexe, par exemple lorsque la vitesse dépend de la fréquence (dispersion) ou de la direction de propagation (anisotropie). La signature du défaut peut également être « noyée » dans le champ acoustique renvoyé par la structure (réverbération ou diffusion multiple). C’est pour répondre à ces enjeux de taille que l’Optimisation Topologique (OT) a été adaptée aux problèmes de diffraction des ondes acoustiques par des défauts infinitésimaux afin d’obtenir des images de réflectivité des milieux inspectés. La méthode peut être appliquée à toutes sortes de milieux, quelle que soit leur complexité, à condition d’être capable de simuler correctement (sur un milieu de référence) la propagation des ondes de l’expérience physique. En s’inspirant de l’OT, les travaux de cette thèse proposent de mettre en oeuvre des méthodes d’imagerie qualitatives adaptées aux spécificités des Cristaux Phononiques (CP) et des guides d’ondes. Dans un premier temps, nous nous attachons à la description du formalisme mathématique de l’Optimisation Topologique et de la Full Waveform Inversion (FWI). Bien que ces méthodes ne cherchent pas à résoudre les mêmes problèmes inverses, nous mettons en évidence leurs points communs. Dans un deuxième temps, nous appliquons l’Imagerie Topologique (IT) à l’inspection en réflexion des milieux faiblement hétérogènes. Dans un troisième temps, nous nous inspirons de l’IT pour définir une nouvelle variante de celle-ci nommée Imagerie Topologique Hybride (ITH). Nous appliquons ces méthodes pour l’inspection en réflexion des CP crées par des tiges d’acier immergées dans l’eau. Nous comparons les performances de ces méthodes en fonction du type de défaut dans le CP. Les simulations numériques correspondantes à certains cas d’étude sont appuyées par des essais expérimentaux concluants. Dans un quatrième temps, nous adaptons l’IT à une configuration d’inspection en transmission afin de mette en oeuvre une méthode de Structural Health Monitoring (SHM) des guides d’ondes. A ce propos, nous avons mis au point une nouvelle méthode d’imagerie mieux adaptée que l’IT aux configurations d’inspection en transmission
The detection, localization and monitoring of the evolution of defects in periodic media and waveguides is a major issue in the field of Non-Destructive Testing (NDT). Wave propagation in such media is complex, for example when the velocity depends on the frequency (dispersion) or direction of propagation (anisotropy). The signature of the defect can also be "embedded" in the acoustic field reflected by the structure (reverberation or multiple diffusion). It is to answer these stakes of the size that the Topological Optimization (TO) has been adapted to the problems of diffraction of the acoustic waves by infinitesimal defects in order to obtain reflectivity images of the inspected media. The method can be applied to all kinds of media, regardless of their complexity, provided an exact simulation of the wave propagation in a reference medium (without defects) is performed. Inspired by the TO, the work of this thesis proposes to implement qualitative imaging methods adapted to the specificities of Phononic Crystals (PC) and waveguides. First, we focus on the description of the mathematical formalism of Topological Optimization and Full-Waveform Inversion (FWI). Although these methods do not try to solve the same inverse problems, we highlight their similarities. In a second step, we apply Topological Imaging (TI) to the inspection in pulse-echo configuration of weakly heterogeneous media. Thirdly, we draw inspiration from TI to define a new variant of this method called Hybrid Topological Imaging (HTI).We apply these methods for the pulse-echo configuration inspection of PCs created by steel rods immersed in water.We compare the performance of these methods according to the kind of defects in the PC. Numerical simulations for some case studies are supported by conclusive experimental trials. In a fourth step, we adapt the TI to a pitch-catch configuration in order to implement a new method of Structural Health Monitoring (SHM) of waveguides. In this regard, we have developed a new imaging method that is better suited than TI to pitch-catch configurations

