Academic literature on the topic 'Géométrie p-adique'

AbstractLet k be a complete, non-Archimedean valued field (the trivial absolute value is allowed) and let φ:X→Y be a morphism between two Berkovich k-analytic spaces; we show that, for any integer n, the set of points of X at which the local dimension of φ is at least equal to n is a Zariski-closed subset of X. In order to establish it, we first prove an analytic analogue of Zariski’s Main Theorem, and we also introduce, and study, the notion of an analytic system of parameters at a point.

RésuméSoit G un groupe réductif connexe défini sur un corps p-adique F et son algèbre de Lie. Les intégrales orbitales pondérées sur (F) sont des distributions JM(X, f)—f est une fonction test— indexées par les sous-groupes de Lévi M de G et les éléments semi-simples réguliers . Leurs analogues sur G sont les principales composantes du côté géométrique des formules des traces locale et globale d’Arthur.Si M = G, on retrouve les intégrales orbitales invariantes qui, vues comme fonction de X, sont borńees sur : c’est un résultat bien connu de Harish-Chandra. Si M ⊊ G, les intégrales orbitales pondérées explosent au voisinage des éléments singuliers. Nous construisons dans cet article de nouvelles intégrales orbitales pondérées (X, f), égales à JM(X, f) à un terme correctif près, qui tout en conservant les principales propriétés des précédentes (comportement par conjugaison, développement en germes, etc.) restent borńees quand X parcourt . Nous montrons également que les intégrales orbitales pondérées globales, associées à des éléments semi-simples réguliers, se décomposent en produits de ces nouvelles intégrales locales.

Le n-ieme nombre de Bell est le nombre de partitions d'un ensemble a n éléments, ces nombres de Bell ont des propriétés arithmétiques et combinatoires. De nombreux auteurs, par des méthodes différentes, ont étudie des congruences satisfaites par les nombres de Bell; par exemple Touchard, Carlitz, Radoux, Flajolet, Barsky. . . Etc. Ces nombres de Bell ont été généralisés par Carlitz en introduisant un paramètre supplémentaire. Le but de cette thèse est d'obtenir des congruences pour ces nombres de Bell généralisés. Elle comprend donc une introduction à l'étude des nombres de Bell généralisés, leur propriété et leurs congruences fondamentales. Nous généralisons les résultats de Radoux et de Carlitz pour les nombres de Bell ordinaires. Dans le deuxième chapitre nous introduisons le polynôme de Bell généralisés, et nous établissons des congruences entre ces polynômes. Enfin dans les deux derniers chapitres nous appliquons des théorèmes généraux d'analyse p-adique à la fonction génératrice des nombres de Bell généralisés. Nous obtenons ainsi des congruences plus fines entre ces nombres de Bell généralisés.

Soient p un nombre premier et F un corps local complet pour une caluation discrète de corps résiduel fini de caractéristique p. Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique et modulo p, qui a été initié par Breuil. Elle consiste en trois chapitres. Nous supposons F de caractéristique 0 au premier chapitre et F de caractéristique 0 non ramifié au troisième. Au premier chapitre, nous montrons une partie d'une conjecture de Breuil et Schneider sur l'existence de réseaux stables sur des représentations localement algébriques de \GL_n(F). Au deuxième chapitre, à une représentation lisse irréductible de \GL_2(F) sur overline F p avec caractère central, nous associons canoniquement un diagramme qui détermine la classe d'isomorphisme de la représentation de départ. Au troisieme chapitre, nous appliquons la construction du second chapitre aux représentations considérées par Breuil and Paskunas pour construire de nouvelles représentations supersingulières de \GL_2(F)
Let p be a prime and F be a complete discrete valuation field with a finite residual field of characteristic p. This thesis follows the p-adic and modulo p local Langlands programme which is proposed by Breuil. It consists of three chapters. Suppose moreover that F is of characteristic 0 in the first chapter and F unramified in the third. In the first chapter, we prove a part of a conjecture of Breuil and Schneider on the existence of stable lattices inside certain locally algebraic representations of \GL_n(F). In the second chapter, to an irreducible smooth representation of \GL_2(F) over \overline{\F}_p with a central character, we canonically associate a diagram which determines the isomorphism class of the original representation. In the third chapter, we use the construction of the second chapter to construct new supersingular representations in the cases considered by Breuil and Paskunas

