Academic literature on the topic 'H-Pseudodifferential operators'

Let T a h be the h -pseudodifferential operators with symbol a . When a ∈ S ρ , 1 m and m = n ρ − 1 / 2 , it is well known that T a h is not always bounded in L 2 ℝ n . In this paper, under the condition a x , ξ ∈ L ∞ S ρ n ρ − 1 / 2 ω , we show that T a h is bounded on L 2 .

In this paper, we establish an endpoint estimate for the commutator, b , T , of a class of pseudodifferential operators T with symbols in Hörmander class S ρ , δ m R n . In particular, there exists a nontrivial subspace of B M O R n such that, when b belongs to this subspace, the commutators b , T is bounded from H ω 1 R n into L ω 1 R n , which we extend the well-known result of Calderón-Zygmund operators.

AbstractThis is the third in a series of works devoted to spectral asymptotics for non-selfadjoint perturbations of selfadjoint h-pseudodifferential operators in dimension 2, having a periodic classical flow. Assuming that the strength ॉ of the perturbation is in the range h2 ≪ ॉ ≪ h1/2 (and may sometimes reach even smaller values), we get an asymptotic description of the eigenvalues in rectangles [−1/C, 1/C] + iॉ[F0 − 1/C, F0 + 1/C], C ≫ 1, when ॉF0 is a saddle point value of the flow average of the leading perturbation.

We prove LP boundedness of a class of semiclassical Fourier integral operators defined by smooth phase function and semiclassical rough symbols on the spatial variable 𝑥. We also consider a spacial case of ℎ -pseudodifferential operators.

The symmetry algebra P∞=W∞⊕ H ⊕ I∞ of integrable systems is defined. As an example the classical Sophus Lie point symmetries of all higher KP equations are obtained. It is shown that one ("positive") half of the point symmetries belongs to the W∞ symmetries while the other ("negative") part belongs to the I∞ ones. The corresponding action on the τ-function is obtained. A new embedding of the Virasoro algebra into gl(∞) describes conformal transformations of the KP time variables. A free fermion algebra cocycle is described as a PDO Lie algebra cocycle.

AbstractWe obtain improved bounds for pseudodifferential operators with rough symbols on Hardy spaces for Fourier integral operators. The symbols $$a(x,\eta )$$ a ( x , η ) are elements of $$C^{r}_{*}S^{m}_{1,\delta }$$ C ∗ r S 1 , δ m classes that have limited regularity in the x variable. We show that the associated pseudodifferential operator a(x, D) maps between Sobolev spaces $${\mathcal {H}}^{s,p}_{FIO}({{\mathbb {R}}^{n}})$$ H FIO s , p ( R n ) and $${\mathcal {H}}^{t,p}_{FIO}({{\mathbb {R}}^{n}})$$ H FIO t , p ( R n ) over the Hardy space for Fourier integral operators $${\mathcal {H}}^{p}_{FIO}({{\mathbb {R}}^{n}})$$ H FIO p ( R n ) . Our main result is that for all $$r>0$$ r > 0 , $$m=0$$ m = 0 and $$\delta =1/2$$ δ = 1 / 2 , there exists an interval of p around 2 such that a(x, D) acts boundedly on $${\mathcal {H}}^{p}_{FIO}({{\mathbb {R}}^{n}})$$ H FIO p ( R n ) .

A nonlocal boundary-value problem for evolutional pseudodifferential equations in an infinite layer is considered in this paper. The notion of the partially parabolic boundary-value problem is introduced when a solving function decreases exponentially only by the part of space variables. This concept generalizes the concept of a parabolic boundary value problem, which was previously studied by one of the authors of this paper (A. A. Makarov). Necessary and sufficient conditions for the pseudodifferential operator symbol are obtained in which partially parabolic boundary-value problems exist. It turned out that the real part of the symbol of a pseudodifferential operator should increase unboundedly powerfully in some of the spatial variables. In this case, a specific type of boundary conditions is indicated, which depend on a pseudodifferential equation and are also pseudodifferential operators. It is shown that for solutions of partially parabolic boundary-value problems, smoothness in some of the spatial variables increases. The disturbed (excitated) pseudodifferential equation with a symbol which depends on space and temporal variables is also investigated. It has been found for partially parabolic boundary-value problems what pseudodifferential operators are possible to be disturbed in the way that the input equation of this boundary-value problem would remain correct in Sobolev-Slobodetsky spaces. It is also shown that although the properties of increasing the smoothness of solutions in part of the variables for partially parabolic boundary value problems are similar to the property of solutions of partially hypoelliptic equations introduced by L. H\"{o}rmander, these examples show that the partial parabolic boundary value problem does not follow from partial hipoellipticity; and vice versa - an example of a partially parabolic boundary value problem for a differential equation that is not partially hypoelliptic is given.