Le travail présenté dans ce manuscrit a pour fil conducteur l'utilisation de la diffraction cohérente des rayons X pour mettre en lumière différents phénomènes physiques. La détection de défauts topologiques, auxquels les faisceaux cohérents sont très sensibles, permet de tirer des conclusions sur l'ordre ou le désordre trouvés dans les systèmes étudiés. La notion de cohérence des rayons X est tout d'abord exposée, puis la caractérisation de profils de diffraction cohérente en présence de défauts topologiques est présentée à travers une étude des boucles de dislocation dans le silicium. Cette technique a ensuite été appliquée à l'étude de composés présentant des ordres électroniques incommensurables, tels que les Ondes de Densité de Charge (ODC) et les Ondes de Densité de Spin (ODS). Plusieurs systèmes ont été étudiés : le chrome pur monocristallin, le bronze bleu K0.3MoO3, et NbSe3. Dans le cas du chrome, les résultats obtenus posent la question du lien réel existant entre ODC et ODS. Par ailleurs, une dislocation magnétique isolée en volume a été détectée, et a permis de soulever la question des constantes de force de l'ODS du spin. Le bronze bleu et NbSe3 ont été étudiés sous champ électrique. Un ordre à très grande distance a été observé dans les ODC du bronze bleu et de NbSe3, dans le régime de glissement. Nous proposons une description en termes de phase, à l'aide d'un modèle de type réseau de solitons.

Cette thèse présente une étude du modèle XY bidimensionnel dans des conditions réalistes, comme la présence d'imperfections (impuretés non magnétiques) ou la taille finie du réseau. Ces deux aspects sont typiques de situations expérimentales et nécessitent un questionnement théorique. Nous avons également considéré le comportement a basse température du modèle d'Heisenberg fini et avons trouve un comportement analogue a celui du modèle XY. Nous avons utilise a la fois une approche analytique et des simulations numériques pour traiter le problème. Les résultats essentiels de ce travail sont: (a) la détermination de l'exposant de décroissance algébrique de la fonction de corrélation du modèle XY dilue, analytiquement avec l'approximation d'ondes de spins et par simulations Monte Carlo a l'aide de l'algorithme de Wolff, (b) l'estimation correspondante dans le cas du modèle d'Heisenberg sur réseau fini a basse température assortie de simulations numériques également, (c) la forme de l'interaction entre les impuretés non magnétiques et les défauts topologiques dans le cadre du modèle de Villain et dans le modèle de Kosterlitz-Thouless, et l'estimation analytique de la réduction de température critique basée sur la forme de cette interaction, (d) la détermination numérique de la distribution de probabilité de l'aimantation résiduelle sur un système fini en présence de désordre. Pour l'ensemble de nos travaux, nous avons obtenu un bon accord entre les prédictions théoriques et les simulations numériques, de même qu'avec des travaux antérieurs le cas écheant
The thesis presents a study of the two-dimensional XY model exposed to such realistic conditions as the presence of lattice imperfections (nonmagnetic impurities) and lattice finiteness. Both features are typical for experimentally accessible magnetic materials and ask for theoretical description. We also have explored the low-temperature behaviour of a finite two-dimensional Heisenberg model and found behaviour similar to that of the 2D XY model. We have used both analytical and computer experiment approaches to tackle the problem. The essential output of the work consists of: (a) estimation of the non-universal exponent of the power law decay of the pair correlation function of a diluted 2D XY model at low temperature as a function of dilution, analytically in the spin-wave approximation, and in the Monte Carlo simulations using the Wolff algorithm; (b) analytical estimation of the corresponding exponent of the 2D Heisenberg model in the low-temperature limit for the finite lattice size and its comparison to the Monte Carlo simulations; (c) evaluation of the form of interaction between nonmagnetic impurities and topological defects within the Villain model as well as in the Kosterlitz-Thouless model, and analytical prediction of the critical temperature reduction made on the basis of this interaction; (d) Monte Carlo investigation of the form of the residual magnetization probability distribution in a finite system in presence of nonmagnetic disorder (dilution). We found all our analytical predictions in quite well agreement with the Monte Carlo simulation results as well as with other researches of the similar problems