Cette thèse est consacrée à deux variantes arithmétiques de la correspondance de Simpson. Dans la première partie, on compare la correspondance de Simpson p-adique à un analogue p-adique de la correspondance de Narasimhan et Seshadri pour les courbes sur les corps p-adiques dû à Deninger et Werner. Narasimhan et Seshadri ont établi une correspondance entre les fibrés vectoriels stables de degré zéro et les représentations unitaires du groupe fondamental topologique pour une courbe complexe propre et lisse. Par transport parallèle, Deninger et Werner ont associé fonctoriellement à chaque fibré vectoriel sur une courbe p-adique dont la réduction est fortement semi-stable de degré 0 une représentation p-adique du groupe fondamental de la courbe. Ils se sont posés quelques questions: si leur foncteur est pleinement fidèle ; si la cohomologie des systèmes locaux fournis par leur foncteur admet une filtration de Hodge-Tate ; et si leur construction est compatible avec la correspondance de Simpson p-adique développée par Faltings. On répond positivement à ces questions. La seconde partie est consacrée à la construction d'un relèvement de la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky modulo pⁿ. Soient W l'anneau des vecteurs de Witt d'un corps parfait de caractéristique p>0, X un schéma formel lisse sur W, X' le changement de base de X par l'endomorphisme de Frobenius de W, X'_2 la réduction modulo p² de X' et Y la fibre spéciale de X. On relève la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky relative à X'_2. Plus précisément, on construit un foncteur de la catégorie des O_{X'}-modules de pⁿ-torsion à p-connexion intégrable dans la catégorie des O_X-modules de pⁿ-torsion à connexion intégrable, chacune étant soumise à des conditions de nilpotence appropriées. S'il existe un relèvement F: X -> X' du morphisme de Frobenius relatif de Y, notre foncteur est compatible avec le foncteur de Shiho induit par F. Comme application de la transformée de Cartier modulo pⁿ, on donne une nouvelle interprétation des modules de Fontaine relatifs introduits par Faltings et du calcul de leur cohomologie
This thesis is devoted to two arithmetic variants of Simpson's correspondence. In the first part, I compare the p-adic Simpson correspondence with a p-adic analogue of the Narasimhan-Seshadri's correspondence for curves over p-adic fields due to Deninger and Werner. Narasimhan and Seshadri established a correspondence between stable bundles of degree zero and unitary representations of the topological fundamental group for a complex smooth proper curve. Using parallel transport, Deninger and Werner associated functorially to every vector bundle on a p-adic curve whose reduction is strongly semi-stable of degree 0 a p-adic representation of the fundamental group of the curve. They asked several questions: whether their functor is fully faithful; whether the cohomology of the local systems produced by this functor admits a Hodge-Tate filtration; and whether their construction is compatible with the p-adic Simpson correspondence developed by Faltings. We answer positively these questions. The second part is devoted to the construction of a lifting of the Cartier transform of Ogus-Vologodsky modulo pⁿ. Let W be the ring of the Witt vectors of a perfect field of characteristic p, X a smooth formal scheme over W, X' the base change of X by the Frobenius morphism of W, X'_2 the reduction modulo p² of X' and Y the special fiber of X. We lift the Cartier transform of Ogus-Vologodsky relative to X'_2 modulo pⁿ. More precisely, we construct a functor from the category of pⁿ-torsion O_{X'}-modules with integrable p-connection to the category of pⁿ-torsion O_X-modules with integrable connection, each subject to a suitable nilpotence condition. Our construction is based on Oyama's reformulation of the Cartier transform of Ogus-Vologodsky in characteristic p. If there exists a lifting F: X -> X' of the relative Frobenius morphism of Y, our functor is compatible with a functor constructed by Shiho from F. As an application, we give a new interpretation of relative Fontaine modules introduced by Faltings and of the computation of their cohomology

