Academic literature on the topic 'Numerical'

This article deals with the several key technologies of the numerical economy, such as BIMPLM,loT, SRM, BIG DATA.. Analyzed the advantages and the risks of the implementation of numerical technologies in economy and the role of numerical technologies in the development of economy.

In this paper, a numerical approach is proposed based on the variation-of-constants formula for the numerical discretization Langevin-type equations. Linear and non-linear cases are treated separately. The proofs of convergence have been provided for the linear case, and the numerical implementation has been executed for the non-linear case. The order one convergence for the numerical scheme has been shown both theoretically and numerically. The stability of the numerical scheme has been shown numerically and depicted graphically.

Numerical relativity became a powerful tool to investigate the dynamics of binary problems with black holes or neutron stars as well as the very structure of General Relativity. Although public numerical relativity codes are available to evolve such systems, a proper understanding of the methods involved is quite important. Here, we focus on the numerical solution of elliptic partial differential equations. Such equations arise when preparing initial data for numerical relativity, but also for monitoring the evolution of black holes. Because such elliptic equations play an important role in many branches of physics, we give an overview of the topic, and show how to numerically solve them with simple examples and sample codes written in C ++ and Fortran90 for beginners in numerical relativity or other fields requiring numerical expertise.

Although only our species has achieved high level of mathematical reasoning, numerical abilities are not a human prerogative and in last decades comparative research showed that several animal species display rudimentary numerical capacities (Agrillo & Beran, 2013). The ability to discriminate between quantities provide multiple benefits in different ecological contexts. For instance, numerical abilities can be useful to select the larger amount of food (Hunt et al., 2008), to reduce the probability of being spotted by predators by getting protection within the largest group of social companions (Cresswell, 1994) and to decide whether attack another group based on the assessment of the relative number of intruders (Benson-Amram et al., 2011). In particular, the discovery in recent years that even simple organisms, such as fish, possess numerical abilities similar to primates has made possible the use of fish as an animal model to study numerical cognition in the absence of language. To date, different studies have shown that fish are able to select the larger shoal of conspecifics (Agrillo et al., 2008) and can be trained to discriminate between groups of figures differing in numerosity both when allowed to use number and continuous quantities and when only number was available (Agrillo et al., 2009, 2010). Fish can also make a spontaneous use of numerical information with apparently the same effort required to discriminate continuous quantities (Dadda et al., 2009). These abilities seem to be partially inborn as one-day old fish are already able to discriminate between small groups of peers (Bisazza et al., 2010). Nonetheless several questions about numerical abilities in fish are still unanswered. For instance, it is unclear whether numerical systems are the same among different species, whether numerical acuity may be affected by different factors, such as cooperation among individuals and the presence of items in motion or whether newborn fish could be trained to discriminate between sets of items. The aim of the present study was to fill this gap. In particular, the first part of the thesis deals with some of the open questions about numerical cognition in adult fish; the second part is focused on the ontogeny of numerical competence. In the first study (Section 4.1) we set up a novel procedure for training fish to discriminate between sets of stimuli (groups of geometrical figures) differing in numerosity as the previous methodology used to train fish was time-consuming, suitable only for social species and potentially stressful for fish. To validate the method, we replicated two published experiments that used operant conditioning to investigate mosquitofish (Gambusia holbrooki) abilities to discriminate between small sets of items and the influence of numerical ratio and total number of figures on large number discrimination (Agrillo et al., 2009, 2010). In the new procedure a pair of stimuli differing in numerosity was introduced at the opposite ends of the experimental tank and a food reward was released in correspondence of the stimulus to be reinforced. Fish were initially trained on an easy numerical ratio (0.5) and were then tested in non-reinforced probe trials for their ability to generalize to new numerosities. The new procedure designed replicated previous results: fish proved able to discriminate up to 2 vs. 3 figures and their performance in the large number range decreased while increasing the numerical ratio though their numerical acuity seemed to have no upper limit. In addition, the new method proved to be rapid, applicable to different fish species and efficient to study