Dissertations / Theses on the topic 'Métriques sur les graphes dynamiques'

La nature et les sociétés humaines offrent de nombreux exemples de systèmes composés d'entités qui interagissent, communiquent ou sont simplement connectées les unes aux autres. La théorie des graphes offre un excellent formalisme pour modéliser ces systèmes complexes, allant des réseaux sociaux aux systèmes biologiques. La plupart des phénomènes observés dans ces réseaux peuvent s'exprimer sous forme de propriétés sur les graphes. On peut notamment citer le phénomène du « petit monde » ou les réseaux dits « sans échelle ». Comprendre les mécanismes sous-jacents à leur évolution est essentiel pour saisir les dynamiques de ces réseaux. Différents mécanismes existent pour reproduire les propriétés observées. Parmi eux, on peut citer l'attachement préférentiel, utilisé notamment par le modèle de Barabasi-Albert (BA), qui permet de produire des séquences de graphes croissants sans échelle. Dans une direction parallèle, on peut également étendre le concept de graphe en y ajoutant une dimension temporelle. Dans ce cas, les propriétés statiques des graphes sont retravaillées pour tenir compte de l'évolution des graphes dans le temps. Par exemple, on peut citer la notion de trajet qui, semblable à celle de chemin, traduit la possibilité de se déplacer d'un sommet à un autre en respectant des contraintes temporelles. De même que dans le cas des réseaux complexes, la capacité à générer des graphes temporels est étudiée afin de produire des graphes aux propriétés spécifiques.On peut par exemple évoquer le modèle Edge-Markovian Graph, un processus stochastique permettant de produire des graphes et d’étudier des problèmes de communication. L'observation de ces mécanismes de génération donne naissance à la problématique de cette thèse, qui réside dans l'étude de processus itératifs de génération de graphes temporels. Lorsqu'un graphe est obtenu par itérations successives d'un tel mécanisme, on parle d'un graphe dynamique. Cette dénomination met en avant l'aspect itératif du processus pour produire une séquence ordonnée de graphes. Une question nous a particulièrement intéressés dans le cadre de ce travail : que se passe-t-il lorsqu’un générateur n'est soumis à aucune contrainte, notamment en ce qui concerne l'évolution du nombre de sommets au fil du temps ? Cette situation soulève deux problématiques : la possibilité qu'un processus conduise à des graphes périodiques au-delà d'un certain moment et la quantification des changements entre deux étapes consécutives du processus. Pour répondre à ces interrogations, nous avons introduit deux métriques.La première, que nous avons appelé sustainability, et que l'on peut traduire par pérennité, est une mesure qualitative : un générateur est dit sustainable s'il produit des graphes qui ne deviennent ni vides ni périodiques. La seconde métrique, le DynamicScore, quantifie les changements entre deux instants successifs, à la fois au niveau des sommets (V-DynamicScore) et des arêtes (E-DynamicScore). Pour démontrer la pertinence de la notion de pérennité, nous avons défini et étudié un générateur de graphes mettant en évidence les nombreux défis rencontrés lors de l'exploration de cette notion. En ce qui concerne le DynamicScore, nous l'avons testé sur divers générateurs ainsi que sur des données réelles, démontrant sa capacité à capturer la dynamique d’un réseau, qu’il soit artificiel ou réel. L’étude de ces deux concepts a ouvert la voie à de nombreuses nouvelles questions et renforcé les liens entre l’analyse des réseaux complexes et la théorie des graphes temporels
In this thesis, we investigate iterative processes producing a flow of graphs. These processes findapplications both in complex networks and time-varying graphs. Starting from an initial configurationcalled a seed, these processes produce a continuous flow of graphs. A key question arises when theseprocesses impose no constraints on the size of the generated graphs: under what conditions can we ensurethat the graphs do not become empty? And how can we account for the changes between successive stepsof the process? To address the first question, we introduced the concept of sustainability, which verifieswhether an iterative process is likely to produce graphs with periodic behaviors. We defined and studied agraph generator that highlights the many challenges encountered when exploring this notion. Regardingthe second question, we designed a metric to quantify the changes occurring between two consecutive stepsof the process. This metric was tested on various generators as well as on real-world data, demonstratingits ability to capture the dynamics of a network, whether artificial or real. The study of these two conceptshas opened the door to many new questions and strengthened the connections between complex networkanalysis and temporal graph theory

