Academic literature on the topic 'Nitsche-XFEM'

We present a tailored multigrid method for linear problems stemming from a Nitsche-based extended finite element method (XFEM). Our multigrid method is robust with respect to highly varying coefficients and the number of interfaces in a domain. It shows level independent convergence rates when applied to different variants of Nitsche’s method. Generally, multigrid methods require a hierarchy of finite element (FE) spaces which can be created geometrically using a hierarchy of nested meshes. However, in the XFEM framework, standard multigrid methods might demonstrate poor convergence properties if the hierarchy of FE spaces employed is not nested. We design a prolongation operator for the multigrid method in such a way that it can accommodate the discontinuities across the interfaces in the XFEM framework and recursively induces a nested FE space hierarchy. The prolongation operator is constructed using so-called pseudo-L^2-projections; as common, the adjoint of the prolongation operator is employed as the restriction operator.

Cette thèse porte sur la généralisation de la méthode NXFEM proposée par A. et P. Hansbo pour le problème d'interface elliptique. La modélisation et simulation numérique d'écoulements dans des domaines fracturés sont au coeur de nombreuses applications, telles que le milieu pétrolier (modélisation de réservoirs, présence de failles, propagation d'un signal, repérage de couches), l'aérospatiale (problème de chocs, de rupture), en génie civil (fissuration du béton), mais également dans la biologie cellulaire (déformation des globules rouges). En outre, de nombreux projets de recherche nécessitent le développement des méthodes robustes pour la prise en compte de singularités, ce qui fait partie des motivations et des objectifs de l'équipe Concha, ainsi que de cette thèse. Une modification de cette méthode a tout d'abord été proposée afin d'obtenir la robustesse à la fois par rapport à la géométrie du maillage coupé par l'interface et par rapport aux paramètres de diffusion. Nous nous sommes ensuite intéressés à sa généralisation à tout type de maillages 2D-3D (triangles, quadrilatères, tétraèdres, hexaèdres), et pour tout type d'éléments finis (conformes, non conformes, Galerkin discontinus) pour des interfaces planes et courbes. Les applications ont été orientées vers des problèmes d'écoulements en milieux poreux fracturés : adaptation de la méthode NXFEM à la résolution d'un modèle asymptotique de failles, à des problèmes instationnaires, de transports, ou encore à des domaines multi-fracturés.

Cette thèse porte sur la généralisation de la méthode NXFEM proposée par A. et P. Hansbo pour le problème d’interface elliptique. La modélisation et simulation numérique d’écoulements dans des domaines fracturés sont au coeur de nombreuses applications, telles que le milieu pétrolier (modélisation de réservoirs, présence de failles, propagation d’un signal, repérage de couches), l’aérospatiale (problème de chocs, de rupture), en génie civil (fissuration du béton), mais également dans la biologie cellulaire (déformation des globules rouges). En outre, de nombreux projets de recherche nécessitent le développement des méthodes robustes pour la prise en compte de singularités, ce qui fait partie des motivations et des objectifs de l'équipe Concha, ainsi que de cette thèse. Une modification de cette méthode a tout d’abord été proposée afin d’obtenir la robustesse à la fois par rapport à la géométrie du maillage coupé par l’interface et par rapport aux paramètres de diffusion. Nous nous sommes ensuite intéressés à sa généralisation à tout type de maillages 2D-3D (triangles, quadrilatères, tétraèdres, hexaèdres), et pour tout type d’éléments finis (conformes, non conformes, Galerkin discontinus) pour des interfaces planes et courbes. Les applications ont été orientées vers des problèmes d’écoulements en milieux poreux fracturés : adaptation de la méthode NXFEM à la résolution d’un modèle asymptotique de failles, à des problèmes instationnaires, de transports, ou encore à des domaines multi-fracturés
This thesis focuses on the generalization of the NXFEM method proposed by A. and P. Hansbo for elliptic interface problem. Numerical modeling and simulation of flow in fractured media are at the heart of many applications, such as petroleum and porous media (reservoir modeling, presence of faults, signal propagation, identification of layers ...), aerospace (problems of shock, rupture), civil engineering (concrete cracking), but also in cell biology (deformation of red blood cells). In addition, many research projects require the development of robust methods for the consideration of singularities, which is one of the motivations and objectives of the Concha team and of this thesis. First a modification of this method was proposed to obtain a robust method not only with respect to the mesh-interface geometry, but also with respect to the diffusion parameters. We then looked to its generalization to any type of 2D-3D meshes (triangles, quadrilaterals, tetrahedra, hexahedra), and for any type of finites elements (conforming, nonconforming, Galerkin discontinuous) for plane and curved interfaces. The applications have been referred to the flow problems in fractured porous media : adaptation of NXFEM method to solve an asymptotic model of faults, to unsteady problems, transport problems, or to multi-fractured domains

