Academic literature on the topic 'Modèles paramétriques (statistique)'

Cette thèse développe des méthodes de sélection de modèles pour l'application en Bio-stastistique. Dans la première partie, nous proposons une méthode et un programme de correction du niveau de signification d'un test lorsque plusieurs codages d'une variable explicative sont essayés. La deuxième partie de la thèse est consacrée au développement d'un critère d'information général permettant de sélectionner un estimateur parmi une famille d'estimateurs semi-paramétriques. Le critère que nous proposons est basé sur l'estimation par bootstrap de l'information de Kullback-Leibler. Enfin, la troisième partie présente un critère de sélection en présence des données incomplètes. Ce critère, construit sur l'espérance de la log-vraisemblance observée, permet en particulier de sélectionner le paramètre de lissage dans l'estimation lisse de la fonction de risque et de choisir entre des modèles stratifiés et des modèles à risques proportionnels.

La problématique abordée dans cette thèse est l'estimation non paramétrique des modèles conditionnels à variable explicative fonctionnelle en traitant deux cas : le cas où la variable réponse est réelle et le cas d'une variable réponse fonctionnelle. On établit la convergence uniforme presque complète d'estimateurs non paramétriques pour certains modèles conditionnels. Dans un premier temps, nous considérons une suite d'observation si. I. D. Et nous construisons des estimateurs par la méthode du noyau pour la fonction de régression généralisée, la fonction de répartition conditionnelle, la densité conditionnelle, la fonction de hasard conditionnelle et le mode conditionnel. Nous étudions la convergence uniforme presque complète de ces estimateurs en précisant leurs vitesses. A titre illustratif, nous donnons des exemples d'applications sur des données simulées. Dans un second temps, on généralise nos résultats au cas d'une variable réponse fonctionnelle (appartenant à un espace de Banach) et on estime la régression classique. Cette généralisation a été étudiée dans les deux cas : les observations i. I. D. Ainsi que le cas dépendant. Dans ce dernier, nous avons fixé comme objectif la convergence presque complète ponctuelle lorsque les observations sont Béta-mélangeantes. Nos résultats asymptotiques exploitent bien la structure topologique de l'espace fonctionnel de nos observations et le caractère fonctionnel de nos modèles. En effet, toutes nos vitesses de convergence sont quantifiées en fonction de la concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle, de l'entropie de Kolmogorov et du degré de régularité des modèles. Notons également que dans le cas où la variable réponse est aussi fonctionnelle, nos vitesses de convergence contiennent un terme additionnel qui dépend du type de l'espace de Banach de la variable réponse<br>In this thesis, we consider the problem of the nonparametric estimation in the conditional models when the regressor takes its values in infinite dimension space. More precisely, we treated two cases when the response variable is real and functional. One establishes almost complete uniform convergence of nonparametric estimators for certain conditional models. Firstly, we consider a sequence of i. I. D. Observations. In this context, we build kernel estimators of the conditional cumulative distribution, the conditional density, the conditional hazard function and the conditional mode. We give the uniform consistency rate of these estimators. We illustrate our results by giving an application on simulated samples. Secondly, we generalize our results when the response variable is in a Banach space. We estimate the regression function. In this context, we treat both cases : i. I. D and dependent observations. In the last case, we consider that the observations are Béta-mixing and we establishes almost complete pointwise convergence. Our asymptotic results exploit the topological structure of functional space for the observations. Let us note that all the rates of convergence are based on an hypothesis of concentration of the measure of probability of the functional variable on the small balls and also on the Kolmogorov’s entropy which measures the number of the balls necessary to cover some set. Moreover, when the response variable is functional the rate of convergence contains a new term which depends on type of Banach space

Le test du multiplicateur de Lagrange apparait comme un bon outil pour tester les modèles bilinéaires diagonaux d'ordre un. Nous l'utilisons pour discriminer entre modèles autorégressifs linéaires d'ordre un, et certains modèles bilinéaires sous-diagonaux d'ordre deux, pour lesquels nous donnons une condition nécessaire et suffisante d'inversibilité. Nous prouvons la contigüité de l'hypothèse nulle et d'une suite d'alternatives locales, ce qui nous permet, grâce au troisième lemme de le Cam, d'obtenir une expression explicite de la puissance théorique locale du test. Des simulations numériques de Monte Carlo montrent que cette puissance est bien estimée par la puissance expérimentale. Nous constatons d'autre part que ce test s'avère bon pour tester les types d'hypothèses considérées. Les tests paramétriques comme celui du multiplicateur de Lagrange, du fait qu'ils sont construits pour des modèles paramétriques spécifiques, peuvent manquer de robustesse ; d'ou l'intérêt des tests non-paramétriques. Les tests non-paramétriques pour tester la linéarité des modèles autorégressifs sont peu nombreux. Pour préparer des extensions à des modèles autorégressifs plus généraux, nous construisons sur un compact de l'ensemble des réels, deux tests non-paramétriques pour tester les modèles bilinéaires diagonaux d'ordre un, stationnaires, géométriquement alpha-mélangeant, et ayant des bruits a loi de densité fixée, inconnue et bornée. L'étude de la loi asymptotique des statistiques de test, sous l'hypothèse nulle, se fait au moyen de principes d'invariance faibles. Pour chacun de ces tests, en utilisant des inégalités maximales, nous exhibons un minorant de la puissance qui converge vers 1. Nous montrons que sous des alternatives locales, le risque de l'erreur de deuxième espèce peut être très proche de un. Lorsque le bruit est gaussien, des essais confirment ces résultats, et prouvent en même temps que sur l'exemple du modèle bilinéaire diagonal d'ordre un, le test du multiplicateur de Lagrange est meilleur que les deux tests non-paramétriques