Cette thèse concerne l'étude des graphes quantiques, c'est à dire, des systèmes quantiques dans lesquels une particule non relativiste est confinée sur un graphe. Nous proposons une nouvelle voie pour représenter des conditions aux limites, et à l'aide de ce résultat nous résolvons le problème, resté longtemps ouvert, d'approximation par des graphes réguliers de tous les couplages singuliers aux sommets dans un graphe quantique. Nous présentons une construction dans laquelle les arêtes sont disjointes et les paires d'extrémités ainsi obtenues sont raccordés par des arêtes additionnelles de longueur 2d. Chacune de ces arêtes porte un potentiel delta et un potentiel vectoriel . Nous montrons que lorsque d tend vers zéro et les potentiels dépendent convenablement de d, la limite peut produire tout couplage singulier de sommets requis. Ce type de conditions aux limites est utilisé pour examiner les propriétés de diffusion par des sommets singuliers de degré 3. Nous montrons que les couplages entre chaque paire de lignes issues du sommet sont réglables individuellement ce qui pourrait permettre la conception de filtre quantique de type "aiguillage spectral". Nous étudions aussi les opérateurs de Schrödinger sur un graphe infini en forme de chaîne composée de cercles identiques couplés aux points de contact par les interactions. delta Si le graphe est périodique, l'hamiltonien a un spectre de bande. Nous considérons une déformation "courbée" de la chaîne qui consiste en un changement de la position du point de contact entre deux cercles. On montre que cette déformation a pour conséquence la naissance de valeurs propres et analyse leur dépendance par rapport à l"angle de courbature".

Cette thèse concerne l'étude des graphes quantiques, c'est à dire, des systèmes quantiques dans lesquels une particule non relativiste est confinée sur un graphe. Nous proposons une nouvelle voie pour représenter des conditions aux limites, et à l'aide de ce résultat nous résolvons le problème, resté longtemps ouvert, d'approximation par des graphes réguliers de tous les couplages singuliers aux sommets dans un graphe quantique. Nous présentons une construction dans laquelle les arêtes sont disjointes et les paires d'extrémités ainsi obtenues sont raccordés par des arêtes additionnelles de longueur 2d. Chacune de ces arêtes porte un potentiel delta et un potentiel vectoriel. Nous montrons que lorsque d tend vers zéro et les potentiels dépendent convenablement de d, la limite peut produire tout couplage singulier de sommets requis. Ce type de conditions aux limites est utilisé pour examiner les propriétés de diffusion par des sommets singuliers de degré 3. Nous montrons que les couplages entre chaque paire de lignes issues du sommet sont réglables individuellement ce qui pourrait permettre la conception de filtre quantique de type "aiguillage spectral". Nous étudions aussi les opérateurs de Schrödinger sur un graphe infini en forme de chaîne composée de cercles identiques couplés aux points de contact par les interactions. Delta Si le graphe est périodique, l'hamiltonien a un spectre de bande. Nous considérons une déformation "courbée" de la chaîne qui consiste en un changement de la position du point de contact entre deux cercles. On montre que cette déformation a pour conséquence la naissance de valeurs propres et analyse leur dépendance par rapport à l"angle de courbature"
This thesis is devoted to investigation of quantum graphs, in other words, quantum systems in which a nonrelativistic particle is confined to a graph. We propose a new way to represent the boundary conditions, and with the help of this result we solve the longstanding open problemof approximating by regular graphs all singular vertex couplings in quantum graph vertices. We present a construction in which the edges are disjunct and the pairs of the so obtained endpoints are joined by additional connecting edges of lengths 2d. Each connecting edge carries a delta potential and a vector potential. It is shown that when the lengths 2d of the connecting edges shrink to zero and the added potentials properly depend on d, the limit can yield any requested singular vertex coupling. This type of boundary conditions is used to examine scattering properties of singular vertices of degrees 2 and 3. We show thar the couplings between each pair of the outgoing edges are individually tunable, which could enable the design of quantum spectral junctions filters. We also study Schrödinger operators on an infinite quantum graph of a chain form which consists of identical rings connected at the touching points by delta-couplings. If the graph is periodic, the Hamiltonian has a band spectrum. We consid a "bending" deformation of the chain consisting in changing the position of the point of contact between two rings. We show that this deformation gives rive to eigenvalues and analyze their dependence on the "bending angle"

