Academic literature on the topic 'Formes modulaires p-Adiques'

L'objectif de ce mémoire est de donner la construction de la fonction L p-adique associée à une forme modulaire en suivant l'exposition de [MTT86] et d'étudier les cœfficients du développement en série de puissances de cette fonction. Dans le chapitre 1, nous introduisons les nombres p-adiques. Le corps des nombres p-adiques est déni de manière arithmétique et est un outil important en théorie des nombres. Nous étudierons également les fonctions dont le domaine est les p-adiques et les distributions p-adiques. Ensuite, nous verrons les notions de base sur les formes modulaires et nous présenterons leur fonction L complexe. Dans le chapitre 2, nous construirons une distribution p-adique µf attachée à une forme modulaires avec la propriété que cette dernière interpole les valeurs de la fonction L complexe de f. Par la suite, nous dérivons l'équation fonctionnelle pour la fonction L p-adique obtenue parla distribution µf . Finalement, dans le chapitre 3, nous démontrerons des conséquences de l'équation fonctionnelle. Certains résultats de ce chapitre sont nouveaux et ont été publiés dans [DS19].

Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique. Soient L une extension finie de Q_p, \rho_L une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois Gal(\overline{Q_p}/L) de L, lorsque \rho_L provient d'une représentation \rho globale et modulaire (i.e. \rho apparaît dans la cohomologie étale des courbes de Shimura), on sait associer à \rho une représentation de Banach admissible de \GL_2(L), notée \widehat{\Pi}(\rho), en utilisant la théorie de la cohomologie étale complétée d'Emerton. Localement, lorsque \rho_L est cristalline (et assez générique), d'après Breuil, on sait associer à \rho_L une représentation localement analytique de \GL_2(L), notée \Pi(\rho_L). Dans cette thèse, on montre divers résultats sur la compatibilité entre les représentations \widehat{\Pi}(\rho) et \Pi(\rho_L), qui s'appelle la compatibilité local-global, dans la cas des courbes de Shimura unitaires. Par la théorie des représentations localement analytiques de \GL_2(L), le problème de compatibilité local-global se ramène à l'étude des variétés de Hecke X construites à partir du H^1-complété des courbes de Shimura unitaires. On montre des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas non-critique en utilisant la théorie de la triangulation globale. On étudie ainsi les formes modulaires p-adiques sur les courbes de Shimura unitaires, à partir desquelles on peut construire des sous-espaces rigides de X à la manière de Coleman-Mazur. On montre l'existence des formes compagnons surconvergentes sur les courbes de Shimura unitaires en utilisant les théorèmes de comparaison p-adique, d'où on déduit des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas critique<br>The subject of this thesis is in the p-adic Langlands programme. Let L be a finite extension of \Q_p, \rho_L a 2-dimensional p-adic representation of the Galois group \Gal(\overline{\Q_p}/L) of L, if \rho_L is the restriction of a global modular Galois representation \rho (i.e. \rho appears in the étale cohomology of Shimura curves), one can associate to \rho an admissible Banach representation \widehat{\Pi}(\rho) of \GL_2(L) by using Emerton's completed cohomology theory. Locally, if \rho_L is crystalline (and sufficiently generic), following Breuil, one can associate to \rho_L a locally analytic representation \Pi(\rho_L) of \GL_2(L). In this thesis, we prove results on the compatibility of \widehat{\Pi}(\rho) and \Pi(\rho_L), called local-global compatibility, in the unitary Shimura curves case. By locally analytic representations theory (for \GL_2(L)), the problem of local-global compatibility can be reduced to the study of eigenvarieties X constructed from the completed H^1 of unitary Shimura curves. We prove results on local-global compatibility in non-critical case by using global triangulation theory. We also study the p-adic modular forms over unitary Shimura curves, from which we construct some closed rigid subspaces of X by Coleman-Mazur's method. We prove the existence of overconvergent companion forms (over unitary Shimura curves) by using p-adic comparison theorems, from which we deduce some results on local-global compatibility in critical case

