Academic literature on the topic 'Multilinéaire'

AbstractLe but de cet article est de donner un panorama synthétique d'un certain nombre de concepts et d'idées qui caractérisent la phonologie générative moderne et d'examiner quelques applications à l'étude du français. Derrière le foisonnement de la terminologie et des modèles, il y a quelques idées clefs qui sont partagées par de nombreux chercheurs qui travaillent dans ce qu'on appelle souvent ‘phonologie non-linéaire’, ‘phonologie multilinéaire’ ou ‘phonologie multidimensionnelle’. On partira ici de l'approche de Chomsky et Halle dans leSound Pattern of English(1968), illustré dans de nombreux travaux sur le français, pour déboucher sur des cadres tels que la Phonologie du Gouvernement, la Phonologie de Dépendance ou la Phonologie Moraïque. On verra alors qu'à un système bâti sur des structures relativement pauvres (séquences de traits simultanés et de frontières) que les règles phonologiques manipulent pour produire des formes de surface, on a substitué des approches plus ‘configurationnelles’ où les règles sont écartées en faveur de ‘principes’ et de ‘paramètres’.

Cette étude vise à évaluer la capacité d’une sonde à rayons ultraviolets (UV) à estimer simultanément les teneurs en nitrate et nitrite en sortie d’une unité de biofiltration en postdénitrification. L’estimation de ces deux espèces est compliquée du fait de la très grande similitude de leur spectre UV et de la présence d’autres molécules absorbantes dans l’UV. Celle-ci est pourtant indispensable au développement d’algorithmes de contrôle, seuls à même de garantir un résiduel en nitrite et nitrate conforme aux exigences de la directive cadre sur l’eau. La sonde WTW Nitra Vis 705 IQ NI a été calibrée puis validée en laboratoire sur un effluent réel dans une gamme de 0 à 3,5 mgN/L en nitrite. Elle a ensuite été installée en sortie d’une unité de biofiltration de la station de Seine Centre afin d’évaluer sa capacité à prédire les dynamiques de concentrations en nitrites et nitrates. Le suivi a montré que, moyennant une calibration multipoint pour le nitrite et multilinéaire pour le nitrate, il est possible de mesurer simultanément et dynamiquement le nitrite dans la gamme 0-5 mgN/L avec une précision de 0,2 mgN/L et le nitrate dans la gamme 0-10 mgN/L avec une précision de 0,3 à 0,4 mgN/L. Les mesures en ligne de protoxyde d’azote dissous, effectuées sur site au moyen de sondes ampérométriques, montrent que la dynamique est similaire à celle du nitrite en fonction du ratio DBO/N-NO3– appliqué, et que l’on obtient une meilleure corrélation du protoxyde d’azote avec le nitrite (R2 = 0,72) comparativement à la somme nitrite + nitrate (R2 = 0,52).

RésuméOn associe à toute structure de proto-bigèbre de Lie sur un espace vectoriel F de dimension finie des structures d’algèbre de Lie d’homotopie définies respectivement sur la suspension de l’algèbre extérieure de F et celle de son dual F*. Dans ces algèbres, tous les crochets n-aires sont nuls pour n ≥ 4 du fait qu’ils proviennent d’une structure de proto-bigèbre de Lie. Plus généralement, on associe à un élément de degré impair de l’algèbre extérieure de la somme directe de F et F*, une collection d’applications multilinéaires antisymétriques sur l’algèbre extérieure de F (resp. F*), qui vérifient les identités de Jacobi généralisées, définissant les algèbres de Lie d’homotopie, si l’élément donné est de carré nul pour le grand crochet de l’algèbre extérieure de la somme directe de F et de F*.