Dans cette thèse nous étudions les propriétés p-adiques des variétés de Shimura de type P.E.L qui ont bonne réduction en p et pour lesquelles le lieu ordinaire est vide. Dans un premier chapitre on construit des invariants qui découpent dans les variétés de Shimura un ouvert dense, le lieu mu-ordinaire, et nous étudions les propriétés géométriques de ces invariants. Dans le second chapitre nous étendons au cas mu-ordinaire la théorie du sous-groupe canonique, et construisons donc pour des familles de groupes p-divisibles “presque” mu-ordinaire une filtration canonique de la p^n-torsion. Cela s’applique en particulier à certains voisinages rigides stricts du lieu mu-ordinaires des variétés de Shimura étudiées. Dans le troisième chapitre, qui est un travail en commun avec Stéphane Bijakowski, nous reconstruisons des invariants dans un cadre plus étendu que dans le premier chapitre sur certains modèles locaux de variétés de Shimura, lorsque l’on autorise le nombre premier p à ramifier dans la donnée de Shimura locale. Enfin, dans le quatrième chapitre on met en application les constructions des deux premiers chapitres pour construire une variété rigide, une variété de Hecke, qui paramètre les familles p-adiques de formes modulaires de Picard de pente finie, lorsque p est inerte dans le corps quadratique imaginaire de la donnée de Picard
In this thesis we study the p-adic properties of P.E.L. type Shimura varieties which have good reduction at p and for which the ordinary locus is empty. In the first chapter, we construct locally some invariants that cuts out inside the Shimura varieties an open and dense locus, the mu-ordinary locus, and study the geometric properties of these invariants. In the second chapter we extend to the unramified mu-ordinary case the theory of the canonical subgroup. Thus, we construct for ’nearly’ mu-ordinary families of p-divisible groups a canonical filtration of the p^n-torsion. This applies in particular to some strict rigid neighbourhoods of the mu-ordinary locus of the Shimura varieties previously studied. In the third chapter, which is a collaboration with Stéphane Bijakowski, we extend the construction of the invariants of the first chapter to some local integral models of Shimura varieties where the prime p can be ramified in the local datum. Finally, in the last chapter, we use the constructions of the first two chapter to construct a rigid variety, the Eigenvariety, which parametrises the finite slope p-adic families of Picard automorphic forms when the prime p is inert in the quadratic imaginary field of the Picard datum

Cette thèse se compose de deux chapitres distincts. Les problématiques abordées y sont différentes, mais ils ont en commun de relier des objets de nature géométrique à des objets issus de la théorie de Hodge p-adique. Les résultats du premier chapitre s’inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Nous décrivons le complexe de de Rham des revêtements du demi-plan de Drinfeld pour GL_2(Q_p). Cette description, conjecturée par Breuil et Strauch, fournit une réalisation géométrique de la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour certaines représentations de de Rham de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q_p. Le second chapitre est consacré à l’étude de la catégorie des espaces de Banach-Colmez. Notre résultat principal est une description de cette catégorie abélienne en termes de la catégorie des faisceaux cohérents sur la courbe de Fargues-Fontaine. Au passage, nous démontrons quelques résultats d’intérêt indépendant sur la cohomologie pro-étale et la cohomologie syntomique des variétés rigides
This PhD thesis contains two chapters. The topics of these two chapters are quite different, but they have in common to draw connections between geometric objects and objects which come from p-adic Hodge theory. The framework of the first chapter is the p-adic Langlands program. We describe the de Rham complex of the étale overings of Drinfeld's p-adic upper half-plane for GL_2(Q_p). Conjectured by Breuil and Strauch, this description gives a geometric realization of the p-adic local Langlands correspondence for certain two-dimensional de Rham representations of the absolute Galois group of Q_p. The second chapter is devoted to the study of the category of Banach-Colmez spaces. Our main result is a precise description of this abelian category in terms of the category of coherent sheaves on the Fargues-Fontaine. Along the way we also prove a few results of independent interest about the pro-étale cohomology and syntomic cohomology of rigid spaces

