Dissertations / Theses on the topic 'Graphes paramétrés'

Nous considérons des graphes orientés pondérés dont l’énergie est paramétrée. Nous proposons dans un premier temps un algorithme qui, étant donné un graphe et un de ses sommets, renvoie des arbres, chaque arbre représentant les plus courtschemins depuis la source vers tous les autres sommets du graphe pour une zone particulière de l’espace des paramètres. De plus l’union de ces zones couvre l’espace des paramètres. Nous considérons ensuite l’accessibilité dans les graphes à énergie multidimensionnelle, avec un type de contraintes plus absolues qui imposent que l’énergie reste entre des bornes. Nous montrons la décidabilité et la complexité du problème quel que soit le nombre de paramètres et de dimensions lorsque les paramètres prennent des valeurs entières. Nous montrons également l’indécidabilité de ce problème avec au moins un paramètre lorsque la dimension est supérieure ou égale à deux. Nous étudions enfin des jeux de parité à un et deux joueurs sur les graphes paramétrés dont l’objectif est la conjonction d’une condition qualitative sur la parité et d’une condition quantitative : l’énergiedoit rester positive. Nous montrons la décidabilité et prouvons des bornes de la complexité du problème de la recherche d’une stratégie gagnante dans les cas à un et à deux joueurs
We are considering weighted oriented graphs with parametrized energy. Firstly we propose an algorithm that, given a graph and one of its vertices, returns trees, every tree representing shortest-paths from the source to every other vertex for a particular zone of the parameter space. Moreover, union of these zones is a covering of the parameter space. Then we consider reachability in graphs with multi-dimensional energy, with stricter constraints that enforce the energy to stay between bounds. We prove decidabilty and complexity of this problem regardless of the dimension and the number of parameters when parameters take integer values. We alsoprove the undecidability of this problem when there is at least one parameter and the dimension is at least two. Finally we study paritygames on parametrized graphs with one and two players whose objective is the conjunction of a qualitative condition on the parity andquantitative one : energy must stay positive. We show the decidability and prove bounds on the complexity of the problem of searchinga winning strategy in both cases with one and two players

My thesis focusses on two applications of network flow problems. We emphasize on networks modelling energy or fluid distribution and telecommunication services. We study two differents aspects:The first aspect consists of the sensitivity analysis of flows in distribution networks. That is the analysis of the effects of one or more capacity variations on the all pairs maximum flow values. Moreover, we evaluate the importance of an edge in the network. Our contributions begin with a correction of the unique method in the literature that dealed with the case of a single capacity variation. We then propose simple and efficient algorithms to solve the same case, before proposing a generalization to the case of more than one capacity variation. Our algorithms and methods are based on Gomory-Hu cut trees. Given an undirected network in which capacities lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \ldots \lambda_k are varying. We show that ^k Gomory-Hu cut tree computations are sufficient in order to determine the all pairs maximum flow values. As far as link importance analysis is concerned, we show that two Gomory-Hu cut tree computations are sufficient to determine the set of all vertex pairs for which any maximum flow saturates the studied link. The second aspect concerns resource allocation in a telecommunicationnetwork with an objective of demands satisfaction. To do so, we study this problem using pricing in order to handle network congestion while taking into account users behaviour and the operator's profit maximization objective. We use a bi-level programming approach to solve the problem. With an Augmented Lagrangian method, we solve the resource allocation problem by associating the Lagrangian multipliers to the network link prices. We then use the Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions to verify about the multipliers (prices) unicity. In case the multipliers are not unique, we show that a second optimization problem over the multipliers (prices) can be solved in order to improve the network revenu
La thèse se focalise sur des applications des problèmes de flots dans des réseaux modélisant, d'une part des réseaux de distribution de fluide ou d'énergie et d'autre part des réseaux de télécommunication. Nous nous sommes intéressés à deux aspects :Le premier aspect consiste en une analyse de sensibilité des flots sur les réseaux de distribution, c'est à dire, l'étude de l'impact de la variation de la capacité d'une ou de plusieurs arêtes sur l'ensemble des valeurs de flot maximum entre toutes les paires de sommets du réseau. En outre, nous nous sommes intéressés à la rentabilité d'une arête donnée dans un réseau. Nous avons d'abord apporté des corrections à l'unique méthode qui existait dans le cas d'une capacité d'arête qui varie et nous avons proposé des algorithmes simples et efficaces pour résoudre le cas de plusieurs capacités qui varient. Nos méthodes sont basées sur les arbres de coupes de Gomory et Hu. 'Etant donné un réseau non orienté ayant capacités qui peuvent varier avec des paramètres lambda_1,\lambda_2, \lambda_3, \ldots \lambda_k, nous avons montré que 2^k calculs d'un arbre de coupes de Gomory et Hu étaient suffisants pour déterminer les valeurs de flot maximum entre toutes les paires de sommets dans le réseau. En ce qui concerne le problème de la rentabilité d'un lien, nous avons montré que juste 2 calculs d'un arbre de coupes de Gomory et Hu suffisaient pour déterminer l'ensemble des paires de sommets pour lesquelles tout flot maximum sature le lien cible. Le second aspect concerne l'allocation de ressources dans un réseau de télécommunication pour la satisfaction de requêtes d'utilisateurs. Pour ce faire, nous avons étudié ce problème par le biais de la tarification pour gérer la congestion tout en tenant compte du comportement des utilisateurs et de la volonté de profit del'opérateur. Nous avons utilisé une approche bi-niveaux pour résoudre le problème. Avec la méthode du Lagragien augmenté, nous résolvons le problème d'allocation de ressources en associant les multiplicateurs de Lagrange aux prix sur les liens du réseaux. Nous utilisons ensuite les conditions d'optimalité de Karush-Kuhn-Tucker pour vérifier si les ultiplicateurs (prix) sont uniques ou pas. Au cas de non unicité nous montrons comment on peut résoudre un deuxième problème d'optimisation sur ces multiplicateurs (prix) afin d'améliorer le revenu sur le réseau