discrimination learning in fish in tasks requiring visual stimuli. As a consequence, the novel protocol was adopted in all the training experiments presented in this thesis. The second study (Section 4.2) focused on a potential limit in numerical cognition research: the lack of cross-species studies using the same methodology. The question of whether all vertebrates share the same numerical systems or rather numerical abilities have appeared multiple times during evolution in response to specific selective pressures imposed by the environment, represents one of the main issues of animal cognition. Despite the large number of published data, results are inconsistent because the methodologies adopted vary across studies, making difficult any inter-specific comparison. To date no study has investigated if different fish species have the same numerical systems. This experiment represents the first inter-specific study using the same methodology in fish. Five fish species as diverse as guppies (Poecilia reticulata), zebrafish (Danio rerio), angelfish (Pterophyllum scalare), redtail splitfin (Xenotoca eiseni) and Siamese fighting fish (Betta splendens) were trained on an easy numerical ratio (0.50) and then were compared in their ability to generalize to more difficult ratios (0.67 and 0.75), or to a larger (25 vs. 50) or a smaller (2 vs. 4) total set size. Results showed interesting similarities among the species, opening the possibility of shared numerical systems among phylogenetically distantly related species, more in accord with the existence of ancient quantification systems inherited from a common ancestor than with an independent evolution of numerical abilities in different species. Another important question in the study of numerical cognition concerns the influence of contextual factors on the numerical capacities of a species. It is possible that the performance observed in a numerical task is limited to the specific context in which such abilities are observed rather than reflecting the full numerical competence of a species. To this purpose, the third (Section 5.1) and fourth (Section 5.2) studies investigated the potential influence on fish numerical acuity of factors that normally occur in nature, namely, the cooperative behavior within group and the perception of figures in motion. In natural environment grouping animals interact with each other and these repeated interactions among individuals can affect adaptive response. Recent studies have provided evidence that, in some contexts, collective actions allow to bypass the cognitive limits of a species and to solve problems that go beyond the capacity of a single individual (Krause et al., 2010, Couzin, 2009). To date, all numerical studies in non-human animals have tested subjects individually and it is not known whether collective behavior can enhance the capacity to solve numerical tasks. The third study (Section 5.1) aimed to verify whether fish in dyads were more accurate than single individuals in two different numerical discrimination tasks. In the first task, guppies were required to join the larger group of conspecifics (4 vs. 6); in the second one fish were trained to discriminate between sets of figures (0.5 ratio) and hence were tested in discriminations of increasing difficulty (0.67 and 0.75 ratios). Results showed that dyads performed better than singletons in selecting the larger group of social companions and also made better numerical discriminations of arrays of dots, showing that collective behavior may yield benefits that go beyond the single ecological context. In addition, in both conditions, the better individual of the dyad spontaneously emerged as the leader. Interestingly, the results here obtained aligned with data collected in adult humans where dyadic performance was superior than individual in a collective enumeration task (Bahrami et al., 2013), thus suggesting that cooperation similarly increases numerical acuity in two distantly related species, such as humans and fish. The motion of items is another factor that might potentially affect numerical abilities. Animals are naturally exposed to moving items (e.g., prey, predators) and hence the movement represents a relevant cue in their life. It is known that fish ability to discriminate between small and large groups of conspecifics is differently affected by the quantity of movement of social companions (Agrillo et al., 2008). However it is still unexplored whether fish can discriminate between two-dimensional figures in motion and whether their accuracy is the same in the small and large number range. For example, it has been reported that adult humans are faster and more accurate in estimating small numerosities (≤ 4) of dynamic items than large numerosities (≥ 4), supporting the hypothesis of two distinct numerical systems (Trick et al., 2003, Alston & Humphreys, 2004). To this aim, in the fourth study (Section 5.2) guppies were trained (0.5 ratio) and tested (0.75 ratio) with either static or moving stimuli. We observed a similar effect of items in motion in fish: while a 0.75 ratio was not discriminated with static stimuli in either numerical range (3 vs. 4 and 9 vs. 12), guppies were able to discriminate this ratio with items in motion but only in the small number range (3 vs. 4). To date, comparative psychologists disagree as to whether in