Academic literature on the topic 'Khovanov-Rozansky homologies'

In this paper, we define an explicit basis for the [Formula: see text]-web algebra [Formula: see text] (the [Formula: see text] generalization of Khovanov’s arc algebra) using categorified [Formula: see text]-skew Howe duality. Our construction is a [Formula: see text]-web version of Hu–Mathas’ graded cellular basis and has two major applications: it gives rise to an explicit isomorphism between a certain idempotent truncation of a thick calculus cyclotomic KLR algebra and [Formula: see text], and it gives an explicit graded cellular basis of the [Formula: see text]-hom space between two [Formula: see text]-webs. We use this to give a (in principle) computable version of colored Khovanov–Rozansky [Formula: see text]-link homology, obtained from a complex defined purely combinatorially via the (thick cyclotomic) KLR algebra and needs only [Formula: see text].

AbstractRickard complexes in the context of categorified quantum groups can be used to construct braid group actions. We define and study certain natural deformations of these complexes which we call curved Rickard complexes. One application is to obtain deformations of link homologies which generalize those of Batson–Seed [3] [J. Batson and C. Seed, A link-splitting spectral sequence in Khovanov homology, Duke Math. J. 164 2015, 5, 801–841] and Gorsky–Hogancamp [E. Gorsky and M. Hogancamp, Hilbert schemes and y-ification of Khovanov–Rozansky homology, preprint 2017] to arbitrary representations/partitions. Another is to relate the deformed homology defined algebro-geometrically in [S. Cautis and J. Kamnitzer, Knot homology via derived categories of coherent sheaves IV, colored links, Quantum Topol. 8 2017, 2, 381–411] to categorified quantum groups (this was the original motivation for this paper).

AbstractWe describe the universal target of annular Khovanov–Rozansky link homology functors as the homotopy category of a free symmetric monoidal linear category generated by one object and one endomorphism. This categorifies the ring of symmetric functions and admits categorical analogues of plethystic transformations, which we use to characterize the annular invariants of Coxeter braids. Further, we prove the existence of symmetric group actions on the Khovanov–Rozansky invariants of cabled tangles and we introduce spectral sequences that aid in computing the homologies of generalized Hopf links. Finally, we conjecture a characterization of the horizontal traces of Rouquier complexes of Coxeter braids in other types.

Abstract We show that the triply graded Khovanov–Rozansky homology of knots and links over a field of positive odd characteristic p descends to an invariant in the homotopy category finite-dimensional p-complexes. A p-extended differential on the triply graded homology discovered by Cautis is compatible with the p-DG structure. As a consequence, we get a categorification of the Jones polynomial evaluated at a $2p$ th root of unity.

Cette thèse porte sur les homologies de Khovanov-Rozansky et les invariants de concordance des nœuds qui en proviennent, en prêtant une attention particulière à l'homologie s13 définie par des mousses. Le premier chapitre est consacré aux interdépendances des différentes homologies de Khovanov-Rozansky : les homologies non-réduite et réduite, graduée et filtrée, et les homologies Homflypt et slN pour différents valeurs de N. Grâce à une composition des suites spectrales connues et nouvelles, on démontre sur des exemples que les invariants de concordance slN ne sont pas tous égaux ; ce résultat constitue une réponse à un problème ouvert jusqu'à ici. Le deuxième et troisième chapitres présentent une implémentation d'un algorithme qui calcule l'homologie s!3. Hormis le programme de Bar-Natan, Green et Morrison, donnant l'homologie de Khovanov, il s'agit du seul programme pour calculer une des homologies de Khovanov-Rozansky d'une manière efficace. Les calculs démontrent que l'invariant de concordance s13 peut prendre des valeurs impaires. Dans le quatrième chapitre, les homologies s!3 graduées et filtrées sont étendues à une classe des graphes noués et F3- pondérés : les toiles nouées pondérées. Les mousses pondérables, qui jouent le rôle des cobordismes orientables pour les toiles pondérées, permettent de définir la notion de degré lisse pour des toiles nouées pondérées. Par analogie avec le travail de Rasmussen, on démontre qu'une borne inférieure au degré lisse des toiles nouées pondérées découle de l'homologie s13 filtrée
This thesis focuses on the Khovanov-Rozansky homologies and the knot concordance invariants issuing from them, paying particular attention to the s13-foam homology. The first chapter treats the interrelation of different Khovanov-Rozansky homologies: unreduced and reduced, graded and filtered, and categorifying the Homflypt-polynomial and the slN-polynomial for varying N. A combination of new and known spectral sequences allows to show exemplarily that the slN-knot concordance invariants may differ, which was unknown until now. In the second and third chapter, an implementation of an algorithm Computing s13-homology is presented. Aside from Bar-Natan, Green and Morrisons' programme calculating Khovanov homology, this is the only existing programme that efficiently computes any Khovanov-Rozansky homology theory. Its calculations show that the s!3-knot concordance invariant may be an odd integer. In the fourth chapter, graded and filtered s!3-homology are generalised to a class of knotted F3-weighted graphs, called knotted weighted webs. Weightable foams are defined, which are to knotted weighted webs what orientable cobordisms are to knots, and the slice degree of knotted weighted webs is introduced. In analogy with Rasmussen's result, it is shown that the filtered sl3-homology yields a lower bound for the slice degree of knotted weighted webs