Cette thèse porte sur des aspects structuraux et algorithmiques des graphes. Elle est divisée en deux parties, qui comportent deux études différentes : une partie sur des algorithmes centralisés-séquentiels, et une autre sur des algorithmes distribués. Dans la première partie, on étudie des aspects algorithmiques de deux structures de graphes appelés séparateurs minimaux et cliques maximales potentielles. Ces deux objets sont au coeur d'un méta-théorème dû à Fomin, Todinca and Villanger (SIAM J. Comput. 2015), qui affirme qu'une grande famille des problèmes d'optimisation peut être résolue en temps polynomial, si le graphe d'entrée contient un nombre polynomial de séparateurs minimaux. La contribution de cette partie consiste à prolonger le méta-théorème de Fomin et al. de deux manières : d'un côté, on l'adapte pour qu'il soit valide pour une plus grande famille des problèmes ; de l'autre, on étend ces résultats à des version paramétrées, pour certains paramètres des graphes. La deuxième partie de la thèse correspond à une étude du modèle appelé « Diffusion dans une Clique Congestionnée ». Dans ce modèle, les sommets d'un graphe communiquent entre eux dans des rondes synchrones, en diffusant un message de petite taille, visible par tout autre sommet. L'objectif ici est d'élaborer des protocoles qui reconnaissent des classes de graphes, en minimisant la taille des messages et le nombre de rondes. La contribution de cette partie est l'étude du rôle du hasard dans ce modèle, et la conception de protocoles pour la reconnaissance et la reconstruction des certaines classes des graphes
This thesis is about structural and algorithmic aspects of graphs. It is divided in two parts, which are about two different studies: one part is about centralized-sequential algorithms, and the other part is about distributed algorithms. In the first part of the thesis we study algorithmic applications of two graph structures called minimal separators and potential maximal cliques. These two objects are in the core of a meta-theorem due to Fomin, Todinca and Villanger (SIAM J. Comput. 2015), which states that a large family of graph optimization problems can be solved in polynomial time, when the input is restricted to the family of graphs with polynomially many minimal separators. The contribution of this part of the thesis is to extend the meta-theorem of Fomin et al. in two ways. On one hand, we adapt it to be valid into a larger family of problems. On the other hand, we extend it into a parameterized version, for several graph parameters. In the second part of this thesis we study the broadcast congested clique model. In this model, the nodes of a graph communicate in synchronous rounds, broadcasting a message of small size visible to every other node. The goal is to design protocols that recognize graph classes minimizing the number of rounds and the message sizes. The contribution of this part is to explore the role of randomness on this model, and provide protocols for the recognition and reconstruction of some graph classes