Le but de cette thèse est d'étudier les zéros exceptionnels des fonctions L p-adiques de Rankin-Selberg. Autrement dit, pour un couple de formes modulaires nous étudierons l'annulation de la fonction p-adique interpolant la fonction L de Rankin-Selberg associée à ce couple. Lorsque la fonction s'annule, on exprime alors la dérivée de la fonction L p-adique en fonction de l'invariant L,des périodes p-adique et infinie et du terme principal de la fonction complexe de Rankin-Selberg<br>The aim of this thesis is to study the extra zeros of the p-adic L functions of Rankin-Selberg. In other words, for a couple of modular forms we study the zeros of the p-adic function interpolating the Rankin-Selberg L function associated to this couple. When the function has a zero we express the value of the derivate in terms of the L invariant, p-adic and infinite periods and the principal term of the complex Rankin-Selberg function

Pour une représentation automorphe cuspidale de GL(2,F) avec F un corps de nombres totalement réel, tel que est de type (k, r) et satisfait une condition de pente non critique, l’on construit une distribution p-adique sur le groupe de Galois de l’extension abélienne maximale de F non ramifiée en dehors de p et 1. On démontre que la distribution obtenue est admissible et interpole les valeurs critiques de la fonction L complexe de la représentation automorphe. Cette construction est basée sur l’étude de la cohomologie de la variété modulaire de Hilbert à coefficients surconvergents<br>For each cohomological cuspidal automorphic representation for GL(2,F) where F is a totally real number field, such that is of type (k, r) tand satisfies the condition of non critical slope we construct a p-adic distribution on the Galois group of the maximal abelian extension of F unramified outside p and 1. We prove that the distribution is admissible and interpolates the critical values of L-function of the automorphic representation. This construction is based on the study of the overconvergent cohomology of Hilbert modular varieties

Nous étudions, dans cette thèse, la construction des fonctions L p-adiques des motifs sur Q et, plus particulièrement, des formes modulaires. Dans les premiers trois chapitres on étend des constructions de Perrin-Riou pour construire, pour une représentation p-adique de de Rham V du groupe de Galois absolu G_Qp de Qp (ou, plus généralement, un (ϕ,Γ)-module de de Rham sur l'anneau de Robba) et un système compatible d'éléments globaux, une fonction L p-adique. On montre, en utilisant des lois de réciprocité montrées par Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger et Nakamura, que ces fonctions interpolent des valeurs arithmétiques intéressantes aux caractères localement algébriques.Dans les derniers trois chapitres, on se spécialise au cas de dimension 2. On démontre, en s'inspirant des techniques de Nakamura et des nouvelles techniques de changement de poids de Colmez introduites pour l'étude des vecteurs localement algébriques dans la correspondance de Langlands L p-adique pour GL₂(Qp), une équation fonctionnelle pour notre fonction L p-adique. Comme une application de cette équation fonctionnelle, on fournit les argument manquants dans les travaux de Nakamura, complétant la preuve de la conjecture ε locale de Kato pour les représentations de dimension 2. Pour le motif associé à une forme modulaire, on utilise tous ces résultats pour interpréter les valeurs interpolées par la fonction L p-adique en termes des valeurs spéciales de la fonction L complexe de cette forme<br>This thesis studies the construction of p-adic L-functions associated to motives over Q and, in particular, to modular forms.In the first three chapters we generalize some constructions of Perrin-Riou in order to construct, for any p-adic de Rham representation V of the absolute Galois group G_Qp of Qp (or, more generally, any de Rham (ϕ,Γ)-module over the Robba ring) and any compatible system of global elements, a p-adic L-function. We show, by the use of some reciprocity laws proved by Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger and Nakamura, that these functions interpolate interesting arithmetic values at locally algebraic characters.The last three chapters deal with the particular case of dimension 2. We show, inspired by some techniques of Nakamura and certain weight change techniques introduced by Colmez for the study of locally algebraic vectors in the p-adic Langlads correspondence for GL₂(Qp), that our p-adic L-function satisfies a functional equation. As an application of our functional equation, we fulfil the missing arguments in the work of Nakamura, providing a complete proof of Kato's local ε-conjecture for 2-dimensional representations. For the motive associated to a modular form, we use these results to interpret the interpolated values of the p-adic L-function in terms of special values of the complex L-function of the form

