Dissertations / Theses on the topic 'MATEMATICA PER LE DECISIONI ECONOMICHE'

1998/1999
I fondi e pensione si dividono tipicamente in fondi pensione a contributo definito e fondi pensione a beneficio definito. La principale differenza tra le due tipologie è il modo in cui viene trattato il rischio finanziario. Nei fondi pensione a contributo definito il tasso di contribuzione è definito nel regolamento del fondo (solitamente come una percentuale della retribuzione) e il livello di pensione ricevuta ali' entrata in quiescenza dipende dal rendimento ottenuto dagli investimenti effettuati durante il periodo di partecipazione al fondo. ll lavoratore conosce esattamente in anticipo quanto dovrà versare nel fondo, ma non conosce l'ammontare della pensione che riceverà una volta pensionato. Quindi, il rischio finanziario è a carico del lavoratore nei fondi pensione a contributo definito. Nei fondi pensione a beneficio definito (detti anche a prestazione definita) è invece la pensione finale a essere definita nel regolamento del fondo pensione e il contributo adeguato da versare al fondo è calcolato e quindi 'aggiustato'' volta per volta dall'attuario in funzione sia dei tassi di rendimento ottenuti nel mercato finanziario sia dal beneficio garantito al momento del pensionamento. La maggior parte dei fondi pensione a beneficio definito è per lavoratori dipendenti e solitamente il lavoratore paga una percentuale fissa di salario (p.e. il 5%) mentre il datore di lavoro paga la parte rimanente (e ovviamente aleatoria) del contributo dovuto. In particolare, se la performance degli investimenti è stata troppo bassa il datore di lavoro pagherà un alto tasso· di contribuzione, se è stata più alta del previsto pagherà un contributo basso o addirittura smetterà di pagare per un certo tempo (dando luogo alla cosiddetta 'contribution holiday', letteralmente ''vacanza dalla contribuzione'). TI lavoratore conosce esattamente in anticipo quanto dovrà versare nel fondo e anche il livello di pensione che riceverà al pensionamento, mentre il datore di lavoro non sa quanto dovrà pagare per fare fronte al debito. In altre parole, è il datore di lavoro a farsi carico del rischio finanziario nei fondi pensione a prestazione definita. Riassumendo, la principale differenza tra fondi pensione a contributo e a beneficio definito è che in questi ultimi il rischio finanziario è a carico del datore di lavoro, mentre nei fondi a contributo definito è a carico del lavoratore, che non conosce in anticipo il livello di pensione che percepirà, essendo questo strettamente legato alla performance finanziaria del fondo durante gli anni di partecipazione ad esso. Nella tesi viene considerato il problema del rischio finanziario nei fondi pensione a contributo definito. La scelta di analizzare fondi a contributo definito è dovuta essenzialmente a due ragioni. La prima è il passaggio che nella maggioranza dei paesi industrializzati sta attualmente avendo luogo da fondi pensione a beneficio definito a fondi pensione a contributo definito (passaggio dovuto ai costi non preventivabili e spesso non sostenibili del finanziamento della pensione): è probabile che nelle prossime 2-3 decadi in Europa i fondi pensione a beneficio definito diventino molto rari. La seconda ragione è che in Italia i fondi pensione per lavoratori dipendenti devono essere a contributo definito per legge. Al giorno d'oggi sembra quindi di maggior interesse, e specialmente in Italia, analizzare i problemi relativi a questa tipologia di fondi pensione. In una prima parte della tesi il problema sopra menzionato viene introdotto e viene fatta una panoramica della letteratura esistente su questo tema. Viene analizzata anche letteratura relativa alla programmazione dinamica applicata a problemi attuariali e alla selezione di portafoglio. In un seconda parte si costruisce un modello, si formula un problema e lo si risolve usando gli strumenti matematici della programmazione dinamica stocastica. Si definisce un fondo pensione a contributo definito in un mondo a tempo discreto e con due titoli (ad alto e basso rischio), si ricava l'equazione che dà la crescita del fondo - ipotizzando rendimenti lognormali- e viene formulato il seguente problema: qual è l'allocazione ottimale del fondo ogni anno che minimizzi le deviazioni dell'effettivo fondo da un target finale e qualche target annuale.
Pension schemes are usually divided into two groups: defined benefit and defined contribution schemes. The main difference between these two groups is the way the financial risk is treated. In defined contribution pension schemes the contribution rate is defined in the scheme's rules ( usually as a percentage of the salary) and the leve l .of the pension achieved a t retirement depends · on the performance of the investment retums achieved during the membership. That is, the member knows exactly in advance ·how much he/she will pay in the fund, but does not know the amount of pension he/she will receive at retirement Therefore, the member bears the financial risk in defined contribution pension schemes. In defined benefit pension schemes the final pension is defined in the scheme's rules (usually as a percentage of the final salary) and the contribution rate is adjusted regularly by the actuary depending on the experienced retums and on the final pension guaranteed at retirement. Most defined benefit pension schemes are occupational and usually the member pays the same fixed percentage (eg 5% ofthe salary) while the.employer pays the remaining (and aleatory) part ofthe adjusted contribution rate. In particular, if the investment performance is too low the employer will pay a high contribution rate, if it is higher than expected will pay a low contribution rate or even will not pay for a while ( contribution ho li day). The member knows exactly in advance how much he/she will pay and al so the leve l of pension received at retirement, whereas the employer does not know how much he/she will pay in orderto match the liability. In other words, the employer bears the finanèial risk in defined benefit pension schemes. Summarising, the main difference between defined benefit and defined contribution pension schemes is that in defined benefit the financial risk is ·bome by the employer, whereas' in defined contribution it ·i s bome by the member who does not know in advance the amount of pension, the latter being strongly linked to the investment performance during membership. In the thesis the problem offinancial risk in defined contribution.pension.schemes is considered. The choice of considering a defined contribution pension scheme is due mainly to two reasons. The first one is the increasing switching in most developed countries from defined benefit to defined contribution pension schemes (due to the unpredictable cost of providing pension for the employer): it is likely that in Europe in the next 2-3 decades defined benefit pension schemes will be very rare. The second one is that in Italy the occupational pension schemes have to be "defined contribution" by law. Therefore it seems to be of more interest nowadays, and especially in Italy, to· analyse problems related to this kind of pension schemes. In a first part the mentioned problem is introduced and a panorama of the existing literature about this theme is exposed. Literature has also been explored which deals with dynamic programming applied to actuarial problems and portfolio selection. In a second part a mode l is constructed, a problem is formulated. and solved using the 'mathematical tools of the dynamic stochastic programming. A defined contribution pension scheme is introduced. in a two-asset ·(low-risk and · high-risk ), discrete-time world, the equation of the fund growth of the member is derived ·- allowing. for lognormal retums - and the following problem is defined: what is the optimal investment allocation of the fund every year which .minimises the deviations of the actual fund from some final. and interim targets, reasonably chosen? This problem seems to be consistent with·the real investment
XII Ciclo
1970
Versione digitalizzata della tesi di dottorato cartacea.