L'objet de ce mémoire est la présentation d'une méthodologie de dimensionnement des systèmes sur' des critères dynamiques et énergétiques. Un cahier des charges étant imposé et une structure choisie pour la chaîne d'actionnement, il s'agit de vérifier que les composants du système sont susceptibles de suivre les dynamiques imposées tout en respectant les contraintes de puissance. L'outil de modélisation adopté est le bond graph pour ses propriétés de représentation des transferts de puissance et des interconnexions entre les éléments d'un système. Les liens entre le dimensionnement et l'inversion des systèmes nous ont conduit à étudier les problèmes d'inversion d'abord par les méthodes classiques. Ensuite, nous proposons des critères d'étude de l'inversibilité et des procédures de construction des modèles inverses par une approche bond graph en utilisant le concept de bicausalité. Quelques analyses structurelles sur le modèle bond graph inverse sont menées en exploitant les propriétés des liens bicausaux. A partir de ces outils théoriques pour la représentation graphique des m9dèles inverses, nous présentons une méthode de vérification de l'adéquation d'un ensemble d'actionnement à des spécifications imposées par un cahier des charges en remontant des sorties de la chaîne aux entrées par étages successifs. L'illustration de la méthode est faite sur la validation des actionneurs d'un manipulateur deux axes et il est ainsi possible d'analyser les causes d'éventuelles saturations ou de détecter les composantes qui imposent les limitations aux performances du système
The purpose of this work is to present a methodology to validate the size of a system components for its proper operation based on dynamic and energetic criteria. If some specifications of a desired performance are given and a structure of actuator system is chosen, then the problem considered here is to check that components of the actuator system are able to follow the desired dynamic while satisfying the power constraints. The modelling tool adopted is bond graph for its property of representing power transfer and interconnections between elements of a system. The links between sizing problem and inverse system have led us to study the problem of system inversion firstly using classical theory. We then propose a bond graph based method for invertibility study and a procedure for construction of inverse bond graph using the concept of bicausality. Some structural anal y sis on the inverse bond graph are carried out by exploiting the properties of bicausal bonds. These theoretical tools and the graphic representation of inverse model then allow us to develop a method for verification of the appropriateness of an actuator system to some performance specifications by checking the proper operation of the system at each lev el from the output to the input. For illustration, the proposed method is applied to the validation of a two-link manipulator actuators and it is thus possible to analyse the causes of saturations and to detect components which impose limitations to the performance of the system

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation pour la commande des systèmes physiques à topologie variable. La modélisation du système physique non commandé, est effectuée par une formulation qui conserve explicitement la représentation de l’interconnexion et l’énergie, ce qui permettra l’étude des systèmes non-réguliers par une approche modulaire basée sur le concept de l’énergie. Le principal objectif est alors de représenter de manière structurée toutes les configurations du système, en terme de comportement physiquement possible. Les résultats présentés dans ce mémoire ont pour support un formalisme réseau dynamique pour lequel la théorie des graphes fournit plusieurs représentations mathématiques. Celles-ci permettent la formulation des structures d’interconnexion du système sous forme d’une famille paramétrée de Dirac. Une formulation Hamiltonienne à ports est donc établie à partir de cette expression pour les systèmes physiques à topologie variable incluant des sources d’énergie, des éléments en excès ou des éléments dissipatifs. Cette méthode de modélisation permet d’obtenir un modèle des dynamiques du système mais aussi de ces interconnexions. La représentation sous forme de graphes dynamiques facilite l’analyse des configurations admissibles et des configurations contraintes du système

