Academic literature on the topic 'Groupe relativement hyperbolique'

Cet article est consacré à la théorie ergodique du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une variété hyperbolique relativement à la mesure de Sullivan associée à une mesure conforme de Patterson–Sullivan. Nous prouvons notamment que si le flot géodésique est ergodique alors il est rationnellement ergodique de type asymptotique donné par la série de Poincaré du groupe d'isométries discret associé. Pour ce faire, de nouveaux résultats sur les mesures de Patterson–Sullivan sont introduits. Nous obtenons en conséquence des résultats généraux d'équirépartition asymptotique concernant la série de Poincaré. Nous approfondissons sur d'autres points les propriétés ergodiques du flot géodésique. Ces résultats se généralisent directement pour un groupe agissant sur un espace CAT$(-1)$.

Un groupe finiment engendré G a la propriété RD lorsque l'algèbre de Sobolev du groupe H^s(G) s'injecte dans la C^*-algèbre réduite C^*_r(G). Cette inclusion permet de contrôler la norme de l'opérateur de convolution sur l^2(G) par des normes l^2 pondérées, et induit des isomorphismes en K-théorie. Il est connu que la présence de sous-groupes moyennables à croissance sur-polynomiale est une obstruction à cette propriété. Parallèlement à cela, on dispose toujours d'une inclusion canonique de l^1(G) dans C^*_r(G), mais cette estimation est en général moins fine que celle donnée par RD, et l'existence d'isomorphismes de K-théorie découlant de cette inclusion est un problème généralement ouvert qui est souvent issu de la combinaison des conjectures de Bost et Baum-Connes. C'est pourquoi, dans cette thèse, nous présenterons une version relative de la propriété RD appelée propriété RD_H basée sur une interpolation entre les normes l^1 et l^2 paramétrée par un sous-groupe H de G. Nous verrons que cette propriété peut être vue comme une généralisation aux cas des sous-groupes non distingués du fait que le quotient G/H ait la propriété RD. Nous étudierons certaines propriétés géométriques liées à l'espace G/H permettant de déduire ou d'infirmer la propriété RD_H. En particulier, nous nous pencherons sur le cas où H est un sous-groupe co-moyennable de G et le cas où G est un groupe relativement hyperbolique par rapport au sous-groupe H. Nous montrerons que la propriété RD_H nous permet d'obtenir une famille d'isomorphismes en K-théorie paramétrée par le choix du sous-groupe H, et d'obtenir une borne inférieure concernant la probabilité de retour dans le sous-groupe H d'une marche aléatoire symétrique. Une autre partie de la thèse est consacrée à l'existence d'un isomorphisme entre les groupes de K-théorie des algèbres l^1(G) et C^*_r(G) où l'on prouve la véracité de ce résultat pour certains produits semi-directs en combinant deux types de suites exactes sans faire intervenir les conjectures de Bost et Baum-Connes
A finitely generated group G has the property RD when the Sobolev space H^s(G) embeds in the group reduced C^*-algebra C^*_r(G). This embedding induces isomorphisms in K-theory, and allows to upper-bound the operator norm of the convolution on l^2(G) by weighted l^2 norms. It is known that if G contains an amenable subgroup with superpolynomial growth, then G cannot have property RD. In another hand, we always have the canonical inclusion of l^1(G) in C^*_r(G), but this estimation is generally less optimal than the estimation given by the property RD, and in most of cases, it needs to combine Bost and Baum-Connes conjectures to know if that inclusion induces K-theory isomorphisms. That's the reason why, in this thesis, we define a relative version of property RD by using an interpolation norm between l^1 and l^2 which depends on a subgroup H of G, and we call that property: property RD_H. We will see that property RD_H can be seen as an analogue for non-normal subgroups to the fact that G/H has property RD, and we will study what kind of geometric properties on G/H can imply or deny the property RD_H. In particular, we care about the case where H is a co-amenable subgroup of G, and the case where G is relatively hyperbolic with respect to H. We will show that property RD_H induces isomorphisms in K-theory, and gives us a lower bound concerning the return probability in the subgroup H for a symmetric random walk. Another part of the thesis is devoted to show that if G is a certain kind of semi-direct product, the inclusion l^1(G)subset C^*_r(G) induces isomorphisms in K-theory, we prove this statement by using two types of exact sequences without using Bost and Baum-Connes conjectures