2002/2003
In questo lavoro consideriamo un modello stocastico per le scelte ottime di portafoglio del gestore di un fondo pensione a contributo definito. L'obiettivo del gestore sarà massimizzare l'utilità attesa della ricchezza finale del fondo stesso, cioè la ricchezza accumulata da un contribuente rappresentativo prima del suo pensionamento. Il modello classico di ottimizzazione dinamica, proposto inizialmente da Merton (1969, 1971), considera un mercato caratterizzato da una struttura piatta dei tassi di interesse. Tuttavia il problema dell'allocazione ottima delle risorse per un fondo pensione interessa intervalli di tempo relativamente lunghi, generalmente dai 20 ai 40 anni. Pertanto l'ipotesi di tassi di interesse costanti non risulta del tutto coerente con l'obiettivo del nostro studio. Per la stessa ragione, sembra opportuno introdurre nel modello di valutazione anche il rischio inflativo. A sostegno di questa ipotesi, come risulta da dati del Chicago Mercantile Exchange, alcuni tra i principali fondi pensione negli Stati Uniti attualmente investono dal 5 al 10 per cento del loro portafoglio in strumenti finanziari indicizzati all'inflazione. Inoltre, al fine di valutare i benefici associati ad un piano previdenziale, il gestore di un fondo pensioni si trova a dover considerare non solo rischi legati al mercato finanziario, ma anche altre variabili "esterne" al mercato stesso, per esempio legate al mercato del lavoro. Alla luce di quanto osservato finora, rispetto al modello classico di Merton includeremo nel problema di scelta ottima di portafoglio: (i) un processo stocastico per il tasso di interesse, (ii) il rischio inflativo, attraverso un processo stocastico che definisce l'indice dei prezzi al consumo e (iii) il "rischio salariale", attraverso un processo stocastico per i contributi. In particolare, metteremo ampiamente in evidenza come l'introduzione di flussi di cassa diversi da quelli legati al mercato finanziario (nel nostro caso i contributi) comporti notevoli ostacoli nella risoluzione del problema di ottimizzazione del portafoglio. Per risolvere il problema della scelta ottima di portafoglio di un fondo pensione seguiremo la teoria del controllo ottimo stocastico. Approcci alternativi (Deelstra e al., 2003, e Lioui e Poncet, 2001) sono basati sul "metodo della martingala" inizialmente introdotto da Cox e Huang (1989, 1991), i quali ottengono un'equazione alle derivate parziali (PDE) generalmente più semplice da risolvere di quella che si ottiene nella programmazione dinamica. Tuttavia, quando viene introdotto un processo stocastico per i salari, non è più possibile applicare direttamente tale metodologia. Nel primo capitolo della tesi presentiamo una rassegna degli strumenti matematici necessari per un'analisi formale dei modelli di allocazione ottima delle risorse in tempo continuo. Il Capitolo 2 introduce e descrive in fasi successive le principali caratteristiche dell'approccio del controllo ottimo stocastico nei problemi di consumo e investimento in tempo continuo. Nel Capitolo 3 descriviamo il modello di allocazione ottima delle risorse proposto da Merton (1969, 1971), il quale viene spesso indicato come la prima efficace applicazione del controllo stocastico in ambito economico. Nel contesto di tale modello, presentiamo una soluzione esplicita per funzioni di utilità con avversione assoluta al rischio iperbolica generalizzata. N el Capitolo 4 estendiamo il modello classico di M erto n al caso in cui i tassi di interesse sono stocastici . In particolare, mostriamo come l'introduzione nel problema di controllo ottimo di un'ulteriore variabile di stato (i tassi d'interesse stocastici), in aggiunta alla ricchezza, rappresenti un serio ostacolo nella risoluzione completa del modello. Sotto ipotesi opportune per la funzione valore, troviamo una soluzione esatta dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman associata al problema di controllo ottimo via Teorema di Feynman- Kac. In questo modo, siamo in grado di analizzare concretamente come la dinamica dei tassi di interesse condizioni la strategia ottima di investimento. In particolare, analizziamo come la presenza di una struttura stocastica per i tassi di interesse introduca nell'equazione del portafoglio ottimo una componente di hedging in aggiunta alla componente speculativa che caratterizza il modello di Merton. Il Capitolo 5 propone un modello di allocazione ottima delle risorse per un fondo pensione a contributo definito. Al fine di caratterizzare la fase di accumulazione del fondo, consideriamo il caso di un contribuente rappresentativo, il quale versa ad ogni epoca t E [O, T] una quota costante del proprio salario nel fondo stesso. Inizialmente, assumiamo un mercato finanziario completo e costituito da tre titoli: un titolo a rendimento certo, un'azione e un bond. Il 2 mercato è privo di opportunità di arbitraggio, non ci sono n costi di transazione n restrizioni sulla vendita allo scoperto dei titoli. A questo punto introduciamo i processi stocastici che definiscono l'indice dei prezzi al consumo e i salari. Come abbiano già sottolineato, proprio la presenza di un processo stocastico per i salari rappresenta il principale ostacolo nella risoluzione del problema di controllo ottimo. Infatti, quando introduciamo un processo dipendente da una fonte di rischio diversa da quelle che caratterizzano il mercato finanziario, il mercato cessa di essere completo. In questo caso, se da una parte è sempre possibile formalizzare il problema di controllo stocastico e definire l'equazione del portafoglio ottimo, dall'altra non siamo più in grado di applicare direttamente il Teorema di Feynman-Kac all'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman e quindi di esplicitare la funzione valore. Quindi, non ci è possibile studiare come la strategia ottima di portafoglio dipenda dai parametri del processo dei salari. Quello che noi proponiamo è un modello in cui la presenza di un processo stocastico per i salari è compatibile con l'ipotesi di mercato completo. Al fine di giustificare questo approccio, riconduciamo l'unica componente nonhedgeable del processo dei salari all'indice dei prezzi al consumo, il cui ruolo nel mercato finanziario verrà ampiamente discusso. In questo modo troviamo una soluzione in forma chiusa al problema di controllo ottimo e quindi siamo in grado di analizzare in dettaglio come le dinamiche stocastiche di salari e inflazione influenzino la composizione ottima del portafoglio. In particolare, dimostriamo che il portafoglio ottimo è caratterizzato da tre componenti: (i) una componente speculativa proporzionale sia all'indice di Sharpe, sia al reciproco dell'indice di avversione al rischio di Arrow-Pratt (coincidente con quella ottenuta nel modello di Merton), (ii) una componete di hedging dipendente dai parametri della variabili di stato (coincidente con quella ottenuta nel Capitolo 4) e (iii) una componente di hedging indipendente dall'attitudine al rischio e dipendente dai parametri di diffusione sia dei titoli finanziari sia dell'indice dei prezzi al consumo. Dopo aver esplicitato i valori attesi che caratterizzano la soluzione, mostriamo come il portafoglio ottimo possa essere semplificato nella somma di due componenti, di cui solo una dipende dall'orizzonte temporale. In questo modo otteniamo che una maggiore avversione al rischio assegna un peso maggiore alla componente dipendente dal tempo. Quindi, valori relativamente bassi del parametro di avversione al rischio determinano una strategia di portafoglio approssimativamente costante nel tempo. Concludiamo il capitolo presentando un'applicazione numerica del modello.
