Academic literature on the topic 'Galbrun’s equations'

The field of aeroacoustics has gained much attention since the well-known acoustic analogies were first published in the 1950s. In parallel, the continuous growth of computational resources has enabled researchers and engineers to investigate phenomena involving flow-induced noise or sound propagation effects related to arbitrary velocity fields. To describe the latter mentioned physical processes, Galbrun utilized a mixed Eulerian–Lagrangian framework to describe perturbations of the underlying fluid dynamics. While less known compared to the more common linearized Euler equations, Galbrun’s equation provides an original framework. Since its publication in 1931, a number of scholars have further developed the approach first proposed by Galbrun. This paper provides a review of the existing literature dedicated to the use of Galbrun’s equation by highlighting possible advantages of the underlying theory as well as difficulties when utilizing numerical methods for solving problems in time or frequency domain. Furthermore, this work intents to serve as a companion for researchers interested in the field of aeroacoustics and hydroacoustics associated with Galbrun’s equation.

Over many years, scientists and engineers have developed a broad variety of mathematical formulations to investigate the propagation and interactions with flow of flow-induced noise in early-stage of product design and development. Beside established theories such as the linearized Euler equations (LEE), the linearized Navier–Stokes equations (LNSE) and the acoustic perturbation equations (APE) which are described in an Eulerian framework, Galbrun utilized a mixed Lagrange–Eulerian framework to reduce the number of unknowns by representing perturbations by means of particle displacement only. Despite the advantages of fewer degrees of freedom and the reduced effort to solve the system equations, a computational approach using standard continuous finite element methods (FEM) suff ers from instabilities called spurious modes that pollute the solution. In this work, the authors employ a discontinuous Galerkin approach to overcome the difficulties related to spurious modes while solving Galbrun's equation in a mixed and pure displacement based formulation. The results achieved with the proposed approach are compared with results from previous attempts to solve Galbrun's equation. The numerical determination of acoustic modes and the identification of vortical modes is discussed. Furthermore, case studies for a lined-duct and an annulus supporting a rotating shear-flow are investigated.

In der vorliegenden Arbeit wird ein Programmcode zur numerischen Modalanalyse dreidimensionaler Fluide in komplexen akustischen Systemen, speziell in Resonatoren, entwickelt. Mit diesem Code ist es möglich, turbulente Strömungen im Rahmen der Modalanalyse zu berücksichtigen. Hierzu wird ein realistisches Strömungsprofil, ermittelt mithilfe eines 3D-Navier-Stokes-Lösers, verwendet. Der Hauptteil der Arbeit befasst sich mit der Herleitung der für die Berechnung notwendigen Galbrun-Gleichung und deren Aufbereitung zur numerischen Analyse. Für die numerische Umsetzung kommt die Methode der finiten Elemente in Verbindung mit komplex konjugierten, infiniten Astley-Leis Elementen zur Anwendung. Die infiniten Elemente werden genutzt, um in den betrachteten Außenraumproblemen die Abstrahlung in das Fernfeld abzubilden. Nach der Anwendung des entwickelten Programmcodes auf einfachere Modelle erfolgen Untersuchungen zur Intonation einer Blockflöte. Hierzu wird das Fluid innerhalb und im Nahfeld des Instruments unter Berücksichtigung des turbulenten Strömungsprofils, welches sich beim Spielen der Blockflöte ausbildet, betrachtet. Im Ergebnis stehen die Eigenwerte des Instruments in Abhängigkeit von der gewählten Griffkombination. Zur Evaluierung der Ergebnisse und zur Untersuchung des Einflusses der Strömung auf den Klang erfolgt der Vergleich mit den exakten Eigenfrequenzen. Die Galbrun-Gleichung wurde bereits von anderen Autoren untersucht und auf akustische Problemstellungen angewendet. Im Rahmen dieser Arbeit erfolgt jedoch erstmalig die Anwendung der Galbrun-Gleichung auf Eigenwertprobleme. Darüber hinaus sind der Autorin keine Arbeiten bekannt, die sich mit dreidimensionalen Modellen befassen. In der vorliegenden Arbeit werden somit erstmals komplexe dreidimensionale Modelle unter Anwendung der Galbrun-Gleichung untersucht.