Dans cette thèse, nous construisons une théorie de cohomologie motivique pour les schémas quasi-compacts quasi-séparés, qui généralise la construction d'Elmanto-Morrow dans le cas des schémas au-dessus d'un corps. Notre construction n'est pas A¹-invariante en général, mais elle utilise la cohomologie motivique classique A¹-invariante des schémas lisses sur ℤ. La nouveauté principale de notre construction est la définition et l'étude d'une filtration globale sur l'homologie cyclique topologique, dont les parties graduées unifient la cohomologie syntomique de Bhatt-Morrow-Scholze et la cohomologie de de Rham dérivée. Nous établissons un grand nombre des propriétés attendues de la cohomologie motivique, notamment une suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch vers la K-théorie algébrique non-connective, la formule des fibrés projectifs et la descente pro cdh. Les résultats du Chapitre 11 sont ceux de [Bou23]
In this thesis, we construct a theory of motivic cohomology for quasi-compact quasi-separated schemes, which generalises the construction of Elmanto-Morrow in the case of schemes over a field. Our construction is non-A¹-invariant in general, but it uses the classical A¹-invariant motivic cohomology of smooth ℤ-schemes as an input. The main new input of our construction is a global filtration on topological cyclic homology, whose graded pieces provide a common generalisation of derived de Rham cohomology and Bhatt-Morrow-Scholze's syntomic cohomology. Our theory satisfies various expected properties of motivic cohomology, including a relation to non-connective algebraic K-theory via an Atiyah-Hirzebruch spectral sequence, the projective bundle formula, and pro cdh descent. The results of Chapter 11 have appeared as [Bou23]

Les dernières années ont vu émerger différents points de vue sur les espaces analytiques p-adiques. Ce texte est consacré spécifiquement à celui qu'a introduit Vladimir G. Berkovich à la fin des années quatre-vingt, et qui s'est révélé l'un des plus féconds. Nous en aborderons divers aspects. Dans la première partie du manuscrit, nous dépasserons le cadre p-adique pour nous intéresser aux espaces analytiques globaux : ceux qui sont définis sur Z ou les anneaux d'entiers de corps de nombres. Nous prouverons qu'ils jouissent, au moins localement, de propriétés analogues à celles des espaces analytiques complexes classiques. Par la suite, nous nous tournerons vers les espaces p-adiques pour étudier leur topologie et démontrer plusieurs résultats de modération. Finalement, nous présenterons quelques applications aux équations différentielles p-adiques sur les courbes analytiques et expliquerons notamment pourquoi leur comportement est contrôlé par un graphe localement fini.

Deligne a défini dans les années 70 le complexe de De Rham-Witt, qui permit à Illusie de prouver un théorème de comparaison avec la cohomologie cristalline. Ce résultat fut ensuite étendu par Etesse aux coefficients. En 2004, Bloch démontra que le théorème de comparaison cohomologique étendu aux coefficients d'Etesse possédait une interprétation plus profonde : sous certaines conditions, on obtient en fait une équivalence de catégories entre des cristaux et des connexions de De Rham Witt.Plus récemment, Davis, Langer et Zink ont introduit un complexe de De Rham-Witt surconvergent et démontré des théorèmes de comparaison avec les cohomologies de Monsky-Washnitzer et rigide. Ces derniers furent ensuite étendus aux coefficients par Ertl, qui démontra notamment un quasi-isomorphisme de cohomologie avec les isocristaux surconvergents.On peut alors légitimement se demander si les résultats de Bloch possèdent une variante surconvergente : c'est-à-dire que l'on aimerait pouvoir obtenir une interprétation des isocristaux surconvergents pour la cohomologie de De Rham-Witt surconvergente. On peut y parvenir en considérant des connexions de De Rham-Witt surconvergentes comme définies par Ertl, pour lesquelles on peut raisonnablement espérer retrouver les mêmes opérations cohomologiques que pour les F-isocristaux.Cette question fut la motivation de cette thèse, et le théorème principal de ce travail y répond en partie positivement. Pour y parvenir, il est nécessaire d'expliciter la structure locale du complexe de De Rham-Witt surconvergent, et de redéfinir la notion de surconvergence afin de pouvoir mieux contrôler la convergence des produits de différentielles de De Rham-Witt
Under a few assumptions, we prove an equivalence of category between a subcategory of F-isocristals on a smooth algebraic variety and overcongergent integrable De Rham-Witt connections. We do so by giving an equivalent definition of overconvergence, and by studying the explicit local structure of the De Rham-Witt complex

