Academic literature on the topic 'Groupoïdes symplectiques'

Nous introduisons pour toute structure de Poisson sur une variété la notion de bi-réalisation et l'illustrons par des exemples. Nous définissons les intégrateurs de Poisson hamiltoniens comme des intégrateurs de Poisson dont la trajectoire discrète suit le flot d'un hamiltonien dépendant du temps. Ensuite, une construction d'intégrateur de Poisson hamiltonien pour une structure de Poisson, un Hamiltonien H, un ordre k et un pas de temps t quelconques est donnée via une troncature à l'ordre k de la transformée de Hamilton-Jacobi S¬t(H) de H sur une bi-réalisation de la structure de Poisson. Nous définissons aussi la suite de Farmer et expliquons comment elle permet de résoudre explicitement l'équation de Hamilton-Jacobi à un ordre arbitraire. Nous expliquons comment les groupoïdes symplectiques locaux fournissent une interprétation géométrique de la notion de bi-réalisation. Nous définissons pour tout hamiltonian dépendant du temps H sa série de Magnus, pour construire pour tout intégrateur hamiltonien de Poisson un hamiltonien modifié. En conclusion, nous comparons nos intégrateurs avec des méthodes de Runge-Kutta sur les exemples du solide rigide et des équations différentielles de Lodka-Volterra, en particulier concernant leur comportement à long terme. En géométrie de Dirac, nous introduisons le 2-cocyle horizontal canonique d'une structure de Dirac. Sous la condition suffisante de son exactitude, nous exhibons pour tout hamiltonien H une fonctionnelle pour laquelle les points critiques sont exactement les courbes intégrales des champs de vecteurs hamiltoniens de H. Nous déduisons aussi du résultat précédent une généralisation de la transformée de Legendre aux structures de Dirac
We introduce for any Poisson structure on a manifold the notion of bi-realisation and illustrate it by examples. We define Hamiltonian Poisson integrators as Poisson integrators for which discrete trajectory follows the flow of a time-dependent Hamiltonian. Next, a construction of a Hamiltonian Poisson integrator for generic Poisson structure, Hamiltonian H, order k and time-step t are given via any truncation at order k of the Hamilton-Jacobi transform S¬t(H) of the Hamiltonian H on a bi-realisation of the Poisson structure. We also define the Farmer sequence and we explain how it gives explicit recursive formulae to solve Hamilton-Jacobi equation at an arbitrary order. We explain how local symplectic groupoids provide a geometric interpretation of the notion of bi-realisation. We define for any time-dependent Hamiltonian H its Magnus series to construct, for any Hamiltonian Poisson integrator, a modified Hamiltonian. To conclude, we compare our integrators with Runge-Kutta methods on the example of rigid body dynamics and Lotka-Volterra differential equations, in particular on long run simulations. In Dirac geometry, we introduce the canonical horizontal 2-cocycle of a Dirac structure. Under the sufficiency condition of its exactness, we exhibit for any Hamiltonian H a functional for which critical points are exactly integral curves of Hamiltonian vector fields of H. We also deduce from the previous result a generalisation of the Legendre transform to Dirac structures

Cette thèse contient six chapitres: 1. Une introduction en français. 2. La description de la théorie de Witten abélienne utilisant les fonctions thêta. Les variétés de dimension 3 sont présentées par des scindements de Heegaard. 3. On considère une quantification géométrique semi-abélienne pour un groupe de jauge arbitraire. Ceci permet de suivre l'approche de Witten en utilisant l'espace de Siegel a la place de l'espace de Teichmuller. On obtient la mono dromie via certaines fonctions thêta invariantes. 4. On décrit la relation précise entre les tqft et rcft. Ceci représente le premier pas vers une caractérisation purement algébrique des invariants topologiques (e. G. En termes des algèbres de Lie homo topiques). 5. On prouve qu'une trace Markov définie sur l'algèbre groupale du groupe de tresses infini factorise par le quotient homogène détermine par les relations qu'elle vérifie en rang fini. 6. On commence une étude des traces Markov sur les algèbres de Hecke cubiques qui factorisent par des quotients de rang 3. On avait explicitement décrit le cas d'un quotient de dimension maximale. Par la suite les invariants Vassiliev ternaires sont introduits

Cette thèse propose une notion de quantification par déformation des variétés de Poisson au sens des C*-algèbres, en lien notamment avec l'emploi de groupoïdes. Cette théorie s'appuie sur des exemples, notamment celui des variétés toriques. La première partie est un rappel de connaissances développées depuis quelques dizaines d'années sur les groupoïdes et leurs C*-algèbres. La deuxième partie présente les définitions de déformation et de quantification utilisées ensuite, et leur traduction, pour les groupoïdes, dans la notion importante de groupoïde de déformation. Une large classe de sous-groupoïdes des groupoïdes de Lie est de ce type. Enfin le résultat principal de cette thèse est une condition suffisante sur les variétés M munies de l'action d'un tore Tn pour construire un groupoïde de déformation associé, au moyen du choix d'une action de Rn sur une variété contenant le quotient M/Tn ; ce groupoïde se présente comme un sous-groupoïde du groupoïde de l'action d'un groupe discret. On retrouve alors des résultats de quantification connus pour Cn, les tores et les sphères de dimension 4 non commutatifs. La troisième partie applique ce résultat à l'exemple des variétés toriques, dont la géométrie étonnante, en terme de moment notamment, fut découverte dans les années 80. Cette construction fournit le premier exemple de quantification des variétés toriques dans un cadre C*-algebrique, même dans les cas les plus simples (sphère de dimension 2, espaces projectifs complexes).

