Academic literature on the topic 'Multiplication (arithmétique) – Étude et enseignement'

Cette thèse présente quatre enseignements de la multiplication des décimaux, dispensés en sixième dans des conditions analogues. L'analyse repose sur les transcriptions des enregistrements des séances et sur des entretiens avec les professeurs. Elle porte sur la préparation et sur le déroulement effectif des cours. Elle utilise une approche double. La première se nourrit des résultats obtenus en didactique des mathématiques, les enseignements sont alors étudiés en fonction de leurs effets potentiels sur l'apprentissage. La seconde approche suppose, pour chaque professeur, la cohérence de ses pratiques d'enseignement, elle emprunte quelques éléments théoriques à la psychologie ergonomique qui permet l'étude du professeur comme un individu en situation de travail. Les pratiques enseignantes analysées révèlent des contraintes communes liées aux prescriptions de l'institution scolaire et à l'exercice du métier, notamment la gestion de la classe et l'écoulement du temps. Ces contraintes expliquent, au niveau global, une grande convergence des quatre projets : durée des séquences, contenus abordés, présentation des savoirs. . . Au-delà des contraintes, subsiste une marge de manœuvre que les enseignants investissent personnellement et qui explique, à un niveau plus local, la diversité des pratiques observées. Ainsi, les scénarios prévus se distinguent par la stratégie d'enseignement (place de la technique opératoire, méthodes de justification de la technique et des propriétés. . . ), par les tâches proposées comme par l'organisation de l'institutionnalisation. Suivant les séquences, les activités des élèves varient sensiblement entre des objectifs de construction de connaissances et de simples applications de techniques, leurs interventions en classe diffèrent tout comme les interactions avec leurs professeurs. En de nombreuses occurrences, des analyses croisées ont cependant confirmé, pour chaque professeur, l'existence d'une cohérence de ses pratiques d'enseignement
This thesis presents four different teaching experiences concerning decimal multiplication in sixth grade, ail carried out in similar circumstances. The analysis is based on transcriptions made from recordings of the lessons, as well as interviews with the teachers concerned. It studies the preparation which went into the observed lessons and the results in the classroom. It uses a double approach: the first applies didactics of mathematics to the observed teaching experiences in order to analyze the potential learning effectiveness of the experiences. The second approach borrows a few elementary theories from the field of ergonomic psychology and assumes the coherence of the teaching practices to study teachers as individuals in a real-life teaching environment. The studied teaching experiences ail demonstrate certain restraints imposed by two factors: working in a school institution and working with real pupils, with ail the problems inherent to this situation, notably as regards class and time management. These restraints explain, on a macro level, the similarities of the four experiences. There is, however, beyond these restraints, a certain amount of individual decision-making that the observed teachers were using. This factor explains, on a micro level, the pedagogical diversity seen in these four classes. These experiences differed according to the teaching strategy of each individual teacher, the tasks given to the pupils and the organization of the knowledge institutionalization. The activities of the pupils differed greatly from one teaching sequence to another, especially depending on whether the goal was to increase the knowledge and understanding of the pupils or simply to have them apply a certain technique. Likewise, the questions students asked as well as their interactions with the teacher varied greatly. Nevertheless, in numerous cases, a cross-analysis tended to confirm that, for each teacher, a coherent teaching practice exists

On se propose de cerner l'apport spécifique par l'outil ordinateur pour l'apprentissage et pour l'enseignement d'une notion mathématique. Deux situations utilisant un didacticiel et permettant d'introduire la notion d'écriture multiplicative au cours élémentaire sont étudiées. Ce travail s'inscrit dans le cadre d'une recherche effectuée par l'équipe école élémentaire-informatique de l'I. R. E. M. De Paris 7. On essaie de construire, d'expérimenter plusieurs séquences utilisant des logiciels visant a l'apprentissage des nombres de l'école élémentaire et des opérations