Nous étudions les propriétés métriques locales des ensembles de niveau des applicationshorizontalement différentiables entre des groupes de Carnot, c'est-à-dire différentiable par rapport à la structure sous-riemannienne intrinsèque.Nous considérons des applications dont la différentielle horizontale est surjective,et notre étude peut être vue comme une généralisation du théorème des fonctions implicites pour les groupes de Carnot.Tout d'abord, nous présentons deux notions de tangence dans les groupes de Carnot:la première basée sur la condition de platitude au sens de Reifenberg et la deuxième issue de l'analyse convexe classique.Nous montrons que dans les deux cas, l'espace tangent à un ensemble de niveau coïncide avec le noyau de la différentielle horizontale.Nous montrons que cette condition de tangence caractérise en fait les ensembles de niveaudits ‘co-abéliens', c'est-à-dire ceux pour lesquels l'espace d'arrivée est abélien, et qu'une telle caractérisation n'est pas vraie en général.Ce résultat sur les espaces tangents a plusieurs conséquences remarquables.La plus importante est que la dimension de Hausdorff des ensembles de niveau est celle à laquelle l'on s'attend.Nous montrons également la connectivité locale des ensembles de niveau, et le fait que les ensembles de niveau de dimension 1 sont topologiquement des arcs simples.Pour les ensembles de niveau de dimension 1 nous trouvons une formule de l'aire qui permet d'exprimer la mesure de Hausdorff en termes d'intégrales de Stieltjes généralisées.Ensuite, nous menons une étude approfondie du cas particulier des ensembles de niveau dans les groupes d'Heisenberg.Nous montrons que les ensembles de niveau sont topologiquement équivalents à leurs espaces tangents.Il s'avère que la mesure de Hausdorff des ensembles de niveau de codimension élevée est souvent irrégulière, étant, par exemple, localement nulle ou infinie.Nous présentons une condition simple de régularité supplémentaire pour une application pour assurer la régularité au sens d'Ahlfors des ses ensembles de niveau.Parmi d'autres résultats, nous obtenons une nouvelle caractérisation généraledes graphes Lipschitziens associés à une décomposition en produit semi-direct d'un groupe de Carnot.Nous traitons, en particulier, le cas des groupes de Carnot dont le nombre de stratesest plus grand que $2$.Cette caractérisation nous permet de déduire une nouvelle caractérisation des ensemblesde niveau co-abéliens qui admettent une représentation en tant que graphe
Metric properties of level sets of differentiable maps on Carnot groupsAbstract.We investigate the local metric properties of level sets of mappings defined between Carnot groups that are horizontally differentiable, i.e.with respect to the intrinsic sub-Riemannian structure. We focus on level sets of mapping having a surjective differential,thus, our study can be seen as an extension of implicit function theorem for Carnot groups.First, we present two notions of tangency in Carnot groups: one based on Reifenberg's flatness condition and another coming from classical convex analysis.We show that for both notions, the tangents to level sets coincide with the kernels of horizontal differentials.Furthermore, we show that this kind of tangency characterizes the level sets called ``co-abelian'', i.e.for which the target space is abelian andthat such a characterization may fail in general.This tangency result has several remarkable consequences.The most important one is that the Hausdorff dimension of the level sets is the expected one. We also show the local connectivity of level sets and, the fact that level sets of dimension one are topologically simple arcs.Again for dimension one level set, we find an area formula that enables us to compute the Hausdorff measurein terms of generalized Stieltjes integrals.Next, we study deeply a particular case of level sets in Heisenberg groups. We show that the level sets in this case are topologically equivalent to their tangents.It turns out that the Hausdorff measure of high-codimensional level sets behaves wildly, for instance, it may be zero or infinite.We provide a simple sufficient extra regularity condition on mappings that insures Ahlfors regularity of level sets.Among other results, we obtain a new general characterization of Lipschitz graphs associated witha semi-direct splitting of a Carnot group of arbitrary step.We use this characterization to derive a new characterization of co-ablian level sets that can be represented as graphs

L'étude et l'introduction de nouveaux systèmes dynamiques
de type gradient sont l'objet central de cette thèse. Le
caractère dissipatif de telles dynamiques est au coeur de
nombreux domaines en mathématiques : optimisation,
mécanique, équations d'évolutions en dimension infinie.

Dans une première partie, les champs de gradients (ou de sous-différentiels
de fonction convexe) sont contrôlés à l'aide d'opérateurs-barrières.
La motivation essentielle est d'obtenir
des méthodes intérieures de descente en vue d'optimiser
une fonction sous des contraintes convexes. Le cadre
d'étude proposé permet d'unifier dans un même formalisme de nombreuses
méthodes continues : gradient projeté, plus grande pente riemannienne,
méthode continue de Newton... Parmi les conséquences de
la généralisation proposée, on peut, par exemple, évoquer des
résultats abstraits de viabilité et de convergence globale. Toujours
dans cette
perspective, les fonctions de Legendre jouent un rôle crucial~:
elles permettent d'une part de donner lieu à des structures
riemanniennes possédant de nombreuses propriétés - parmi lesquelles une
propriété d'intégration caractéristique remarquable -, et d'autre part,
elles fournissent en dimension infinie un cadre intéressant
pour l'étude de certaines équations d'évolution de type
parabolique.