This work contributes to the analysis of the asset allocation problem for pension funds in a stochastic continuous-time framework. In particular, we focus on the portfolio problem of a fund manager who wants to maximize the expected utility of the fund's terminal wealth, that is to say the wealth accumulated up to the retirement of a representative shareholder. We consider the case of a defined-contribution pension plan. The classical dynamic optimization model, initially proposed by Merton (1969, 1971), assumes a market structure with constant interest rate. We note that the optimal asset-allocation problem for a pension fund involves quite a long period, generally from 20 to 40 years. It follows that the assumption of constant interest rates does not fit with our target. For the same reason, we support the idea that also the inflation risk needs to be considered. According to this assumption, we observe that some of the leading pension funds in U.S. have from 5 to 10 percent of their portfolios allocated just to inflation-indexed instruments (Chicago Mercantile Exchange data). Moreover, the benefits proposed by DC pension plans often require the specification of the stochastic behavior of other variables, such as salaries. Thus, the fund manager must cope not only with financial risks, but also with other risk sources outside the financial market as for example salaries. In this case, we will highlight how the introduction of a stochastic non-financial incarne (in our case contribution) in the optimal portfolio problem causes several computational difficulties. Summing up the above considerations, with respect to the classical Merton's portfolio choice problem, here we include in the model: (i) a stochastic process for the short rate, (ii) the inflation risk, through a stochastic process for the consumer price index, and (iii) the salary risk, through a stochastic process for the contributions. The methodological approach we use to solve the optimal asset-allocation problem of a pension fund is the stochastic optimal control. Alternative approaches (see for instance Deelstra et al., 2003; and Lioui and Poncet, 2001) are based on the so-called "martingale approach" first introduced by Cox and Huang (1989, 1991), where the resulting partial differential equation is often simpler to salve than the Hamilton-Jacobi-Bellman equation coming from the dynamic programming. Nevertheless, in the martingale approach, when a stochastic process for salaries enters the optimization procedure, a submartingale is no more obtained to apply the theory. In the first chapter we present a review of the mathematical tools required for the formal analysis of asset allocation models in continuous-time. Chapter 2 illustrates the use of the stochastic optimal control as optimization engine in the consumption and portfolio choice problems in continuoustime. In Chapter 3 we develop the optimal consumption and investment problem presented by Merton ( 1969, 1971). This model is commonly regarded as the first successful application of stochastic control in economics. Moreover, we present an explicit solution to the control problem for generai hyperbolic absolute risk aversion utility functions. In Chapter 4 we extend the classical Merton's model by allowing interest rates to be stochastic. We illustrate how the introduction of another relevant state variable ( the stochastic short rate) in the control problem, in addition to the wealth, represents a delicate matter, although the methodological approach does not change. Under suitable assumptions on the value function, we derive an exact solution to the control problem by applying the Feynman-Kac Theorem directly to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Then, we analyse how the short rate dynamics affects the optimal portfolio choice. Actually, the stochastic interest rate introduces a new hedging component in addition to the only speculative component characterizing the optimal portfolio strategy in the Merton's model. Finally, Chapter 5 extends the asset allocation models presented in the previous chapters to the case of a DC pension fund. In order to characterize the accumulation phase, we consider the case of a shareholder who, at each period t E [0, T], contributes a constant proportion of his salary to a personal pension fund. A t the time of retirement T, the accumulated pension fund will be converted into an annuity. Initially, we assume a complete financial market constituted by three assets: a riskless asset, a stock and a bond which can be bought and sold without incurring any transaction costs or restriction on short sales. Then, we take into account two stochastic processes describing the behavior of salaries and the consumer price index. As we have already remarked, the presence of a stochastic process for salaries represents the chief obstacle to a complete solution of the optimal control problem. In fact, if we assume that the salary process is driven by a risk source which does not belong to those defining the financial market, that is a non-hedgeable risk, we obtain that the market is no more complete. In this case, even if we can state the control problem, the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation an d the optimal portfolio, we are no t able to apply the Feynman-Kac Theorem and to find the optimal value function in a closed form. Therefore, this prevents us from studying how the coefficients of the salary process affect the optimal portfolio strategies. Here, we propose a model in which the presence of stochastic salaries is consistent with the assumption of complete market. In order to justify this proposition, we link the only non-hedgeable component of the salary process to the consumer price index, whose role in the financial market will be widely investigated. By following this way, we find a closed form solution to the control problem and then we are able to analyze in detail how the risk involved by the stochastic behavior of salary and inflation affects the optimal portfolio composition. We prove that the optimal portfolio is formed by three components: (i) a speculative component proportional to both the portfolio Sharpe ratio and the reciprocal of the Arrow-Pratt risk aversion index, as the one derived in the Merton's model, (ii) a hedging component depending on the state variable parameters as the one derived in Chapter 4, and (iii) a preference-free hedging component depending only on the diffusion terms of both the financial assets and the consumer price index. Furthermore, after working out the expected values characterizing the solution, the optimal portfolio can be simplified to the sum of only two components: one depending on the time horizon, and the other one independent of it. In particular, the optimal portfolio real composition turns out to have an absolutely time independent component. Moreover, the risk aversion parameter determines whether the portfolio is more or less affected by the time-dependent real component. The higher the risk aversion, the more the time-dependent real component affects the optimal portfolio. Accordingly, low values of the risk aversion parameter determine a real portfolio composition that becomes approximately constant through time. Finally, we present a numerical application in order to investigate the dynamic behavior of the optimal portfolio strategy more closely.
XVII Ciclo
1974
Versione digitalizzata della tesi di dottorato cartacea.