Sous l'effet de contraintes variées, l'enseignement de l'arithmétique et de l'algèbre élémentaires combine actuellement de façon confuse des activités et des connaissances dont les références mathématiques se sont éloignées. L'arithmétique traditionnelle a préparé à l'école primaire pendant un siècle l'introduction à l'algèbre, et il reste des séquelles de cette organisation. Cependant l'avancée des mathématiques a dépassé et isolé cette arithmétique traditionnelle, et il n'en reste qu'un corpus de problèmes. La recherche étudie et organise au moyen de deux modélisations, ces problèmes traditionnels qui faisaient le cœur de l'arithmétique élémentaire et leur fonction dans l'articulation algèbre-arithmétique. La première modélisation permet de séparer les deux activités arithmétiques et algébriques. Une première conséquence, sous contrainte de ce modèle, est la comparaison des répertoires langagiers de l'algèbre et l'arithmétique élémentaires. La seconde modélisation sagittale permet d'analyser les raisonnements utilisés dans les résolutions arithmétiques. Une des conséquences de cette modélisation est la mise en évidence d'une hiérarchie de variables de complexité permettant de prévoir les difficultés de l'apprentissage et de l'enseignement. La confusion actuelle des deux secteurs fait disparaître la connaissance et l'usage de ces raisonnements comme moyens d'organisation et de contrôle de l'activité mathématique des élèves et des professeurs. La thèse met en évidence les difficultés de l'enseignement actuel sur deux points algébriques, la substitution et la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Elle propose un schéma d'enseignement qui permet d'introduire des connaissances algébriques de façon plus précoce et fonctionnelle pour faire dévolution aux élèves, des moyens algébriques de traitement des problèmes.

La génération procédurale est une méthode très utilisée dans les jeux vidéo pour proposer du contenu varié et adapté aux joueurs. Cependant, cette méthode est peu utilisée dans le domaine des Environnements Informatiques pour l’Apprentissage Humain (EIAH). Dans cette thèse, nous nous intéressons à la génération d’activités de jeu pour l’entrainement aux connaissances déclaratives (i.e., informations factuelles telles que les lois, les tables de multiplication).Ce contexte nécessite de proposer aux apprenants des activités variées et adaptées pour éviter l’abandon des tâches causé par l’ennui. Le périmètre de cette thèse aborde trois angles d’adaptations : point de vue de l’enseignant sur l’entrainement, progression de l’apprenant-joueur et préférences de joueurs.Ce travail de thèse s’inscrit dans le domaine de recherche de l’ingénierie des EIAH. L’objectif est de caractériser la génération d’activités et de proposer une approche « générique », c’est-à-dire indépendante d’un domaine didactique spécifique. L’objectif est ainsi de pouvoir réutiliser des éléments de génération pour différents domaines. La thèse s’appuie sur le projet de recherche AdapTABLES qui lui fournit un premier terrain d’étude et d’expérimentation. Ce projet vise la conception et le développement d’un jeu d’entrainement aux tables de multiplication. La contribution de recherche (i.e., étude et moyens de conception) a été élaborée dans ce contexte mais a été généralisée et évaluée également dans d’autres contextes.Nous avons tout d’abord identifié un genre de jeu compatible avec l’entrainement aux connaissances déclaratives : le Roguelite. Dans ce genre de jeu, les activités ou niveaux de jeu sont générés procéduralement et intègrent une grande variabilité. La répétition est favorisée par une mécanique de « mort permanente ». Ensuite, nous avons : 1) caractérisé et spécifié la génération en analysant les différents besoins d’adaptation (i.e., enseignant, apprenant-joueur) et 2) proposé un framework (i.e., cadre conceptuel et infrastructure logicielle) fondé sur les principes d’Ingénierie Dirigée par les Modèles permettant de concevoir et d’implémenter des générateurs pour l’entrainement aux connaissances déclaratives dans le contexte des jeux de types Roguelite. Les générateurs conçus sont des composants logiciels indépendants produisant des niveaux (i.e., donjons) au format XML, pouvant être interprétés par un jeu d'apprentissage.Trois générateurs ont été conçus à partir du framework : l’un pour l’entrainement aux multiplications, un second pour l’entrainement aux repères d’histoire-géographie au programme du brevet des collège et un troisième pour l’entrainement aux faits de judo. Le générateur des tables de multiplication est actuellement utilisé dans un jeu d’apprentissage conçu dans le cadre du projet AdapTABLES. Le framework et ses composants ont été validés à partir de tests systèmes, de vérification de modèles, mais aussi au travers d’une expérimentation avec un ingénieur afin d’évaluer l’utilisabilité du framework. De plus, le jeu développé pour le projet AdapTABLES et le générateur associé ont été utilisés plusieurs fois en conditions écologiques
Procedural generation is a method widely used in video games to deliver varied content tailored to players. However, this method is rarely used in the field of Technology Enhanced Learning (TEL). In this PhD thesis, our focus is on the generation of game activities for declarative knowledge training (i.e., factual information such as laws and multiplication tables). In this context, it is necessary to provide learners with varied and adapted activities to avoid task drop-out caused by boredom. The scope of this thesis covers three angles of adaptation: the teacher's perspective on training, learner-players progression and players preferences.This PhD work falls within the field of engineering research of TEL systems. The aim is to characterise the generation of activities and to propose a “generic” approach, i.e., independent of any specific didactic domain. Thus, the aim is to be able to reuse generation elements for different domains. This thesis is based on the AdapTABLES research project, which provides an initial ground of study and experimentation. The aim of this project is to design and develop a multiplication table training game. The research contribution (i.e., study and design methods) was developed in this context, but was also generalised and evaluated in other contexts.First, we identified a game genre compatible with declarative knowledge training: the Roguelite. In this game genre, the activities or game levels are procedurally generated and incorporate a high degree of variability. Repetition is encouraged by a “permanent death” mechanism. Then, we: 1) characterised and specified the generation by analysing the different adaptation needs (i.e., teacher, learner-player) and 2) proposed a framework (i.e., conceptual framework and software infrastructure) based on the principles of Model-Driven Engineering to design and implement generators for declarative knowledge training in the context of Roguelite oriented games. The generators designed are independent software components producing levels (i.e., dungeons) in XML format that can be interpreted by an educational game.Three generators have been designed using the framework: one for multiplication training, a second for history and geography facts (i.e., required for the Diplôme National du Brevet des Collèges, a French exam taken in 9th grade) training, and a third for judo facts training. The multiplication tables generator is currently being used in an educational game designed as part of the AdapTABLES project. The framework and its components have been validated using system tests and model checking, as well as experimentation with an engineer to assess the usability of the framework. Moreover, the game developed for the AdapTABLES project and the associated generator were used several times in ecological conditions