non-human species a single system accounts for discriminations over the whole numerical range (called “Approximate number system”), or a distinct system operates over the small number range (≤4) (called “Object tracking system”). Although the results do not represent a direct evidence for the existence of a separate system in the range 1-4, the differential effect of motion reported in guppies reinforces the idea of separate cognitive systems for small and large numbers, in line with data collected in humans. Despite no direct comparisons have been made between fish and humans in this thesis, the similarities between the two species are worth noting as they raise the intriguing possibility that the foundation of our numerical abilities might be evolutionarily more ancient than previously thought, dating back at least as far as the divergence between fish and land vertebrates. The second part of the thesis focused on the development of numerical abilities using newborn guppies as a model species. Developmental studies can provide useful insights with respect to the existence of a single or multiple systems of numerical representation. For instance, exploring developmental trajectories of numerical skills in different contexts can help us to assess whether the same or distinct numerical systems are used in different tasks. Since an adequate method to study discrimination learning in newborn guppies was not available, in the fifth study (Section 6.1) we designed a procedure by taking into account the social needs of young individuals in order to minimize potential stress due to social deprivation, without interfering with the normal development of their behavioral repertoire. We investigated the development of social behavior in the first two weeks of life by using a spontaneous choice task where newborn guppies could choose between social companions and an empty compartment. Then, newborns were given the choice between their own mirror image and a group of peers to assess whether mirrors could be used as a substitute for social companions during experiments. Based on the findings of these experiments, the protocol for discrimination learning in adult fish was adapted to study shape discrimination in newborn fish. Newborn guppies proved capable to learn a simple shape discrimination after few trials and the training method was then used in the last study (Section 6.2) to investigate their numerical competence using sets of two-dimensional objects, as commonly done with adult fish. At present only Bisazza and colleagues (2010) investigated the ontogeny of numerical abilities in fish. The authors found that, at birth, the capacity of guppies to discriminate between shoals differing by one individual included all numerical contrasts in the range 1-4; young guppies proved also be able to discriminate small numerosities by using numerical information only. In Section 6.2 we investigated whether newborns could be trained to discriminate between small sets of figures. To this purpose, we set up three different experimental conditions to study the influence of continuous quantities that co-vary with numbers (cumulative surface area, density, etc.). In the first one number and continuous quantities were simultaneously available, in the second condition only numerical information was available and in the last one, numerical information was made irrelevant (3 vs. 3) and only continuous quantities were available. The result that fish discriminated only very easy numerical contrasts in the range 1-4 when both number and continuous variables were available was in contrast with the results of shoal discrimination experiments (Bisazza et al., 2010) thus suggesting that newborns’ capacity to use number is specific to social stimuli. On the whole data on guppies, both adult fish and newborns, are suggestive of the existence of multiple quantification mechanisms in fish which are domain-specific and serve to solve a limited set of problems in accordance with the hypothesis proposed by different authors (Feigenson et al., 2004; Spelke, 2000). In sum, the data collected in this thesis indicate that even fish, which are provided with a much smaller brain than warm-blooded vertebrates, can discriminate between quantities and solve complex numerical tasks, in line with evidence in other research fields which suggest that processing numerical information might not require complex neural circuits (Hope et al., 2010). This goes together with recent discovery that bony fish possess several other cognitive abilities that were previously believed to be uniquely present in species provided with large, complex brains (i.e. mammalian and avian species) (Bshary et al., 2002). For all these reasons, fish may become a proper model to study cognitive abilities and in particular numerical competence.