La propagation et la production de bruit dans les écoulements de fluides représentent un problème crucial pour de nombreuses applications industrielles en particulier les transports. Cette thèse a pour originalité d'utiliser un modèle peu employé, l'équation de Galbrun, pour modéliser la propagation acoustique dans les écoulements. Concernant les méthodes numériques, on présente une analyse de dispersion de plusieurs méthodes d'éléments finis pour la propagation aéroacoustique. D'autre part, plusieurs conditions de non-réflexion pour l'équation de Galbrun dans le domaine fréquentiel sont obtenues. On propose deux modèles de sources aéroacoustiques formulés à l'aide de l'équation de Galbrun. Le premier modèle est issu du modèle de source proposé pour les équations d'Euler linéarisées par Bailly et le second modèle est obtenu par la méthode des développements autour d'un écoulement incompressible initialement développée par Hardin et Pope
Propagation and generation of sound in fluid flows represent an important problem for several industrial applications, particularly for transports. The main caracteristic of this thesis is the use of an original model, Galbrun's equation, to describe acoustic wave propagation in flows. Concerning numerical methods, a dispersion analysis is carried out for several finite element models for aeroacoustic propagation. Furthermore, several non-reflecting boundary conditions for Galbrun's equation in the frequency domain are derived. Two aerodynamic noise source models based on Galbrun's equation are proposed. The first one stems from the source term for the linearized Euler equations proposed by Bailly while the second is obtained with the E. I. F. Approach originaly proposed by Hardin and Pope

La Vélocimétrie Laser à effet Doppler (VLD) est un moyen de mesure non intrusif de la vitesse particulaire classiquement utilisé en mécanique des fluides. La vitesse acoustique est une grandeur très importante en acoustique car elle permet de caractériser les champs de propagation acoustique indispensable pour la compréhension de certains phénomènes de propagation en proche paroi ou pour des géométries complexes. Le banc DUCAT installé au laboratoire de l’équipe acoustique et vibration de l’Université de Technologie de Compiègne avait pour but de caractériser les performances acoustiques de différents systèmes d’absorption acoustique tel que les SDOF ou les poreux métalliques pour des utilisations aéronautiques à travers la mesure amont/aval de la vitesse et la pression acoustiques à travers deux sondes automatisées contenants un capteur à fil chaud ainsi qu’un microphone avec ogive. L’objectif de cette thèse est de permettre la mesure de la vitesse acoustique en propagation multimodale et en présence d’écoulement en utilisant la VLD. Le signal mesuré par la VLD est échantillonné aléatoirement et présente un bruit de fond assez important dû à la présence de l’écoulement dans le conduit. La nature complexe du signal mesuré demande des méthodes de traitement de signal particulières pour pouvoir en extraire la vitesse acoustique qui nous importe. La première partie de cette thèse, présente un benchmark des différentes méthodes présentes dans la littérature ainsi que leur validité pour les conditions expérimentales actuelles du banc DUCAT. Une simulation du signal VLD mesuré est développé en guise de référence de validation des méthodes qu’elles soient spectrales ou temporelles. La méthode des moindres carrés pondérés est finalement sélectionnée et adaptée suite à cette étude pour l’estimation des différents paramètres acoustiques à partir du signal brut. La deuxième partie concerne la présentation des outils numériques utilisés ou développés pour la simulation de la propagation acoustique dans les conduits infinis. L’outil numérique est un code éléments finis aéroacoustique basé sur les équations de Galbrun couplées à une couche absorbante virtuelle dite PML (Perfect Matched Layer). En raison de la présence de la PML, la résolution numérique du problème inverse devient compliquée et un code de résolution des problèmes aux valeurs propres non linéaires basé sur la méthode du Contour Intégral a dû être développé. La troisième partie de ce travail présente les différents composants du banc expérimental. Le banc permet la propagation acoustique multimodale (jusqu’à 5000 Hz) en présence d’un écoulement en aspiration/expiration pouvant atteindre une vitesse de Mach 0.25. La quatrième partie présente une comparaison numérique et expérimentale des outils présentés et développés durant la thèse. Une première comparaison pour une propagation multimodale dans un conduit droit permet de conclure sur l’efficacité du système de mesure et de traitement de signal avec une erreur relative inférieure à 1 dB. Une seconde comparaison a été réalisée pour l’étude des modes piégés acoustiques dans le cas d’un conduit cylindrique avec changement brusque de section
Laser Doppler Velocimetry (LDV) is a non-intrusive measurement of particle velocity classically used in fluid mechanics. The acoustic velocity is a very important quantity in acoustics for the characterization of acoustic propagation fields, which is essential for the understanding of certain propagation phenomena in near walls or for complex geometries. The DUCAT bench installed in the laboratory of the Acoustics and Vibration team of the University of Technology of Compiègne aimed at characterizing the acoustic performances of various acoustic absorption systems such as SDOF or metallic porous materials for aeronautical uses through the measurement of the acoustic velocity and pressure through two automated probes containing a hot wire sensor as well as a microphone with ogive. The objective of this thesis is to allow the measurement of acoustic velocity in multimodal propagation and in the presence of flow using the VLD. The signal measured by the VLD is randomly sampled and has a fairly large background noise due to the presence of flow in the duct. The complex nature of the measured signal requires special signal processing methods to extract the acoustic velocity that is important to us. The first part of this thesis presents a benchmark of the different methods available in the literature and their validity for the current experimental conditions of the DUCAT bench. A simulation of the measured VLD signal is developed as a reference to validate the methods, whether they are spectral or temporal. The weighted least squares method is finally selected and adapted following this study for the estimation of the various acoustic parameters from the raw signal. The second part concerns the presentation of the numerical tools used or developed for the simulation of the acoustic propagation in infinite ducts. The main numerical tool is an aeroacoustic finite element code developed in the lab based on Galbrun’s equations coupled to a virtual absorbing layer called PML (Perfect Matched Layer). Due to the presence of the PML, the numerical solution of the inverse problem becomes complicated, which led us to develop a code for solving nonlinear eigenvalue problems based on the Integral Contour method. The third part of this work presents the different components of the modified version of the bench as well as the characteristics of these different components. The bench allows the experimentation of multimodal acoustic propagation (up to 5000 Hz) in the presence of a suction/expiration flow that can reach a speed of Mach 0.25. The fourth and last part, presents a protocol of experimental numerical validation of all the tools presented and developed. The test/calculation comparisons are presented for a multimodal propagation in a straight duct at first. The results allow to conclude on the efficiency of the measurement and signal processing system with a relative error lower than 1 dB. The same protocol is then used for the experimental study of the acoustic trapped modes in the case of a cylindrical duct with an abrupt change of section