Une approche historique et comparative des théories sur le jeu et sa fonction éducative et une réflexion sur la problématique de l 'apprentissage du calcul arithmétique chez les enfants de l'enseignement primaire débouchent sur un travail d'élaboration de jeux spécifiques. À un premier jeu "vamos aprender matemática", de type traditionnel, pour un public lusophone, a fait suite un autre jeu "la spirale" sur support télématique. Ces deux jeux ont permis un travail d'évaluation sur les progrès des enfants en calcul arithmétique et sur la relation entre les performances en calcul et les stratégies de jeu mises en œuvre par ces enfants
The work begins with a historical and comparative approach to theories on games and their function in education, and a reflection on the problematics of teaching arithmetic to primary school children. There then follows an elaboration of specifics games. A first game "vamos aprender matemática". Based on a traditional format and intended for the Portuguese market, led to the development of a second, computer game, "la spirale". These two games form the basis for an evaluation of the progress of children in arithmetic, and on the relationships between mathematical competence and the observed strategical ability of the children involved

La production d'une réponse numérique à un problème "non-calculable" - du type "âge du capitaine" est un effet du contrat didactique ; il s'avère fortement lié à la situation de production et ne doit pas être considéré comme un dysfonctionnement de la relation didactique ou comme l'absence de "compétence langagière". Dans une même situation, la variabilité des réponses produites témoigne de différences de sensibilité à l'égard du contrat didactique. Les arrière-plans du contrat, définis principalement par les styles d'enseignement des maitres, les pratiques d'éducation familiale associées au système des valeurs et principes d'éducation, permettent d'expliquer ces différences de sensibilité
Turning out a numerical answer to a problem that cannot be put into figures (i. E. "âge du capitaine") is a result of the didactic contract ; it appears to be closely linked to the situations of creation and cannot be attributed to a dysfunction of the didactic relation or to a lake of linguistic capacities. In a similar situation, the various answers provides are proof to different approaches as regards the didactic contract. The background of this contract mainly consists of the teaching methods at school and the education given at home together with the values and principles of the teaching system : this background is the very explanation of these differences in the approaches