La deuxième partie est consacrée à l'étude de systèmes
dynamiques du second ordre en temps avec une dissipation géométrique
de type hessien. Outre leur intérêt en optimisation
et leurs liens avec les méthodes de type Newton, ces systèmes
sont d'une grande souplesse et permettent d'approcher certains
phénomènes non-lisses en mécanique unilatérale. En guise d'application,
il est en effet prouvé que les systèmes considérés permettent
d'obtenir à la limite des dynamiques
satisfaisant des lois de chocs inélastiques. Les
perspectives de cette étude ouvrent en particulier la voie à une approche
alternative de certains systèmes d'inégalités variationnelles de type
hyperbolique.


L'une des préoccupations majeures de cette thèse est la question
de la convergence des orbites des systèmes étudiés. Dans le
cadre de la minimisation convexe, quasi-convexe, ou analytique, de nombreux
résultats sont proposés : convergence globale, ,
vitesse de convergence, contrôle asymptotique, attractivité des
minima sous contraintes en dimension infinie.

Un réseau d'automates à n composantes sur un alphabet fini Q est un système dynamique discret décrit par l'itération successive d'une fonction f : Qⁿ → Qⁿ. Dans la plupart des utilisations de ces réseaux, un paramètre important est le graphe d'interaction : un graphe sur les sommets de 1 à n ayant un arc de i vers j si f_ ј(x) dépend de x_i. Ce graphe d'interaction est en général plus facile à déterminer que la dynamique du réseau en elle-même, d'où découle une question importante : qu'est-ce que le graphe d'interaction nous apprend sur la dynamique du réseau ? Pour tenter de trouver des limites à cette question, on se pose ici la question inverse : que nous dit la dynamique sur le graphe d'interaction ? Pour cela, on étudie les réseaux à isomorphisme près. L'isomorphisme préserve la plupart des propriétés étudiées, mais ne préserve pas le graphe d'interaction. On va donc étudier G(f), l'ensemble des graphes d'interaction des réseaux isomorphes à f. On prouve notamment que K_n, le graphe d'interaction ayant tous les arcs, se trouve toujours dans G(f), qu'il est le seul à avoir cette propriété. Cela signifie que si K_n est le graphe d'interaction de f, il ne donne aucune information sur f à isomorphisme près. Réciproquement, on montre qu'il existe des réseaux f qui ne donnent aucune information sur leur graphe d'interaction : G(f) contient tous les graphes, sauf le graphe vide. Enfin, on étudie également l'impact de l'isomorphisme sur la dynamique asynchrone. On montre que celui-ci ne préserve que très peu de propriétés de ces dynamiques, hormis le nombre de points fixes
An automata network with n components on a finite alphabet Q is a discrete dynamical system described by successives iterations of a function f : Qⁿ → Qⁿ. An important parameter in most applications is the interaction graph: a graph with vertices from 1 to n and with an arc from i to j if f_j(x) depends on x_i. In general, this interaction graph is easier to approximate than the network's actual dynamic. This raises an important question: what does the interaction graph tell us about the network's dynamic? In an attempt to find limits to this question, we study the inverse: what does the network's dynamic tell us about its interaction graph? To this end, we study networks up to isomorphism. Isomorphism preserves most studied properties, but does not preserve the interaction graph. We will thus study G(f), the set of interaction graphs of all networks isomorphic to f. Notably, we prove that K_n, the interaction graph with all arcs, is always in G(f), and it's the only graph with this property. This means if K_n is the interaction graph of f, then it gives no information on f up to isomorphism. Inversely, we show there are networks f that give no information on their interaction graph: G(f) contains all graphs, except the empty one. Finally, we also study the impact of isomorphism on asynchronous dynamics. We show that it preserves very little properties of those dynamics, except the number of fixed points