Dans cette thèse, nous abordons des problèmes NP-difficiles à l'aide de techniques combinatoires, en se focalisant sur le domaine de la complexité paramétrée. Les principaux problèmes que nous considérons sont les problèmes de Multicoupe et d'Arbre Orienté Couvrant avec Beaucoup de Feuilles. La Multicoupe est une généralisation naturelle du très classique problème de coupe, et consiste à séparer un ensemble donné de paires de sommets en supprimant le moins d'arêtes possible dans un graphe. Le problème d'Arbre Orienté Couvrant avec Beaucoup de Feuilles consiste à trouver un arbre couvrant avec le plus de feuilles possible dans un graphe dirigé. Les résultats principaux de cette thèse sont les suivants. Nous montrons que le problème de Multicoupe paramétré par la taille de la solution est FPT (soluble à paramètre fixé), c'est-à-dire que l'existence d'une multicoupe de taille k dans un graphe à n sommets peut être décidée en temps f(k) ∗ poly(n). Nous montrons que Multicoupe dans les arbres admet un noyau polynomial, c'est-à-dire est réductible aux instances de taille polynomiale en k. Nous donnons un algorithme en temps O∗(3.72k) pour le problème d'Arbre Orienté Couvrant avec Beaucoup de Feuilles et le premier algorithme exponentiel exact non trivial (c'est-à-dire meilleur que 2n). Nous fournissons aussi un noyau quadratique et une approximation à facteur constant. Ces résultats algorithmiques sont basés sur des résultats combinatoires et des propriétés structurelles qui concernent, entre autres, les décompositions arborescentes, les mineurs, des règles de réduction et les s−t numberings. Nous présentons des résultats combinatoires hors du domaine de la complexité paramétrée: une caractérisation des graphes de cercle Helly comme les graphes de cercle sans diamant induit, et une caractérisation partielle des classes de graphes 2-bel-ordonnées.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution exacte de problèmes NP-difficiles sur les graphes et les hypergraphes. Les problèmes que nous étudions regroupent dans un premier temps des variantes du problème classique du nombre chromatique. Les variantes de ce problème se distinguent par la difficulté introduite par les relations entre les classes de couleurs, ou la difficulté de reconnaissance des classes de couleurs elles-mêmes. Puis nous ferons le lien avec les problèmes de transversaux sur les hypergraphes. Plus particulièrement, il s’agira de s’intéresser à l’énumération de transversaux minimaux dans un hypergraphe de rang borné. Outre la résolution exacte, nous nous intéressons à la résolution à paramètre fixe. Le problème de racine carrée de graphe est un problème important en théorie des graphes. Nous proposons et montrons la solubilité à paramètre fixe de deux problèmes d’optimisation reliés. Finalement, nous nous intéresserons à la résolution de problèmes de graphe, soit en lien avec les problèmes de colorations, soit pour montrer les performances possibles de différents algorithmes en fonction de l’espace mémoire disponible. Dans cette thèse, nous aurons à cœur d’appliquer judicieusement la grande majorité des techniques essentielles en algorithmique exacte exponentielle. Principalement, nous appliquerons la programmation dynamique ou le principe d’inclusion-exclusion pour les problèmes de coloration. La technique de programmation dynamique se retrouvera pour d’autres problèmes de cette thèse, aux côtés d’autres méthodes comme la technique de branchement ou de mesurer et conquérir
In this thesis, we are interested in the exact computation of np-hard problems on graphs and hypergraphs. Firstly, we study several variants of colorings. Those variants appear harder than the famous chromatic number problem, by adding difficulty in recognizing the color classes, or more often by introducing various relationships between them. Then we link to problems of transversals in hypergraphs. More precisely, we are interested in enumerating minimal transversals in bounded ranked hypergraphs. Besides the exact computation, we are also interested in fixed parameter tractability. For this area, we study two optimization versions of the famous square root of graphs problem. Finally, we will be interested in solving other problems of graphs related to colorings, or in order to compare efficiencies of algorithms depending on the memory space available. In this thesis, we will apply most of major techniques in designing exact exponential algorithms. The main techniques we use are dynamic programming, inclusion-exclusion, branching, or measure and conquer

Afin de mieux comprendre le fonctionnement d'un système biologique, il est nécessaire d'étudier les différentes entités qui le composent. Pour cela, on peut modéliser ces interactions biologiques sous la forme de graphes. Pour certains de ces graphes, les sommets sont colorés afin d'apporter une information supplémentaire sur la couleur qui leur est associée. Dans ce cadre, une problématique courante consiste à y rechercher un sous-graphe d'intérêt appelé motif. Dans la première partie de ce manuscrit, on présente un état de l'art d'un point de vue algorithmique sur le problème GRAPH MOTIF, qui consiste à rechercher des motifs dits fonctionnels dans ce type de graphes. La modélisation de systèmes biologiques sous la forme de graphes peut également être appliquée em spectrométrie de masse. Ainsi, on introduit le problème MAXIMUM COLORFUL ARBORESCENCE (MCA) dans le but de déterminer de novo la formule moléculaire de métabolites inconnus. Dans la deuxième partie de ce manuscrit, on réalise une étude algorithmique du problème MCA. Alors que MCA est algorithmiquement difficile à résoudre même dans des classes de graphes très contraintes, notre modélisation nous permet notamment d'obtenir de nouveaux algorithmes d'approximation dans ces mêmes classes, ainsi que de déterminer une nouvelle classe de graphes dans laquelle MCA se résout en temps polynomial. On montre également des résultats de complexité paramétrée pour ce problème, que l'on compare ensuite à ceux de la littérature sur des instances issues de données biologiques
Ln order to better understand how a biological system works, it is necessary to study the interactions between the different entities that compose it. To this aim, these biological interactions can be modelled in the form of graphs. ln some of these graphs, the vertices are colored in order to provide additional information on the entity which is associated with them. ln this context, a common subproblem consists in searching for a subgraph of interest, called a motif, in these graphs. ln the first part of this manuscript, we present a state of the art from an algorithmical point of view of the GRAPH MOTIF problem, which consists in searching for so-called functional motifs in vertex-colored graphs. The modeling of biological systems in graphs form can also be applied in mass spectrometry. Thus, we introduce the MAXIMUM COLORFUL ARBORESCENCE problem (MCA) in order to de novo determine the molecular formula of unknown metabolites. ln the second part of this manuscript, we carry out an algorithmic study of the MCA problem. While MCA is algorithmically difficult to solve even in very constrained graph classes, our modeling allows us to obtain new approximation algorithms in these same classes, as well as to determine a new graph class in which MCA is solved in polynomial time. Parameterized complexity results for this problem are also shown, which are then compared to those in the literature on instances from biological data