Cette étude porte sur le développement des preuves produites par des élèves de l'école primaire (CM1 ou CM2) lors de la résolution de problèmes arithmétiques, à partir d'observations menées sur plusieurs années dans le cadre de l'élaboration d'une ingénierie didactique (ERMEL) dans des classes situées en ZEP. L'analyse privilégie trois directions : les raisonnements et les arguments élaborés par les élèves, les conditions sur les problèmes et le choix des variables des situations didactiques, la gestion des phases collectives par les enseignants. L'approche théorique utilisée pour le choix des problèmes et leur analyse a priori se réfère à la théorie des situations didactiques, à des travaux sur l'argumentation ou la preuve dont ceux de Balacheff et de Duval. Elle caractérise des preuves qu'on peut rencontrer en primaire : preuves par exhaustion, production de contre-exemples, production de raisonnements s'appuyant sur des propriétés connues. La construction d'une nouvelle typologie des preuves a posteriori permet d'analyser les preuves produites et leur évolution (au niveau des procédures, des propositions, des justifications). L'étude comparée de deux séquences, relatives à un même problème, au début et en fin de l'élaboration d'une des situations, met en évidence l'importance des phases de formulation. L'analyse de la gestion d'une mise en commun dans des conditions ordinaires précise les relations entre des conduites langagières et sociales favorables et une démarche de preuve. Elle soulève notamment la question de l'institutionnalisation qui peut être faite dans ce genre de situations
The object of this research is the development of proving in the pupils' productions when they resolve arithmetical problems at the end of primary school (9-11 years old). The experimentation was carried out for several years through the elaboration of a didactical engineering in schools situated in defavorised areas. Three axes are chosen : the pupils' argumentations and proofs, the nature of problems, the didactical situations' variables and teachers' management of collective moments. The theorical part of this research is based upon the theory of didactical situations, and on works about proof and argumentation, especially Balacheff and Duval's ones. It allows an analysis of proofs during the primary school : exhaustive proofs, counterexamples and reasoning laid upon knowings. The construction of a new typology of proofs, after the experimentation, allows us to analysis the productions of proofs and their evolutions (concerning proceedings, properties and justifications). A comparative analysis of two sequences, about a same problem, at the beginning and at the end of the elaboration of a situation, shows the importance of the formulation moments. The analysis of the leading by the teacher of collective moments in ordinary teaching sequences precises the relation between favorable linguistic and socials pratics and thé proving process. It asks the gestion of institutionalization in this kind of situations

La multiplication modulaire est l'opération principale de la plupart des protocoles de cryptographie asymétrique (Echange de clé de Diffie-Hellman, RSA, ECDSA). Il est donc important d'accorder un soin particulier à la réalisation matérielle de cette opération. Le travail de thèse consiste à proposer une solution matérielle flexible implémentant la multiplication modulaire pour une cible ASIC. On prend en compte deux niveaux de flexibilité : - L'implémentation doit être réalisable quelque soit la surface matérielle donnée. - Une fois l'architecture réalisée, celle-ci doit pouvoir traiter des données de taille variable. Après une étude algorithmique justifiant le choix de la méthode de Montgomery, l'algorithme de Montgomery est étudié en détail en vu de son implémentation matérielle. La stratégie visant à minimiser le nombre de type d'opérations élémentaires dans l'algorithme conduit à une famille d'architectures flexibles offrant un meilleur compromis temps-surface que dans l'art antérieur. Nous montrons ensuite que l'architecture développée peut être utilisée comme "boîte noire" pour effectuer la réduction modulaire. Nous étudions également la mise en place d'une contre-mesure additive au niveau des données qui permet de se prémunir de certaines attaques basées sur la DPA. Nous montrons en particulier, que la mise en place d'une telle contre-mesure ne provoque qu'une faible augmentation du temps de calcul (moins de 5%). Enfin, nous étudions une version de l'algorithme de Montgomery en représentation de Fourier ce qui permet d'obtenir un algorithme de coût asymptotique O(nlog(n)) mais malheureusement peu efficace en pratique
Modular multiplication is the main operation in most of asymmetric cryptography protocols (Diffie-Hellman key exchange, RSA, ECDSA). Thus hardware implementation of this operation needs attention. In this work, we propose a hardware implementation of modular multiplication for an ASIC target. We consider two levels of scalability : - Implementation must fit any chip area - Design must be reused for different sizes of moduli. After an algorithmic study we show why Montgomery algorithm is preferred. Then this algorithm is studied in details in order to proceed at its hardware implementation. Strategy used for implementation consists in minimizing the number of kinds of elementary operation in the algorithm. Then we obtain a family of scalable hardware improving time-area tradeoffs in comparison to previous scalable hardware. Then considering the hardware developed as a "black-box", we show how to perform modular reduction with this hardware. We also study how to add an additive countermeasure against DPA attacks with a slow extra-computational time (less than 5%). Finally, a Montgomery algorithm using Fourier representation is studied with an asymptotic cost in O(nlog(n)) but inefficient for practical application