Dans cette thèse, nous étudions l'interpolation réelle des espaces de Sobolev et ses applications. Le manuscrit est constitué de deux parties. Dans la première partie, nous démontrons au premier chapitre que les espaces de Sobolev non homogènes W^1_p (resp. homogènes ) sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré forment une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat à d'autres cadres géométriques. Dans un deuxième court chapitre, nous comparons différents espaces de Sobolev sur le cone Euclidien et nous regardons le lien de ces espaces avec l'interpolation. Nous montrons sur cet exemple que l'hypothèse de Poincaré n'est pas une condition nécessaire pour pouvoir interpoler les espaces de Sobolev. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous définissons les espaces de Sobolev non homog'nes W^1_p,V (resp. homogènes ) associés à un potentiel positif V sur une variété Riemannienne. Nous démontrons que si la variété véifie la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré et si de plus V est dans une classe de Holder inverse, ces espaces forment aussi une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat aux cas des groupes de Lie. Dans la deuxième partie, dans un premier chapitre en collaboration avec E. Russ, nous étudions sur un graphe vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré, la Lp bornitude de la transformée de Riesz pour p > 2 et son inégalité inverse pour p < 2. Pour notre but, nous démontrons aussi des résultats d'interpolation des espaces de Sobolev et des inégalités de Littlewood-Paley. Dans le deuxième chapitre, nous démontrons en utilisant notre résultat d'interpolation, des inégalités de Gagliardo-Nirenberg sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant le doublement, des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré. Ce résultat s'applique aussi dans le cadre des groupes de Lie et des graphes.

Les réseaux dynamiques sont constitués d’entités établissant des contacts les unes avec les autres dans le temps. Un défi majeur dans les réseaux dynamiques est de prédire les modèles de mobilité et de décider si l’évolution de la topologie satisfait aux exigences du succès d’un algorithme donné. Les types de dynamique résultant de ces réseaux sont variés en échelle et en nature. Par exemple,certains de ces réseaux restent connexes tout le temps; d’autres sont toujours déconnectés mais offrent toujours une sorte de connexité dans le temps et dans l’espace(connexité temporelle); d’autres sont connexes de manière récurrente, périodique,etc. Tous ces contextes peuvent être représentés sous forme de classes de graphes dynamiques correspondant à des conditions nécessaires et/ou suffisantes pour des problèmes ou algorithmes distribués donnés. Étant donné un graphe dynamique,une question naturelle est de savoir à quelles classes appartient ce graphe. Dans ce travail, nous apportons une contribution à l’automatisation de la classification de graphes dynamiques. Nous proposons des stratégies pour tester l’appartenance d’un graphe dynamique à une classe donnée et nous définissons un cadre générique pour le test de propriétés dans les graphes dynamiques. Nous explorons également le cas où aucune propriété sur le graphe n’est garantie, à travers l’étude du problème de maintien d’une forêt d’arbres couvrants dans un graphe dynamique
Dynamic networks consist of entities making contact over time with one another. A major challenge in dynamic networks is to predict mobility patterns and decide whether the evolution of the topology satisfies requirements for the successof a given algorithm. The types of dynamics resulting from these networks are varied in scale and nature. For instance, some of these networks remain connected at all times; others are always disconnected but still offer some kind of connectivity over time and space (temporal connectivity); others are recurrently connected,periodic, etc. All of these contexts can be represented as dynamic graph classes corresponding to necessary or sufficient conditions for given distributed problems or algorithms. Given a dynamic graph, a natural question to ask is to which of the classes this graph belongs. In this work we provide a contribution to the automation of dynamic graphs classification. We provide strategies for testing membership of a dynamic graph to a given class and a generic framework to test properties in dynamic graphs. We also attempt to understand what can still be done in a context where no property on the graph is guaranteed through the distributed problem of maintaining a spanning forest in highly dynamic graphs

Le travail présenté dans cette thèse concerne d'une part, l'étude qualitative d'ensembles et d'autre part, celui de l'étude de la stabilité d'un système dynamique. Les méthodes numériques proposées combinent le calcul par intervalles et la théorie des graphes.

De nombreux problèmes, comme l'étude de l'espace des configurations d'un robot, se ramènent à une étude qualitative d'ensembles. Ici, la ``taille'' de l'ensemble importe peu, ce qui compte, c'est sa ``topologie''. Les méthodes proposées calculent des invariants topologiques d'ensembles. Les ensembles considérés sont décrits à l'aide d'inégalités $\mathcal{C}^{\infty}$. L'idée maîtresse est de décomposer un ensemble donné en parties contractiles et d'utiliser l'homologie de \v Cech.

La seconde partie de la thèse concerne l'étude de point
asymptotiquement stables des systèmes dynamiques (linéaires ou non). Plus largement, on propose une méthode pour approcher le bassin d'attraction d'un point asymptotiquement stable. Dans un premier temps, on utilise la théorie de Lyapunov et le calcul par intervalle
pour trouver effectivement un voisinage inclus dans le bassin d'attraction d'un point prouvé asymptotiquement stable. Puis, on combine, une fois de plus, la théorie des graphes et les méthodes d'intégration d'équations différentielles ordinaires pour améliorer ce voisinage et ainsi construire un ensemble inclus dans le bassin
d'attraction de ce point.