Mes recherches se situent à l'interface de la géométrie Riemannienne et des géométries de contact et symplectique et portent sur la construction des métriques Kähler ou Sasakie-Einstein, sur l'étude des systèmes Hamiltonians conformes, la géométrie des fibrés cosphériques et les groupoïdes de Lie propres. Le thème principal de cette thèse est l'étude des applications des symétries Lie en géométrie différentielle et systèmes dynamiques. Le premier chapitre de cette thèse étudie la réduction singulière des symétries du fibré cosphérique, les propriétés conservatives des systèmes de contact et leurs réduction. Le fibré cosphérique d'une variété différentiable $M$ (dénoté par $S^*(M)$) est le quotient de son fibré cotangent sans la section nulle par rapport à l'action par multiplication de $\RR^+$ qui couvre l'identité sur $M$. C'est une variété de contact qui détient en géométrie de contact la position analogue du fibré cotangent en géométrie symplectique. En utilisant une métrique Riemannienne sur $M$, on peut identifier $S^*(M)$ avec son fibré tangent unitaire et son champ de Reeb avec le champ géodésique de $M$. Si $M$ est munie de l'action propre d'un groupe de Lie $G$, le relèvement de cette action à $S^*(M)$ respecte la structure de contact et admet une application moment équivariante $J$. Nous étudions les propriétés topologiques et géométriques de l'espace réduit à moment zéro de $S^*(M)$, i.e. $\left(S^*(M)\right)_0 :=J^{-1}(0)/G$. Ainsi, nous généralisons les résultats de \cite{dragulete--ornea--ratiu} au cas singulier. Appliquant la théorie générale de réduction de contact, théorie dévéloppée par Lerman et Willett dans \cite{lerman--willett} et \cite{willett}, on obtient des espaces qui perdent toute information sur la structure interne du fibré cosphérique. En plus, la projection du fibré cosphérique sur sa base descend à une surjection continue de $\left(S^*(M)\right)_0$ à $M/G$, mais qui n'est pas un morphisme d'espaces stratifiés si on munit l'espace réduit avec sa stratification de contact et l'espace de base avec la stratification standarde de type orbitale définie par l'action du groupe de Lie. Compte tenu des théorèmes de réduction du fibré cotangent (cas régulier et singulier) et du fibré cosphérique ( cas régulier), on s'attend à ce que les strates de contact aient une structure fibrée additionnelle. Pour résoudre ces problèmes, nous introduisons une nouvelle stratification de $\left(S^*(M)\right)_0$, nommée la \emph{stratification C-L} (les deux majuscules symbolisent la nature coisotrope ou Legendréenne de leurs strates). Elle est compatible avec la stratification de contact de $\left(S^*(M)\right)_0$ et la stratification de type orbital de $M/G$. Aussi, elle est plus fine que la stratification de contact et rend la projection de $\left(S^*(M)\right)_0$ sur $M/G$ un morphism d'espaces stratifiés. Chaque strate C-L est un fibré sur une strate de type orbital de $M/G$ et elle peut être vue comme une union de strates C-L, une d'entre elles étant ouverte et dense dans la strate de contact correspondante et difféomorphe à un fibré cosphérique. Ainsi, nous avons identifié les strates maximales munies de structure de fibrés cosférique. Les autres strates sont des sous-variétés coisotropes ou Legendre dans les composantes de contact qui les contiennent. Par conséquant nous faison une analyse géométrique et topologique complète de l'espace réduit. Nous analysons aussi le comportement de la projection sur $\left(S^*(M)\right)_0$ du flot de Reeb (flot géodésique). L'ensemble de champs de vecteurs de contact (les analogues des champs de vecteurs Hamiltonians en géométrie symplectique) forment le "groupe de Lie" de l'algèbre des transformations de contact. Dans le premier chapitre nous présentons aussi la réduction des systèmes de contact (qui, localement, sont en correspondence bijective avec les équations non-autonomes de Hamilton-Jacobi) et les systèmes Hamiltonians dépendants de temps. Dans le deuxième chapitre nous étudions les propriétés géométriques des quotients de variétés Sasaki et Kähler. Nous construisons une procédure de réduction pour les variétés symplectiques et Kähler (munies de symétries générées