Sebbene solamente la nostra specie abbia raggiunto un elevato livello di competenze matematiche, le capacità numeriche non sono una prerogativa umana e negli ultimi decenni la ricerca comparata ha documentato come molte specie animali posseggano rudimentali abilità numeriche (Agrillo & Beran, 2013). La capacità di saper discriminare tra diverse quantità risulta essere vantaggiosa in diversi contesti ecologici. Per esempio, tale abilità può essere utile per scegliere la quantità maggiore di cibo (Hunt et al., 2008), per ridurre la probabilità di essere predati - ottenendo protezione dal gruppo di conspecifici più numeroso (Cresswell, 1994) - e per decidere se intraprendere interazioni aggressive contro un altro gruppo in base al numero di potenziali rivali (Benson-Amram et al., 2011). In particolare, la recente scoperta che persino organismi semplici, come i pesci, posseggono abilità numeriche simili a quelle osservate nei primati ha reso possibile l'utilizzo dei pesci come modello animale per studiare la cognizione numerica in assenza del linguaggio. Ad oggi, diversi studi hanno infatti dimostrato che i pesci sono capaci di selezionare il gruppo di conspecifici più numeroso (Agrillo et al., 2008) e possono essere addestrati a discriminare tra gruppi di figure di diversa numerosità, sia quando possono utilizzare l’informazione numerica e le variabili continue simultaneamente, sia nel caso in cui sia disponibile solamente l’informazione numerica (Agrillo et al., 2009, 2010). È stato inoltre dimostrato che i pesci sono in grado di discriminare tra quantità usando spontaneamente il numero, apparentemente con lo stesso sforzo cognitive richiesto per discriminare le variabili continue (Dadda et al., 2009). Queste capacità sembrano essere in parte innate, dal momento che gli avannotti di un giorno di vita sono già in grado di discriminare tra piccoli gruppi di conspecifici (Bisazza et al., 2010). Tuttavia diverse domande sulle abilità numeriche nei pesci sono ancora senza risposta. Ad esempio, non è chiaro se i sistemi numerici siano gli stessi fra specie differenti, se l'acuità numerica possa essere influenzata da diversi fattori, come la cooperazione tra gli individui e la presenza di oggetti in movimento o se i pesci appena nati possano essere addestrati a discriminare tra gruppi di oggetti bidimensionali. Lo scopo della presente tesi è stato pertanto quello di colmare queste lacune. In particolare, la prima parte della tesi affronta alcune delle questioni aperte sulla cognizione numerica nei pesci adulti, mentre la seconda parte è focalizzata sull’ontogenesi delle abilità numeriche. Nel primo lavoro (Sezione 4.1) è stata messa a punto una nuova procedura per addestrare i pesci a discriminare tra stimoli bidimensionali (gruppi di figure geometriche) di diversa numerosità, dal momento che il metodo precedentemente utilizzato in letteratura richiedeva tempi prolungati, era adatto solo per le specie sociali ed era potenzialmente stressante per i pesci. Per verificare la validità del metodo, sono stati replicati due esperimenti che hanno usato la procedura del condizionamento operante per indagare le capacità della gambusia (Gambusia holbrooki) di discriminare tra piccole numerosità e l’influenza del rapporto numerico e del numero totale di elementi nella discriminazione di grandi quantità (Agrillo et al., 2009, 2010). Nella nuova procedura, veniva introdotta una coppia di stimoli di diversa numerosità alle estremità della vasca sperimentale e successivamente veniva rilasciato del cibo in corrispondenza dello stimolo da rinforzare. I pesci sono stati inizialmente addestrati a distinguere un rapporto numerico relativamente semplice (0.5); successivamente nella fase di test, sono stati sottoposti a delle prove in estinzione (non veniva fornito il rinforzo alimentare) per verificare la loro capacità di generalizzare a nuove numerosità. La nuova procedura messa a punto ha replicato i risultati ottenuti con quella precedentemente utilizzata: i soggetti sono stati in grado di discriminare fino a 2 figure da 3; in presenza di grandi numerosità la prestazione diminuiva all’aumentare del rapporto numerico sebbene la loro capacità di discriminare sembri non avere un limite superiore. Il nuovo metodo si è inoltre rivelato rapido per la raccolta dei dati, applicabile a diverse specie di pesci ed efficacie per studiare l'apprendimento discriminativo in compiti che richiedono stimoli visivi. Di conseguenza, il nuovo protocollo è stato adottato in tutti gli esperimenti presentati in questa tesi che hanno usato la procedura di addestramento. Il secondo lavoro (Sezione 4.2) è incentrato su un potenziale limite della ricerca sulla cognizione numerica: la mancanza di studi inter-specifici che utilizzano la stessa metodologia. La questione se tutti i vertebrati condividano gli stessi sistemi numerici o se piuttosto le abilità numeriche siano apparse più volte durante l'evoluzione in risposta a specifiche pressioni selettive imposte dall'ambiente rappresenta uno dei temi principali della cognizione animale. Nonostante l’elevato numero di dati pubblicati, i risultati non sono coerenti dal momento che sono state utilizzate diverse metodologie di ricerca rendendo così difficile un confronto inter-specifico accurato. Ad oggi, nessuno studio ha indagato se diverse specie di pesci possiedano gli stessi sistemi numerici. Questo lavoro rappresenta il primo studio inter-specifico che utilizza la stessa metodologia nei pesci. Cinque diverse specie, la pecilia (Poecilia reticulata), lo zebrafish (Danio rerio), il pesce scalare (Pterophyllum scalare), la xenotoca (Xenotoca eiseni) ed il pesce combattente (Betta splendens), sono state inizialmente addestrate utilizzando un rapporto numerico semplice (0.50) e successivamente è stata confrontata la loro capacità di generalizzare a rapporti più difficili (0.67 e 0.75) o ad una numerosità maggiore (25 