Le développement d'infrastructures linéaires de transport conduit, à toutes les échelles, à une artificialisation du territoire et au morcellement du milieu naturel. La fragmentation du paysage est un processus spatial qui s'accompagne d'une diminution progressive de la connectivité entre les différents éléments nécessaires au bon déroulement des processus écologiques. Ainsi, le maintien d'un bon niveau de connectivité entre les habitats naturels, s'il est compatible avec les activités humaines, est devenu un enjeu majeur pour la préservation de la biodiversité. En mobilisant des méthodes empruntées à la théorie des graphes et à l'écologie du paysage, la thèse cherche à démontrer l'intérêt de la modélisation des réseaux écologiques par les graphes paysagers, dans l'analyse des impacts des infrastructures à l'échelle régionale. Cette démarche, fondée sur la modélisation, a permis de démontrer l'influence du réseau écologique du chevreuil dans la localisation des collisions entre les individus de cette espèce et les véhicules empruntant le réseau de la DIR est en Franche-Comté. Le travail a également permis de proposer un cadre méthodologique pour localiser l'impact potentiel de la branche est de la LGV Rhin-Rhône sur la distribution d'une espèce, et estimer la distance de perturbation de cette infrastructure. Enfin, deux démarches sont proposées pour évaluer quantitativement et hiérarchiser des aménagements afin d'éviter ou d'atténuer ces impacts. Les résultats montrent la pertinence de l'intégration des réseaux écologiques dans les études d'impacts des infrastructures de transport.

Les problèmes d'optimisation continue sont nombreux, en économie, en traitement de signal, en réseaux de neurones, etc. L'une des solutions les plus connues et les plus employées est l'algorithme évolutionnaire, métaheuristique basée sur les théories de l'évolution qui emprunte des mécanismes stochastiques et qui a surtout montré de bonnes performances dans la résolution des problèmes d'optimisation continue. L’utilisation de cette famille d'algorithmes est très populaire, malgré les nombreuses difficultés qui peuvent être rencontrées lors de leur conception. En effet, ces algorithmes ont plusieurs paramètres à régler et plusieurs opérateurs à fixer en fonction des problèmes à résoudre. Dans la littérature, on trouve pléthore d'opérateurs décrits, et il devient compliqué pour l'utilisateur de savoir lesquels sélectionner afin d'avoir le meilleur résultat possible. Dans ce contexte, cette thèse avait pour objectif principal de proposer des méthodes permettant de remédier à ces problèmes sans pour autant détériorer les performances de ces algorithmes. Ainsi nous proposons deux algorithmes :- une méthode basée sur le maximum a posteriori qui utilise les probabilités de diversité afin de sélectionner les opérateurs à appliquer, et qui remet ce choix régulièrement en jeu,- une méthode basée sur un graphe dynamique d'opérateurs représentant les probabilités de passages entre les opérateurs, et en s'appuyant sur un modèle de la fonction objectif construit par un réseau de neurones pour mettre régulièrement à jour ces probabilités. Ces deux méthodes sont détaillées, ainsi qu'analysées via un benchmark d'optimisation continue
The problems of continuous optimization are numerous, in economics, in signal processing, in neural networks, and so on. One of the best-known and most widely used solutions is the evolutionary algorithm, a metaheuristic algorithm based on evolutionary theories that borrows stochastic mechanisms and has shown good performance in solving problems of continuous optimization. The use of this family of algorithms is very popular, despite the many difficulties that can be encountered in their design. Indeed, these algorithms have several parameters to adjust and a lot of operators to set according to the problems to solve. In the literature, we find a plethora of operators described, and it becomes complicated for the user to know which one to select in order to have the best possible result. In this context, this thesis has the main objective to propose methods to solve the problems raised without deteriorating the performance of these algorithms. Thus we propose two algorithms:- a method based on the maximum a posteriori that uses diversity probabilities for the operators to apply, and which puts this choice regularly in play,- a method based on a dynamic graph of operators representing the probabilities of transitions between operators, and relying on a model of the objective function built by a neural network to regularly update these probabilities. These two methods are detailed, as well as analyzed via a continuous optimization benchmark