Notre étude s'est construite à partir du constat que la multiplication est un objet mathématique complexe dans ses dimensions épistémologique et cognitive. Le fait que les représentations géométriques puissent favoriser la mise en évidence de significations d'un objet mathématique nous a conduits à la recherche d'une géométrisation de la multiplication pour différents ensemble de nombres. Pour étudier le rapport entre cet objet mathématique complexe - la multiplication - et la construction de son sens par les élèves, nous avons conçu des séances expérimentales menées dans des collèges et lycées français. Cette étude expérimentale nous a permis d'analyser en profondeur la maîtrise que les élèves manifestent ou, au contraire, les obstacles qu'ils rencontrent dans un travail mathématique qui nécessite, notamment des changements de cadres et de registres de représentation sémiotique. Les données issues de nos séances expérimentales ont été analysées à l'aide d'une articulation entre différentes approches théoriques. La notion d'Espace de Travail Mathématique et ses genèses permet de rendre compte de la complexité du travail mathématique des élèves. Pour étudier le travail collaboratif entre élèves et le rôle de l'enseignant dans le processus de médiation culturelle, nous avons intégré la médiation sémiotique et la construction sociale des connaissances. L'articulation théorique produite nous a permis de décrire plus finement les relations entre les plans épistémologique et cognitif de l'ETM. Nous arrivons finalement à l'identification et l'analyse de parcours d'individus résultant des interactions produites à l'intérieur d'un Espace de Travail Mathématique
Our study began with the notion that multiplication is a complex mathematical object, in both its epistemological and cognitive dimensions. The fact that geometric representations can make a mathematical object's meanings more obvious led us to structure our research around the geometrization of multiplication for different sets of numbers. To study the relationship between this complex mathematical object -- multiplication -- and the construction of meaning by students we designed experimental lessons that were put in place in French high school and junior high school classrooms. This experimental study allowed us to closely analyze students' understanding of the topic, or, on the other hand, the obstacles they encountered in a mathematics assignment requiring frame changes and changes in registers of semiotic representation. Our experimental data were analyzed using a combination of several theoretical approaches. The notion of the Mathematical Work Space and its geneses allows us to account for the complexity of students' mathematical work. In order to study collaborative work between students, as well as the teacher's role in this process of cultural mediation, we also applied theories of semiotic mediation and the social construction of knowledge. Our resulting theoretical framework allows us to give a detailed description of the relationships between the epistemological and cognitive levels of the MWS. We conclude with the identification and analysis of individual students' chosen paths, resulting from interactions within a Mathematical Work Space

En France les concepts de rapport et de proportion ont disparu des programmes du secondaire depuis 1970 où la fonction linéaire est censée reformuler la proportionnalité entre grandeurs. Mais dans la nouvelle organisation des savoirs à enseigner la « fonction linéaire » n'est qu'un exemple banal de relation numérique de telle sorte qu'aujourd'hui les professeurs de tous les niveaux n'ont ni l'usage de la « fonction linéaire » ni celui des « rapports et proportions » pour traiter convenablement les problèmes de l'arithmétique élémentaire. La recherche d'une articulation logique et fonctionnelle des notions de nombres, de variables et de fonctions pour un processus d'apprentissage à long terme fait apparaître qu'un traitement du milieu des grandeurs par une pratique des rapports, des mesures et de la proportionnalité est incontournable dans la genèse de ces concepts. Actuellement, l'enseignement obligatoire principalement orienté vers la scolarité future des élèves tend à ignorer les notions qui ont tenu une place importante dans l'organisation des mathématiques encore en usage dans la culture et le monde du travail. L'abandon des concepts de rapport et proportion ne s'est pas accompagné des avancées supplétives escomptées nécessaires autant aux institutions scolaires que sociétales ou professionnelles. Le sentiment d'échec ressenti par la société à la suite de cette « rupture conceptuelle » de l'objet proportionnalité n'a pas de solution pédagogique ou psychologique. Les différentes institutions concernées ont à traiter ce problème par une approche scientifique, technique et politique avec des connaissances de micro didactique mais aussi de macro didactique dont l'ignorance a été probablement une des causes des difficultés engendrées par les réformes successives
In France, the concepts of ratio and proportion have disappeared from secondary education syllabuses since 1970, when the linear function was supposed to reformulate the proportionality between magnitudes. But in the new organization of teaching contents, the linear function is only an example of a numerical relation, so that nowadays people teaching at any level of education can neither use the linear function nor ratios and proportions to deal properly with elementary arithmetic problems. Looking for a logical and functional articulation of the notions of numbers, variables and functions for a long term learning process emphasizes the fact that dealing with the environment of magnitudes through the practice of ratios, measures and proportionality is absolutely necessary in the genesis of these concepts. Today, French compulsory education, mainly concerned with pupils' future schooling tends to ignore the notions that used to have a strong status in the organisation of a mathematical knowledge which is still in use in popular culture and the working world. Giving up the concepts of ratio and proportion has not been compensated by the expected supplementary steps necessary as much for school institutions as for social and professional institutions. The sense of failure felt by society following this conceptual break from the knowledge of proportionality can't be solved by any pedagogical or psychological remedy. The various institutions involved have to treat this problem by a scientific, technical and political approach with “micro” and “macro” didactical knowledge, the ignorance of which has probably been one of the causes of the difficulties generated by the successive reforms