vs. 50) o minore (2 vs. 4). I risultati hanno mostrato interessanti somiglianze tra le specie, suggerendo la possibilità di sistemi numerici condivisi tra specie filogeneticamente distanti tra loro, più in accordo con l’esistenza di antichi sistemi di quantificazione ereditati da un antenato comune piuttosto che con un’evoluzione indipendente delle abilità numeriche in specie diverse. Un'altra questione importante nello studio della cognizione numerica riguarda l'influenza di fattori contestuali sulle capacità numeriche di una specie. È possibile che la prestazione osservata in un compito numerico sia limitata al contesto specifico in cui tali capacità sono state osservate piuttosto che riflettere le reali abilità numeriche della specie. Per questo motivo, il terzo (Sezione 5.1) e il quarto (Sezione 5.2) lavoro hanno studiato la potenziale influenza sull’accuratezza numerica dei pesci di fattori che normalmente si verificano in natura: il comportamento cooperativo all'interno del gruppo e la percezione di figure in movimento. In natura, gli animali che vivono in gruppo interagiscono tra di loro e queste interazioni ripetute tra gli individui possono incidere sulle scelte fatte in diversi contesti. Studi recenti hanno dimostrato che in alcune circostanze le azioni collettive permettono di aggirare i limiti cognitivi di una specie e di risolvere i problemi che vanno al di là delle capacità del singolo individuo (Krause et al., 2010, Couzin, 2009). Fino ad oggi, tutti gli studi di cognizione numerica condotti negli animali hanno preso in considerazione le prestazioni di singoli soggetti e non si sa quindi se il comportamento collettivo possa migliorare la capacità di risolvere compiti di discriminazione numerica. Lo scopo del terzo lavoro (Sezione 5.1) è stato quello di verificare se i pesci sottoposti a test in coppia fossero più accurati rispetto ai soggetti sottoposti a test individualmente in due diversi compiti di discriminazione numerica. Nel primo compito si è osservata la capacità delle pecilie di scegliere il gruppo di conspecifici più numeroso (4 vs. 6); nel secondo, invece, i pesci sono stati addestrati a discriminare tra gruppi di figure con un rapporto numerico pari a 0.5 e successivamente sono stati sottoposti a test usando confronti numerici più difficili (con rapporti pari a 0.67 e 0.75). I risultati hanno mostrato che i soggetti in coppia hanno avuto una prestazione migliore rispetto ai singoli, sia nella scelta del gruppo di conspecifici più numeroso, sia nel compito di discriminazione numerica, dimostrando quindi che il comportamento collettivo può fornire benefici che vanno al di là del singolo contesto ecologico. Inoltre, in entrambe le condizioni, il soggetto più accurato all’interno della coppia nella risoluzione del compito è emerso spontaneamente come leader. È interessante notare che i risultati ottenuti in questo lavoro sono in linea con i dati raccolti negli esseri umani adulti in cui la prestazione dei partecipanti in coppia è risultata superiore rispetto alle prestazioni individuali in un compito collettivo di discriminazione numerica (Bahrami et al., 2013). Questi dati suggeriscono quindi che la cooperazione aumenti l'acuità numerica in maniera simile in due specie filogeneticamente distanti tra di loro: gli esseri umani ed i pesci. Il movimento degli oggetti è un altro fattore che potrebbe potenzialmente influenzare l’acuità numerica. Gli animali sono infatti naturalmente esposti a degli elementi che si muovono (es. prede, predatori) e quindi il movimento rappresenta un segnale saliente nella loro vita. È stato dimostrato che la quantità di movimento dei conspecifici influenza in maniera differente la capacità dei pesci di discriminare tra piccoli (≤ 4) e grandi (≥ 4) gruppi di compagni sociali (Agrillo et al., 2008). Tuttavia non è stato ancora indagato se i pesci siano in grado di discriminare tra figure bidimensionali in movimento e se la loro accuratezza sia la stessa in presenza di piccole e grandi numerosità. Ad esempio, si è osservato che gli esseri umani adulti sono più veloci e più accurati nello stimare piccole quantità ( ≤ 4 ) di elementi in movimento piuttosto che grandi numerosità ( ≥ 4 ), supportando l'ipotesi di due sistemi numerici distinti (Trick et al., 2003, Alston & Humphreys, 2004). A tal fine, nel quarto lavoro (Sezione 5.2) esemplari di pecilia sono stati addestrati (con rapporto numerico 0.5) e sottoposti a test (con rapporto 0.67) con stimoli statici o in movimento. Si è osservato che gli elementi in movimento avevano un effetto simile a quello riportato nella nostra specie: mentre i soggetti a cui erano stati presentati gli stimoli statici non sono stati in grado di discriminate il rapporto pari a 0.67, sia in presenza di piccole che di grandi numerosità (3 vs. 4 e 9 vs. 12), i soggetti a cui erano stati presentati gli stimoli in movimento hanno saputo discriminare questo rapporto ma solo in presenza di piccole numerosità (3 vs 4). Ad oggi, nell’ambito della psicologia comparata c’è un dibattito sul fatto che gli animali posseggano un unico sistema di discriminazione per tutta la scala numerica (chiamato “Approximate number system”), oppure posseggano anche un sistema distinto coinvolto solo nella discriminazione di piccole numerosità (≤ 4) (chiamato “Object tracking system”). Sebbene i risultati ottenuti non rappresentino una prova