Cette thèse est consacrée à la catégorification d'invariants polynomiaux d'entrelacs et de graphes. Pour tout entier strictement positif n, Khovanov et Rozansky ont introduit en 2004 une homologie bigraduée d'entrelacs, ainsi qu'une homologie de graphes planaires. Etant donné n, leur homologie d'entrelacs catégorifie la n-ième spécialisation du polynôme d'entrelacs HOMFLYPT et leur homologie de graphes planaires catégorifie un polynôme de graphes associé. Dans cette thèse, on étudie ces homologies et on généralise leur construction en introduisant une graduation supplémentaire. Tout d'abord, on généralise une formule de Jaeger pour les polynômes d'entrelacs aux polynômes de graphes planaires, ainsi qu'à l'homologie de graphes planaires; on étend ensuite l'homologie d'entrelacs de Khovanov-Rozansky aux graphes plongés. Puis on construit une homologie trigraduée d'entrelacs. Cette homologie recouvre l'homologie bigraduée d'entrelacs de Khovanov et Rozansky. Enfin, on donne des exemples, des applications et des généralisations de l'homologie trigraduée d'entrelacs. On développe des outils d'algèbre homologique qui permettent de calculer explicitement l'homologie trigraduée d'entrelacs pour des exemples et on considère des déformations de l'homologie trigraduée d'entrelacs
This thesis is devoted to the categorification of polynomial invariants of graphs and links. For any positive integer n, Khovanov and Rozansky introduced in 2004 a bigraded link homology, and an homology of planar graphs. Given n, their link homology categorifies the n-th specialization of the HOMFLY-PT polynomial and their homology of planar graphs categorifies an associated graph polynomial. In this thesis, we study these homology and generalize their constructions by introducing an additional grading. First, we generalize a formula of Jaeger for link polynomials to polynomials of planar graphs and associated homology of planar graphs; we extend also the link homology of Khovanov and Rozansky to embedded graphs. Then we construct a triply graded link homology. This homology recovers the bigraded link homology of Khovanov and Rozansky. Finally, we give examples, applications and generalizations of the triply graded link homology. We develop homological tools that permit to compute explicitly the triply graded link homology for some knots and we consider deformations of the triply graded link homology

Cette thèse est consacrée à la catégorification d'invariants polynomiaux d'entrelacs et de graphes. Pour tout entier strictement positif n, Khovanov et Rozansky ont introduit en 2004 une homologie bigraduée d'entrelacs, ainsi qu'une homologie de graphes planaires. Etant donné n, leur homologie d'entrelacs catégorifie la n-ième spécialisation du polynôme d'entrelacs HOMFLYPT et leur homologie de graphes planaires catégorifie un polynôme de graphes associé.

Dans cette thèse, on étudie ces homologies et on généralise leur construction en introduisant une graduation supplémentaire. Tout d'abord, on généralise une formule de Jaeger pour les polynômes d'entrelacs aux polynômes de graphes planaires, ainsi qu'à l'homologie de graphes planaires; on étend ensuite l'homologie d'entrelacs de Khovanov-Rozansky aux graphes plongés. Puis on construit une homologie trigraduée d'entrelacs. Cette homologie recouvre l'homologie bigraduée d'entrelacs de Khovanov et Rozansky. Enfin, on donne des exemples, des applications et des généralisations de l'homologie trigraduée d'entrelacs. On développe des outils d'algèbre homologique qui permettent de calculer explicitement l'homologie trigraduée d'entrelacs pour des exemples et on considère des déformations de l'homologie trigraduée d'entrelacs.

The aim of this thesis is the study of transverse link invariants coming from Khovanov sl 2 - and sl 3 -homologies and from their deformations. As a by-product of our work we get computable estimates on some concordance invariants coming from Khovanov sl_2-homologies.