Les travaux de cette thèse concernent la modélisation et la simulation numérique de la propagation d'ondes acoustiques en présence d'un écoulement. Le modèle retenu pour ces études est l'équation de Galbrun. Les travaux faits sur l'équation de Galbrun ont essentiellement porté sur le régime harmonique. En revanche, la plupart des études mathématiques et numériques du problème de l'aéroacoustique est en régime transitoire. C'est pourquoi, il est intéressant pour nous d'étudier l'équation de Galbrun en régime transitoire. Pour résoudre cette équation en régime transitoire, notre approche a reposé sur la transformée de Laplace, qui nous permet de faire l'échange entre le domaine harmonique et le domaine réel. Un autre sujet abordé dans cette thèse est celui du traitement des conditions aux limites non réfléchissantes en écoulement uniforme et non-uniforme. Nous proposons la méthode PML pour l'équation de Galbrun. Inspirée par la méthode de Hu, nous proposons un nouveau modèle PML associé à l'équation de Galbrun, qui a toujours conduit à une solution exponentiellement décroissante dans la couche, même en présence d'ondes inverses. Les simulations acoustiques montrent étonnamment d'erreur de convergence pour les deux modèles classiques et nouveaux. Nous validons notre modèle PML à travers plusieurs exemples numériques dans l'écoulement uniforme et non-uniforme. Le dernier objectif est de proposer des modèles de sources aéroacoustiques associées à l'équation de Galbrun. Après une présentation en détail des modèles existants, on adapte une méthode hybride (EIF) à l'équation de Galbrun. Pour assurer la validité de l'approche globale, certains tests classiques sont choisis parmi la littérature et les résultats sont comparés avec les approches existantes et les solutions analytiques.