On montre que la variété de Hecke associée aux formes de Hilbert sur un corps totalement réel F est lisse aux points correspondant à certaines séries thêta de poids 1 et on donne aussi un critère pour que le morphisme de poids soit étale en ces points. Lorsque les séries thêta sont à multiplication réelle, on construit des formes surconvergentes propres généralisée qui ne sont pas classiques et l'on exprime leurs coefficients de Fourier à l'aide de logarithmes p-adiques de nombres algébriques. Si F = Q, on complète les résultats de Bellaïche-Dimitrov aux points où la courbe de Coleman-Mazur est lisse mais pas étale au-dessus de l'espace des poids en donnant un critère précis pour que l'indice de ramification soit égale à 2. Notre approche utilise la théorie des déformations et pseudo-déformations galoisiennes<br>We show that the Eigenvariety attached to Hilbert modular forms over a totally real field F is smooth at the points corresponding to certain classical weight one theta series and we give a precise criterion for etaleness over the weight space at those points. In the case where the theta series has real multiplication, we construct a non-classical overconvergent generalised eigenform and compute its Fourier coefficient in terms of p-adic logarithms of algebraic numbers. When F = Q, we complete the work of Bellaïche-Dimitrov at the points where the Eigencurve is smooth but not etale over the weight space by giving a precise criterion for the ramication index to be 2. Our approach uses deformations and pseudo-deformations of Galois representations

Dans cette thèse nous étudions la géométrie de la réduction de certainesvariétés de Shimura modulo un nombre premier p. Plus précisément on considèrela réduction modulo p des modèles entiers des variétés de Shimura de type PELconstruits par Pappas et Rapoport. Dans le cas d’une donnée PEL de type Hilbert,on montre que la stratification induite par le polygone de Hodge est une bonnestratification (l’adhérence d’une strate est une union disjointe de strates). Ensuitenous calculons les G-orbites de la fibre spéciale du modèle local de Pappas-Raporport dans le cas Hilbert, où G est le groupe associé à la donnée PEL.Ces orbites induisent une bonne stratification de la fibre spéciale de la variétéde Shimura, que l’on appelle stratification de Kottwitz-Rapoport (analogue à lastratification de Kottwitz-Rapoport des modèles entiers de Kottwitz). Dans untravail récent, Xu Shen et Yuqiang Zheng ont défini une stratification d’Ekedahl-Oort des modèles entiers de Pappas-Rapoport. Dans le cas Hilbert nous montronsque « l’intersection » de leur stratification avec la straitification de Kottwitz-Rapoport est une bonne stratification.Dans la seconde partie de cette thèse nous nous intéressons aux modèleslocaux dans le contexte de la théorie de Hodge p-adique. Nous définissons unplongement en niveau entier des modèles locaux de Pappas-Rapoport dans unecertaine Grassmannienne affine de type Beilinson-Drinfeld, analogue au plongementdéfinit Scholze et Weinstein pour les modèles entiers de Kottwitz<br>In this thesis we study the geometry of the reduction of certain Shimuravarieties modulo a prime number p. More precisely, we consider the reductionmodulo p of the integer models of PEL-type Shimura varieties constructed byPappas and Rapoport. In the case of Hilbert-type PEL data, we show that thestratification induced by the Hodge polygon is a good stratification (the adherenceof a stratum is a disjoint union of strata). Next, we compute the G-orbits of thespecial fiber of the Pappas-Raporport local model in the Hilbert case, whereG is the group associated with the PEL datum. These orbits induce a goodstratification of the special fiber of the Shimura variety, which we call Kottwitz-Rapoport stratification (analogous to the Kottwitz-Rapoport stratification ofinteger Kottwitz models). In a recent work, Xu Shen and Yuqiang Zheng havedefined an Ekedahl-Oort stratification of integer Pappas-Rapoport models. Inthe Hilbert case we show that “the intersection” of their stratification with theKottwitz-Rapoport straitification is a good stratification.In the second part of this thesis, we focus on local models in the context ofp-adic Hodge theory. We define an integer-level embedding of Pappas-Rapoportlocal models into a certain affine Grassmannian of Beilinson-Drinfeld type, analogousto the embedding defined by Scholze and Weinstein for Kottwitz local models

