Academic literature on the topic 'Espace des Quaternions'

Dans un espace non homogène ou à plus de trois dimensions, les notions d’angle et de distance euclidienne ne sont pas interprétables. On montre comment cette idée a été occultée par diverses habitudes mathématiques et philosophiques, et en particulier comment le sens du théorème de Frobenius-Peirce, qui établit cette impossibilité, n’a pas été généralement compris. Les quaternions sous forme matricielle, dont le fonctionnement est analysé à l’aide de progrès récents, sont la forme la plus complète du calcul vectoriel et révèlent la nature sophistique de certaines généralisations. Il est montré que certains modèles de dynamique économique dépendent d’une distance euclidienne purement arbitraire. Plus généralement les fausses analogies avec l’espace perceptif homogène sont étudiées.

Une bonne connaissance de l'aspect géométrique et du comportement mécanique des articulations humaines est indispensable pour l'étude des pathologies articulaires. La forme et la fonctionnalité des surfaces articulaires sont totalement interdépendante mais à ce jour elles n'ont jamais été traitées simultanément. Nous proposons dans cette thèse un nouvel espace de représentation commun. Nous proposons de représenter chacun des deux aspects de la relation morpho-fonctionnelle par une surface réglée puis de plonger ces surfaces dans l'espace des quaternions duaux afin de tenir compte de leurs propriétés différentielles propres. Afin de profiter au mieux de cette représentation, nous avons été amenés à traiter de l'interpolation et de l'approximation des quaternions duaux et à proposer de nouveaux algorithmes. Outre la modélisation des surfaces réglées, cette représentation permettra d'établir un atlas des signatures morpho-fonctionnelles des pathologies articulaires.

Le théorème central de cette thèse est une construction de métriques quaternion-kählériennes sur des variétés de dimension 8 modelées sur l'espace symétrique de type non-compact G2/SO(4). Cette construction s'inscrit dans la lignée des constructions de LeBrun (1989) et de Biquard (2000) pour lesquelles d'un côté les variétés quaternion-kählériennes construites possèdent un modèle homogène qui est un espace symétrique de type non-compact G/K, et d'un autre côté, les données initiales peuvent s'interpréter comme étant des déformations d'un bord de Furstenberg G/P où P est un sous-groupe parabolique de G. Ces constructions nous amènent ainsi à penser qu'il existe une correspondance générale entre des déformations de bords de Furstenberg G/P et des variétés quaternion-kählériennes.Ces déformations d'espaces G/P sont des variétés munies de géométries paraboliques. Après une présentation de la théorie des géométries paraboliques donnée dans la première partie, nous nous consacrerons, dans la deuxième partie à la correspondance précédemment supposée. En observant la construction de LeBrun (1989), nous réduirons les candidats pour une généralisation de cette construction à deux cas dont celui de l'espace G2/SO(4) et du parabolique P fixant une droite isotrope de R^{3,4}. Dans la dernière partie, nous donnerons justement la construction des métriques quaternion-kählériennes dont les données initiales sont des géométries paraboliques de type (G2,P). Cette construction passe par la construction d'espaces des twisteurs dans lesquels nous déformons des courbes doubles. Les variétés quaternion-kählériennes construites sont des ouverts des espaces de déformation de ces courbes
The main theorem of this thesis is a construction of quaternionic Kählerian metrics over a 8-manifolds modelled on the non-compact Riemannian symmetric space G2/SO(4). This construction is in line with LeBrun?s construction (1989) and Biquard?s construction (2000) for which, on one side, the quaternionic Kählerian manifolds constructed have a homogeneous model which is a non-compact Riemannian symmetric space G/K , and in the other side, the initial data can be seen as deformations of a Furstenberg boundary G/P with P a parabolic sub-group of G. These constructions lead us to think about a general correspondence between the deformations of Furstenberg boundaries and quaternionic Kählerian manifolds. Those deformation of G/P space are manifolds with parabolic geometries. After a presentation of the theory of parabolic geometries given in the first part, we will focus on the previous supposed correspondence in the second part. Observing LeBrun?s construction (1989), we will reduce the candidates for a generalisation of this construction to two cases among which the one of the space G2/SO(4) with the parabolic sub-group P stabilizing an isotropic line in R^{3,4}. In the last part, we will precisely give the construction of quaternionic Kählerian metrics with initial data some parabolic geometries of type (G2,P). This construction begins with the construction of twistor spaces where we will deform some double curve named ribbon. The quaternionic Kählerian manifolds constructed will be some open set in the space of deformation of these curves

Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans le contexte du traitement et de l'analyse des images couleur. Les premiers travaux pour traiter ces images consistaient à appliquer des traitements déjà existant en niveaux de gris marginalement sur les trois composantes constituant la couleur et le plus généralement dans l'espace RVB. Ces traitements ont été peu à peu améliorés notamment par l'utilisation d'espaces couleur d'avantage liés à la perception humaine mais aussi par des approches vectorielles. Dans ce travail de thèse nous nous plaçons dans la continuité de ces travaux et nous proposons une modélisation mathématique de la dimension vectorielle dans le but de manipuler les couleurs de manière globale. Trois formalismes sont présentés pour représenter la couleur : les complexes, les quaternions et les algèbres géométriques. Dans ce cadre, il est proposé de définir de nouveaux outils d'analyse couleur avec notamment une caractérisation numérique fréquentielle de chacun de ces modèles. Une étude approfondie de leurs utilisations permet de faire ressortir leurs propriétés ainsi que leurs principaux avantages et inconvénients à savoir : impossibilité des complexes à représenter les vecteurs couleurs qui par nature s'expriment en trois dimensions minimum contrairement aux quaternions et aux algèbres géométriques ; distinction entre objets manipulés (vecteurs couleur) et opérations effectuées sur ces objets (projections, rotations,...) pour les algèbres géométriques contrairement aux quaternions... Enfin nous avons montré que la transformée de Fourier quaternionique analyse la couleur avec une direction indiquée par un vecteur couleur, tandis que la transformée de Fourier définie au moyen de l'algèbre G3, plus générique, répartit l'information couleur sur des composantes fréquentielles indépendantes. L'utilisation de modèles algébriques pour représenter l'information couleur permet la définition et le développement d'un filtre spatial de détection de contours tenant compte de la dispersion dans l'espace couleur.

De nombreux travaux de recherche ont ´et´e conduits dans le domaine de synthèse de lois de commande par modes glissants. Différentes approches de commande été proposées dans la litérature, telles que l’algorithme Super-Twisting (STA) et sa version récente, l’algorithme généralisé Super-Twisting (GSTA). Les travaux de recherche présentés dans ce mémoire de thèse s’inscriventdans ces méthodes pour résoudre le problème de commande et de commande tolérante aux fautes, pour une mission spatiale. La mission considère une cible passive et un chasseur. L’objectif visé est de synthétiser les lois de contrôle d’attitude et de mouvement relatif, tolérantes aux pannes. Les approches proposées abordent la problématique des modes flexibles des panneaux solaires etdes phénomènes de ballottement du carburant dans les réservoirs.Dans un premier travail, une loi de commande de type STA est proposée dans une configuration dite de backstepping. Dans un second travail, une loi de commande tolérante aux fautes basée sur les modes glissants du second ordre, est proposée. La solution est basée sur l’algorithme GSTA ,placé en boucle externe de compensation de défauts utilisant un estimateur de défauts non linéaire. Le problème de saturation des actionneurs est également abordé et une solution basée sur la géométrie polytopique, est proposée. Les éléments clés de l’approche tolérante aux pannes sont, i) d’une part la solution ne nécessite pas de diagnostiquer les fautes et donc n’utilise pas d’algorithme de détection et de localisation de défauts, et ii), d’autre part, l’approche est basée sur le formalisme duquaternion dual qui permet de tenir compte des effets de couplage attitude/mouvement relatif. Des critères orientés mission, illustrent les résultats obtenus au travers d’une campagne de simulation réaliste
Increasing attention has grown with regards to Sliding Mode Controllers (SMC). In order to reduce the so-called chattering effect, the Super-Twisting Algorithm (STA) has been proposed, recently. In this work, a controller based on the STA in a backstepping setup, is proposed for spacecraft rendezvous in a circular orbit. A key feature is that the chaser is not treated as a point mass, given that the effects of the flexible modes and propellant sloshing phenomena are considered. The results obtained are taken further, given that the guarantee of robustness against perturbations is not enough when it comes to critical systems, through the second ordersliding mode controllers technique. It is shown that the technique enables to solve to problem of fault tolerant control. The solution is based on the Generalized Super-Twisting Algorithm (GSTA) with an anti-windup strategy and a nonlinear observer and the dual quaternion formalism. The main reason of employing a GSTA is because it offers more robustness against state dependentperturbations (sloshing phenomena and flexible modes) than the STA. In addition, with the help of the anti-windup strategy, the control law does not saturate the thrusters, avoiding instablity when faults occur. The proposed solution is evaluated through a simulation campaign in a high-fidelity non-linear simulator, and mission oriented criteria demonstrate its potential