La théorie de la NP-complétude nous apprend que pour un certain nombre de problèmes d'optimisation, il est vain d'espérer un algorithme efficace calculant une solution optimale. Partant de ce constat, un moyen pour contourner cet obstacle est de réaliser un compromis sur chacun de ces critères, engendrant deux approches devenues classiques. La première, appelée approximation polynomiale, consiste à développer des algorithmes efficaces et retournant une solution proche d'une solution optimale. La seconde, appelée complexité paramétrée, consiste à développer des algorithmes retournant une solution optimale mais dont l'explosion combinatoire est capturée par un paramètre de l'entrée bien choisi. Cette thèse comporte deux objectifs. Dans un premier temps, nous proposons d'étudier et d'appliquer les méthodes classiques de ces deux domaines afin d'obtenir des résultats positifs et négatifs pour deux problèmes d'optimisation dans les graphes : un problème de partition appelé Sparsest k-Compaction, et un problème de recherche d'un sous-graphe avec une cardinalité fixée appelé Sparsest k-Subgraph. Dans un second temps, nous présentons comment les méthodes de ces deux domaines ont pu se combiner ces dernières années pour donner naissance au principe d'approximation paramétrée. En particulier, nous étudierons les liens entre approximation et algorithmes de noyaux
The theory of NP-completeness tells us that for many optimization problems, there is no hope for finding an efficient algorithm computing an optimal solution. Based on this, two classical approaches have been developped to deal with these problems. The first one, called polynomial- time approximation, consists in designing efficient algorithms computing a solution that is close to an optimal one. The second one, called param- eterized complexity, consists in designing exact algorithms which com- binatorial explosion is captured by a carefully chosen parameter of the instance. The goal of this thesis is twofold. First, we study and apply classical methods from these two domains in order to obtain positive and negative results for two optimization problems in graphs: a partitioning problem called Sparsest k-Compaction, and a cardinality constraint subgraph problem called Sparsest k-Subgraph. Then, we present how the different methods from these two domains have been combined in recent years in a concept called parameterized approximation. In particular, we study the links between approximation and kernelization algorithms

Dans cette thèse, nous étudions la complexité algorithmique de problèmes d'optimisation impliquant un processus de diffusion dans un graphe. Plus précisément, nous nous intéressons tout d'abord au problème de sélection d'un ensemble cible. Ce problème consiste à trouver le plus petit ensemble de sommets d'un graphe à "activer" au départ tel que tous les autres sommets soient activés après un nombre fini d'étapes de propagation. Si nous modifions ce processus en permettant de "protéger" un sommet à chaque étape, nous obtenons le problème du pompier dont le but est de minimiser le nombre total de sommets activés en protégeant certains sommets. Dans ce travail, nous introduisons et étudions une version généralisée de ce problème dans laquelle plus d'un sommet peut être protégé à chaque étape. Nous proposons plusieurs résultats de complexité pour ces problèmes à la fois du point de vue de l'approximation mais également de la complexité paramétrée selon des paramètres standards ainsi que des paramètres liés à la structure du graphe.

Dans cette thèse, nous étudions diverses largeurs de graphes autour de la largeur arborescente ainsi que de la largeur de clique. Nous commençons avec une étude comparative entre la largeur arborescente d’un graphe et la largeur de clique du graphe d’incidence associé, de laquelle nous extrayons des résultats algorithmiques encourageants. Puis nous présentons quelques propriétés structurelles liées à la largeur arborescente spéciale, largeur relativement récente qui est à mi-chemin entre les deux largeurs précédentes. Enfin nous nous intéressons à une notion plus générale connue sous le nom de fonction de partition sous-modulaire qui englobe, entre autres, les largeurs arborescentes « classique » et spéciale, la largeur de chemin ainsi que la largeur linéaire et les largeurs de branches de coupe et de découpe. Nous présentons alors un algorithme linéaire à paramètre fixé pour le calcul de ces différentes largeurs, lequel généralise un certain nombre de résultats propres à chacune de ces largeurs
In this thesis, we study some width parameters on graphs, beyond tree-width and clique-width. Our first investigation is a comparative study between the tree-width of a graph and the clique-width of the associated incidence graph, from which we extract some strong algorithmic results. Then we present a few structural properties over a recently defined width called special tree-width and which takes its definition through both tree-width and clique-width. Finally, we end our journey with a more general notion named sub-modular partition fonction and which encompass both “classic” and special tree-widths, path-width, branch-width, linear-width, cut-width and carvingwidth among others. So, we introduce a fixed parameter tractable algorithm computing those widths parameters and thus we generalize a number of results specific to each of them

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation pour la commande des systèmes physiques à topologie variable. La modélisation du système physique non commandé, est effectuée par une formulation qui conserve explicitement la représentation de l’interconnexion et l’énergie, ce qui permettra l’étude des systèmes non-réguliers par une approche modulaire basée sur le concept de l’énergie. Le principal objectif est alors de représenter de manière structurée toutes les configurations du système, en terme de comportement physiquement possible. Les résultats présentés dans ce mémoire ont pour support un formalisme réseau dynamique pour lequel la théorie des graphes fournit plusieurs représentations mathématiques. Celles-ci permettent la formulation des structures d’interconnexion du système sous forme d’une famille paramétrée de Dirac. Une formulation Hamiltonienne à ports est donc établie à partir de cette expression pour les systèmes physiques à topologie variable incluant des sources d’énergie, des éléments en excès ou des éléments dissipatifs. Cette méthode de modélisation permet d’obtenir un modèle des dynamiques du système mais aussi de ces interconnexions. La représentation sous forme de graphes dynamiques facilite l’analyse des configurations admissibles et des configurations contraintes du système