À la demande du ministère français de la Transition écologique et solidaire (MTES) et de l’Agence française pour la biodiversité (AFB) pour contribuer à la conduite des politiques publiques de l’eau, l’Institut national de recherche pour l’agriculture, l’alimentation et l’environnement (Inrae) a mené une étude pour mettre en place un dispositif national de connaissance du patrimoine des réseaux d’eau potable à l’échelle des agences de l’eau. La méthode mise en oeuvre repose sur la construction de modèles statistiques qui relient les caractéristiques des réseaux, collectées pour un échantillon de services, à des données géographiques et démographiques disponibles à l’échelle communale de façon exhaustive sur le territoire français. La base de données Sispea (Système d’information des services publics d’eau et d’assainissement) et les données SIG (système d’information géographique) recueillies auprès d’un échantillon de services qui représentent environ la moitié du réseau français, ont été utilisées pour caler des modèles multilinéaires des longueurs de canalisation par diamètre, période de pose et matériau. Ils permettent d’estimer la longueur des canalisations d’eau potable de la France métropolitaine à 875000 km, dont moins de 40% ont été posées avant 1970. 70% des conduites sont d’un diamètre au plus égal à 100 mm et les canalisations en PVC sont très majoritaires dans les bassins Loire-Bretagne et Adour-Garonne tandis que celles en fonte dominent dans les autres bassins.

International audience Let $A$ be an $n$-element set. Let $\mathscr{L} ie_2(A)$ be the multilinear part of the free Lie algebra on $A$ with a pair of compatible Lie brackets, and $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ the subspace of $\mathscr{L} ie_2(A)$ generated by all the monomials in $\mathscr{L} ie_2(A)$ with $i$ brackets of one type. The author and Dotsenko-Khoroshkin show that the dimension of $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ is the size of $R_{A,i}$, the set of rooted trees on $A$ with $i$ decreasing edges. There are three families of bases known for $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ the comb basis, the Lyndon basis, and the Liu-Lyndon basis. Recently, González D'León and Wachs, in their study of (co)homology of the poset of weighted partitions (which has close connection to $\mathscr{L} ie_2(A, i)$), asked whether there are nice bijections between $R_{A,i}$ and the comb basis or the Lyndon basis. We give a natural definition for " nice bijections " , and conjecture that there is a unique nice bijection between $R_{A,i}$ and the comb basis. We show the conjecture is true for the extreme cases where $i=0$, $n−1$. Soit $A$ un ensemble à $n$ éléments. Soit $\mathscr{L} ie_2(A)$ la partie multilinéaire de l'algèbre de Lie libre sur $A$ avec une paire de crochets de Lie compatibles et $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ le sous-espace de$\mathscr{L} ie_2(A)$ généré par tous les monômes en $\mathscr{L} ie_2(A)$ avec $i$ supports d'un même type. L'auteur et Dotsenko-Khoroshkin montrent que la dimension de $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ est la taille de la $R_{A,i}$, l'ensemble des arbres enracinés sur $A$ avec $i$ arêtes décroissantes. Il y a trois familles de bases connues pour $\mathscr{L} ie_2(A, i)$ : la base de peigne, la base Lyndon, et la base Liu-Lyndon. Récemment, Gonzalez, D' Léon et Wachs, dans leur étude de (co)-homologie de la poset des partitions pondérés, ont demandé si il y a des bijections jolies entre$R_{A,i}$, et la base de peigne ou la base Lyndon. Nous donnons une définition naturelle de "bijection jolie " , et un conjecture qu'il y a une seule bijection jolie entre $R_{A,i}$, et la base de peigne. Nous montrons que la conjecture est vraie pour les cas extrêmes: $i = 0$, et $n − 1$.