1997/1998
Il titolo stesso descrive la metodologia e l'ambito di analisi del presente lavoro di tesi. In sintesi, per contratto intendiamo un meccanismo allocativo. La metodologia della teoria dei contratti e' caratterizzata dal fatto che si sostituisce ad un problema di equilibrio, un problema di massimizzazione vincolata (ottimo paretiano). Questa sostituzione avviene anche quando non troviamo solo vincoli tecnologici (e il vincolo di garanzia del livello minimo di utilità dell'altro agente). Nel caso in cui ci siano altri vincoli (ad esempio vincoli informativi) si parla di ricerca del ottimo di second-best. La nostra analisi e' focalizzata sugli aspetti intertemporali di detti meccanismi allocativi ed in particolare si studiano i modi in cui le tecniche ricorsive della programmazione dinamica possono essere adattate per poter caratterizzare contratti multiperiodali di second-best. Il termine informazione completa chiarisce che il lavoro non si occupa di problemi di selezione avversa, ma assume che gli agenti conoscano perfettamente le preferenze dei rivali. Infine, "teoria ed applicazioni" sta ad indicare che la tesi e' suddivisa in due parti: una parte metodologica ed una piu' applicata. In questa parte si delineano i fondamenti metodologici delle tecniche usate. Game Theoretical Foundations: Repeated Games. Il capitolo analizza alcuni aspetti dei giochi ripetuti con informazione completa. E' focalizzato sull'approccio di Abreu (Econometrica 1988) e Abreu, Pierce e Stacchetti (Econometrica 1990) che legano l'analisi degli insiemi dei payoffs di equlibrio a mappe ricorsive. Nella prima parte del capitolo viene presentato l'approccio, applicandolo ai giochi ripetuti con monitoraggio perfetto. Nella seconda parte si mostra come le tecniche possano essere estese al caso con monitoraggio imperfetto. Giochi, questi ultimi, strettamente legati al modello Principale-Agente dinamico. I contributi dell'autore in questo capitolo sono. (i) Alcune semplificazioni delle prove legate al fatto che si impongono assunzioni piu' restrittive al fine di avere una trattazione unitaria. (ii) Vengono dimostrate due nuove proposizioni sulla natura stazionaria degli insiemi dei payoffs degli equilibri nella caso di monitoraggio imperfetto. Contractual Approach: Recursive Contracts. Questo capitolo presenta specificatamente l'approccio metodologico e le tecniche ricorsi ve oggetto della tesi. Il capitolo e', per quanto ne sa l'autore, la prima trattazione formale unitaria di queste tecniche per anni utilizzate da alcuni economisti, senza un rigoroso fondamento matematico. Buona parte delle proposizioni nelle Sezioni 3.1 e 3.2.3 possono essere viste come prove formali di congetture proposte da altri autori. Uno dei classici paradigmi in economia e' il problema assicurativo con agenti avversi al rischio. Simmetricamente al capitolo precedente, la prima parte del presente capitolo assume monitoraggio perfetto e si concentra sull'analisi del problema assicurativo in presenza di vincoli di partecipazione. Questi modelli di default sono la base teorica delle nuove applicazioni di teoria del consumo e dei modelli di credito con possibilità di insolvenza (debito sovrano, credito alle piccole imprese, etc ... ) . La seconda parte del capitolo analizza il classico modello Principale-Agente (o azzardo morale). In questi modelli l'assicurazione e' limitata dal fatto che si devono dare i giusti incentivi all'agente, il quale deve compiere uno sforzo non osservabile (monitor aggio imperfetto). La caratteristica essenziale che permette di scrivere il modello in forma ricorsiva e' chiamata efficienza sequenziale. Il contratto ottimale e' caratterizzato dal fatto che in ogni periodo risolve un problema di second-best in cui la variabile di stato e' il livello di utilità attesa garantita all'agente. Questa seconda parte contiene due originali contributi applicativi dello studente. Inefficiencies in Dynamic Family Decisions: An Incomplete Contracts Approach to Labor Supply. In questo capitolo viene criticata la principale assunzione delle moderne analisi ( teoriche ed empiriche) dell'offerta di lavoro: la Pareto ottimalità dell'allocazione delle risorse all'interno della famiglia. Il lavoro propone un approccio contrattuale all'economia della famiglia e vede il matrimonio come un contratto essenzialmente incompleto (ossia che non specifica dettagliatamente come i coniugi devono comportarsi in tutti i possibili eventi futuri). Viene mostrato come siano possibili inefficienze nelle scelte lavorative solo a causa di questa incompletezza; assumendo quindi informazione perfetta e permettendo ai coniugi di scrivere contratti di lungo periodo. Le inefficienze sono legate al fatto che, quando il divorzio può essere chiesto senza il consenso dell'altra parte, allora, in ogni periodo, ciascun coniuge puo' minacciare il divorzio per ricontrattare la divisione di eventuali (inaspettate) rendite. Come conseguenza vengono scoraggiate le attività che creano queste rendite ed incoraggiate le atti vita' che aumentano il potere contrattuale (come ad esempio l'accumulazione di capitale umano). Il modello ha un'importante implicazione empirica. Riesce a spiegare un'apparente anomalia nella serie temporale dell'offerta di lavoro americana, legandola al cambio di legge sul divorzio avvenuta in USA negli anni '70. Moral Hazard, Career Concerns and the Trade-off Between Incentives, Intertemporal Consumption Smooting and Human Capitai Insurance: Some Preliminary Results. Questo capitolo utilizza ed estende le tecniche ricorsive presentate nel Capitolo 3 per analizzare un'importante variante del modello Principale-Agente; il caso in cui ci siano possibilità di carriera. In letteratura il modello viene presentato come un modello di azzardo morale ripetuto in cui viene inserito un processo di apprendimento sulla produttività del lavoratore e si permette all'agente (e solo ad esso) di rescindere il contratto di lavoro in ogni periodo. L'elevata complessità del modello ha portato la letteratura a specializzare l'analisi al caso in cui la tecnologia produttiva e' lineare ed additivamente separabile in: parametro di produttività, sforzo e shock tecnologico. Inoltre, nelle poche analisi del contratto ottimale esistenti in letteratura si assume che l'agente non abbia preferenze per l'appiattimento intertemporale del consumo. Le tecniche ricorsive oggetto della tesi permettono di trattare un caso più generale ed ottenere nuovi interessanti risultati. In primo luogo, come prevedibile, una delle principali componenti che caratterizzano il contratto ottimale di lungo periodo e' il trade-off tra incentivi, appiattimento intertemporale del consumo ed assicurazione rispetto shocks negativi nella dotazione di capitale umano. In secondo luogo c'è un nuovo effetto, chiamato "effetto informativo". Nel modello proposto si puo' verificare il caso in cui un'azione, in se' molto costosa e poco redditizia, venga implementata. Ciò è dovuto al fatto che - a differenza del modello con tecnologia lineare in cui tutte le azioni sono egualmente informative sul parametro della produttività - detta azione ha un elevato contenuto informativo. Questa nuova informazione permette di ridurre considerevolmente l'incertezza sul parametro produttivo e quindi di abbassare i costi di incentivo nei periodi successivi. Il capitolo presenta risultati preliminari. In particolare - benché alcuni risultati possano essere facilmente generalizzati - allo stato attuale dell'analisi il modello e' stato sviluppato per il caso con agente ad utilità logaritmica. Per questo caso specifico e' stata inoltre ricavata la soluzione in forma chiusa per il modello di azzardo morale ripetuto ad orizzonte infinito.