À l’heure actuelle, les écoulements à deux fluides non miscibles jouent un rôle très important dans plusieurs domaines, que ça soit en science ou en ingénierie. Leur complexité est tellement élevée que les modèles actuels ne permettent de résoudre que des cas particuliers ou simplifiés avec un degré de précision qui demeurent souvent plutôt modeste. Une nouvelle approche numérique parait être une nécessité pour capturer la complexité physique du phénomène. Pour ce faire nous avons besoin d’outils robustes. Au niveau de l’interface de séparation entre les deux fluides non miscibles, les variables physiques sont discontinues, ce qui pose un défi majeur dans la description des variables et des conditions aux limites à l’interface. Le fait que les densités et les viscosités de chaque fluide soient différentes de part et d’autre de l’interface donne naissance à des défauts et des impuretés dans le champ des vitesses, ce qu’on appelle une discontinuité faible. Pour sa part, l’existence de la force de tension superficielle au niveau de l’interface crée une discontinuité sur le champ de pression, ce qu’on appelle une discontinuité forte. Un autre grand problème se pose au niveau de l’étude numérique du problème, où les méthodes numériques classiques ont une précision assez limitée dans ce genre de situation. L’objectif de ce travail est de fournir une étude complète de la dynamique de l’interface entre deux fluides non miscibles à l’aide d’outils mathématiques, physiques et numériques robustes. D’abord, une étude analytique du problème a été faite où l’équation de Navier-Stokes et les conditions de saut sur les variables physiques au niveau de l’interface de séparation entre les fluides ont été prouvées en détail. Pour traiter les discontinuités, nous avons discrétisé nos variables à l’aide de la méthode XFEM. Dû aux larges distorsions rencontrées dans ce genre d’écoulement, nous avons utilisé l’approche Eulérienne, pour corriger les oscillations des solutions dues aux choix du système de coordonnées nous avons utilisé les techniques de stabilisation SUPG/PSPG. Le traitement de la courbure des interfaces K été fait à l’aide de l’opérateur Laplace Beltrami et le suivi d’interface à l’aide de la méthode ¨Level-set¨. Pour le traitement des conditions de saut au niveau de l’interface la méthode Nitsche est développée dans différents contextes. Après avoir développé un modèle physique et mathématique dans les premières parties de notre travail, nous avons fait une étude numérique à l’aide de la plateforme de calcul FEniCS, qui est une plateforme de développement en langage C++ avec une interface Python. Un code de calcul a été développé dans le cas des écoulements de deux fluides non miscibles avec les modèles physiques et les outils mathématiques développés dans les sections précédentes.
The two-phase flow problems have an important role in the multitude of domains in science and engineering. Their complexity is so high that the actual models can solve only particular or simplified cases with a certain degree of precision. A new approach is a necessity to understand the evolution of new ideas and the physical complexity in this kind of flow, to contribute to the study of this field. A good study requires solid and robust tools to have performing results and a maximum of efficacy. At the interface of separation between the two immiscible fluids, the physical parameters are discontinuous, which gives us difficulties for the description of the physical variables at the interface and boundary conditions. The fact that the density and the viscosity are discontinuous at the interface creates kinks in the velocity, which represent a weak discontinuity. The existence of the surface tension at the interface create a discontinuity for the pressure field, it represents a strong discontinuity. The main objective of this work is to make a complete study based on strong and robust physical, mathematical and numerical tools. A strong combination, capable of capturing the physical aspect of the interface between the two fluids with a very good precision. Building such a robust, cost effective and accurate numerical model is challenging and requires lots of efforts and a multidisciplinary knowledge in mathematics, physics and computer science. First, an analytical study was made where the one fluid model of the Navier-Stokes equation was proved from Newton’s laws and jump conditions at the interface was proved and detailed analytically. To treat the problem of discontinuity, we used the XFEM method to discretize our discontinuous variables. Due to the large distortion encountered in this kind of fluid mechanic problems, we are going to use the Eulerian approach, and to correct the oscillation of solutions we will use the SUPG/PSPG stabilization technic. The treatment of the interface curvature k was done with the Laplace Beltrami operator and the interface tracking with the Level-set method. To treat the jump conditions with a very sharp precision we used the Nitsche’s method, developed in different cases. After building a strong mathematical and physical model in the first parts of our work, we did a numerical study using the FEniCS computational platform, which is a platform of computational development based on C++ with a Python interface. A numerical code was developed in this study, in the case of two-phase flow problem, based on the previous mathematical and physical models detailed in previous sections.