La cryptographie à base de réseaux euclidiens est un domaine prometteur pour la construction de primitives cryptographiques post-quantiques. Un problème fondamental, lié aux réseaux, est le problème du plus court vecteur (ou SVP, pour Shortest Vector Problem). Ce problème est supposé être difficile à résoudre même avec un ordinateur quantique. Afin d’améliorer l’efficacité des protocoles cryptographiques, on peut utiliser des réseaux structurés, comme par exemple des réseaux idéaux ou des réseaux modules (qui sont une généralisation des réseaux idéaux). La sécurité de la plupart des schémas utilisant des réseaux structurés dépend de la difficulté du problème SVP dans des réseaux modules, mais un petit nombre de schémas peuvent également être impactés par SVP dans des réseaux idéaux. La principale construction pouvant être impactée par SVP dans des réseaux idéaux est la fonction multilinéaire GGH13. Cette fonction multilinéaire est principalement utilisée aujourd’hui pour construire des obfuscateurs de programmes, c’est-à-dire des fonctions qui prennent en entrée le code d’un programme et renvoie le code d’un programme équivalent (calculant la même fonction), mais qui doit cacher la façon dont le programme fonctionne.Dans cette thèse, nous nous intéressons dans un premier temps au problème SVP dans les réseaux idéaux et modules. Nous présentons un premier algorithme qui, après un pre-calcul exponentiel, permet de trouver des vecteurs courts dans des réseaux idéaux plus rapidement que le meilleur algorithme connu pour des réseaux arbitraires. Nous présentons ensuite un algorithme pour les réseaux modules de rang 2, également plus efficace que le meilleur algorithme connu pour des réseaux arbitraires, à condition d’avoir accès à un oracle résolvant le problème du plus proche vecteur dans un réseau fixé. Le pré-calcul exponentiel et l’oracle pour le problème du plus proche vecteurs rendent ces deux algorithmes inutilisables en pratique.Dans un second temps, nous nous intéressons à la fonction GGH13 ainsi qu’aux obfuscateurs qui l’utilisent. Nous étudions d’abord l’impact des attaques statistiques sur la fonction GGH13 et ses variantes. Nous nous intéressons ensuite à la sécurité des obfuscateurs utilisant la fonction GGH13 et proposons une attaque quantique contre plusieurs de ces obfuscateurs. Cette attaque quantique utilise entre autres un algorithme calculant un vecteur court dans un réseau idéal dépendant d’un paramètre secret de la fonction GGH13
Lattice-based cryptography is a promising area for constructing cryptographic primitives that are plausibly secure even in the presence of quantum computers. A fundamental problem related to lattices is the shortest vector problem (or SVP), which asks to find a shortest non-zero vector in a lattice. This problem is believed to be intractable, even quantumly. Structured lattices, for example ideal lattices or module lattices (the latter being a generalization of the former), are often used to improve the efficiency of lattice-based primitives. The security of most of the schemes based on structured lattices is related to SVP in module lattices, and a very small number of schemes can also be impacted by SVP in ideal lattices.In this thesis, we first focus on the problem of finding short vectors in ideal and module lattices.We propose an algorithm which, after some exponential pre-computation, performs better on ideal lattices than the best known algorithm for arbitrary lattices. We also present an algorithm to find short vectors in rank 2 modules, provided that we have access to some oracle solving the closest vector problem in a fixed lattice. The exponential pre-processing time and the oracle call make these two algorithms unusable in practice.The main scheme whose security might be impacted by SVP in ideal lattices is the GGH13multilinear map. This protocol is mainly used today to construct program obfuscators, which should render the code of a program unintelligible, while preserving its functionality. In a second part of this thesis, we focus on the GGH13 map and its application to obfuscation. We first study the impact of statistical attacks on the GGH13 map and on its variants. We then study the security of obfuscators based on the GGH13 map and propose a quantum attack against multiple such obfuscators. This quantum attack uses as a subroutine an algorithm to find a short vector in an ideal lattice related to a secret element of the GGH13 map

Dans différentes applications, les signaux observés peuvent être ordonnés dans un tenseur qui se décompose en une somme de tenseurs de rang un. Une telle décomposition est appelée PARAFAC. Ces travaux présentent une nouvelle méthode pour identifier les paramètres de la décomposition s'appuyant sur une diagonalisation conjointe, et proposent une nouvelle borne sur le nombre de ces paramètres. Nous avons appliqué cette méthode à des signaux de type CDMA, qui possèdent la structure PARAFAC. D'autre part, nous avons proposé de combiner la structure PARAFAC et la contrainte de module constant des sources. Nous avons également montré qu'il était possible d'exploiter la structure algébrique des données pour résoudre des problèmes d'Analyse en Composantes Indépendantes dans le cas sous-déterminé. Finalement, nous nous sommes interrogés sur le rang d'un tenseur choisi de manière aléatoire, dit rang générique, et nous proposons une technique pour calculer ce rang dans certains cas