The title itself describes the methodology and the thesis' field of research. Broadly speaking, for contract we mean an allocation mechanism. The methodology of contracts is characterized by the fact that a constrained maximization (a Pareto optimal ) problem substitute an equilibrium one. This substitution is made also when we do not ha ve only technological constraints ( and the constraint of giving to the other party a minimum expected utility level). When t h ere are other constraints (for example informational constraints) we talk about second-best problems. The analysis is focused on the intertemporal aspects of allocation mechanisms, in particular we study ways of adapting recursive dynamic programming techniques to characterize multiperiod second-best contracts. Complete information in the title emphasizes that we do not analyze adverse selection problems, we assume instead that agents know perfectly other agents payoffs. Finally, "theory and applications" means the thesis is divided in two parts: a methodological part and an applied one. In this part we present the methodological foundations of the techniques object of this thesis. Game Theoretical Foundations: Repeated Games. The chapter analyzes some aspects of repeated games with complete information. The chapter is focused on the Abreu (Econometrica 1988) and Abreu Pierce and Stacchetti (Econometrica 1990) approach that links the analysis of equilibrium payoffs sets to recursive set-valued maps. In the first part of the chapter we present the approach applied to games with perfect monitoring. In the second part we show how those techniques can be extended to the case with imperfect monitoring. Games, these last ones, strictly linked with the classica! Principal-Agent model. The originai contributions in this chapter are: (i) some proof simplification due to the fact that we impose more stringent assumptions in order to keep an unified analysis. (ii)· In the second part of the chapter two new propositions are proved about the stationarity of the equilibrium payoff set with imperfect monitoring. Contractual Approach: Recursive Contracts. This chapter presents more specifically the methodological approach and the recursive techniques object of the thesis. The chapter is, to our knowledge, the first unitary formai analysis of those techniques; techniques used by many economists without giving rigorous foundations. Most of the results in Section 3.1 and 3.2.3 can be seen as formai proofs of existing conjectures. One of the classica! paradigms in economics is the insurance problem with risk adverse agents. Symmetrically t o the previous chapter, the first part of the Chapter assumes perfect monitoring and focuses the analysis on the insurance problem with limited commitment. These models of default are the theoretical basis of the new applications to consumption theory and credit models with default (sovereign debt, small firm financing, etc ... ). The second part of the chapter analyses the classica! Principal-Agent model (or moral hazard). In this model, insurance is limited because the principal has to give the right incentives to the agent who has to supply an unobservable effort (imperfect monitoring). The essential characteristic that allows to write the problem in recursive form is said sequential efficiency. The optimal contract is characterized by the fact that in each period it solves a second-best problem where the state variable in the expected utility level guaranteed to the agent. This second part contains two originai applied contributions. Inefficiencies in Dynamic Family Decisions: An Incomplete Contracts Approach to Labor Supply. In this chapter we criticize the principal assumption used in modern (theoretical and applied) analysis of labor supply: the Pareto optimality of intrahousehold resources allocation. The work proposes a contractual approach to the economie of the family and see the marriage as an essentially incomplete contract (i.e. it does not specifies how the partners should behave in all future contingencies). We show how inefficiencies can arise only because of this contractual incompleteness; thus we assume throughout perfect information and the possibility of writing long-term contracts. The inefficiencies are due to the fact that divorce can be asked without requiring the other party consensus, because of that, in each period, each partner can threaten divorce to recontract the division of unexpected surpluses. As a consequence the activities that generate such surpluses are discouraged and, in contrast, are encouraged those activities that raise the bargaining power (such as the accumulation of human capitai). The model has an important empirica! implication. We can explain an anomaly on the US labor supply time series motivating it with the change in divorce law occurred during 70s. Moral Hazard, Career Concerns and the Trade-off Between Incentives, Intertemporal Consumption Smooting and Human Capital Insurance: Some Preliminary Results. Chapter 5 applies and extends the recursive techniques presented in Chapter 3 to analyze an important variation of the Principal-Agent model: the case with career concerns. The literature presents the model as a repeated moral hazard problem where is introduced a process of learning on the productivity parameter of the worker. Moreover, there is limited commitment: the agent can, in any period walk away from the contract and accept a profitable offer from the market. The complexity of the problem induced economists to restrict the analysis to the case where the production technology is linear and additively separable in: productivity parameter, effort and technological shock. Finaliy, the few contributions about the analysis of the optimal contract assume that the agent do not like intertemporal consumption smoothing. Using recursive techniques we can analyze a more generai case and obtain new interesting results. First, as expected, one of the main components that characterize the optimallong term contract is the trade-off between incentives, intertemporal consumption smoothing and insurance against shocks on human capitai endowment. Secondly, there is a new effect that we cali information effect. In the proposed model is possible that a costly and non remunerative action be implemented. This result is due to the fact that- in contrast to the linear technology model where ali actions are equaliy informative about the productivity parameter - this action has high informational content. This new information aliows to reduce the uncertainty about the productivity parameter, reducing incentive costs in future periods. In this chapter we present only preliminary results. In particular - although some results have more generai applications - the model has been fuliy analyzed only for the case in which agent has log-utility. For this particular case we further find a closed form solution of the infinite horizon optimal wage contract for the repeated case ( without learning).