Cette these s'articule autour de trois parties. Dans la premiere partie on applique les procedes classiques de l'estimation sans biais avec variance minimale a une loi parametrique exponentielle multidimensionnelle. On s'interesse plus particulierement aux estimateurs des fonctions de repartition dans diverses situations comme par exemple la censure de type ii. Dans la deuxieme partie on aborde la construction de tests d'ajustement du chi-deux. On propose une statistique de test pour le modele exponentiel evoque ci-dessus ; des simulations illustrent le comportement du test suivant que l'on privilegie les estimateurs du maximum de vraisemblance ou les estimateurs sans biais du minimum de variance. On construit une nouvelle statistique de type chi-deux pour des donnees groupees definies comme etant mal observees. Apres avoir obtenu le comportement asymptotique de la statistique dans le cadre d'une hypothese simple, on en donne une illustration par des simulations et on generalise ces resultats au cas d'hypotheses composites. Cette partie s'acheve par une remarque sur la correction de continuite. Dans la derniere partie de cette these, apres avoir decrit plusieurs modeles semi-parametriques de vie acceleree permettant la prise en compte de variables explicatives et generalisant les modeles classiques de l'analyse de survie, on montre comment obtenir des estimateurs des fonctions de survie associees a un modele dit additif ; enfin, par les techniques mathematiques liees aux processus de comptage on obtient des resultats asymptotiques quant aux comportements des estimateurs, dans le cadre de durees de vie censurees a droite et stratifiees

Une prise de conscience grandissante, par l'opinion publique, et le besoin pour une meilleure compréhension des problèmes touchant à l'environnement constituent une motivation pour concevoir des techniques d'estimation pour les champs aléatoires spatiaux concernés. Cette dissertation est consacrée à l'estimation de l'une de leurs caractéristiques principales, la structure de corrélation. Pour des problèmes faisant intervenir la nature et l'environnement, les hypothèses simplificatrices d'homogénéité et d'isotropie des champs étudiés, ne sont généralement pas vérifiées sur tout le domaine de définition. Par conséquent, la procédure proposée, appelée MCM, est non-paramétrique et ne nécessite aucune hypothèse, ou définition d'un modèle postule à priori, pour la structure de corrélation à estimer. A partir de séries chronologiques synchronisées, enregistrées aux points d'échantillonnage situes dans l'espace géographique G, l'idée principale de MCM est de construire un espace, appelé espace de corrélation C, et une application F de G dans C, tels que les distances, dans C, entre images par F de points d'échantillonnage soient fonctionnellement liées aux coefficients de corrélation des échantillons. Les deux techniques principales utilisées par MCM sont la construction d'échelles multidimensionnelles (MDS) et l'interpolation à l'aide de surfaces-spline. Trois types de résultats différents peuvent être obtenus par MCM: des coefficients de corrélation, des covariances ou des dispersions spatiales. La procédure proposée est appliquée à une série d'études de cas mettant en jeu plusieurs configurations de points d'échantillonnage, et plusieurs structures de corrélation, pas nécessairement homogènes et isotropes. Les résultats des tests sont très satisfaisants et démontrent l'adaptabilité de la méthode. MCM est utilisée dans le cadre d'une étude d'enregistrements de mouvements sismiques du sol. Dans ce contexte, une procédure d'estimation des retards est également développée, pour supprimer l'effet de la propagation et obtenir des mouvements alignés. Pour la simulation, les deux méthodes peuvent être combinées, en commençant par générer des séries chronologiques satisfaisant une structure de corrélation estimée par MCM, et en appliquant ensuite des retards a ces mouvements pour tenir compte de la propagation des ondes