In different applications, the observed signals can be stacked in a third-order tensor that can be decomposed in a sum of rank-one tensors. Such a decomposition is called PARAFAC. Our work presents a new method to estimate the parameters of the decomposition based on a simultaneous diagonalization and yields a new bound on the number of these parameters. We apply this method to CDMA signals, which have the PARAFAC structure. Moreover, we propose to combine PARAFAC structure and constant modulus constraint on the sources. We also show that it is possible to exploit the algebraic structure of the data to perform Independent Component Analysis in the underdetermined case. Finally, we study the rank of a random tensor, called generic rank, and we propose a technique to compute this rank in some particular cases

Cette thèse explore deux sujets distincts à l'intersection de l'algèbre commutative, de la géométrie algébrique, de l'algèbre multilinéaire et de la modélisation géométrique :1. L'étude et la construction effective des transformations birationnelles multilinéaires 2. L'extraction d'informations à partir de données discrètes à l'aide de modèles polynomiaux. La partie principale de ce travail est consacrée aux transformations birationnelles multilinéaires.Une transformation birationnelle multilinéaire est une transformation rationnelle phi : (mathbb{P}^1)^n dashrightarrow{} mathbb{P}^n, définie par des polynômes multilinéaires, qui admet une transformation rationnelle inverse.Les transformations birationnelles entre espaces projectifs constituent un sujet d'étude important de la géométrie algébrique, initié par les travaux fondateurs de Cremona, qui a connu des avancées significatives au cours des dernières décennies.Plus récemment, les transformation birationnelles multiprojectives, c'est-à-dire définies par des polynômes multi-homogènes, ont récemment suscité un regain d'intérêt, motivé notamment par l'étude des structures multigraduées en algèbre commutative et leurs applications pratique en modélisation géométrique.Dans la première partie, nous étudions les aspects algébriques et géométriques des transformations birationales multilinéaires.Nous nous concentrons principalement sur les transformations birationnelles trilinéaires phi : (mathbb{P}^1)^3 dashrightarrow{} mathbb{P}^3 dont nous établissons une classification en fonction de la structure algébrique de leur espace, du lieu base, et des résolutions libres graduées minimales de l'idéal engendré par les polynômes de définition.En outre, nous développons les premières méthodes qui permettent de construire et de manipuler des transformations birationnelles non linéaires en dimension 3 avec une flexibilité suffisante pour les applications visées en modélisation géométrique.De plus, nous établissons une caractérisation de la birationalité basée sur le rang de tenseurs, qui permet de construire efficacement et ouvre la voie à l'application des outils de l'algèbre tensorielle à la birationnalité.Nous étendons également nos résultats aux transformations birationnelles multilinéaires en dimension arbitraire, dans le cas où il existe un inverse multilinéaire.Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur l'application des polynômes à l'analyse des données discrètes.Nous nous attaquons à deux problèmes distincts.Tout d'abord, nous dérivons des bornes pour la taille des (1-epsilon)-nets pour les ensembles de non-négativité de polynômes réels.Nos résultats nous permettent d'étendre le théorème classique du point central aux inégalités polynomiales de degré supérieur.Ensuite, nous abordons la classification des cylindres réels qui passent par cinq points qui sont tels que quatre d'entre eux sont cocycliques, c'est-à-dire qu'ils se trouvent sur un cercle.Il s'agit d'un cas particulier de problèmes plus généraux que sont la classification des racines réelles des systèmes de polynômes réels et l'extraction de primitives algébriques à partir de données brutes
This thesis explores two distinct subjects at the intersection of commutative algebra, algebraic geometry, multilinear algebra, and computer-aided geometric design:1. The study and effective construction of multilinear birational maps2. The extraction of information from measures and data using polynomialsThe primary and most extensive part of this work is devoted to multilinear birational maps.A multilinear birational map is a rational map phi: (mathbb{P}^1)^n dashrightarrow{} mathbb{P}^n, defined by multilinear polynomials, which admits an inverse rational map. Birational transformations between projective spaces have been a central theme in algebraic geometry, tracing back to the seminal works of Cremona, which has witnessed significant advancement in the last decades. Additionally, there has been a recent surge of interest in