X Ciclo
1968
Versione digitalizzata della tesi di dottorato cartacea. Nell'originale cartaceo mancano le pagg. 37, 41, 60, 87, 91, 95, 112, 137

2002/2003
L'oggetto di questa tesi è un'analisi di alcuni modelli per portafogli di rischi di credito, con speciale attenzione agli strun1enti usati in essi per rnodelizzare la dipendenza fra i default individuali, la quale è una delle rnaggiori fonti di preoccupazione nel management del rischio di credito. Focalizzererno in particolar modo la nostra attenzione su alcuni modelli per più gruppi ornogenei di rischi di credito, e specialrnente affrontererno il problerna della stirna dei loro parametri tramite il rnetodo della n1assima verosirniglianza; a tale scopo introdurremo un'approccio basato sull'uso dell'algoritmo E~1 (Expectation-l\1aximization). Nel prin1o capitolo introduciamo i principali stnunenti maternatici che verranno usati nel seguito. Presentiamo brevernente la teoria delle successioni scarnbiabili di variabili aleatorie, e mostriamo una dimostrazione, nel caso di vettori aleatori, del principale risultato in quest'ambito, il teorema di De Finetti. Poi introduciamo il concetto di copula, e mostriarno il teorerna di Sklar, facendone vedere il funzionarnento nel caso di variabili aleatorie con funzioni di distribuzione continue. Attraverso alcuni esempi illustriarno in che rnodo le copule descrivano la struttura di dipendenza nelle distribuzioni rnultivariate. Mostriamo anche corne sia possibile attraverso le copule esprirnere in n1odo naturale il coefficiente di dipendenza nelle code, una misura alternativa alla correlazione lineare per descrivere la dipendenza nel cornportarnento delle variabili aleatorie rappresentanti i rischi. Nel secondo capitolo analizziamo i due tipi più cornuni di rnodelli per portafogli di rischi di credito, i rnodelli a variabili latenti e i modelli di mistura di Bernoulli. Si rnostra come essenzialmente tutti i modelli a variabili latenti siano basati sulla copula Gaussiana, e si presenta un esempio di una generalizzazione ad una struttura di dipendenza più generale. Dopodiché si fanno alcuni esernpi di rnodelli di mistura di Bernoulli, e si presenta un sernplice risultato che perrnette di riscrivere i modelli a variabili latenti corne rnodelli di rnistura di Bernoulli. Alla fine del capitolo introduciamo il primo dei modelli per più gruppi omogenei di rischi di credito che verranno studiati in dettaglio nel seguito. Nel terzo capitolo analizziarno i due modelli su cui si è concentrato il maggior sforzo del nostro lavoro di tesi: il modello ad urna rnultidirnensionale e il rnodello a scherna iterativo di urne. Essi sono due esempi di modelli di mistura di Bernoulli multifattoriali la cui struttura di dipendenza è determinata da una generalizzazione del modello ad urna di Pòlya, in modo tale da introdurre dipendenza non solo fra i default nella stesso gruppo omogeneo di rischi, ma anche fra quelli in diversi gruppi (ad esempio diverse classi di rating), introducendo cioè una forma di contagio fra i default. Di entrarnbi i rnodelli, grazie all'uso degli strumenti forniti dalla teoria delle successioni scarnbiabili di variabili aleatorie, calcoliamo la distribuzione congiunta del nurnero dei default nelle varie classi di rating. La complessità della stirna statistica del valore dei parametri di suddetti rnodelli ci porta ad introdurre l'algoritmo EM (Expectation-Maxirnization), un'algoritrno per il calcolo iterativo delle stime di massirna verosirniglianza, il quale è l' argornento del quarto capitolo. In esso descriviarno brevernente la teoria generale riguardo all'algoritmo EM, e poi mostriamo corne applicarlo al caso dei tre rnodelli considerati. N el quinto capitolo affrontiarno gli aspetti tecnici dell'irnplementazione pratica dell'algoritmo nei casi considerati e presentiamo i risultati ottenuti, discutendone la bontà ed i vantaggi e gli svantaggi dell'uso dell'algoritrno. Infine nell'ultimo capitolo attraverso alcuni grafici effettuiarno un'analisi comparativa dei modelli studiati e indaghiamo la loro capacità di esprimere la dipendenza fra i default nelle differenti classi di rating.
The subject of this thesis is an analysis of sorne models for portfolios of credit risks, with a special attention to the tools used in them to model the dependence between individuai defaults, which is one of the main concerns in credit risk modeling and rnanagement. We will especially focus our attention to son1e rnodels for several groups of exchangeable risks; in particular we will tackle the problerns related to the rnaxirnum likelihood estimation of the pararneters involved, and to this purpose we introduce an approach based on the utilization of the Expetation-Maximization algoritlun. In the first chapter we introduce the rnain rnathernatical tools used in the the thesis. We describe briefly the theory of exchangeable sequences of randorn variables and we show a proof, for the case of randorn vectors, of the main result about them, the De Finetti's theoren1. Then we introduce the concept of copula and we present the Sklar's theorem, showing how it works in the case of continuous distribution functions. Through sorne examples we illustrate how copulas can be used to describe the dependence structures in rnultivariate distributions. We also show how it is possible to express in a natural way the coefficient of tail dependence, an alternative measure of dependence between random variables, by mean of copulas. In the second chapter we review the two most cornrnon classes of rnodels for dependent credit risks, the latent variables rnodels and the Bernoulli rnixture models. We see how essentially alllatent variables models are based on the Gaussian copula, and we ci te an example of a generalization to a more generai dependence structure. Then we show some exarnples of Bernoulli rnixture models, and we present a simple result that allows to rewrite latent variable models as Bernoulli mixture ones. At the end of the chapter we introduce the first model for several exchangeable groups of risks that we will study in detail in the following. In the third chapter we analyze the two rnodels on which we have devoted the rnajor attention: the multidimensional and iterative urn schernes. They are two examples of rnulti factors Bernoulli mixture models whose dependence structure is introduced by generalizations of the Pòlya urn scheme, in such a way that it allows for dependence both in the same rating group and in different rating groups, introducing then some form of contagion between defaults. For both of them, by using the tools of the theory about exchangeable sequences of random variables, we derive the expression of the joint default probability for the number of defaults in the different rating groups. The cornplexity involved in the statistica! estimation of the parameters of these models lead us to introduce the Expectation-11axirnization algorithm for iterative rnaximum likelihood estimations, which is the subject of chapter four. We briefly present the generai theory about it, and then show how to apply it in the case of the three models considered. In the fifth chapter we face the technical aspects of the irnplernentation of the algorithm and present the results obtained, discussing about advantages and disadvantages of the use of the algorithrn. In the last chapter we plot sorne graphics to compare qualitatively the rnodels and to analyze their capacity of expressing the dependence between defaults in different rating classes.
XVII Ciclo
1970
Versione digitalizzata della tesi di dottorato cartacea.

