Academic literature on the topic 'Hybrid Zonotopes'

The use of automated insulin delivery systems has become a reality for people with type 1 diabetes (T1D), with several hybrid systems already on the market. One of the particularities of this technology is that the patient is in the loop. People with T1D are the plant to control and also a plant operator, because they may have to provide information to the control loop. The most immediate information provided by patients that affects performance and safety are the announcement of meals and exercise. Therefore, to ensure safety and performance, the human factor impact needs to be addressed by designing fault monitoring strategies. In this paper, a monitoring system is developed to diagnose potential patient modes and faults. The monitoring system is based on the residual generation of a bank of observers. To that aim, a linear parameter varying (LPV) polytopic representation of the system is adopted and a bank of Kalman filters is designed using linear matrix inequalities (LMI). The system uncertainty is propagated using a zonotopic-set representation, which allows determining confidence bounds for each of the observer outputs and residuals. For the detection of modes, a hybrid automaton model is generated and diagnosis is performed by interpreting the events and transitions within the automaton. The developed system is tested in simulation, showing the potential benefits of using the proposed approach for artificial pancreas systems.

Le calcul des ensembles atteignables est une approche de facto utilisée dans de nombreuses méthodes de vérification formelles pour les systèmes hybrides. Mais le calcul exact de l'ensemble atteignable est un problème insurmontable pour de nombreux types de systèmes hybrides, soit en raison de l'indécidabilité ou de la complexité de calcul élevée. Alternativement, beaucoup de recherches ont été axées sur l'utilisation de représentations d'ensembles qui peuvent être manipulées efficacement pour calculer une surestimation suffisamment précise de l'ensemble atteignable. Les zonotopes sont une représentation utile de l'ensemble dans l'analyse de l'accessibilité en raison de leur fermeture et de leur faible complexité pour le calcul de la transformation linéaire et des opérations sommaires de Minkowski. Mais pour approximer les ensembles de temps non bornés atteignables par des invariants positifs, les zonotopes ont l'inconvénient suivant. L'efficacité d'une représentation d'ensemble pour calculer un invariant positif dépend de l'encodage efficace des directions de convergence des états vers un équilibre. Dans un système hybride affine, certaines des directions de convergence peuvent être codées par les vecteurs propres à valeur complexe des matrices de transformation. Mais la représentation zonotopique ne peut pas exploiter la structure propre complexe des matrices de transformation car elle n'a que des générateurs à valeur réelle.Par conséquent, nous étendons les zonotopes réels au domaine de valeur complexe d'une manière qui peut capturer la contraction le long de vecteurs évalués complexes. Cela donne une nouvelle représentation d'ensemble appelée zonotope complexe. Géométriquement, les zonotopes complexes représentent une classe plus large d'ensembles qui comprennent des ensembles non polytopiques ainsi que des zonotopes polytopiques. Ils conservent le mérite des zonotopes réels que nous pouvons effectuer efficacement la transformation linéaire et les opérations sommaires de Minkowski et calculer la fonction de support. De plus, nous montrons qu'ils peuvent capturer la contraction le long de vecteurs propres complexes. De plus, nous développons des approximations traitables par calcul pour la vérification d'inclusion et l'intersection avec des demi-espaces. En utilisant ces opérations sur des zonotopes complexes, nous développons des programmes convexes pour vérifier les propriétés d'invariance linéaire des systèmes hybrides affines à temps discret et la stabilité exponentielle des systèmes impulsifs linéaires. Nos expériences sur certains exemples de benchmarks démontrent l'efficacité des techniques de vérification basées sur des zonotopes complexes
Computing reachable sets is a de facto approach used in many formal verification methods for hybrid systems. But exact computation of the reachable set is an in- tractable problem for many kinds of hybrid systems, either due to undecidability or high computational complexity. Alternatively, quite a lot of research has been focused on using set representations that can be efficiently manipulated to com- pute sufficiently accurate over-approximation of the reachable set. Zonotopes are a useful set representation in reachability analysis because of their closure and low complexity for computing linear transformation and Minkowski sum operations. But for approximating the unbounded time reachable sets by positive invariants, zonotopes have the following drawback. The effectiveness of a set representation for computing a positive invariant depends on efficiently encoding the directions for convergence of the states to an equilibrium. In an affine hybrid system, some of the directions for convergence can be encoded by the complex valued eigen- vectors of the transformation matrices. But the zonotope representation can not exploit the complex eigenstructure of the transformation matrices because it only has real valued generators.Therefore, we extend real zonotopes to the complex valued domain in a way that can capture contraction along complex valued vectors. This yields a new set representation called complex zonotope. Geometrically, complex zonotopes repre- sent a wider class of sets that include some non-polytopic sets as well as polytopic zonotopes. They retain the merit of real zonotopes that we can efficiently perform linear transformation and Minkowski sum operations and compute the support function. Additionally, we show that they can capture contraction along complex valued eigenvectors. Furthermore, we develop computationally tractable approx- imations for inclusion-checking and intersection with half-spaces. Using these set operations on complex zonotopes, we develop convex programs to verify lin- ear invariance properties of discrete time affine hybrid systems and exponential stability of linear impulsive systems. Our experiments on some benchmark exam- ples demonstrate the efficiency of the verification techniques based on complex zonotopes