tensor-product birational maps, driven by the study of multiprojective spaces in commutative algebra and their practical application in computer-aided geometric design.In the first part, we address algebraic and geometric aspects of multilinear birational maps.We primarily focus on trilinear birational maps phi: (mathbb{P}^1)^3 dashrightarrow{} mathbb{P}^3, that we classify according to the algebraic structure of their space, base loci, and the minimal graded free resolutions of the ideal generated by the defining polynomials. Furthermore, we develop the first methods for constructing and manipulating nonlinear birational maps in 3D with sufficient flexibility for geometric modeling and design.Interestingly, we discover a characterization of birationality based on tensor rank, which yields effective constructions and opens the door to the application of tools from tensors to birationality. We also extend our results to multilinear birational maps in arbitrary dimension, in the case that there is a multilinear inverse.In the second part, our focus shifts to the application of polynomials in analyzing data and measures.We tackle two distinct problems. Firstly, we derive bounds for the size of (1-epsilon)-nets for superlevel sets of real polynomials. Our results allow us to extend the classical centerpoint theorem to polynomial inequalities of higher degree. Secondly, we address the classification of real cylinders through five-point configurations where four points are cocyclic, i.e. they lie on a circumference. This is an instance of the more general problems of real root classification of systems of real polynomials and the extraction of algebraic primitives from raw data

Ce travail de recherche est consacré à l'élaboration des méthodes de traitement d'antenne multicapteur, multicomposante. Le traitement des signaux enregistrés par ce type d'antenne permet l'estimation de la direction d'arrivée et des paramètres de polarisation des ondes arrivant sur l'antenne. Nous montrons comment l'incorporation (d'une manière judicieuse) de l'information multicomposante permet d'améliorer les performances des algorithmes de traitement. L'originalité des méthodes proposées tient à l'utilisation des modèles mathématiques, sortant du cadre de l'algèbre vectorielle classique, et qui se trouvent particulièrement bien adaptés à la nature des signaux multicomposante. Une première approche est fondée sur un modèle tensoriel, permettant de conserver la structure multimodale des signaux. Le tenseur interspectral est introduit pour représenter la covariance des données. Nous proposons deux algorithmes (Vector-MUSIC et Higher-Order MUSIC) basés sur des décompositions orthogonales du tenseur interspectral. Nous montrons, sur des simulations, que l'utilisations du modèle tensoriel et des décompositions multilinéaires associées arnéliorent les performances des méthodes proposées par rapport à celles atteignables avec les techniques classiques. Nous proposons également une approche en traitement d'antenne multicomposante fondée sur l'utilisation des algèbres hypercomplexes. Les vecteurs de quaternions et biquaternions sont utilisés pour modéliser les signaux polarisés enregistrés par une antenne à deux, trois ou quatre composantes. Deux algorithmes (Quaternion-MUSIC et Biquaternion-MUSIC), basés sur la diagonalisation des matrices de quaternions et de biquaternions, sont introduits. Nous montrons que l'utilisation des nombres hypercomplexes réduit le temps de calcul et améliore la résolution des méthodes
This research is devoted 1,0 vector-sensor array processing methods. The signaIs recorded on a vector-sensor array allow the estimation of the direction of arrivaI and polarization for multiple waves impinging on the antenna. We show how the correct use of polarization information improves the performance of algorithms. The novelty of the presented work consists in the use of mathematical models well-adapted 1,0 the intrinsic nature of vectorial signaIs. The first approach is based on a multilinear model of polarization that preserves the intrinsic structure of multicomponent acquisition. Ln this case, the data covariance model is represented by a cross-spectral tensor. We propose two algorithms (Vector-MUSIC and Higher-Order MUSIC) based on orthogonal decompositions of the cross-spectral tensor. We show in simulations that the use of this model and of the multilinear orthogonal decompositions improve the performance of the proposed methods compared to classical techniques based on linear algebra. A second approach uses hypercomplex algebras. Quaternion and biquaternion vectors are used to model the polarized signaIs recorded on two, three or four component sensor arrays. Quaternion-MUSIC and Biquaternion-MUSIC algorithrns, based on the diagonalization of quaternion and biquaternion matrices are introduced. We show that the use of hypercornplex numbers reduces the computational burden and increases the solution power of the methods