Les matériaux complexes sont aujourd'hui au cœur des enjeux sociétaux majeurs dans la plupart des grands domaines tels que l'énergie, le transport, l'environnement, la conservation/restauration du patrimoine, la santé ou la sécurité. En effet, de par les opportunités d'innovation offertes en matière de fonctionnalités, ces matériaux suscitent de nouvelles problématiques d'analyse et de compréhension multi-physiques et multi-échelles. Il en va de même pour l'instrumentation nécessaire à leur caractérisation.Répandues dans le domaine de la caractérisation non destructive des milieux complexes, les méthodes acoustiques utilisent les propriétés de propagation des ondes mécaniques dans ces matériaux pouvant être hétérogènes et anisotropes.Dans une approche multi-échelle, l'intérêt des méthodes ultrasonores est d'être particulièrement sensibles à leurs propriétés mécaniques, telles que l'élasticité, la rigidité et la viscosité. La nature hétérogène et multiphasique d'un milieu complexe conduit ainsi à la notion de milieu viscoélastique, caractérisé par les coefficients de Lamé généralisés complexes (��∗, ��∗) et leur variation en fonction de la fréquence.L'objectif de cette thèse est de développer une méthode de caractérisation de ces matériaux complexes viscoélastiques qui permette de mesurer simultanément la variation des deux coefficients de Lamé généralisés complexes (��∗, ��∗) en fonction de la fréquence. L'approche proposée est de suivre, dans l'espace et dans le temps, la propagation de l'onde de Rayleigh et d'extraire ses paramètres ellipsométriques (ellipticité χ et orientation θ) en complément des paramètres propagatifs (k' et k'') classiquement déterminés. Basée sur la détection de l'onde par vibrométrie laser 3D à la surface du matériau complexe, et au moyen de l'analyse de Gabor 2D dans l'espace des Quaternions, l'estimation de l'ensemble des paramètres - propagatifs et ellipsométriques - donne accès à la caractérisation complète du milieu avec cette seule onde de Rayleigh.Les développements théoriques proposés dans ce travail, ainsi que les résultats expérimentaux et issus de simulation, confirment l'intérêt de l'ellipsométrie acoustique pour la caractérisation de ces matériaux complexes
Complex materials are at the heart of major societal challenges in most major fields such as energy, transport, environment, heritage conservation/restoration, health and safety. Because of the opportunities for innovation offered in terms of features, these materials are giving rise to new problems of multi-physical and multi-scale analysis and understanding. The same applies to the instrumentation needed to characterize them.Acoustic methods, which are widely used in the non-destructive characterization of complex media, make use of the propagation properties of mechanical waves in these materials, which can be heterogeneous and anisotropic.In a multi-scale approach, the advantage of ultrasonic methods is that they are particularly sensitive to mechanical properties such as elasticity, rigidity and viscosity. The heterogeneous and multiphase nature of a complex medium thus leads to the notion of a viscoelastic medium, characterized by generalized complex Lamé coefficients (��∗, ��∗) and their variation as a function of frequency.The objective of this thesis is to develop a method for characterizing these complex viscoelastic materials that simultaneously measures the variation of the two generalized complex Lamé coefficients (��∗, ��∗) versus the frequency. The proposed approach is to follow, in space and in time, the propagation of the Rayleigh wave and to extract its ellipsometric parameters (ellipticity χ and orientation θ) in addition to the propagation parameters (k' and k'') conventionally determined. Based on the wave detection by 3D laser vibrometry at the surface of the complex material, and by means of 2D Gabor analysis in Quaternion space, the estimation of propagation and ellipsometric parameters gives access to the complete characterization of the complex material only by studying the interaction of a Rayleigh wave with the medium.The theoretical developments proposed in this work, together with experimental and simulation results, confirm the value of acoustic ellipsometry for characterizing these complex materials