En algorithmique et en complexité, la plus grande part de la recherche se base sur l’hypothèse que P ≠ NP (Polynomial time et Non deterministic Polynomial time), c'est-à-dire qu'il existe des problèmes dont la solution peut être vérifiée mais non construite en temps polynomial. Si cette hypothèse est admise, de nombreux problèmes naturels ne sont pas dans P (c'est-à-dire, n'admettent pas d'algorithme efficace), ce qui a conduit au développement de nombreuses branches de l'algorithmique. L'une d'elles est la complexité paramétrée. Elle propose des algorithmes exacts, dont l'analyse est faite en fonction de la taille de l'instance et d'un paramètre. Ce paramètre permet une granularité plus fine dans l'analyse de la complexité.Un algorithme sera alors considéré comme efficace s'il est à paramètre fixé, c'est-à-dire, lorsque sa complexité est exponentielle en fonction du paramètre et polynomiale en fonction de la taille de l'instance. Ces algorithmes résolvent les problèmes de la classe FPT (Fixed Parameter Tractable).L'extraction de noyaux est une technique qui permet, entre autre, d’élaborer des algorithmes à paramètre fixé. Elle peut être vue comme un pré-calcul de l'instance, avec une garantie sur la compression des données. Plus formellement, une extraction de noyau est une réduction polynomiale depuis un problème vers lui même, avec la contrainte supplémentaire que la taille du noyau (l'instance réduite) est bornée en fonction du paramètre. Pour obtenir l’algorithme à paramètre fixé, il suffit de résoudre le problème dans le noyau, par exemple par une recherche exhaustive (de complexité exponentielle, en fonction du paramètre). L’existence d'un noyau implique donc l'existence d'un algorithme à paramètre fixé, la réciproque est également vraie. Cependant, l’existence d'un algorithme à paramètre fixé efficace ne garantit pas un petit noyau, c'est a dire un noyau dont la taille est linéaire ou polynomiale. Sous certaines hypothèses, il existe des problèmes n’admettant pas de noyau (c'est-à-dire hors de FPT) et il existe des problèmes de FPT n’admettant pas de noyaux polynomiaux.Un résultat majeur dans le domaine des noyaux est la construction d'un noyau linéaire pour le problème Domination dans les graphes planaires, par Alber, Fellows et Niedermeier.Tout d'abord, la méthode de décomposition en régions proposée par Alber, Fellows et Niedermeier, a permis de construire de nombreux noyaux pour des variantes de Domination dans les graphes planaires. Cependant cette méthode comportait un certain nombre d’imprécisions, ce qui rendait les preuves invalides. Dans la première partie de notre thèse, nous présentons cette méthode sous une forme plus rigoureuse et nous l’illustrons par deux problèmes : Domination Rouge Bleue et Domination Totale.Ensuite, la méthode a été généralisée, d'une part, sur des classes de graphes plus larges (de genre borné, sans-mineur, sans-mineur-topologique), d'autre part, pour une plus grande variété de problèmes. Ces méta-résultats prouvent l’existence de noyaux linéaires ou polynomiaux pour tout problème vérifiant certaines conditions génériques, sur une classe de graphes peu denses. Cependant, pour atteindre une telle généralité, il a fallu sacrifier la constructivité des preuves : les preuves ne fournissent pas d'algorithme d'extraction constructif et la borne sur le noyau n'est pas explicite. Dans la seconde partie de notre thèse nous effectuons un premier pas vers des méta-résultats constructifs ; nous proposons un cadre général pour construire des noyaux linéaires en nous inspirant des principes de la programmation dynamique et d'un méta-résultat de Bodlaender, Fomin, Lokshtanov, Penninkx, Saurabh et Thilikos
In the fields of Algorithmic and Complexity, a large area of research is based on the assumption that P ≠ NP(Polynomial time and Non deterministic Polynomial time), which means that there are problems for which a solution can be verified but not constructed in polynomial time. Many natural problems are not in P, which means, that they have no efficient algorithm. In order to tackle such problems, many different branches of Algorithmic have been developed. One of them is called Parametric Complexity. It consists in developing exact algorithms whose complexity is measured as a function of the size of the instance and of a parameter. Such a parameter allows a more precise analysis of the complexity. In this context, an algorithm will be considered to be efficient if it is fixed parameter tractable (fpt), that is, if it has a complexity which is exponential in the parameter and polynomial in the size of the instance. Problems that can be solved by such an algorithm form the FPT class.Kernelisation is a technical that produces fpt algorithms, among others. It can be viewed as a preprocessing of the instance, with a guarantee on the compression of the data. More formally, a kernelisation is a polynomial reduction from a problem to itself, with the additional constraint that the size of the kernel, the reduced instance, is bounded by a function of the parameter. In order to obtain an fpt algorithm, it is sufficient to solve the problem in the reduced instance, by brute-force for example (which has exponential complexity, in the parameter). Hence, the existence of a kernelisiation implies the existence of an fpt algorithm. It holds that the converse is true also. Nevertheless, the existence of an efficient fpt algorithm does not imply a small kernel, meaning a kernel with a linear or polynomial size. Under certain hypotheses, it can be proved that some problems can not have a kernel (that is, are not in FPT) and that some problems in FPT do not have a polynomial kernel.One of the main results in the field of Kernelisation is the construction of a linear kernel for the Dominating Set problem on planar graphs, by Alber, Fellows and Niedermeier.To begin with, the region decomposition method proposed by Alber, Fellows and Niedermeier has been reused many times to develop kernels for variants of Dominating Set on planar graphs. Nevertheless, this method had quite a few inaccuracies, which has invalidated the proofs. In the first part of our thesis, we present a more thorough version of this method and we illustrate it with two examples: Red Blue Dominating Set and Total Dominating Set.Next, the method has been generalised to larger classes of graphs (bounded genus, minor-free, topological-minor-free), and to larger families of problems. These meta-results prove the existence of a linear or polynomial kernel for all problems verifying some generic conditions, on a class of sparse graphs. As a price of generality, the proofs do not provide constructive algorithms and the bound on the size of the kernel is not explicit. In the second part of our thesis, we make a first step to constructive meta-results. We propose a framework to build linear kernels based on principles of dynamic programming and a meta-result of Bodlaender, Fomin, Lokshtanov, Penninkx, Saurabh and Thilikos