Cette thèse est consacrée à la poursuite du programme de géométrisation de la correspondance de Langlands locale p-adique initié par Colmez, Dospinescu et Niziol dans leur article de 2020, sur le modèle de la correspondance classique. Ils démontrent que les représentations galoisiennes de dimension 2 qui sont supercuspidales (sous-entendue de de Rham) et à poids de Hodge-Tate 0 et 1 apparaissent dans la cohomologie étale p-adique de la tour de revêtement du demi-plan de Drinfeld et que leur multiplicité est donnée par la correspondance de Langlands p-adique. Le résultat principal de cette thèse est l'analogue de ce résultat en poids quelconques, en considérant la cohomologie étale p-adique à coefficients dans les puissances symétriques du système local universel sur la tour de Drinfeld. Une différence frappante est que l'on voit aussi apparaitre les représentations spéciales dans la cohomologie de la tour à coefficients, avec les multiplicités attendues. Le point clé est que les systèmes locaux que l'on considère s'avèrent être particulièrement simples : se sont des opers isotriviaux.Ainsi, la première partie de cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes locaux p-adiques isotriviaux et au calcul dans le cas des opers isotriviaux sur les courbes d'un diagramme reliant la cohomologie proétale du système local à la cohomologie de Hyodo-Kato et la cohomologie de de Rham de la courbe. La seconde partie de cette thèse est alors l'application de ces résultats au cas de la tour de Drinfeld qui permettent le calcul des multiplicités évoquées
This thesis is devoted to further developing the program of geometrization of the local p-adic Langlands correspondence, which was initiated by Colmez, Dospinescu and Niziol in their 2020 paper. They have shown that 2-dimensional Galois representations that are supercuspidal (implicitly de Rham) and with Hodge-Tate weights 0 and 1, appear in the p-adic étale cohomology of the coverings of Drinfeld's half-plane and that their multiplicity is given by the p-adic Langlands correspondence. The main result of this thesis is the generalization of this result in arbitrary weights, by considering the p-adic étale cohomology with coefficients in the symmetric powers of the universal local system on Drinfeld's tower. A striking novelty is the appearance of special representations in the cohomology of the tower with coefficients, with expected multiplicity. The key point is that the local systems which we consider turn out to be particularly simple: they are isotrivial opers.The first part of this thesis is devoted to the study of local isotrivial p-adic systems and to the calculation, in the case of isotrivial opers on curves, of a diagram linking the proetale cohomology of the local system to the Hyodo-Kato cohomology and the de Rham cohomology of the curve.The second part of this thesis is the application of these results to the case of the Drinfeld's tower, allowing the computation of the mentioned multiplicities

La théorie des D-modules arithmétiques a été dévéloppée par Pierre Berthelot, sur des idées maîtresses de Mebkhout et Grothendieck qui avaient été les premiers à voir en les D-modules une nouvelle approche cohomologique. Le premier but de ma thèse était de généraliser les descriptions locales des D-modules arithmétiques dans le cas lisse, trouvées par Pierre Berthelot. Nous voulons intégrer des cas récents étudiés en particulier par Richard Crew où il étudie des schémas formellement lisses. Pour cela, nous généralisons la notion de relativement parfait aux cas des schémas formels et obtenons dans ce cadre une description analogue au cas lisse. Dans un second temps, nous donnons un algorithme qui permet de calculer la fonction zêta de certaines variétés qui sont l’extension d’une variété où l’on sait déjà calculer la fonction zêta
The theory of arithmetic D-modules was developed by Pierre Berthelot, based on the main ideas of Grothendieck and Mebkhout, who were the first to see the D-modules as a new cohomological approach. The primary aim of my thesis was to generalize the local descriptions of arithmetic D-modules in the smooth case, found by Pierre Berthelot. We want to integrate recent case studies, in particular from Richard Crew, where he studies formally smooth schemes. For that purpose, we generalize the notion of relatively perfect to the cases of formal schemes and obtain in this context a similar description to the smooth case. In a second step, we give an algorithm which allows calculating the zeta function of certain varieties, which are the extension of a variety that is already known to calculate the zeta function