Cette thèse se focalise sur l'étude spectrale des modèles de perturbations de l'opérateur de Dirac libre en dimensions 2 et 3.Le premier chapitre de cette thèse étudie la perturbation de l'opérateur de Dirac par une grande masse M, supportée sur un domaine. Notre objectif principal est d'établir, sous la condition d'une masse M suffisamment grande, la convergence de l'opérateur perturbé vers l'opérateur de Dirac avec la condition au bord MIT bag, au sens de la norme de la résolvante. Pour se faire, nous introduisons ce que nous appelons les opérateurs Poincaré-Steklov (PS) (comme un analogue des opérateurs Dirichlet-to-Neumann pour l'opérateur de Laplace) et les analysons d'un point de vue microlocal, afin de comprendre précisément le taux de convergence de la résolvante. D'une part, nous montrons que les opérateurs PS s'intègrent dans le cadre des opérateurs pseudodifférentiels et nous déterminons leurs symboles principaux. D'autre part, comme nous nous intéressons principalement aux grandes masses, nous traitons notre problème du point de vue semiclassique, où le paramètre semiclassique est h = M^{-1}. Enfin, en établissant une formule de Krein reliant la résolvante de l'opérateur perturbé à celle de l'opérateur MIT bag, et en utilisant les propriétés pseudodifférentielles des opérateurs PS combinées aux structures matricielles des symboles principaux, nous établissons la convergence requise avec un taux de convergence de O(M^{-1}.Dans le chapitre 2, nous définissons un voisinage tubulaire de la frontière d'un domaine régulier donné. Nous considérons la perturbation de l'opérateur de Dirac libre par une grande masse M, supportée dans ce voisinage d'épaisseur varepsilon:=M^{-1}. Notre objectif principal est d'étudier la convergence de l'opérateur de Dirac perturbé lorsque M tend vers l'infini. En comparaison avec la première partie, nous obtenons ici deux opérateurs limites MIT bag, qui agissent en dehors de la frontière. Il est intéressant de noter que le découplage de ces deux opérateurs MIT bag peut être considéré comme la version confinée de delta-interaction scalaire de Lorentz de l'opérateur de Dirac, supportée sur une surface fermée. La méthodologie suivie, comme au problème précédent, porte sur l'étude des propriétés pseudodifférentielles des opérateurs PS. Cependant, la nouveauté de ce problème réside dans le contrôle de ces opérateurs en suivant la dépendance du paramètre varepsilon, et par conséquent, dans la convergence lorsque varepsilon tend vers 0 et M tend vers l'infini. Avec ces ingrédients, nous prouvons que l'opérateur perturbé converge au sens de la norme de la résolvante vers l'opérateur de Dirac couplé à une delta-interaction scalaire de Lorentz.Dans le chapitre 3, nous généralisation une approximation de l'opérateur de Dirac tridimensionnel couplé à une combinaison singulière de delta-interactions électrostatiques et scalaires de Lorentz supportée sur une surface fermée, par un opérateur de Dirac avec un potentiel régulier localisé dans une couche mince contenant la surface. Dans les cas non-critiques et non-confinants, nous montrons que l'opérateur de Dirac perturbé régulier converge au sens de la résolvante forte vers la delta-interaction singulière de l'opérateur de Dirac.Dans le dernier chapitre, notre étude porte sur l'opérateur de Dirac bidimensionnel couplé à une delta-interaction électrostatique et scalaire de Lorentz. Nous traitons dans des espaces de Sobolev d'ordre un-demi l'auto-adjonction de certaines réalisations de ces opérateurs dans divers contextes de courbes. Le cas le plus important se présente lorsque les courbes considérées sont des polygones curvilignes. Sous certaines conditions sur les constantes de couplage, en utilisant la propriété de Fredholm de certains opérateurs intégraux de frontière, et en exploitant la forme explicite de la transformée de Cauchy sur des courbes non lisses, nous établissons l'auto-adjonction de l'opérateur perturbé
This thesis mainly focused on the spectral analysis of perturbation models of the free Dirac operator, in 2-D and 3-D space.The first chapter of this thesis examines perturbation of the Dirac operator by a large mass M, supported on a domain. Our main objective is to establish, under the condition of sufficiently large mass M, the convergence of the perturbed operator, towards the Dirac operator with the MIT bag condition, in the norm resolvent sense. To this end, we introduce what we refer to the Poincaré-Steklov (PS) operators (as an analogue of the Dirichlet-to-Neumann operators for the Laplace operator) and analyze them from the microlocal point of view, in order to understand precisely the convergence rate of the resolvent. On one hand, we show that the PS operators fit into the framework of pseudodifferential operators and we determine their principal symbols. On the other hand, since we are mainly concerned with large masses, we treat our problem from the semiclassical point of view, where the semiclassical parameter is h = M^{-1}. Finally, by establishing a Krein formula relating the resolvent of the perturbed operator to that of the MIT bag operator, and using the pseudodifferential properties of the PS operators combined with the matrix structures of the principal symbols, we establish the required convergence with a convergence rate of mathcal{O}(M^{-1}).In the second chapter, we define a tubular neighborhood of the boundary of a given regular domain. We consider perturbation of the free Dirac operator by a large mass M, within this neighborhood of thickness varepsilon:=M^{-1}. Our primary objective is to study the convergence of the perturbed Dirac operator when M tends to +infty. Comparing with the first part, we get here two MIT bag limit operators, which act outside the boundary. It's worth noting that the decoupling of these two MIT bag operators can be considered as the confining version of the Lorentz scalar delta interaction of Dirac operator, supported on a closed surface. The methodology followed, as in the previous problem study the pseudodifferential properties of Poincaré-Steklov operators. However, the novelty in this problem lies in the control of these operators by tracking the dependence on the parameter varepsilon, and consequently, in the convergence as varepsilon goes to 0 and M goes to +infty. With these ingredients, we prove that the perturbed operator converges in the norm resolvent sense to the Dirac operator coupled with Lorentz scalar delta-shell interaction.In the third chapter, we investigate the generalization of an approximation of the three-dimensional Dirac operator coupled with a singular combination of electrostatic and Lorentz scalar delta-interactions supported on a closed surface, by a Dirac operator with a regular potential localized in a thin layer containing the surface. In the non-critical and non-confining cases, we show that the regular perturbed Dirac operator converges in the strong resolvent sense to the singular delta-interaction of the Dirac operator. Moreover, we deduce that the coupling constants of the limit operator depend nonlinearly on those of the potential under consideration.In the last chapter, our study focuses on the two-dimensional Dirac operator coupled with the electrostatic and Lorentz scalar delta-interactions. We treat in low regularity Sobolev spaces (H^{1/2}) the self-adjointness of certain realizations of these operators in various curve settings. The most important case in this chapter arises when the curves under consideration are curvilinear polygons, with smooth, differentiable edges and without cusps. Under certain conditions on the coupling constants, using the Fredholm property of certain boundary integral operators, and exploiting the explicit form of the Cauchy transform on non-smooth curves, we achieve the self-adjointness of the perturbed operator