Le travail présenté concerne la validation de données et l'observabilité des systèmes multilinéaires dans le but d'effectuer le diagnostic de l'instrumentation d'une installation. Après un rappel sur la validation de données et l'observabilité des systèmes linéaires, ces notions sont étendues aux systèmes multilinéaires. Différentes méthodes, telles que le calcul hiérarchisé, la linéarisation des contraintes et les fonctions de pénalisation sont présentées pour l'estimation des valeurs vraies en présence de mesures manquantes. Ces différentes méthodes sont comparées et un algorithme récursif d'estimations utilisant les techniques de linéarisation des contraintes et des fonctions de pénalisation est presenté. La validation de données ne peut être effectuée que sur des systèmes observables. Nous avons donc développé une méthodologie originale, basée sur l'emploi de diagrammes arborescents, qui permet d'extraire les équations du procédé correspondant à sa partie observable. La technique de validation de données a été appliquée avec succès sur un procédé complexe de traitement de minerai d'uranium de la société total compagnie minière France. L'installation partiellement instrumentée permet de disposer de mesures de flux volumique, de masse volumique, de teneur d'uranium dans la phase solide et liquide des flux. Outre l'obtention de données cohérentes, l'analyse des résultats de la validation permet de détecter d'éventuels défauts sur l'instrumentation
The aim of this study is to investigate data validation and observability of miltilinear systems to diagnose instrumentation in a process. Data validation and observability in linear systems are first reviewed and these notions are extended to multilinear systems. Differents methods such as hierarchical computation, constraint linearization and penalization functions, are presented to estimate true values when some values are lacking. After comparing the different methods, a recurrent calculus of estimates using constraint linearization and penalization functions is developed. An observable system is required in order to perform data validation. Thus, we developed an original method, based on arborescent diagrams. The technique of data validation has been successfully applied to a complex uranium processing plant owned by the French company Total Compagnie Minière France. On this partially instrumented process, measurements for volumic flow, density and uranium in both solid and liquid phase are available. The analysis allows first to obtain coherent date. Furthemore, it can be used to detect sensors faults

Cette thèse est consacrée à l'élaboration de filtres pour la restauration d'images multidimensionnelles. Nous adoptons un formalisme tensoriel. Ainsi, les différentes interactions entre les paramètres des données sont conservées. Divers filtres multidimensionnels sont présentés et comparés comme l'approximation par tenseur de rangs inférieurs ou filtre de Wiener multidimensionnel. Cependant, ces filtres utilisent des déploiements orthogonaux de tenseurs qui ne prennent pas en compte les spécificités des données. Dans le cas de l'imagerie multidimensionnelle, nous proposons alors un déploiement spécifique permettant d'améliorer le rapport signal sur bruit final. Les directions de déploiement sont estimées en estimant les contours rectilignes des images. Enfin, nous proposons d'utiliser des cumulants d'ordre quatre afin de supprimer un bruit Gaussien blanc ou corrélé présent dans les données. Des exemples sont proposés pour l'imagerie couleur et l'imagerie hyperspectrale
This thesis is devoted to multidimensional signal processing. The main interest of the proposed methods relies on the tensor modeling of data sets. Therefore, the whole parameters are considered while processing tensors. Multilinear algebra tools are required to design the presented multidimensional filters : higher order singular value troncature, lower rank tensor approximation or multidimensional Wiener filtering. However, these filters use an orthogonal flattening step that may not be adapted to data. A new method is proposed to avoid this shortcoming. This is useful for image applications such as color or hyperspectral images. It is shown that the signal to noise ratio can be improved if flattening directions are chose properly. This manuscript also propose a new method including higher order statistics to remove Gaussian components from multidimensional data. Some examples are given for color and hyperspectral images

L'objet de cette thèse est de proposer de nouvelles méthodes de décomposition canonique (CAND pour CANonical Decomposition) à partir de tableaux Hermitiens d'ordre supérieur. Ceci permet de répondre à des problématiques où la CAND est considérée comme un outil permettant de réaliser l'Analyse en Composante Indépendantes (ACI) et l'identification aveugle de mélange sous-déterminé. Dans un premier temps on propose une famille de méthodes de décomposition canonique conjointe de tableaux Hermitien. Cette famille de méthode contient deux approches, semi-algébrique et itérative. Concernant la partie itérative on propose également une nouvelle méthode de type ALS (Alternat Least Square) qui exploite la symétrie Hermitienne. Notre deuxième contribution consiste à évaluer le gain qu’on peut obtenir en termes de la vitesse de convergence et la complexité lorsqu’on exploite la symétrie dans le tableau qu’on traite. De plus, on propose une manière efficace de relier les approches semi-algébriques aux approches itératives de façon à approcher de la solution optimale. Finalement une étude de complexité de différentes méthodes de l’ACI a été