1998/1999
The theory of general equilibrium is the branch of economic theory that studies the interactions between demand and supply of the different goods in the different markets in order to determine the prices of these goods ( while the partial equilibrium analysis considers only the relations between demand and supply of a specific good and the price of the same good). In the study of general equilibrium some simplifications are usually introduced, in particular it is assumed that markets are competitive and individuals are optimizing, that there is no production (at least in first approximation) and that agent shave fixed endowments of the goods and must determine only the quantities to exchange(i. e. a pure exchange economy is considered).One of the central features of modern economics is then the introduction of time and uncertainty, and the consequent attempt to analyse an environment characterized by the presence of these elements. The main consequence for the behaviour of individuals is that they have only a limited ability to make decisions in such an environment; with reference to the theory of general equilibrium, in particular, this implies that, when agents ha velimited knowiedge and ability to face uncertainty, they trade sequentially (i.e. period by period) and use a system of contracts which involve only limited commitments into the future. The standard model for the analysis of general equilibrium is that developed by Arrow and Debreu; the principal objective of the Arrow-Debreu theory is to study the allocation of resources achievable through a system of markets, and the central result of this theory is that, when there are markets and associated prices for all goods and services in the economy, no externalities or public goods, and no informational asymmetries, then competitive markets allocate resources efficiently. This framework can be adapted in order to take into account the fact that economic activity (production, exchange and consumption) takes place over time and involves the presence of uncertainty; in this casethe Arrow-Debreu model assumes that at the initial date there is a market for each good produced or consumed in every possible future contingency, i.e. it assumes the presence of a complete set of contingent markets. Nevertheless, this structure is an idealization of the situation we can observe in the real world, since the individuals do not have full knowledge of all possible future events. The market structure that it is possible to observe in the real world, on the contrary, takes into account the fact that agents have limited capacity to face uncertainty, and it consists of a sequential system of spot markets for the exchange of goods and services and of contractual (financial} markets that involve limited commitments into the future. For this reason it is necessary to consider a general equilibrium model that constitutes an extension of the basic framework represented by the Arrow-Debreu theory. In such an extension the basic set of markets is represented by a sequence of spot markets, on which goods and services are exchanged, and by a sequence of contractual (financial)markets to make commitments for the future, commitments that typically involve either the promise to deliver goods and services ( real contracts) or the promise to deliver a certain amount of money (nominailontra.Cts). When there is only a limited set of such contracts, in particular, the economy is characterized by a system of incomplete markets( that is typical of the real world).The equilibrium solution of this kind of models (if it exists) gives the values of prices and quantities ( of the goods and of the financial activities) in correspondence of which the individuals solve their optimization problem and the markets (real and financial) clear(i. e. demand equals supply o n these markets). A first important problem is there for represented by the analysis of conditions that guarantee the existence of solutions in this kind of models. These models can then be used to analyse the issue of asset pricing, and in particular the relation between the equilibrium price of an asset and the stream of future dividends on which the asset represents a claim. What emerges is that, while in the finite-horizon case the equilibrium price equals the fundamental value of the asset (i.e. the discountedsum of future dividends), in the infinite-horizon case this is not necessarily true (in particular, it is possible for the price to be larger than the fundamental value). In this case the price of the asset is said to involve a speculative bubble. A second important question is therefore represented by the analysis of conditions that allow to exclude the presence of such bubble components, together with the study concerning the fragility of this phenomenon. The analysis presented in this thesis moves along these lines and is divided into three parts. In the first part (Chapter l) the problem of existence of solutions in temporal general equilibrium models is treated, and the main results are given. Since the literature on this argument is very extensive, and in the light also of the results discussed in the second part, this analysis is limited to the (relatively) simplest case, the one in which the economy is characterized by discrete time periods and a finite number of states of nature in each period (an d in which the economy is a pure exchange one, with financial structure that consists of real assets only). In such a framework, the case of a two-period economy is initially studied, and the results are then extended to the case of a T-period economy ( with T finite) an d finally to the case of an infinite-horizon economy. While in the model with complete contingent markets an equilibrium exists for every economy,this is no longer true when we deal with an economy characterized by spot and financial markets. What can be proved, in the case of finite horizon, is that the equilibrium exists for a generic set of economies (i.e. for a set of the parameter values that characterize the economy whose complement has zero measure); in the case of infinite horizon ( with general financial structure) the equilibrium exists only fora dense set of economies, and there fore the result is weaker. The main conclusion of this first part is that, even if in the passage from an economy with complete contingent markets to an economy with spot financial markets and, in this economy, from the finite-horizon to the infinite-horizon case, something is "lost" in the proof of existence of equilibrium, nevertheless a form of existence is always guaranteed. The model is therefore consistent, and it can be used to explain something of the economy we are dealing with. In particular, this kind of models can be used t o investigate the problem of asset pricing, and the relation between the price of the assets and the stream of dividends to which they give rise. This is the question considered in the second part (Chapter 2),with particular reference to the phenomenon of speculative bubbles that can emerge in infinite-horizon incomplete-market economies. The analysis of this question by means of the model introduced in the first part shows how (under the hypothesis of the model)the occurrence of bubbles is limited to a particular class of securities, those in zero netsupply, while on securities in positive net supply (such as equity contracts) speculative bubbles cannot arise. Since this second type of securities represents an important part of the capital market, this result reduces consistently the role of speculation in the class of models considered. The issue of speculative bubbles is then studied following a general approach, inspired by a recent contribution that tries to make arder in the field and to give a definitive theoretical settlement to the question. In this context ( that is based on considerations of no-arbitrage opportunities), in particular, the possibility of a new type of bubbles (theso-called "ambiguos bubbles") is outlined, and the results concerning the fragility of this phenomenon are discussed. These results show how, under quite general assumptions,speculative bubbles do not occur in intertemporal economies, and they can appear only under rather special circurmstances ( and, again, they are possible only on securities in zero net supply). As a consequence, well-known examples of economies in which bubble sappear as an equilibrium phenomenon (such as some kinds of monetary models or of overlapping generations models) are not robust. In the last part of the thesis a different approach (based on Euler equations) is used to study the issue of speculative bubbles, and to obtain results that, again, are in favour of a substantial fragility of this phenomenon. This approach is far more limited than the previous ones, but its interest is due to the fact that it confirms the results obtained with the general models and, first of all, it can be used to build and study specific examples of economies in which bubbles appear. This method is first used to deal with a model in which agents are homogeneous, and then it is extended to the more general situation of etherogeneous agents. With reference to this context, a series of examples is presented (Chapter 3), and in this case the use of the Euler equations' approach allows us to obtain some new results (for instance in terms of multiplicity of equilibria) and to show how the presence of bubbles on asset prices is linked to the violation of specific conditions. The thesis shows how, in the light of the recent results obtained, speculative bubbles can be considered definitively as a marginal phenomenon in the kind of models presented. On the other hand, the real world is often characterized by the occurrence of "speculative episodes" in which bubbles do appear, and therefore this contrasts with the conclusions obtained. The final considerations try to explain this contrast, by describing a possible mechanism that produces these results: the models considered are based on the hypothesis of rational expectations of the individuals, which are assumed to use all the available information to make their predictions and to base these predictions on the correct model of the economy. Nevertheless, there are periods in which, as a consequence of specific situations, the hypotesis of rational expectations "breaks down"; it is precisely in these periods that speculative episodes arise, and speculative bubbles on asset prices appear. In conclusion, therefore, by relying on a mechanism of this kind it becomes possible to reconcile the results of the theory with the episodes of the reality.