Les décompositions de graphes, lorsqu'elles sont de petite largeur, sont souvent utilisées pour résoudre plus efficacement des problèmes étant difficiles dans le cas de graphes quelconques. Dans ce travail de thèse, nous nous intéressons aux limites liées à ces décompositions, et à la construction d'obstructions certifiant leur grande largeur. Dans une première partie, nous donnons un algorithme généralisant et unifiant la construction d'obstructions pour différentes largeurs de graphes, en temps XP lorsque paramétré par la largeur considérée. Nous obtenons en particulier le premier algorithme permettant de construire efficacement une obstruction à la largeur arborescente en temps O^{tw+4}. La seconde partie de notre travail porte sur l'étude du problème Ensemble [Sigma,Rho]-Dominant, une généralisation des problèmes de domination sur les graphes et caractérisée par deux ensembles d'entiers Sigma et Rho. Les diverses études de ce problème apparaissant dans la littérature concernent uniquement les cas où le problème est FPT, lorsque paramétré par la largeur arborescente. Nous montrons que ce problème ne l'est pas toujours, et que pour certains cas d'ensembles Sigma et Rho, il devient W[1]-difficile lorsque paramétré par la largeur arborescente. Dans la dernière partie, nous étudions la complexité d'un nouveau problème de coloration appelé k-Coloration Additive, combinant théorie des graphes et théorie des nombres. Nous montrons que ce nouveau problème est NP-complet pour tout k >= 4 fixé, tandis qu'il peut être résolu en temps polynomial sur les arbres pour k quelconque et non fixé.

Nos recherches traitent de coloration de graphes avec des contraintes de distance (coloration de packing) ou des contraintes sur le voisinage (coloration de Grundy). Soit S={si| i in N*} une série croissante d’entiers. Une S -coloration de packing est une coloration propre de sommets telle que tout ensemble coloré i est un si-packing (un ensemble où tous les sommets sont à distance mutuelle supérieure à si). Un graphe G est (s1,... ,sk)-colorable si il existe une S -coloration de packing de G avec les couleurs 1, ...,,k. Une coloration de Grundy est une coloration propre de sommets telle que pour tout sommet u coloré i, u est adjacent à un sommet coloré j, pour chaque ji. Ces résultats nous permettent de déterminer des S-colorations de packings de ces grilles pour plusieurs séries d’entiers. Nous examinons une classe de graphe jamais étudiée en ce qui concerne la S -coloration de packing: les graphes subcubiques. Nous déterminons que tous les graphes subcubiques sont (1,2,2,2,2,2,2)-colorables et (1,1,2,2,3)-colorables. Un certain nombre de résultats sont prouvés pour certaines sous-classes des graphes subcubiques. Pour finir, nous nous intéressons au nombre de Grundy des graphes réguliers. Nous déterminons une caractérisation des graphes cubiques avec un nombre de Grundy de 4. De plus, nous prouvons que tous les graphes r-réguliers sans carré induit ont pour nombre de Grundy de r+1, pour r<5
Our research are about graph coloring with distance constraints (packing coloring) or neighborhood constraints (Grundy coloring). Let S={si| i in N*} be a non decreasing sequence of integers. An S-packing coloring is a proper coloring such that every set of color i is an si-packing (a set of vertices at pairwise distance greater than si). A graph G is (s1,... ,sk)-colorable if there exists a packing coloring of G with colors 1,... ,k. A Grundy coloring is a proper vertex coloring such that for every vertex of color i, u is adjacent to a vertex of color j, for each ji. These results allow us to determine S-packing coloring of these lattices for several sequences of integers. We examine a class of graph that has never been studied for S-packing coloring: the subcubic graphs. We determine that every subcubic graph is (1,2,2,2,2,2,2)-colorable and (1,1,2,2,3)-colorable. Few results are proven about some subclasses. Finally, we study the Grundy number of regular graphs. We determine a characterization of the cubic graphs with Grundy number 4. Moreover, we prove that every r-regular graph without induced square has Grundy number r+1, for r<5