Dans la première partie de la thèse, nous étudions le problème de l'équivalence quantique de modèles sigma reliés entre eux par la T-dualité non-abelienne. Nous prouvons que la renormalisabilité à une boucle de divers modèles initiaux implique la renormalisabilité à une boucle de leur partenaire dualisé, et qu'ils partagent les mêmes fonctions beta. Ceci est fait pour tous les modèles sigma principaux (G_L X G_R)/G_D, quelle que soit la brisure de G_R, ainsi que pour la large classe de métriques à quatre dimensions, inhomogènes et d'isométrie SU(2) X U(1). Pour l'exemple simple du modèle sigma T-dualisé SU(2), dont la non-renormalisabilité à deux boucles a été démontrée dans le schéma dimensionel minimal, nous prouvons qu'il est encore possible, à cet ordre, de définir une théorie quantique correcte en modifiant, à l'ordre \hbar, la métrique de l'espace cible de façon finie. Dans la seconde partie, nous construisons de façon explicite, grâce au super-espace harmonique et à l'approche du quotient quaternionique, une extension quaternion-Kähler de la métrique hyper-Kähler à deux centres la plus générale. Elle possède le groupe d'isométrie U(1) X U(1) et contient comme cas particuliers les extensions quaternion-Kähler des métriques de Taub-NUT et d'Eguchi-Hanson. Elle fait aussi apparaître un paramètre supplémentaire qui disparaît dans la limite hyper-Kähler.

En recherche d’information, les documents sont le plus souvent considérés comme des "sacs-de-mots". Ce modèle ne tient pas compte de la structure temporelle du document et est sensible aux bruits qui peuvent altérer la forme lexicale. Ces bruits peuvent être produits par différentes sources : forme peu contrôlée des messages des sites de micro-blogging, messages vocaux dont la transcription automatique contient des erreurs, variabilités lexicales et grammaticales dans les forums du Web. . . Le travail présenté dans cette thèse s’intéresse au problème de la représentation de documents issus de sources bruitées.La thèse comporte trois parties dans lesquelles différentes représentations des contenus sont proposées. La première partie compare une représentation classique utilisant la fréquence des mots à une représentation de haut-niveau s’appuyant sur un espace de thèmes. Cette abstraction du contenu permet de limiter l’altération de la forme de surface du document bruité en le représentant par un ensemble de caractéristiques de haut-niveau. Nos expériences confirment que cette projection dans un espace de thèmes permet d’améliorer les résultats obtenus sur diverses tâches de recherche d’information en comparaison d’une représentation plus classique utilisant la fréquence des mots.Le problème majeur d’une telle représentation est qu’elle est fondée sur un espace de thèmes dont les paramètres sont choisis empiriquement.La deuxième partie décrit une nouvelle représentation s’appuyant sur des espaces multiples et permettant de résoudre trois problèmes majeurs : la proximité des sujets traités dans le document, le choix difficile des paramètres du modèle de thèmes ainsi que la robustesse de la représentation. Partant de l’idée qu’une seule représentation des contenus ne peut pas capturer l’ensemble des informations utiles, nous proposons d’augmenter le nombre de vues sur un même document. Cette multiplication des vues permet de générer des observations "artificielles" qui contiennent des fragments de l’information utile. Une première expérience a validé cette approche multi-vues de la représentation de textes bruités. Elle a cependant l’inconvénient d’être très volumineuse,redondante, et de contenir une variabilité additionnelle liée à la diversité des vues. Dans un deuxième temps, nous proposons une méthode s’appuyant sur l’analyse factorielle pour fusionner les vues multiples et obtenir une nouvelle représentation robuste,de dimension réduite, ne contenant que la partie "utile" du document tout en réduisant les variabilités "parasites". Lors d’une tâche de catégorisation de conversations,ce processus de compression a confirmé qu’il permettait d’augmenter la robustesse de la représentation du document bruité.Cependant, lors de l’élaboration des espaces de thèmes, le document reste considéré comme un "sac-de-mots" alors que plusieurs études montrent que la position d’un terme au sein du document est importante. Une représentation tenant compte de cette structure temporelle du document est proposée dans la troisième partie. Cette représentation s’appuie sur les nombres hyper-complexes de dimension appelés quaternions. Nos expériences menées sur une tâche de catégorisation ont montré l’efficacité de cette méthode comparativement aux représentations classiques en "sacs-de-mots"
In the Information Retrieval field, documents are usually considered as a "bagof-words". This model does not take into account the temporal structure of thedocument and is sensitive to noises which can alter its lexical form. These noisescan be produced by different sources : uncontrolled form of documents in microbloggingplatforms, automatic transcription of speech documents which are errorprone,lexical and grammatical variabilities in Web forums. . . The work presented inthis thesis addresses issues related to document representations from noisy sources.The thesis consists of three parts in which different representations of content areavailable. The first one compares a classical representation based on a term-frequencyrepresentation to a higher level representation based on a topic space. The abstractionof the document content allows us to limit the alteration of the noisy document byrepresenting its content with a set of high-level features. Our experiments confirm thatmapping a noisy document into a topic space allows us to improve the results obtainedduring different information retrieval tasks compared to a classical approach based onterm frequency. The major problem with such a high-level representation is that it isbased on a space theme whose parameters are chosen empirically.The second part presents a novel representation based on multiple topic spaces thatallow us to solve three main problems : the closeness of the subjects discussed in thedocument, the tricky choice of the "right" values of the topic space parameters and therobustness of the topic-based representation. Based on the idea that a single representationof the contents cannot capture all the relevant information, we propose to increasethe number of views on a single document. This multiplication of views generates "artificial"observations that contain fragments of useful information. The first experimentvalidated the multi-view approach to represent noisy texts. However, it has the disadvantageof being very large and redundant and of containing additional variability associatedwith the diversity of views. In the second step, we propose a method based onfactor analysis to compact the different views and to obtain a new robust representationof low dimension which contains only the informative part of the document whilethe noisy variabilities are compensated. During a dialogue classification task, the compressionprocess confirmed that this compact representation allows us to improve therobustness of noisy document representation.Nonetheless, during the learning process of topic spaces, the document is consideredas a "bag-of-words" while many studies have showed that the word position in a7document is useful. A representation which takes into account the temporal structureof the document based on hyper-complex numbers is proposed in the third part. Thisrepresentation is based on the hyper-complex numbers of dimension four named quaternions.Our experiments on a classification task have showed the effectiveness of theproposed approach compared to a conventional "bag-of-words" representation