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse spectrale des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques. Dans la première partie, nous étudions la généralisation du théorème d’Egorov en temps longs dans le cas où l’Hamiltonien quantique qui génère l’évolution en temps et l’observable quantique initiale sont deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques associés à des symboles à valeurs matricielles. Sous une condition d’hyperbolicité sur le symbole principal de l’Hamiltonien qui assure l’existence des projecteurs semi-classiques, et pour une classe d’observables "semi-classiquement" diagonales par blocs par rapport à ces projecteurs, nous démontrons un théorème de type Egorov valable pour un temps long d’ordre log(h-1) connu comme le temps d’Ehrenfest. Ici h 0 est le paramètre semi-classique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la théorie spectrale et la théorie de la diffusion pour des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels auto-adjoints. Nous développons une approche stationnaire pour l’étude de la fonction de décalage spectral associée à une paire d’opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels. Une asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la fonction de décalage spectral est établie, et sous l’hypothèse d’existence d’une fonction fuite scalaire, un développement asymptotique complet en puissancesde h au sens fort sur sa dérivée est obtenu. Ce dernier résultat est une généralisation au cas matriciel d’un résultat de Robert et Tamura établi dans le cas scalaire près des énergies non-captives. Notre méthode indépendante du temps nous permet de traiter certains potentiels avec des croisements des valeurs propres
In this work, we are interested in the spectral analysis of systems of semiclassical pseudodifferentialoperators. In the first part, we study the extension of the long time semiclassical Egorovtheorem in the case where the quantum Hamiltonian which generates the time evolution andthe initial quantum observable are two semiclassical pseudodifferential operators with matrixvaluedsymbols. Under an hyperbolicity condition on the principal symbol of the Hamiltonianwhich ensures the existence of the semiclassical projections, and for a class of observable thatare "semi-classically" block-diagonal with respect to these projections, we prove an Egorov theoremvalid in a large time interval of order log(h-1) known as the Ehrenfest time. Here h & 0is the semiclassical parameter.In the second part, we are interested in the spectral and scattering theories for self-adjointsystems of pseudodifferential operators. We develop a stationary approach for the study of thespectral shift function (SSF) associated to a pair of self-adjoint semiclassical Schrödinger operatorswith matrix-valued potentials. We prove a Weyl-type asymptotics with sharp remainderestimate on the SSF, and under the existence of a scalar escape function, a pointwise completeasymptotic expansion on its derivative. This last result is a generalisation in the matrix-valuedcase of a result of Robert and Tamura established in the scalar case near non-trapping energies.Our time-independent method allows us to treat certain potentials with energy-level crossings