L'alignement de macromolécules biologiques comme les protéines, l'ADN ou encore l'ARN est une problématique biologique et bio-informatique qui a pour but de révéler une partie des mystères du fonctionnement des cellules, constituants des êtres vivants. Les ARN non-codant sont des macromolécules intervenant dans le métabolisme de tout être vivant et les deux problématiques majeurs les concernant sont: la prédiction de leur structure pour mieux comprendre leur fonctionnement et leur détection dans des bases de données ou des génomes. L'une des approches: l'alignement structure-séquence d'ARN, répond à ces deux problématiques. Le problème d'alignement structure-séquence consiste à aligner une structure connue d'un premier ARN avec la séquence d'un deuxième ARN.La structure est représentée sous la forme d'un graphe ou de façon équivalente sous la forme d'une séquence arc-annotées et la séquence représente la suite des nucléotides de l'ARN.Pour résoudre ce problème, nous cherchons à optimiser l'alignement selon une fonction de coût. C'est donc un problème d'optimisation, qui malheureusement se révèle NP-Difficile.En conséquence différents travaux définissent des classes d'instances réduites pour lesquelles ils proposent des algorithmes spécifiques mais à complexités polynomiales.Les travaux de ma thèse unifient et la généralisent les approches précédentes par la construction d'un algorithme à complexité paramétrée non spécifique à une classe d'instances. En utilisant cet algorithme, il est possible de résoudre le problème d'alignement structure-séquence pour toutes les instances possibles, et aussi efficacement que les précédentes approches sur leur domaine de résolution respectif. Cet algorithme utilise une technique empruntée à la théorie des graphes: la décomposition arborescente, c'est-à-dire qu'il transforme la structure donnée en une décomposition arborescente et c'est ensuite cette décomposition qui est alignée avec la séquence donnée. L'alignement entre une décomposition arborescente et une séquence se fait par programmation dynamique.Sa mise en place a nécessité une reformulation du problème ainsi qu'une modification importante de l'utilisation classique de la programmation dynamique pour les décompositions arborescentes. Au final, cela conduit à un algorithme paramétré dont le paramètre est entièrement lié à la décomposition arborescente. La construction des décompositions arborescentes pour lesquelles l'alignement s'effectuera plus le efficacement possible est malheureusement un problème lui aussi NP-Difficile. Néanmoins, nous avons créé une heuristique de construction de décompositions adaptée aux structures d'ARN.Nous avons alors défini des nouvelles classes de structures pour lesquelles notre algorithme (décomposition et alignement) possède une faible complexité. Ces classes incluent notamment toutes les autres classes précédemment définies et la complexité de notre algorithme est au moins aussi faible que celles des algorithmes spécifiques sur leurs classes de structures respectives. Ces classes de structures représentent la majorité des structures connues et contiennent de nombreux éléments importants jusqu'alors non pris en compte (tel que les motifs tertiaires d'ARN). Le problème de l'alignement structure-séquence tente de répondre aux problématiques de prédictions de structures et de recherche d'ARN. Néanmoins, la qualité des résultats obtenus par sa résolution dépendent de la fonction de coût utilisée. Durant ma thèse j'ai commencé la mise place de la construction par apprentissage d'une nouvelle fonction de coût, adaptée aux nouvelles classes de structures que nous avons défini. Enfin de par la nature de l'algorithme, le travail réalisé permet des améliorations non négligeables, en terme de qualité des résultats et de rapidité de calcul comme la recherche de solution sous-optimales ou l'utilisation de l'algorithme au sein d'heuristiques dérivées d'heuristiques classiques.

Dans le cadre de cette thèse, nous considérons la complexité paramétrée de problèmes NP- complets. Plus précisément, nous nous intéressons à l'existence d'algorithmes de noyau polynomiaux pour des problèmes d'édition de graphes et de relations. Nous introduisons en particulier la notion de branches, qui permet d'obtenir des algorithmes polynomiaux pour des problèmes d'édition de graphes lorsque la classe de graphes cible respecte une décomposition d'adjacence. Cette technique nous permet ainsi d'élaborer les premiers algorithmes de noyaux polynomiaux pour les problèmes CLOSEST 3-LEAF POWER, COGRAPH EDITION et PROPER INTERVAL COMPLETION. Concernant les problèmes d'édition de relations, nous étendons la notion de Conflict Packing, qui a déjà été utilisée dans quelques problèmes paramétrés et permet d'élaborer des algorithmes de noyau linéaires pour différents problèmes. Nous présentons un noyau linéaire pour le problème FEEDBACK ARC SET IN TOURNAMENTS, et adaptons les techniques utilisées pour obtenir un noyau linéaire pour le problème DENSE ROOTED TRIPLET INCONSISTENCY. Dans les deux cas, nos résultats améliorent la meilleure borne connue, à savoir un noyau quadratique. Finalement, nous appliquons cette tech- nique sur les problèmes DENSE BETWEENNESS et DENSE CIRCULAR ORDERING, obtenant à nouveau des noyaux linéaires, qui constituent les premiers algorithmes de noyau polynomiaux connus pour ces problèmes.