The goal of this thesis is to propose new methods for CANonical Decomposition (CAND) of Higher Order (HO) Hermitian arrays. The main motivation is to solve the Independent Component Analysis (ICA) and the blind under-determined mixture identification problems. First, we propose a new family of methods to jointly decompose several HO Hermitian arrays. This family involves two different approaches; semi-algebraic and iterative. Regarding the iterative one we propose a new ALS (Alternate Least Square)-like method that contrary to the classical ALS one fully exploits the symmetry in the HO array it processes. Second, we evaluate the impact of exploiting the symmetry that resides in the HO array we process. That is in terms of convergence speed and numerical complexity giving rise to a new iterative algorithm. Third, we propose an efficient way to rely iterative approaches to semi-algebraic ones in such a way a better solution is guaranteed. Finally the numerical complexity of different ICA methods is studied

Cette thèse est consacrée au développement et à l’étude de méthodes algébriques pour l’analyse des données hyperspectrales. Une nouvelle représentation des données par un tenseur d’ordre 3 a permis la proposition de méthodes originales, impliquant l’utilisation d’outils d’algèbre multilinéaire. De ce fait, les méthodes développées sont dites multidimensionnelles ou multimodales. Basées sur la décomposition tensorielle de TUCKER, elles analysent conjointement le mode spatial et spectral. Cette thèse répond à deux problématiques. La première concerne la réduction du bruit. Une technique de détection robuste au bruit est proposée en incorporant un filtrage de Wiener multimodal. Les filtres de Wiener n-modaux (spatiaux et spectraux) sont estimés en minimisant l’erreur quadratique moyenne entre le tenseur utile et estimé. La deuxième problématique abordée est la réduction de la dimension spectrale. Le fléau de la grande dimension des données dégrade les estimations statistiques lors du processus de classification des données. Dans ce cadre, nous avons développé une méthode basée sur la réduction du mode spectral par transformation linéaire, qui approxime simultanément le mode spatial en rangs inférieurs. Les deux méthodes multimodales sont respectivement évaluées en observant leur impact sur la qualité de détection et de classification. Ces résultats révèlent l’intérêt de considérer une analyse spatiale/spectrale par rapport aux techniques uniquement spectrales ou hybrides analysant séquentiellement le mode spectral et spatial
This thesis focus on developing new algebraic methods for hyperspectral applications. The proposed method are original because based on new data representation using third-order tensor. This data representation involves the use of multilinear algebra tools. The proposed methods are referred to as multiway or multimodal methods. TUCKER tensor decompositionbased methods jointly analyze the spatial and spectral modes using an alternating least squares algorithm. This thesis focus on two problematics specific to hyperspectral images. The first one concerns noise reduction. The considered additive noise is due to the acquisition system and degrades the target detection efficiency. A robust to noise detection technique is proposed by incorporating a multimodal Wiener filter. The spatial and spectral n-mode filters are estimated by minimizing the mean squared error between the desired and estimated tensors. The second problematic is the spectral dimension reduction. The curse of the dimensionality degrades the statistical estimation for the classification process. For this issue, the proposed multimodal reduction method reduces the spectral mode by linear transformation jointly to the lower spatial ranks approximation. This method extends the traditional dimension reduction methods. These two multimodal methods are respectively assessed in respect to their impact on detection and classification efficiency. These results highlight the interest of the spatial/spectral analysis in comparison to the traditional spectral analysis only and the hybrid ones which process sequentially the spectral and the spatial mode