Cette thèse est dédiée au développement d’algorithmes génériques pour l’observation ensembliste de l’état continu et du mode discret des systèmes dynamiques hybrides dans le but de réaliser la détection de défauts. Cette thèse est organisée en deux grandes parties. Dans la première partie, nous avons proposé une méthode rapide et efficace pour le passage ensembliste des gardes. Elle consiste à procéder à la bissection dans la seule direction du temps et ensuite faire collaborer plusieurs contracteurs simultanément pour réduire le domaine des vecteurs d’état localisés sur la garde, durant la tranche de temps étudiée. Ensuite, nous avons proposé une méthode pour la fusion des trajectoires basée sur l'utilisation des zonotopes. Ces méthodes, utilisées conjointement, nous ont permis de caractériser de manière garantie l'ensemble des trajectoires d'état hybride engendrées par un système dynamique hybride incertain sur un horizon de temps fini. La deuxième partie de la thèse aborde les méthodes ensemblistes pour l'estimation de paramètres et pour l'estimation d'état hybride (mode et état continu) dans un contexte à erreurs bornées. Nous avons commencé en premier lieu par décrire les méthodes de détection de défauts dans les systèmes hybrides en utilisant une approche paramétrique et une approche observateur hybride. Ensuite, nous avons décrit deux méthodes permettant d’effectuer les tâches de détection de défauts. Nous avons proposé une méthode basée sur notre méthode d'atteignabilité hybride non linéaire et un algorithme de partitionnement que nous avons nommé SIVIA-H pour calculer de manière garantie l'ensemble des paramètres compatibles avec le modèle hybride, les mesures et avec les bornes d’erreurs. Ensuite, pour l'estimation d'état hybride, nous avons proposé une méthode basée sur un prédicteurcorrecteur construit au dessus de notre méthode d'atteignabilité hybride non linéaire
This thesis is dedicated to the development of generic algorithms for the set-membership observation of the continuous state and the discrete mode of hybrid dynamical systems in order to achieve fault detection. This thesis is organized into two parts. In the first part, we have proposed a fast and effective method for the set-membership guard crossing. It consists in carrying out bisection in the time direction only and then makes several contractors working simultaneously to reduce the domain of state vectors located on the guard during the study time slot. Then, we proposed a method for merging trajectories based on zonotopic enclosures. These methods, used together, allowed us to characterize in a guaranteed way the set of all hybrid state trajectories generated by an uncertain hybrid dynamical system on a finite time horizon. The second part focuses on set-membership methods for the parameters or the hybrid state (mode and continuous state) of a hybrid dynamical system in a bounded error framework. We started first by describing fault detection methods for hybrid systems using the parametric approach and the hybrid observer approach. Then, we have described two methods for performing fault detection tasks. We have proposed a method for computing in a guaranteed way all the parameters consistent with the hybrid dynamical model, the actual data and the prior error bound, by using our nonlinear hybrid reachability method and an algorithm for partition which we denote SIVIA-H. Then, for hybrid state estimation, we have proposed a method based on a predictor-corrector, which is also built on top of our non-linear method for hybrid reachability

Cette thèse est consacrée au calcul des états atteignables des systèmes linéaires et hybrides. La première partie est consacrée aux systèmes linéaires. Après avoir présenté les méthodes existantes, nous introduisons notre principale contribution: un nouveau schéma algorithmique pour l'analyse d'accessibilité des systèmes linéaires invariants qui surclasse nettement les algorithmes existants. Une implémentation exacte peut produire des ensembles difficiles à manipuler, nous proposons donc une version produisant une sur-approximation non soumise à l'effet d'emballage, une accumulation incontrôlée des erreurs d'approximation, ainsi qu'une variante dédiée aux fonctions support, une représentation fonctionnelle des ensembles convexes. La deuxième partie adapte ces résultats aux systèmes hybrides. Nous montrons d'abord comment gérer les invariants, avant de nous intéresser à l'approximation de l'intersection entre l'ensemble atteignable par la dynamique continue et des gardes hyperplanaires.