diretta dell'esistenza di un sistema separato per la discriminazione numerica nell'intervallo 1-4 , il fatto che il movimento influenzi in maniera differente la discriminazione di piccole e grandi quantità nelle pecilie rafforza l'idea di sistemi cognitivi separati per piccoli e grandi numeri, in linea con i dati raccolti negli esseri umani. Nonostante in questa tesi non siano stati effettuati confronti diretti tra pesci e umani, è interessante notare le somiglianze osservate tra le due specie in quanto sollevano la possibilità che le nostre abilità numeriche abbiano un’origine più antica di quanto si pensi, che risalirebbe alla divergenza tra la linea evolutiva dei pesci e quella dei vertebrati terrestri . La seconda parte della tesi è incentrata sullo sviluppo delle abilità numeriche utilizzando gli avannotti di pecilia come specie modello. Gli studi sullo sviluppo delle abilità cognitive possono fornire indicazioni utili per quanto riguarda l'esistenza di un unico o più sistemi di rappresentazione numerica. Ad esempio, studiare lo sviluppo delle capacità numeriche in contesti diversi può aiutarci a capire se gli stessi sistemi numerici sono utilizzati in compiti diversi o piuttosto se vengono usati sistemi differenti. Dal momento che in letteratura non è presente un metodo adeguato per studiare l'apprendimento discriminativo in esemplari giovani di pecilia, nel quinto lavoro (Sezione 6.1) abbiamo messo a punto una procedura tenendo conto delle esigenze sociali dei giovani individui, al fine di ridurre al minimo il potenziale stress dovuto alla deprivazione sociale, senza interferire con il normale sviluppo del loro repertorio comportamentale. Pertanto, inizialmente abbiamo studiato lo sviluppo del comportamento sociale nelle prime due settimane di vita utilizzando un test di scelta spontanea dove gli avannotti potevano scegliere tra un compartimento contenente dei compagni sociali e uno compartimento vuoto. Successivamente veniva data ai giovani soggetti la possibilità di scegliere tra la propria immagine riflessa e un gruppo di coetanei per valutare se gli specchi potessero essere usati come sostituto dei compagni sociali durante gli esperimenti. Sulla base dei risultati ottenuti, è stato adattato il protocollo per l'apprendimento discriminativo usato nei pesci adulti per studiare la capacità degli avannotti di discriminare tra figure. I soggetti si sono dimostrati in grado di imparare una semplice discriminazione tra figure geometriche dopo poche prove; il metodo di addestramento è stato allora utilizzato nell’ultimo lavoro (Sezione 6.2) per studiare le loro capacità numeriche usando insiemi di figure bidimensionali, come viene comunemente fatto con i pesci adulti. Ad oggi, solamente Bisazza e collaboratori (2010) hanno studiato lo sviluppo ontogenetico delle abilità numeriche nei pesci. Gli autori hanno dimostrato che la capacità alla nascita delle pecilie di discriminare tra gruppi di conspecifici di diversa numerosità include tutti i confronti numerici nell’intervallo 1-4; i giovani soggetti hanno dimostrato inoltre di sapere discriminare piccole numerosità usando solamente l’informazione numerica. Nella Sezione 6.2 si è andato a verificare se gli avannotti di pecilia possono essere addestrati a discriminare tra insiemi di figure. A tal fine, sono state messe a punto tre condizioni sperimentali per studiare l'influenza delle variabili continue che co-variano con la numerosità (area complessiva degli stimoli, densità, ecc.). Nella prima condizione sia il numero che le variabili continue erano simultaneamente disponibili, nella seconda, solo l’informazione numerica era disponibile e, nell’ultima condizione l’informazione numerica è stata resa irrilevante (3 vs. 3) ed erano disponibili solo le variabili continue. Il risultato che i soggetti hanno saputo discriminare solo i confronti numerici facili nell’intervallo 1-4 quando sia il numero che le variabili continue erano disponibili è in contrasto con i dati ottenuti negli esperimenti di scelta spontanea (Bisazza et al., 2010), suggerendo che la capacità dei giovani pesci di utilizzare l’informazione numerica sia limitata agli stimoli sociali. Nel complesso i dati raccolti nella pecilia, sia in soggetti adulti che negli avannotti, suggeriscono l'esistenza nei pesci di molteplici meccanismi di discriminazione di quantità coinvolti nella risoluzione di problemi specifici, in accordo con l’ipotesi proposta in precedenza da diversi autori (Feigenson et al., 2004; Spelke, 2000). In sintesi, i dati raccolti in questa tesi indicano che anche i pesci, pur essendo dotati di un cervello molto più piccolo dei vertebrati a sangue caldo, possono discriminare tra quantità e risolvere compiti numerici complessi, in linea con altri ambiti di ricerca che suggeriscono come l’elaborazione dell’informazione numerica potrebbe non richiedere circuiti neurali complessi (Hope et al., 2010). Questo va di pari passo con la recente scoperta che i teleostei possiedono diverse abilità cognitive che in precedenza si ritenevano essere unicamente presenti nelle specie dotate di cervelli più grandi e complessi (es: mammiferi e specie di uccelli) (Bshary et al., 2002). Alla luce dei risultati presentati in questa tesi, è possibile affermare che i pesci costituiscono un modello adeguato per lo studio delle capacità cognitive ed in particolare di quelle numeriche.