Dans le cadre du traitement statistique du signal, la plupart des algorithmes couramment utilisés reposent sur l'utilisation de la matrice de covariance des signaux étudiés. En pratique, ce sont les versions adaptatives de ces traitements, obtenues en estimant la matrice de covariance à l'aide d'échantillons du signal, qui sont utilisés. Ces algorithmes présentent un inconvénient : ils peuvent nécessiter un nombre d'échantillons important pour obtenir de bons résultats. Lorsque la matrice de covariance possède une structure rang faible, le signal peut alors être décomposé en deux sous-espaces orthogonaux. Les projecteurs orthogonaux sur chacun de ces sous espaces peuvent alors être construits, permettant de développer des méthodes dites rang faible. Les versions adaptatives de ces méthodes atteignent des performances équivalentes à celles des traitements classiques tout en réduisant significativement le nombre d'échantillons nécessaire. Par ailleurs, l'accroissement de la taille des données ne fait que renforcer l'intérêt de ce type de méthode. Cependant, cet accroissement s'accompagne souvent d'un accroissement du nombre de dimensions du système. Deux types d'approches peuvent être envisagées pour traiter ces données : les méthodes vectorielles et les méthodes tensorielles. Les méthodes vectorielles consistent à mettre les données sous forme de vecteurs pour ensuite appliquer les traitements classiques. Cependant, lors de la mise sous forme de vecteur, la structure des données est perdue ce qui peut entraîner une dégradation des performances et/ou un manque de robustesse. Les méthodes tensorielles permettent d'éviter cet écueil. Dans ce cas, la structure est préservée en mettant les données sous forme de tenseurs, qui peuvent ensuite être traités à l'aide de l'algèbre multilinéaire. Ces méthodes sont plus complexes à utiliser puisqu'elles nécessitent d'adapter les algorithmes classiques à ce nouveau contexte. En particulier, l'extension des méthodes rang faible au cas tensoriel nécessite l'utilisation d'une décomposition tensorielle orthogonale. Le but de cette thèse est de proposer et d'étudier des algorithmes rang faible pour des modèles tensoriels. Les contributions de cette thèse se concentrent autour de trois axes. Un premier aspect concerne le calcul des performances théoriques d'un algorithme MUSIC tensoriel basé sur la Higher Order Singular Value Decomposition (HOSVD) et appliqué à un modèle de sources polarisées. La deuxième partie concerne le développement de filtres rang faible et de détecteurs rang faible dans un contexte tensoriel. Ce travail s'appuie sur une nouvelle définition de tenseur rang faible et sur une nouvelle décomposition tensorielle associée : l'Alternative Unfolding HOSVD (AU-HOSVD). La dernière partie de ce travail illustre l'intérêt de l'approche tensorielle basée sur l'AU-HOSVD, en appliquant ces algorithmes à configuration radar particulière: le Traitement Spatio-Temporel Adaptatif ou Space-Time Adaptive Process (STAP)
Most of statistical signal processing algorithms, are based on the use of signal covariance matrix. In practical cases this matrix is unknown and is estimated from samples. The adaptive versions of the algorithms can then be applied, replacing the actual covariance matrix by its estimate. These algorithms present a major drawback: they require a large number of samples in order to obtain good results. If the covariance matrix is low-rank structured, its eigenbasis may be separated in two orthogonal subspaces. Thanks to the LR approximation, orthogonal projectors onto theses subspaces may be used instead of the noise CM in processes, leading to low-rank algorithms. The adaptive versions of these algorithms achieve similar performance to classic classic ones with less samples. Furthermore, the current increase in the size of the data strengthens the relevance of this type of method. However, this increase may often be associated with an increase of the dimension of the system, leading to multidimensional samples. Such multidimensional data may be processed by two approaches: the vectorial one and the tensorial one. The vectorial approach consists in unfolding the data into vectors and applying the traditional algorithms. These operations are not lossless since they involve a loss of structure. Several issues may arise from this loss: decrease of performance and/or lack of robustness. The tensorial approach relies on multilinear algebra, which provides a good framework to exploit these data and preserve their structure information. In this context, data are represented as multidimensional arrays called tensor. Nevertheless, generalizing vectorial-based algorithms to the multilinear algebra framework is not a trivial task. In particular, the extension of low-rank algorithm to tensor context implies to choose a tensor decomposition in order to estimate the signal and noise subspaces. The purpose of this thesis is to derive and study tensor low-rank algorithms. This work is divided into three parts. The first part deals with the derivation of theoretical performance of a tensor MUSIC algorithm based on Higher Order Singular Value Decomposition (HOSVD) and its application to a polarized source model. The second part concerns the derivation of tensor low-rank filters and detectors in a general low-rank tensor context. This work is based on a new definition of tensor rank and a new orthogonal tensor decomposition : the Alternative Unfolding HOSVD (AU-HOSVD). In the last part, these algorithms are applied to a particular radar configuration : the Space-Time Adaptive Process (STAP). This application illustrates the interest of tensor approach and algorithms based on AU-HOSVD