L’objectif principal de cette thèse est d’étudier les structures périphériques des groupes relativement hyperboliques. En contraste avec l’hyperbolicité ordinaire, l’hyperbolicité relative est définie par rapport à une famille finie de sous-groupes, appelée structure périphérique. Dans cette thèse, on introduit et caractérise une classe de structures paraboliques étendues pour des groupes relativement hyperboliques. En particulier, on montre que si un groupe relativement hyperbolique agit de façon géométriquement finie sur son bord de Floyd, alors les structures paraboliques étendues se révèlent être les seules possibles.La thèse met également l’accent sur l’étude des sous-groupes relativement quasiconvexes, qui jouent un rôle important en théorie des groupes relativement hyperboliques. Grâce à la flexibilité des structures périphériques, la quasiconvexité relative d’un sous-groupe est caractérisée par rapport aux structures paraboliques étendues. En outre, les sous-groupes relativement quasiconvexes sont étudiés par des méthodes dynamiques en terme des groupes de convergence. Ceci nous conduit à obtenir un théorème décrivant l’intersection des ensembles limites pour une paire de sous-groupes relativement quasiconvexes ; et donner des preuves dynamiques de plusieurs résultats bien connus sur les sous-groupes relativement quasiconvexes. De plus, le nombre de classes de conjugaison de sous-groupes finis est étudié dans des groupes relativement hyperboliques. Dans le cas des groupes kleiniens, on obtient plusieurs résultats sur le lien entre les ensembles d’axes et la commensurabilité de deux groupes kleiniens. Un résultat de la thèse d’intérêt indépendant montre qu’un sous-groupe separable a la propriété d’empilement borné. Ceci implique que cette propriété est vraie pour tout sous-groupe d’un groupe polycyclique, répondant à une question de Hruska-Wise
The main objective of this thesis is to study peripheral structures of relatively hyperbolic groups. In contrast with hyperbolicity, relative hyperbolicity is defined with respect to a finite collection of subgroups, which is referred to as a peripheral structure. In the thesis, we introduce and characterize a class of peripheralstructures: parabolically extended structures for relatively hyperbolic groups. In particular, it is shown that if a relatively hyperbolic group acts geometrically finitely on its Floyd boundary, then parabolically extended structures turn out to be the only possible ones. The thesis also focuses on the study of relatively quasiconvex subgroups, which play an important role in the theory of relatively hyperbolic groups. With the flexibility of peripheral structures, relative quasiconvexity of a subgroup is characterized with respect to parabolically extended structures. Moreover, relatively quasiconvex subgroups are studied using dynamical methods in terms of convergence group actions. This leads us to obtain a limit set intersection theorem for a pair of relatively quasiconvex subgroups, and give dynamical proofs of several well-known results on relatively quasiconvex subgroups. In addition, the number of conjugacy classes of finite subgroups is explored in relatively hyperbolic groups. In Kleinian groups, we prove several results on the relationship between the axes sets and commensurability of two Kleinian groups. A result of independent interest in the thesis is that a separable subgroup has the bounded packing property. This implies that the property is true for each subgroup of a polycyclic group, answering a question of Hruska-Wise