XI Ciclo
1969
Versione digitalizzata della tesi di dottorato cartacea.

2000/2001
Oggetto di studio della tesi sono le opzioni americane, ovvero opzioni finanziarie che ammettono la facoltà di esercizio anticipato. Com'è noto, la difficoltà fondamentale nella valutazione delle opzioni americane risiede nella natura del problema: il prezzo equo dell'opzione deve essere determinato unitamente alla politica di esercizio ottimale per il possessore. Purtroppo, non è tuttora nota né una soluzione analitica per il valore dell'opzione americana, né una regola di esercizio ottimo. Dopo aver studiato le problematiche relative alla valutazione e all'esercizio anticipato delle opzioni americane sia nei modelli a tempo discreto (capitolo 2) che in ambito continuo (capitolo 3), l'attenzione è rivolta principalmente allo studio della frontiera di esercizio ottimale o frontiera di esercizio anticipato. L'analisi della frontiera di esercizio ottimale pone in luce importanti aspetti inerenti alle opzioni americane. Per esempio, appare interessante poter effettuare una stima del tempo medio di esercizio anticipato. La decisione di esercitare anticipatamente un'opzione americana dipende dal confronto tra il prezzo corrente dell'attività sottostante e un valore critico. In particolare, nel caso di un'opzione put americana l'esercizio anticipato risulta vantaggioso se il prezzo dell'attività sottostante scende al di sotto di un certo livello detto prezzo critico. La frontiera di esercizio anticipato di un'opzione americana è una funzione del tempo, definita dall'epoca di emissione dell'opzione fino alla scadenza, il cui valore in corrispondenza di un dato istante rappresenta il prezzo critico dell'attività sottostante a tale epoca. Le proprietà analitiche della frontiera di esercizio anticipato di opzioni americane standard vengono analizzate in dettaglio nel capitolo 4. La frontiera di esercizio ottimo è una funzione dipendente dal tempo, dal livello del tasso istantaneo di interesse privo di rischio, dalla volatilità dei rendimenti istantanei dell'attività sottostante, dal livello del tasso istantaneo di dividendo e dal prezzo di esercizio. Viene anche presentata un'analisi della sensitività della frontiera al variare dei parametri del modello. L'attenzione è rivolta principalmente all'opzione put americana. Nel caso in cui l'attività sottostante paghi dei dividendi ad un tasso continuo e proporzionale al prezzo dell'attività sottostante, esistono alcune interessanti e utili relazioni di simmetria (si veda McDonald e Schroder (1998) e Detemple (2001)) tra i prezzi di un'opzione call e di un'opzione put americane: i risultati ottenuti per l'opzione put (call) possono allora essere agevolmente estesi all'opzione call (put) con caratteristiche analoghe. Inoltre, esistono delle relazioni di simmetria anche per la frontiera e per tempi di arresto ottimo delle opzioni put e call americane. Nel capitolo 5 vengono analizzati e comparati alcuni metodi proposti in letteratura per l'approssimazione della frontiera di esercizio anticipato delle opzioni americane: un modello binomiale, il modello di Carr (1998) basato su una particolare tecnica chiamata randomization e il modello di Bunch e Johnson (2000). Le proprietà della frontiera di un'opzione put americana standard nel modello binomiale CRR (Cox, Rosse Rubinstein (1979)) sono analizzate e dimostrate da Kim e Byun (1994). Quando si approssima la frontiera continua in un modello binomiale sorgono alcune problematiche dovute alla natura oscillatoria della frontiera teorica binomiale. Per ovviare a tali inconvenienti, è stata utilizzata una tecnica di interpolazione. Carr (1998) fornisce delle formule per calcolare il prezzo, il premio di esercizio anticipato e il prezzo critico dell'attività sottostante un'opzione put americana, utilizzando una particolare tecnica detta randomization. Per migliorare le stime ottenute mediante tale approccio è stata anche applicata l'estrapolazione di Richardson. Muovendo dalla considerazione che in corrispondenza della frontiera il prezzo di un'opzione put americana risulta indipendente dal tempo mancante alla scadenza, in un recente contributo Bunch e Johnson (2000) derivano alcune formule semiesplicite per il prezzo critico dell'attività sottostante. Le frontiere di esercizio anticipato ottenute applicando l'approccio di Carr e due dei metodi proposti da Bunch e Johnson sono state confrontate con le frontiere ottenute mediante un modello binomiale basato su 25 000 passi e l'utilizzo di una tecnica di interpolazione lineare. Sono stati effettuati alcuni test su un vasto campione di frontiere corrispondenti a numerosi valori dei parametri del modello generati secondo una procedura di tipo Monte Carlo. Per ogni frontiera generata è stata condotta un'analisi dettagliata per diverse scadenze (da un mese a un anno) ed è stata calcolata una misura dello scostamento dalla frontiera binomiale (considerata come benchmark). L'approccio basato sulla tecnica randomization, esteso da Carr anche al caso in cui l'attività sottostante paghi dei dividendi, è stato confrontato con il metodo binomiale in cui sono stati introdotti dividendi pagati ad un tasso continuo e proporzionale al prezzo dell'attività sottostante. Nel capitolo 6, particolare attenzione è rivolta allo studio e alle applicazioni della simulazione Monte Carlo. Tale metodo genera traiettorie pseudo-casuali dei prezzi e consente di evitare la valutazione a ritroso tipica delle tecniche ad albero. Alcuni sviluppi recenti di maggiore interesse riguardano la valutazione di opzioni di tipo americano mediante la simulazione Monte Carlo (si veda Longstaff e Schwartz ( 2001)). Grazie alla conoscenza della frontiera di esercizio ottimale, risulta possibile utilizzare la simulazione Monte Carlo non solo per la valutazione dell'opzione, ma anche per la stima del tempo medio di arresto e della probabilità di esercizio di un'opzione put americana.
XIV Ciclo
1973
Versione digitalizzata della tesi di dottorato cartacea.