La thèse porte sur la simulation, en régime fréquentiel, du rayonnement acoustique en écoulement subsonique quelconque et dans un domaine infini. L'approche choisie s'appuie sur la résolution d'un système équivalent aux équations d'Euler linéarisées : le modèle de Galbrun. Ce modèle repose sur une représentation mixte Lagrange-Euler et aboutit à une équation dont l'unique inconnue est la perturbation du déplacement Lagrangien. Une des difficultés de l'approche de Galbrun est qu'une discrétisation directe de cette équation par une méthode d'éléments finis standard n'est pas stable. Un moyen de contourner cet obstacle est d'écrire une équation augmentée en ajoutant une nouvelle inconnue, le rotationnel du déplacement, appelée par abus vorticité. Cette approche conduit à un système qui couple une équation de type équation des ondes avec une équation de transport en régime fréquentiel. Et elle permet l'utilisation de couches parfaitement adaptées (PML) pour borner le domaine de calcul. La première partie du manuscrit est dédiée à l’étude de l’équation de transport harmonique et de sa résolution numérique, en particulier par un schéma de type Galerkin discontinu. Un des points délicats est lié au caractère oscillant des solutions de l'équation. Une fois cette étape franchie, la résolution du problème de propagation acoustique a été abordée. Une approximation basée sur l'utilisation d'éléments finis mixtes continus-discontinus avec couches parfaitement adaptées (PML) a été étudiée. En particulier, les caractères bien posés des problèmes continu et discret ainsi que la convergence du schéma numérique ont été démontrés sous certaines conditions sur l'écoulement porteur. Enfin, une mise en œuvre a été effectuée. Les résultats montrent la validité de cette approche mais aussi sa pertinence dans le cas d'écoulements complexes, voire d'écoulements dits instables
This thesis deals with the numerical simulation of time harmonic acoustic propagation in an arbitrary mean flow in an unbounded domain. Our approach is based on an equation equivalent to the linearized Euler equations called the Galbrun equation. It is derived from a mixed Eulerian-Lagrangian formulation and results in a single equation whose only unknown is the perturbation of the Lagrangian displacement. A direct solution using finite elements is unstable but this difficulty can be overcome by using an augmented equation which is constructed by adding a new unknown, the vorticity, defined as the curl of the displacement. This leads to a set of equations coupling a wave like equation with a time harmonic transport equation which allows the use of perfectly matched layers (PML) at artificial boundaries to bound the computational domain. The first part of the thesis is a study of the time harmonic transport equation and its approximation by means of a discontinuous Galerkin scheme, the difficulties coming from the oscillating behaviour of its solutions. Once these difficulties have been overcome, it is possible to deal with the resolution of the acoustic propagation problem. The approximation method is based on a mixed continuous-Galerkin and discontinuous-Galerkin finite element scheme. The well-posedness of both the continuous and discrete problems is established and the convergence of the approximation under some mean flow conditions is proved. Finally a numerical implementation is achieved and numerical results are given which confirm the validity of the method and also show that it is relevant in complex cases, even for unstable flows

Noise propagation mechanisms in presence of a rotational flow are currently receiving some attention from the aircraft industry. Different methods are used in order to compute the acoustic wave propagation in sheared flows in terms of pressure perturbations (e.g. Linearized Euler Equations (LEE), Lilley’s and Galbrun’s equations). Nevertheless, they have drawbacks in terms of computational performance (high number of DOFs per node, inadequacies of classical numerical schemes like standard FE). In contrast with other studies, in this work, the fluctuating total enthalpy is selected as the main variable in order to describe the acoustic field, which obeys to a convected wave equation obtained by linearization of momentum (Crocco’s form), energy and continuity equations and with coefficients depending on flow variables. The resulting 3D convected wave operator is an extension of the Möhring acoustic analogy which is able to predict the sound propagation through rotational flows in the subsonic regime and is well adapted to FE discretization. A 2D convected wave equation is generated from the previous operator. This is followed by a numerical solution based on FEM with two types of boundary conditions: non reflecting BC and incident plane wave excitation. The numerical results are used to estimate the reflection coefficient generated by the shear flow. The new acoustic wave operator is compared to well-known theories of flow acoustics (Pridmore-Brown wave operator) and shows promising results. Finally additional development steps are presented so further improvements on the new operator can be carried out.