L'utilisation d'idées et de techniques de géométrie à courbure négatve dans l'étude de groupes de type fini s'est révélée être l'approche naturelle pour de nombreux problèmes. Les groupes hyperboliques de M. Gromov empruntent leurs propriétés aux groupes Kleiniens co-compacts. M. Gromov indique l'approche relative, développée par d'autres auteurs plus tard: l'action n'est plus co-compacte, mais géométriquement finie. Il s'agit des groupes relativement hyperboliques. Nous étudions dans cette thèse ces groupes et leurs bords. Le chapitre 1 est consacré à l'étude de bords topologiques: des Z-structures. Le resultat obtenu généralise celui de E. Rips, sur l'existence d'un classifiant fini, et celui de M. Bestvina et G. Mess sur l'existence d'une Z-structure pour des groupes hyperboliques. En second lieu, on porte l'étude sur le bord défini par B. Bowditch. Avec A. Yaman, nous décrivons un codage symbolique de ce bord, sous une condition intrinsèque sur sous-groupes paraboliques maximaux. Une étude de cette propriété permet de donner de nombreux exemples. Au chapitre 3, on utilise la méthode de construction de bord de la première partie pour démontrer un théorème de combinaison dans le cas relatif. On repond à une question de Z. Sela sur l'hyperbolicité relative des groupes limites. Le chapitre 4 présente une application des techniques développées, en une contruction de representants canoniques relatifs, et en un théorème de finitude du nombre d'images d'un groupe de présentation finie dans un groupe relativement hyperbolique. En annexe, on donne une preuve de l'equivalence de deux définitions des groupes relativement hyperboliques
The utilization of ideas and technics of geometry of negative curvature in the study of finitely generated groups has proven to be the natural approach for many problems. M. Gromov's hyperbolic groups borrow their properties from co-compact Kleinian groups. M. Gromov indicates the relative approach, which was developped by other authors later: the action is not co-compact but geometrically finite. This gives the class of relatively hyperbolic groups. In this thesis, we study these groups, and their boundaries. Chapter 1 deals with topological boundaries : Z-structures. The results obtained are generalisation of results of E. Rips on the existence of finite classifying space, and of M. Bestvina and G. Mess, on the existence of Z-structure for hyperbolic groups. Secondly, we focus on the boundary defined by B. Bowditch. With A. Zaman, we described a symbolic coding of this boundary under an intrinsic condition on maximal parabolic subgroups. A study of this property allows to give many examples. In chapter 3, one uses the construction of boundaries of the first chapter to prove a combination theorem in the relative case. One answers a question of Z. Sela on the relative hyperbolicity of limit groups. In chapter 4, we present an application of the technics developped above, as a construction of relative canonical representatives, and as a finiteness theorem on the images of a finitely presented group in a relatively hyperbolic group. In an appendix we give a proof of the equivalence of two definitions of relatively hyperbolic groups

Cette thèse s’intéresse aux marches aléatoires dans les groupes ayant des propriétés faibles d’hyperbolicité, notamment les groupes relativement hyperboliques. Il s’agit plus spécifiquement d’étudier le comportement asymptotique de telles marches aléatoires, dont le support fini engendre tout le groupe. La première partie consiste à déterminer le bord de Martin à homéomorphisme près, lorsque les sous-groupes paraboliques sont virtuellement abéliens : il s’agit du bord de Bowditch, où on remplace les points paraboliques par des sphères de dimension appropriée. Cette identification s’appuie en partie sur des inégalités d’Ancona relatives établies par Gekhtman, Gerasimov, Potyagailo et Yang. Ces inégalités servent aussi à caractériser en termes géométriques le cas d’égalité dans l’inégalité fondamentale de Guivarc’h pour de telles marches aléatoires sur de tels groupes. En particulier, lorsque les sous-groupes paraboliques sont virtuellement abéliens de rang au moins 2, cette inégalité est toujours stricte. Enfin, il est montré une généralisation au rayon spectral des inégalités d’Ancona relatives citées ci-dessus. Celles-ci servent alors à établir un théorème de la limite locale précis pour certains types de marches qui sont nommées marches non spectralement dégénérées
This thesis focuses on random walks on groups with weak hyperbolic properties, such as relatively hyperbolic groups. Specifically, the goal is to study asymptotic properties of such random walks, whose finite support generates the group as a semi-group. The first step is to determine the Martin boundary up to homeomorphism. When the parabolic subgroups are virtually abelian, this boundary consists of the Bowditch boundary whose parabolic limit points are blown-up into a sphere of appropriate dimension. This identification is based on the use of relative Ancona inequalities that were established by Gekhtman, Gerasimov, Potyagailo and Yang. These inequalities are also used to give a geometric caracterization of the equality case in the Guivarc’h fundamental inequality. In particular, whenever parabolic subgroups are virtually abelian of rank at least 2, this inequality is necessarily strict. Finally, showing first a generalization up to the spectral radius of relative Ancona inequalities, a precise local limit theorem is proved under the additional assumption that the random walk is not spectrally degenerate