In the last decades several studies have demonstrated that some numerical abilities are not strictly related to symbolic language and they are not a human prerogative. Recently the ability to discriminate between two quantities has been demonstrated also in fish. The aim of this project was to study the mechanisms underlying the non verbal numerical abilities in vertebrates. I investigated whether fish possess two independent numerical systems for the representation of small (<4) and large (>4) number or they possess a unique system that operates on the whole numerical scale. Both spontaneous choice and training experiments demonstrated that the ability to discriminate between large quantities was approximate and strongly dependent on the ratio between the numerosities, while discrimination in the small quantity range was not dependent on ratio and discriminating 3 from 4 was as easy as discriminating 1 from 4. The second part of the project regards the ontogeny of the ability to discriminate quantities. These experiments showed that the ability of fish to discriminate small numbers is innate and it is displayed immediately at birth while discrimination of large numbers emerges later as a result of both maturation and social experience. The third part concerns the role of non numerical variables in the discrimination of quantities. These experiments showed that fish are able to discriminate quantities even after the access to non numerical cues was made difficult and that learning a discrimination by using only numerical information is not more difficult than learning it by using only the non numerical variables. Finally, to investigate whether fish and humans share the same non verbal numerical systems, I carried out some experiments in which I compared fish and university students for their ability to discriminate the same numerical contrasts. Taken together these findings support the suggestion that discrete and continuous quantities are processed in humans and nonhuman animals by systems that evolved from a common ancestor more than 450 million years ago.
Negli ultimi anni è stato ampiamente dimostrato che le capacità numeriche non sono una prerogativa esclusivamente umana, infatti alcune abilità numeriche sono presenti anche in molte specie animali. Recentemente è stato dimostrato che anche i pesci sono in grado di compiere delle discriminazioni numeriche, e per questo sono stati utilizzati come modello sperimentale nel presente lavoro, allo scopo di approfondire lo studio dei meccanismi alla base delle abilità numeriche non verbali nei vertebrati. Una prima serie di esperimenti ha indagato se vi siano uno o due sistemi numerici non verbali nei pesci. I risultati, provenienti sia dagli esperimenti condotti con la procedura della scelta spontanea che da quelli condotti con la procedura di addestramento, hanno evidenziato come la capacità di discriminare grandi quantità (>4) sia fortemente influenzata dal rapporto numerico, mentre le discriminazioni tra piccole quantità (<4) non lo siano, in quanto discriminare 1 vs. 4 sarebbe facile quanto discriminare 3 vs. 4. Un secondo aspetto analizzato riguarda l’ontogenesi delle abilità numeriche. Questi esperimenti hanno evidenziato che nei pesci la capacità di discriminare piccole quantità è innata e presente fin dalla nascita, mentre quella di discriminare grandi quantità emerge più tardi come risultato della maturazione e dell’esperienza sociale. In seguito sono stati condotti una serie di esperimenti allo scopo di valutare il ruolo delle variabili non numeriche nelle discriminazioni di quantità: è emerso che i pesci sono in grado di discriminare diverse quantità anche quando l’accesso alle variabili non numeriche viene limitato; inoltre è stato dimostrato come per i pesci non sia più difficile apprendere una discriminazione sulla base della sola informazione numerica piuttosto che affidandosi alle sole variabili non numeriche, suggerendo che anche per i pesci il numero potrebbe essere una caratteristica primaria così come lo sono altre dimensioni degli stimoli. Infine in una serie di esperimenti le prestazioni dei pesci sono state confrontate con quelle degli esseri umani adulti in compiti paragonabili, allo scopo di verificare se i meccanismi alla base della discriminazione non verbale di quantità siano gli stessi in tutti i vertebrati. Nel loro insieme questi dati supportano l’ipotesi che sia nell’uomo che nei pesci le quantità siano elaborate attraverso dei sistemi che potrebbero essere evoluti da un comune antenato più di 450 milioni di anni fa.