Le sujet de cette thèse concerne l'étude de l'influence des incertitudes paramétriques et structurelles sur le comportement d’un SDNE de 1ière espèce défini par l’association d’une fractance et d’un élément I (au sens bond-graph), et ce quel que soit le domaine de la Physique. Le mémoire de thèse comporte deux parties. La première, composée de trois chapitres, présente un caractère théorique et méthodologique, elle s’inscrit dans le cadre de la théorie des systèmes. La seconde comporte deux chapitres qui présentent un caractère applicatif, l’objectif étant d’illustrer dans les domaines de la mécanique et de l’électronique la démarche présentée dans la première partie
The objective of this thesis is to study the effects of the parametric and structural uncertainties on the behavior of the 1st order fractional dynamic systems. Such systems are defined by the alliance of a fractance and an inductance and can be applied in any physical domain.So, this thesis is divided into two parts. The first part regroups the first three chapters and presents a theoretical and methodological approach for this study whereas the second part contains the remaining two chapters. These chapters represent the applications of the previously shown theory in the mechanical domain (hydropneumatic suspension) and in the electrical domain

Le cerveau est un réseau complexe et nous savons que les mécanismes de synchronisation et de désynchronisation sont essentiels pour effectuer des taches motrices et cognitives. De nos jours, les interactions fonctionnelles cérébrales sont étudiées dans des applications d'interface cerveau-ordinateur (BCI) avec de plus en plus d'intérêt. Cela pourrait avoir un fort impact sur les systèmes BCI, généralement bases sur des caractéristiques univariées qui caractérisent séparément les activités régionales du cerveau. En effet, les fonctionnalités de connectivité cérébrale peuvent être utilisées pour développer des BCI alternatifs dans le but d'améliorer les performances et d'\'e9tendre leur applicabilité dans la vie r\'e9elle. L'ambition de cette thèse est l'étude des réseaux de connectivité fonctionnelle du cerveau lors de taches BCI basées sur l'imagerie motrice (IM). Il vise à identifier le fonctionnement cérébral complexe, les processus de réorganisation et les dynamiques variant dans le temps à la fois au niveau du groupe et de l'individu. Cette thèse présente différents développements qui enrichissent séquentiellement un modèle initialement simple afin d'obtenir une méthode robuste pour l'étude des réseaux de connectivité fonctionnelle. Les résultats expérimentaux sur des données EEG simulées et réelles enregistrés pendant les taches BCI prouvent que notre méthode proposée explique bien le comportement variegate des données EEG cérébrales. Plus précisément, il fournit une caractérisation des mécanismes fonctionnels du cerveau au niveau du groupe, ainsi qu'une mesure de la séparabilité des conditions mentales au niveau individuel. Nous présentons également une procédure de réduction du bruit de graphe pour filtrer les données qui préservent simultanément la structure de connectivité du graphe et améliorent le rapport signal sur bruit. Puisque l'utilisation d'un système BCI nécessite une interaction dynamique entre l'utilisateur et la machine, nous proposons enfin une méthode pour capturer l'évolution des données variant dans le temps. Essentiellement, cette thèse présente un nouveau cadre pour saisir la complexité de la connectivité fonctionnelle des graphes lors de tâches cognitives
The brain is a complex network and we know that inter-areal synchronization and de-synchronization mechanisms are crucial to perform motor and cognitive tasks. Nowadays, brain functional interactions are studied in brain-computer interface BCI) applications with more and more interest. This might have strong impact on BCI systems, typically based on univariate features which separately characterize brain regional activities. Indeed, brain connectivity features can be used to develop alternative BCIs in an effort to improve performance and to extend their real-life applicability. The ambition of this thesis is the investigation of brain functional connectivity networks during motor imagery (MI)-based BCI tasks. It aims to identify complex brain functioning, re-organization processes and time-varying dynamics, at both group and individual level. This thesis presents different developments that sequentially enrich an initially simple model in order to obtain a robust method for the study of functional connectivity networks. Experimental results on simulated and real EEG data recorded during BCI tasks prove that our proposed method well explains the variegate behaviour of brain EEG data. Specifically, it provides a characterization of brain functional mechanisms at group level, together with a measure of the separability of mental conditions at individual level. We also present a graph denoising procedure to filter data which simultaneously preserve the graph connectivity structure and enhance the signal-to-noise ratio. Since the use of a BCI system requires a dynamic interaction between user and machine, we finally propose a method to capture the evolution of time-varying data. In essence, this thesis presents a novel framework to grasp the complexity of graph functional connectivity during cognitive tasks