Les trois chapitres de ce texte traitent quatre problemes de nature geometrique, dynamique ou algebrique, ayant un lien avec le procede de suspension (ou mapping-torus). Le premier chapitre presente un theoreme de combinaison general pour les graphes de groupes relativement hyperboliques (Gromov, Farb). Le deuxieme chapitre aborde deux questions de dynamique topologique : d'une part la generalisation, aux applications continues de graphes, de la notion de type d'orbite (Sharkovskii, Boyland) ; d'autre part la caracterisation de l'existence d'une structure de suspension pour certaines surfaces branchees (Williams). Le troisiµeme chapitre traite de la recherche de caracterisations, combinatoires ou dynamiques, des automorphismes geometriques parmi les automorphismes du groupe libre.

La classe des graphes quasi-médians est une généralisation des graphes médians, ou de manière équivalente, des complexes cubiques CAT(0). L'objectif de cette thèse est d'introduire ces graphes dans le monde de la théorie géométrique des groupes. Dans un premier temps, nous étendons la notion d'hyperplan définie dans les complexes cubiques CAT(0), et nous montrons que la géométrie d'un graphe quasi-médian se réduit essentiellement à la combinatoire de ses hyperplans. Dans la deuxième partie de notre texte, qui est le cœur de la thèse, nous exploitons la structure particulière des hyperplans pour démontrer des résultats de combinaison. L'idée principale est que si un groupe agit d'une bonne manière sur un graphe quasi-médian de sorte que les stabilisateurs de cliques satisfont une certaine propriété P de courbure négative ou nulle, alors le groupe tout entier doit satisfaire P également. Les propriétés que nous considérons incluent : l'hyperbolicité (éventuellement relative), les compressions lp (équivariantes), la géométrie CAT(0) et la géométrie cubique. Finalement, la troisième et dernière partie de la thèse est consacrée à l'application des critères généraux démontrés précédemment à certaines classes de groupes particulières, incluant les produits graphés, les groupes de diagrammes introduits par Guba et Sapir, certains produits en couronne, et certains graphes de groupes. Les produits graphés constituent notre application la plus naturelle, où le lien entre le groupe et son graphe quasi-médian associé est particulièrement fort et explicite; en particulier, nous sommes capables de déterminer précisément quand un produit graphé est relativement hyperbolique
The class of quasi-median graphs is a generalisation of median graphs, or equivalently of CAT(0) cube complexes. The purpose of this thesis is to introduce these graphs in geometric group theory. In the first part of our work, we extend the definition of hyperplanes from CAT(0) cube complexes, and we show that the geometry of a quasi-median graph essentially reduces to the combinatorics of its hyperplanes. In the second part, we exploit the specific structure of the hyperplanes to state combination results. The main idea is that if a group acts in a suitable way on a quasi-median graph so that clique-stabilisers satisfy some non-positively curved property P, then the whole group must satisfy P as well. The properties we are interested in are mainly (relative) hyperbolicity, (equivariant) lp-compressions, CAT(0)-ness and cubicality. In the third part, we apply our general criteria to several classes of groups, including graph products, Guba and Sapir's diagram products, some wreath products, and some graphs of groups. Graph products are our most natural examples, where the link between the group and its quasi-median graph is particularly strong and explicit; in particular, we are able to determine precisely when a graph product is relatively hyperbolic