Dans cette thèse, on démontre une conjecture de Greenberg et Benois sur les zéros triviaux des fonctions L p-adiques dans certains cas. Pour cela, on utilise la méthode de Greenberg et Stevens. Plus précisément, on démontre d'abord cette conjecture pour une forme de Hilbert de poids parallèle 2 sur un corps totalement réel où p est inerte, quand la forme est Steinberg en p et sous d'autres hypothèses sur le conducteur. Ce résultat est une généralisation de travaux non publiés de Greenberg et Tilouine. On démontre ensuite cette conjecture pour une forme modulaire elliptique de pente finie et Steinberg en p et sous des hypothèses similaires. Pour construire la fonction L p-adique en deux variables (construction nécessaire à l'utilisation de la méthode de Greenberg-Stevens), on utilise la récente théorie des formes quasisurconvergentes d'Urban. On améliore le précédent résultat en enlevant l'hypothèse de conducteur pair et en utilisant la construction de la fonction L p-adique de Böcherer et Schmidt. Dans le chapitre final, on rappelle la définition et les calculs de l'invariant ℒ de Greenberg-Benois et on explique comment certains résultats précédement énoncés peuvent être généralisés aux formes modualires de Siegel<br>This thesis is devoted to the study of certain cases of a conjecture of Greenberg and Benois on derivative of p-adic L-functions using the method of Greenberg and Stevens. We first prove this conjecture in the case of the symmetric square of a parallel weight 2 Hilbert modular form over a totally real field where p is inert and whose associated automorphic representation is Steinberg in p, assuming certain hypotheses on the conductor. This is a direct generalization of (unpublished) results of Greenberg and Tilouine. Subsequently, we deal with the symmetric square of a finite slope, elliptic, modular form wich is Steinberg at p. To construct the two-variable p-adic L-function, necessary to apply the method of Greenberg and Stevens, we have to appeal to the recently developped theory of nearly overconvergent forms of Urban. We further strengthen the above result, removing the assumption that the conductor of the form is even, using the construction of the p-adic L-function by Böcherer and Schmidt. In the final chapter we recall the definition and the calculation of the algebraic ℒ-invariant à la Greenberg-Benois, and explain how some of the above-mentioned results could generalized to higher genus Siegel modular forms

Depuis les travaux de manin vers 1970, on connait le lien entre les coefficients de fourier d'une forme modulaire parabolique f de poids k et ses periodes p(x,r,f) = #i##x f(z)z#rdz, pour 0 r k 2 entier et x rationnel. On sait aussi que pour une forme nouvelle f, on peut construire une fonction l p-adique liee aux valeurs speciales l#f(r + 1,) pour un caractere de dirichlet dont le conducteur est le denominateur de x. L'objectif de cette these est de montrer l'existence de series de fourier universelles f#x#,#r#,#j independantes de f et qui representent la forme modulaire f en termes du produit scalaire de petersson de niveau fixe (en utilisant des convolutions de rankin et des series d'eisenstein). De plus l'ecriture explicite de ces fonctions f#x#,#r#,#j permet d'etablir que leurs coefficients de fourier sont des nombres algebriques aux denominateurs bornes (lorsque le denominateur de x est une puissance d'un nombre premier), c'est-a-dire a un nombre entier pres fixe, des entiers algebriques. L'utilisation de ce resultat nous permet enfin de construire des mesures et des fonctions l p-adiques dans le troisieme chapitre.