Cette thèse est consacrée au problème d'estimation de la fonction de dérive de certains modèles de processus stochastiques périodiques lorsque la durée d'observation tend vers l'infini. Aucune hypothèse de récurrence n'est posée a priori.Dans un premier temps nous considérons le modèle du type signal plus bruit dζt = f (t, θ)dt + σ(t)dWt,; et puis nous étudions l'estimation du paramètre θ à partir d'une observation continue et puis d'une observation discrète du processus {ζt} sur l'intervalle [0; T]. Les fonctions f (·, ·) et σ(·) sont continues et périodiques en t de même période P &gt; 0, σ(·) &gt; 0 et θ ∈ Θ ⊂R. Nous établissons la convergence en probabilité d'un estimateur du maximum de vraisemblance θˆT , sa normalité asymptotique et son efficacité asymptotique minimax. Lorsque f (t, θ) = θf (t), l'expression de θˆT est explicite et nous obtenons la convergence en moyenne quadratique aussi bien pour le cas d'une observation continue que pour le cas d'une observation discrète. De plus, nous déduisons la convergence presque sûre dans le cas d'une observation continue.Dans la seconde partie nous traitons l'estimation non-paramétrique de la fonction f(_) pour les modèles périodiques du type signal plus bruit et du type Ornstein-Uhlenbeck donnés par dζt = f (t)dt + σ(t)dWt, dξt = f (t)ξtdt + dWt. Pour le premier modèle, un estimateur à noyau périodique est construit, la convergence en moyenne quadratique uniformément sur [0; P] et presque sûre de cet estimateur est établie ainsi que sa normalité asymptotique. Dans le cas du modèle d'Ornstein-Uhlenbeck, la convergence du biais ainsi que la convergence en moyenne quadratique uniformément sur [0; P] sont prouvées, et leurs vitesses de convergence sont étudiées<br>In this thesis, we consider a drift estimation problem of a certain class of stochastic periodic processes when the length of observation goes to infinity. Firstly, we deal with the linear periodic signal plus noise model dζt = f (t, θ)dt + σ(t)dWt, ;and we study the parametric estimation from a continuous and discrete observation of the process f_tg throughout the interval [0; T]. Using the maximum likelihood method we show the existence of an estimator θˆT which is consistent, asymptotically normal and asymptotically efficient in the sens minimax. When f(t; _) = _f(t), the expression of ^_T is explicit and we obtain the mean square convergence in the both continuous and discrete observation cases. In addition, we deduce the strong consistency in the case of continuous observation.Secondly, we consider the nonparametric estimation problem of the function f(_) for the next two periodic models of type signal plus noise and Ornstein-Uhlenbeckd_t = f(t)dt + _(t)dWt; d_t = f(t)_tdt + dWt:For the signal plus noise model, we build a kernel estimator, the convergence in mean square uniformly over [0; P] and almost sure convergence are established, as well as the asymptotic normality. For the Ornstein-Uhlenbeck model, we prove the convergence uniformly over [0; P] of the bias and the mean square convergence. Moreover, we study the speed of these convergences

Dans cette thèse, j'étudie les propriétés théoriques des modèles de Markov cachés non paramétriques. Le choix de modèles non paramétriques permet d'éviter les pertes de performance liées à un mauvais choix de paramétrisation, d'où un récent intérêt dans les applications. Dans une première partie, je m'intéresse à l'estimation du nombre d'états cachés. J'y introduis deux estimateurs consistants : le premier fondé sur un critère des moindres carrés pénalisés, le second sur une méthode spectrale. Une fois l'ordre connu, il est possible d'estimer les autres paramètres. Dans une deuxième partie, je considère deux estimateurs adaptatifs des lois d'émission, c'est-à-dire capables de s'adapter à leur régularité. Contrairement aux méthodes existantes, ces estimateurs s'adaptent à la régularité de chaque loi au lieu de s'adapter seulement à la pire régularité. Dans une troisième partie, je me place dans le cadre mal spécifié, c'est-à-dire lorsque les observations sont générées par une loi qui peut ne pas être un modèle de Markov caché. J'établis un contrôle de l'erreur de prédiction de l'estimateur du maximum de vraisemblance sous des conditions générales d'oubli et de mélange de la vraie loi. Enfin, j'introduis une variante non homogène des modèles de Markov cachés : les modèles de Markov cachés avec tendances, et montre la consistance de l'estimateur du maximum de vraisemblance<br>During my PhD, I have been interested in theoretical properties of nonparametric hidden Markov models. Nonparametric models avoid the loss of performance coming from an inappropriate choice of parametrization, hence a recent interest in applications. In a first part, I have been interested in estimating the number of hidden states. I introduce two consistent estimators: the first one is based on a penalized least squares criterion, and the second one on a spectral method. Once the order is known, it is possible to estimate the other parameters. In a second part, I consider two adaptive estimators of the emission distributions. Adaptivity means that their rate of convergence adapts to the regularity of the target distribution. Contrary to existing methods, these estimators adapt to the regularity of each distribution instead of only the worst regularity. The third part is focussed on the misspecified setting, that is when the observations may not come from a hidden Markov model. I control of the prediction error of the maximum likelihood estimator when the true distribution satisfies general forgetting and mixing assumptions. Finally, I introduce a nonhomogeneous variant of hidden Markov models : hidden Markov models with trends, and show that the maximum likelihood estimators of such models is consistent

Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier le problème de la modélisation non paramétrique lorsque les données statistiques sont des courbes. Plus précisément, nous nous intéressons à des problèmes de prévision à partir d'une variable explicative à valeurs dans un espace de dimension infinie, et nous cherchons à développer des alternatives à la méthode de régression. En effet, on suppose qu'on dispose d'une variable aléatoire réelle (réponse), notée Y, et d'une variable fonctionnelle (explicative), notée $$X$$. Le modèle non paramétrique utilisé pour étudier le lien entre X et Y concerne la distribution conditionnelle dont la fonction de répartition (resp. Densité), notée F (resp. F), est supposée appartenir à un espace fonctionnel approprié. Dans un premier temps, on considère une suite d'observations i. I. D. Dans ce contexte, nous construisons des estimateurs par la méthode du noyau pour la fonction de répartition conditionnelle, la densité conditionnelle et ses dérivées. On établit la vitesse de convergence presque complète de ces estimateurs. On déduit des estimateurs précédents ceux pour estimer le mode conditionnel et les quantiles conditionnels, pour lesquels, on donne la vitesse de convergence presque complète. Dans un second temps, nous supposons que les observations sont fortement mélangeantes et nous nous fixons comme objectif l'estimation du mode conditionnel. Nous étudions les propriétés asymptotiques de cet estimateur, en donnant l'expression de sa vitesse de convergence. Ce résultat peut être utilisé pour le problème de la prévision en série chronologique. Notre étude met en évidence le phénomène de concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle sur des petites boules. Plus précisément, des hypothèses portant sur les probabilités de petites boules nous permettent de proposer une solution originale au problème du fléau de la dimension et ainsi de généraliser à la dimension infinie de nombreux résultats asymptotiques existant dans le cas multivarié. De plus, en utilisant les nombreux résultats récents en théorie des probabilités sur les petites boules, on précise nos résultats pour de nombreux processus à temps continu. L'originalité de cette thèse est qu'elle aborde et développe aussi bien des aspects pratiques que théoriques. Nos méthodes sont appliquées à des données réelles de type spectrométrique ou de pollution<br>In this thesis, we study the problem of a nonparametric modelization when the data are curves. Indeed, we consider real random variable (named response variable) noted Y, and a functional variable (explanatory variable) noted X. The nonparametric model used to study the relation between X and Y is the conditional distribution function noted F which has a density f. Both F and f are supposed to belong to some suitable functional spaces. Firstly, we consider a sequence of i. I. D observations. In this context, we build kernel estimators of the conditional distribution function, the conditional density and its sucessive derivatives. We establish the almost complete convergence rate of these estimators. We use these results in order to study the conditional mode and the conditional quantiles and we give also the almost complete convergence rate of their estimators. Secondly , we suppose that the observations are strongly mixing and we focus on the estimate of the conditional mode. We quantify the asymptotic properties of this estimator, by giving the convergence rate. This result can be used to the prediction problem in functional time series. Our study highlights the phenomenon of concentration properties on small balls of the probability measure of the functional variable. More precisely, these ideas are used to give a statistical solution to curse of dimension and to generalize to infinite dimension many asymptotic results existing in the multivariate case. Moreover, by using recent results in the probability theory of small balls we can see that our results include many time continuous processes. .

Dans cette thèse, nous étudions des modèles semi-paramétriques dits de forme invariante. Ces modèles consistent en l'observation d'un nombre fixés de fonctions de régression identiques à un opérateur de déformation paramétriques près. Ce type de modèles trouve des applications dans les problèmes d'alignement de signaux continus (images 2D, rythmes biologiques, ...) ou discrets (electroencéphalogramme, ...). Pour différents groupes de déformations, nous proposons des M-estimateurs pour les paramètres caractérisant les opérateurs associés aux fonctions de régression. Ces estimateurs minimisent ou maximisent des fonctions de contraste, construites à partir de la moyenne synchronisée des transformées de Fourier des données. De plus, pour l'un des modèles étudiés, nous prouvons l'efficacité semi-paramétrique de cet estimateur ainsi défini, et nous proposons un test d'adéquation du modèle de forme invariante construit à partir d'une des fonctions de contraste.