par un groupe de Lie) qui utilise les préimages rayon de l'application moment. Précisémmant, au lieu de considérer comme dans la réduction de Marsden-Weinstein (ponctuelle) la préimage d'une valeur moment $\mu$, nous utilisons la préimage de $\RR^+\mu$, le rayon positif de $\mu$. Nous avons trois motivations pour développer cette construction. Une est géométrique: la construction des espaces réduits de variétés Kähler correspondant á un moment non nulle qui soient canoniques dans le sense que la structure Kähler réduite est la projection de la structure Kähler initiale. La réduction ponctuelle (Marsden-Weinstein) donnée par $M_\mu:=J^{-1}(\mu)/G_\mu$ où $\mu$ est une valeur de l'application moment $J$ et $G_\mu$ est le sous-groupe d'isotropie de $\mu$ par rapport à l'action coadjointe de $G$ n'est pas toujours bien définie dans le cas Kähler (si $G\neq G_\mu$). Le problème est causé par le fait que la structure complexe de $M$ ne préserve pas la distribution horizontale de la submersion Riemannienne qui projète $J^{-1}(\mu)$ sur $M_\mu$. La solution proposée dans la litterature utilise l'espace réduit à moment zéro de la difference symplectique de $M$ avec l'orbite coadjointe de $\mu$ munie d'une forme Kähler-Einstein unique (construite par exemple dans \cite{besse}, Chapitre $8$) et différente de la forme de Kostant-Kirillov-Souriau. L'unicité de la forme sur l'orbite coadjointe garantit un espace réduit bien défini. Par contre, ne plus utiliser la forme de Kostant-Kirillov-Souriau entraîne le fait que l'espace réduit n'est plus canonique. L'espace réduit rayon que nous construisons est canonique et peut être défini pour tout moment. Il est le quotient de $J^{-1}(\RR^+\mu)$ par rapport à un certain sous-groupe normal de $G_\mu$. La deuxième raison est une application à l'étude des systèmes Hamiltonians conformes (voir \cite{mclachlan--perlmutter}). Ce sont des systèmes mécaniques non-autonomes, avec friction dont les courves intégrales préservent, dans le cas des symétries, les préimages rayons de l'application moment. Nous extendons la notion de champ Hamiltonian conforme, en montrant qu'on peut ainsi inclure dans cet étude de nouveaux systèmes mécaniques. également, nous présentons la réduction de systèmes Hamiltonians conformes. La troisième raison consiste à trouver des conditions necéssaires et suffisantes pour que les espaces réduits (rayons) des variétés Kähler (Sasakian)-Einstein soient aussi Kähler (Sasakian)-Einstein. Nous nous occupons de cela dans le deuxième chapitre de la thèse, dans \cite{dragulete--ornea} et dans \cite{dragulete--doi} où nous utilisons des techniques de A. Futaki. Ainsi, nous pouvons construire de nouvelles structures de Sasaki-Einstein. Comme exemples de réductions rayon symplectic (Kähler) et contact (Sasaki) nous traitons le cas des fibrés cotangent et cosphérique. Nous montrons qu'ils sont des espaces universels pour la réduction rayon. Des exemples d'actions toriques sur des sphères sont aussi décrits. Le troisième chapitre de cette thèse traite l'étude de l'espace des orbites d'un groupoïde propre. Dans \cite{weinstein--unu}, \cite{weinstein--doi} A. Weinstein a partiellement résolu le problème de la linéarisation des groupoïdes propres. En \cite{zung}, N. T. Zung l'a achevé en démontrant un théorème de type Bochner pour les groupoïdes propres. Nous prouvons un théorème de stratification de l'espace d'orbites d'un groupoïde propre en utilisant des idées de la théorie des foliations et le théorème de "slice" (linéarisation) de Weinstein et Zung. Nous montrons explicitement que le feuilletage orbital d'un groupoïde propre est un feuilletage Riemannien singulier dans le sense de Molino. Pour cela nous avons deux motivations. D'un côté nous voulons montrer qu'il y ait une équivalence entre groupoïdes propres et "orbispaces" (des espaces qui sont localement des quotiens par rapport à l'action d'un groupe de Lie compact) et d'un autre nous voulons étudier la réduction des actions infinitésimales (actions d'algèbres de Lie) qui ne sont pas intégrables à l'action d'un groupe de Lie. Ces actions et leur intégrabilité ont été étudiées, entre autres, par Palais (\cite{palais}), Michor, Alekseevsky.