Let B(H) denote the algebra of bounded linear operators on a complex Hilbert space H. The (classical) numerical range of T ∈ B(H) is the set W(T) = {〈T x; x〉: x ∈ H; ‖x‖ = 1} Writing T= T_1 + iT_2 for self-adjoint T_1, T_2 ∈ B(H), W(T) can be identified with the set {(〈T_1 x, x〉,〈T_2 x, x〉) : x ∈ H, ‖x‖ = 1}. This leads to the notion of the joint numerical range of T= 〖(T〗_1, T_2, …, T_n) ∈ 〖B(H)〗^n. It is defined by W(T) = {(〈T_1 x, x〉,〈T_2 x, x〉, …, 〈T_n x, x〉) : x ∈ H, ‖x‖ = 1}. The joint numerical range has been studied extensively in order to understand the joint behaviour of operators. Let K(H) be the set of all compact operators on a Hilbert space H. The essential numerical range of T ∈ B(H) is defined by W_(e ) (T)=∩{W(T+K) :K∈K(H) }. The joint essential numerical range of T= 〖(T〗_1, T_2, …, T_n) ∈〖 B(H)〗^n is defined analogously by W_(e ) (T)=∩{ /W(T+K) :K∈〖K(H)〗^n }. These notions have been generalized to operators on a Banach space. In Chapter 1 of this thesis, the joint spatial essential numerical range were introduced. Also the notions of the joint algebraic numerical range V(T) and the joint algebraic essential numerical range Ve(T) were reviewed. Basic properties of these sets were given. In 2010, Müller proved that each n-tuple of operators T on a separable Hilbert space has a compact perturbation T + K so that We(T) = W(T + K). In Chapter 2, it was shown that any n-tuple T of operators on lp has a compact perturbation T +K so that Ve(T) = V (T +K), provided that Ve(T) has an interior point. A key step was to find for each n-tuple of operators on lp a compact perturbation and a sequence of finite-dimensional subspaces with respect to which it is block 3 diagonal. This idea was inspired by a similar construction of Chui, Legg, Smith and Ward in 1979. Let H and L be separable Hilbert spaces and consider the operator D_AB=A⨂I_L⨂B on the tensor product space H ⨂▒L. In 1987 Magajna proved that W_(e ) (D_AB )=co[W_(e ) (A)- /(W(B)))∪/W(A) - W_(e ) (B))] by considering quasidiagonal operators. An alternative proof of the equality was given in Chapter 3 using block 3 diagonal operators. The maximal numerical range and the essential maximal numerical range of T ∈ B(H) were introduced by Stampi in 1970 and Fong in 1979 respectively. In 1993, Khan extended the notions to the joint essential maximal numerical range. However the set may be empty for some T ∈ B(H). In Chapter 4, the kth joint essential maximal numerical range, spatial maximal numerical range and algebraic numerical range were introduced. It was shown that kth joint essential maximal numerical range is non-empty and convex. Also, it was shown that the kth joint algebraic maximal numerical range is the convex hull of the kth joint spatial maximal numerical range. This extends the corresponding result of Fong.
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Le présent travail se concentre sur les propriétés statistiques des scalaires réactifs subissant des réactions chimiques réversibles en turbulence incompressible. Une analyse théorique des propriétés statistiques des scalaires à différents ordres de moments a été réalisée sur la base d'approximations et de modèles convenablement proposés. Les résultats théoriquement dérivés ont ensuite été comparés aux résultats numériques obtenus par simulation numérique directe (DNS). Dans la simulation numérique directe, les dérivés spatiales ont été principalement approximées en utilisant une méthode pseudi-spectrale, car la vitesse turbulente et les champs scalaires sont généralement des conditions aux limites périodiques. Pour les configurations spéciales dans lesquelles la condition aux limites n'est pas périodique, une méthode aux différences finies avec des schémas fins a été utilisée pour approximer les dérivées spatiales. L'intégration temporelle numérique a été mise en oeuvre par un schéma Runge-Kutta du troisième ordre. Tous les travaux menés dans cette thèse sont consacrés aux explorations numériques et théoriques des scalaires réactifs en turbulence incompressible de différentes configurations. Nos résultats suggèrent de nouvelles idées pour de futures études, qui sont discutées dans les conclusions
The present work focuses on the statistical properties of reactive scalars undergoing reversible chemical reactions in incompressible turbulence. Theoretical analysis about the statistical properties of scalars at different order of moments were carried out based on appropriately proposed approximations and models. The theoretically derived results were then compared with numerical results obtained by direct numerical simulation (DNS). In the direct numerical simulation, the spatial derivatives were mainly approximated by using a pseudo-spectral method, since the turbulent velocity and scalar fields are generally of periodic boundary conditions. For the special configurations in which the boundary condition is not periodic, a finite difference method with fine schemes was used to approximate the spatial derivatives. The numerical time integration was implemented by a third order Runge-Kutta scheme. All the works carried out in this thesis are devoted to the numerical and theoretical explorations about reactive scalars is incompressible turbulence of different configurations. Our finding suggest new ideas for future studies, which are discussed in the conclusions

The textbook describes the basics of numerical methods for solving problems of mathematical analysis, linear algebra and ordinary differential equations. Considerable attention is paid to the issues of algorithmization of methods. It can be used when performing laboratory, course, final qualification and research works. Each topic contains a theoretical justification and a large number of examples of solving practical problems using the Maple mathematical package. Meets the requirements of the federal state educational standards of higher education of the latest generation. It is intended for students, postgraduates, university teachers, as well as for engineers and researchers who use numerical methods to solve applied problems.