Nous étudions des problèmes NP-difficiles portant sur les graphes contenant des blocages.Nous traitons les problèmes de coupes du point de vue de la complexité paramétrée. La taille p de la coupe est le paramètre. Étant donné un ensemble de sources {s1,...,sk} et une cible t, nous proposons un algorithme qui construit une coupe de taille au plus p séparant au moins r sources de t. Nous nommons ce problème NP-complet Partial One-Target Cut. Notre algorithme est FPT. Nous prouvons également que la variante de Partial One-Target Cut, où la coupe est composée de noeuds, est W[1]-difficile. Notre seconde contribution est la construction d'un algorithme qui compte les coupes minimums entre deux ensembles S et T en temps $2^{O(plog p)}n^{O(1)}$.Nous présentons ensuite plusieurs résultats sur le ratio de compétitivité des stratégies déterministes et randomisées pour le problème du voyageur canadien.Nous prouvons que les stratégies randomisées n'utilisant pas de mémoire ne peuvent pas améliorer le ratio 2k+1. Nous apportons également des éléments concernant les bornes inférieures de compétitivité de l'ensemble des stratégies randomisées. Puis, nous étudions la compétitivité en distance d'un groupe de voyageurs avec et sans communication. Enfin, nous nous penchons sur la compétitivité des stratégies déterministes pour certaines familles de graphes. Deux stratégies, avec un ratio inférieur à 2k+1 sont proposées: une pour les graphes cordaux avec poids uniformes et l'autre pour les graphes où la taille de la plus grande coupe minimale séparant s et t est au plus k
We study NP-hard problems on graphs with blockages seen as models of networks which are exposed to risk of failures.We treat cut problems via the parameterized complexity framework. The cutset size p is taken as a parameter. Given a set of sources {s1,...,sk} and a target $t, we propose an algorithm which builds a small edge cut of size p separating at least r sources from t. This NP-complete problem is called Partial One-Target Cut. It belongs to the family of multiterminal cut problems. Our algorithm is fixed-parameter tractable (FPT) as its execution takes $2^{O(p^2)}n^{O(1)}$. We prove that the vertex version of this problem, which imposes cuts to contain vertices instead of edges, is W[1]-hard. Then, we design an FPT algorithm which counts the minimum vertex (S,T)-cuts of an undirected graph in time $2^{O(plog p)}n^{O(1)}$.We provide numerous results on the competitive ratio of both deterministic and randomized strategies for the Canadian Traveller Problem. The optimal ratio obtained for the deterministic strategies on general graphs is 2k+1, where k is a given upper bound on the number of blockages. We show that randomized strategies which do not use memory cannot improve the bound 2k+1. In addition, we discuss the tightness of lower bounds on the competitiveness of randomized strategies. The distance competitive ratio for a group of travellers possibly equipped with telecommunication devices is studied. Eventually, a strategy dedicated to equal-weight chordal graphs is proposed while another one is built for graphs with small maximum (s,t)-cuts. Both strategies outperform the ratio 2k+1

Le problème de la détermination de la qualité d’une solution partielle se pose dans la majeure partie des approches algorithmiques cherchant à calculer progressivement une solution globale. L’élagage des arbres de recherche, la preuve de garanties d’approximation et l’efficacité des stratégies d’énumération sont des approches algorithmiques qui exigent souvent un moyen approprié de décider si une solution partielle donnée est un bon candidat pour l’étendre à une solution globale de bonne qualité. Dans cette thèse, nous étudions un type particulier de problèmes d’optimisation, appelés problèmes d’extension pour un grand nombre de problèmes basés sur des graphes. Contredisant peut-être l’intuition, ces problèmes ont tendance à être NP-difficile, même quand le problème d’optimisation sous-jacent peut être résolu en temps polynomial. Nous présentons de nombreux résultats positifs et négatifs de NP-difficulté et d’approximation pour différents scénarios d’entrée. De plus, nous étudions la complexité paramétrée des problèmes d’extension par rapport à la taille des pré-solutions, ainsi que l’optimalité de certains algorithmes exacts sous l’hypothèse du temps exponentielle
The problem of determining the quality of a partial solution occurs in almost every algorithmic approach that gradually computes a global solution. Pruning search trees, proving approximation guarantees, or the efficiency of enumeration strategies usually require a suitable way to decide if a given partial solution is a reasonable candidate to pursue for extension to a global one, of assured quality. In this thesis, we study a special type of optimization problems, called extension problems for a large number of optimization problems on graphs. Possibly contradicting intuition, these problems tend to be NP-hard, even for problems where the underlying optimization problem can be solved in polynomial time. We present many positive/negative hardness and approximation results for different input scenarios. Moreover, the parameterized complexity of extension problems with respect to size of partial solutions, as well as the optimality of some exact algorithms under the Exponential-Time Hypothesis (ETH) are studied