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The historiography of triplets of Hamilton aims to address the mathematical reasoning that preceded the development of quaternions and their contribution to the study of three-dimensional objects. The study of triplets as geometrical representation of square roots and negative quantities prior to the formalization of hypercomplex numbers, in particular the algebra of quaternions. The origin and the quaternion's fundaments based on triplets, applied in the rotational motion of threedimensional objects in space, evokes further study of their complex structures, a priori. The search of Hamilton for a hypercomplex number able to represent rotations in space presented geometrical concerns, as well as, a vector approach of plane, then their applications determine isometries that still underlie the mathematical morphology of the digital dynamic image
A historiografia dos tripletos de Hamilton pretende abordar o raciocínio matemático que antecedeu o desenvolvimento dos quaternions e sua contribuição ao estudo de objetos tridimensionais. O estudo dos tripletos como representação geométrica das raízes quadradas e quantidades negativas antecedeu a formalização dos números hipercomplexos, em específico da álgebra de quaternions. A origem e os fundamentos dos quaternions baseados nos tripletos, aplicados no movimento rotacional de objetos tridimensionais no espaço suscitam um estudo mais aprofundado de suas estruturas complexas, a priori. A busca de Hamilton por um número hipercomplexo capaz de representar rotações do espaço apresentava preocupações geométricas, assim como uma abordagem vetorial do plano, logo suas aplicações determinariam isometrias que ainda fundamentam a morfologia da imagem digital dinâmica

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Abstract: In this work we study some geometric transformations in the plane and the space. Initially, we present some special types of transformations in the plane and find the matrix of each of these transformations. In the second part we discourse the transformations in the space, emphasizing the rotations. We will use the angles of Euler to determine a rotation in the space around the Cartesian axes and define an equation which allows to rotate a vector around any axis. We also discuss the homogeneous spaces aiming the matrix representation of transformations of translation. Finally, we use the structure of the quaternions group to present a second form to rotation vectors and composition of rotations in the space. We emphasize that this study is essential to describe the motion of objects in the plane and in the space.
Neste trabalho estudamos algumas das transformações geométricas no Plano e no Espaço. Inicialmente, apresentamos alguns tipos de transformações especiais no Plano e encontramos a matriz de cada uma destas transformações. Na segunda parte abordamos as transformações no Espaço, dando ênfase as rotações. Utilizamos os ângulos de Euler para determinar uma rotação no espaço em torno dos eixos cartesianos e definimos uma equação que permite rotacionar um vetores em torno de um eixo qualquer. Também abordamos os espaços homogêneos objetivando a representa ção matricial da transformação de translação. Por último, usamos a estrutura do grupo dos Quatérnios para apresentar uma segunda forma de fazer rotações de vetores e composição de rotações no espaço. Ressaltamos que este estudo é fundamental para descrever o movimento de objetos no plano e no espaço.