Cette thèse porte sur la modélisation, l'analyse numérique et à la simulation de problèmes d'interaction fluide-structure pour des structures minces immergées dans un fluide visqueux incompressible. La motivation sous-jacente de ce travail est la simulation des phénomènes d'interaction fluide-structure impliqués dans la simulation des valves cardiaques. Du point de vue méthodologique, un accent particulier est mis sur des méthodes avec maillage non conformes qui permettent de garantir la précision du résultat en minimisant le coût computationnel. Un aspect essentiel est de garantir la conservation de la masse à travers l'interface fluide-structure. Une extension de la méthode de maillage non conforme Nitsche-XFEM présentée dans Alauzet et al. (2016) à trois dimensions est d'abord proposée, portant à la fois sur des domaines fluides entièrement et partiellement intersectés. Pour y parvenir, un algorithme de tessellation général et robuste a été développé sans recourir à des générateurs de maillage de type boîte noire. De plus, une nouvelle approche pour imposer la continuité dans des domaines partiellement intersectés est introduite. Cependant, dans les situations impliquant des phénomènes de contact avec de multiples interfaces, l'implémentation informatique devient extrêmement complexe, notamment en 3D. Ensuite, une méthode de domaine fictif innovante d'ordre inférieur est introduite, qui atténue les problèmes inhérents de conservation de la masse résultant de l'approximation continue de la pression en incorporant une seule contrainte de vitesse. Une analyse complète des erreurs a priori pour un problème de Stokes avec une contrainte de Dirichlet sur une interface immergée est fournie. Enfin, cette approche de domaine fictif est formulée dans un cadre d'interaction fluide-structure avec des solides minces et appliquée avec succès pour simuler la dynamique de la valve aortique
The present thesis is dedicated to the modeling, numerical analysis, and simu- lation of fluid-structure interaction problems involving thin-walled structures immersed in incompressible viscous fluid. The underlying motivation behind this work is the simulation of the fluid-structure interaction phenomena involved in cardiac valves. From a methodological standpoint, special focus is placed on unfitted mesh methods that guarantee accuracy without compromising computational complexity. An essential aspect is ensuring mass conservation across the fluid-structure interface. An extension of the unfitted mesh Nitsche-XFEM method reported in Alauzet et al. (2016) to three dimensions is first pro- posed, addressing both fully and partially intersected fluid domains. To achieve this, a robust general tessellation algorithm has been developed without relying on black-box mesh generators. Additionally, a novel approach for enforcing continuity in partially intersected domains is introduced. However, in situations involving contact phenomena with multiple interfaces, the computational implementation becomes exceedingly complex, particularly in 3D. Subsequently, an innovative low-order fictitious domain method is introduced, which mitigates inherent mass conservation issues arising from continuous pressure approximation by incorporating a single velocity constraint. A comprehensive a priori error analysis for a Stokes problem with a Dirichlet constraint on an immersed interface is provided. Finally, this fictitious domain approach is formulated within a fluid-structure interaction framework with general thin-walled solids and successfully applied to simulate the dynamics of the aortic valve

Cette thèse est dédiée à la simulation numérique des systèmes mécaniques impliquant l'interaction entre une structure mince déformable et un fluide incompressible interne ou qui l'entoure.Dans la première partie, nous introduisons deux nouvelles classes de schémas de couplage explicites en utilisant des maillages compatibles. Les méthodes proposées combinent une certaine consistance Robin dans le système avec (i) un schéma à pas fractionnaire pour le fluide ou (ii) une discrétisation temporelle d'ordre deux pour le fluide et le solide. Les propriétés de stabilité des méthodes sont analysées dans un cadre linéaire représentatif. Cette partie inclut aussi une étude numérique exhaustive dans laquelle plusieurs schémas de couplage (dont certains proposés ici) sont comparés et validés avec des résultats expérimentaux. Dans la seconde partie, nous considérons des maillages non compatibles. La discrétisation spatiale est basée, dans ce cas là, sur des variantes de la méthode de Nitsche avec éléments coupés. Nous présentons deux nouveaux types de schémas de découplage qui exploitent la susmentionée condition de Robin en utilisant des maillages incompatibles. Le caractère semi-implicite ou explicite du couplage en temps dépend de l'ordre dans lequel les discrétisations spatiales et temporelles sont effectuées. Dans le cas d'un couplage avec des structures immergées, la vitesse et la pression discrètes permettent des discontinuités faibles et fortes à travers l'interface, respectivement. Des estimations de stabilité et d'erreur sont fournies dans un cadre linéaire. Une série de tests numériques illustre la performance des différentes méthodes proposées
This thesis is devoted to the numerical approximation of mechanical systems involving the interaction of a deformable thin-walled structure with an internal or surrounding incompressible fluid flow. In the first part, we introduce two new classes of explicit coupling schemes using fitted meshes. The methods proposed combine a certain Robin-consistency in the system with (i) a projection-based time-marching in the fluid or (ii) second-order time-stepping in both the fluid and the solid. The stability properties of the methods are analyzed within representative linear settings. This part includes also a comprehensive numerical study in which state-of-the-art coupling schemes (including some of the methods proposed herein) are compared and validated against the results of an experimental benchmark. In the second part, we consider unfitted mesh formulations. The spatial discretization in this case is based on variants of Nitsche’s method with cut elements. We present two new classes of splitting schemes which exploit the aforementioned interface Robin-consistency in the unfitted framework. The semi-implicit or explicit nature of the splitting in time is dictated by the order in which the spatial and time discretizations are performed. In the case of the coupling with immersed structures, weak and strong discontinuities across the interface are allowed for the velocity and pressure, respectively. Stability and error estimates are provided within a linear setting. A series of numerical tests illustrates the performance of the different methods proposed