Academic literature on the topic 'Equazioni derivate parziali'

La tesi consiste in una trattazione sui problemi al contorno per le equazioni differenziali. Si affrontano prima i problemi per le equazioni differenziali ordinarie e poi quelli sulle equazioni iperboliche alle derivate parziali, analizzando nello specifico l'equazione delle onde in una e due dimensioni.

L'obiettivo di questo elaborato è quello di presentare tecniche risolutive per le equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico. Nel primo capitolo di questa tesi, dopo aver enunciato alcuni risultati preliminari, definiamo le soluzioni classiche e deboli di equazioni differenziale alle derivate parziali di tipo ellittico. Segue il teorema di Lax-Milgram per forme bilineari con il quale, grazie alle stime energetiche, dimostriamo l'esistenza e l'unicità delle soluzioni deboli di questo tipo di PDE. Il secondo capitolo si articola nella dimostrazione di tre importanti teoremi: il primo di essi garantisce l'esistenza e l'unicità di soluzioni deboli per un problema al bordo. Il secondo teorema sfrutta la teoria di Fredholm sugli operatori compatti per mostrare la relazione che lega la risolvibilità di un problema con quella del problema omogeneo e, infine, con il terzo teorema arricchiamo le conoscenze sulle soluzioni deboli sfruttando risultati riguardanti lo spettro degli operatori compatti. Nel terzo capitolo, dimostriamo due teoremi che studiano il problema della regolarità delle soluzioni deboli.

Lo scopo di questa tesi è introdurre la nozione di soluzione viscosa per equazioni a derivate parziali. Illustriamo i motivi per i quali abbiamo bisogno di considerare funzioni non differenziabili come soluzioni di equazioni completamente non lineari. Esaminiamo in primo luogo teoremi di confronto per il caso di equazioni alle derivate parziali del primo ordine, trattando in particolar modo, il problema di Dirichlet. Dimostriamo poi l’esistenza di una soluzione viscosa tramite il metodo di Perron e per farlo usiamo i risultati di confronto. Inoltre, per le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine è di fondamentale importanza il Teorema delle somme che permette di trattare quest’ultime più facilmente. Infine, estendiamo i risultati menzionati ad equazioni paraboliche.

The aim of this master thesis is to study the exponential decay of solutions of elliptic partial equations. This work is based on the results obtained by Agmon. To this purpose, first, we define the Agmon metric, that plays an important role in the study of exponential decay, because it is related to the rate of decay. Under some assumptions on the growth of the function and on the positivity of the quadratic form associated to the operator, a first result of exponential decay is presented. This result is then applied to show the exponential decay of eigenfunctions with eigenvalues whose real part lies below the bottom of the essential spectrum. Finally, three examples are given: the harmonic oscillator, the hydrogen atom and a Schrödinger operator with purely discrete spectrum.

In questa tesi tratteremo alcune applicazioni della teoria delle distribuzioni, specialmente di quelle temperate. Nei primi capitoli introdurremo i concetti fondamentali di questa teoria e cercheremo di fornire al lettore tutti gli strumenti necessari per affrontare l’argomento principale: la ricerca delle soluzioni fondamentali per un operatore lineare a coefficienti costanti e la risoluzione di problemi differenziali per essi. Infine applicheremo quanto studiato, all’operatore delle onde. Conclude la tesi un’appendice in cui verranno trattate le distribuzioni a simmetria radiale, utili per affrontare il problema di Cauchy per l’equazione delle onde.

Uno dei più importanti impieghi della tecnologia del freddo è nella surgelazione degli alimenti al fine di rallentarne il deterioramento dovuto all’azione di enzimi e microorganismi e di preservarne la qualità nutrizionale e la durata. In genere una rapida diminuzione della temperatura degli alimenti durante il congelamento garantisce un rallentamento delle reazioni chimiche, fisiche e biochimiche tale da garantire una buona qualità del prodotto surgelato. Di contro, il rapido abbattimento della temperatura ha certo un costo più oneroso da sostenere per la produzione industriale. L’obiettivo che il presente lavoro di ricerca si prefigge è quello di sviluppare un modello matematico in grado di descrivere con alto grado di precisione l’evoluzione temporale dello stato termico degli alimenti sottoposti ad un processo di congelazione rapida. Così facendo, è possibile dimensionare gli impianti di congelamento in modo da determinare un giusto compromesso tra la surgelazione rapida e l’economia di industrializzazione, senza però penalizzare la qualità e la durata dei prodotti. Le difficoltà maggiori che si incontrano nell’utilizzo di un modello matematico per descrivere il fenomeno termico del congelamento delle derrate alimentari sono dovute alla complessità e non linearità della struttura delle equazioni differenziali che descrivono detto fenomeno fisico. Tali equazioni, oltre a non avere una risoluzione analitica nella quasi generalità dei casi, sono di tipo fortemente non lineare poiché i coefficienti che in esse compaiono sono funzione del campo di temperature incognito che si vuol calcolare per un determinato istante. Tradizionalmente i metodi utilizzati per la risoluzione delle equazioni in esame sono quelli alle differenze finite, agli elementi finiti o ai volumi finiti e richiedono l’utilizzo di una mesh per la risoluzione numerica dei sistemi ottenuti. Visto però che le mesh sono costose e complesse da realizzare, negli ultimi anni si è registrato un crescente interesse nello studio di metodi di tipo meshless. Il lavoro di ricerca fino ad oggi svolto, coerentemente con gli ultimi sviluppi delle ricerche matematiche in tema di risoluzione di equazioni PDEs (Partial Differential Equations), si è incentrato sull’utilizzo delle metodologie di tipo meshless che utilizzano il metodo dell’interpolazione hermitiana basata su funzioni del tipo RBFs (Radial Basic Functions). Il modello matematico meshless messo a punto per lo studio del fenomeno termico della congelazione rapida degli alimenti è stato poi implementato con routine di calcolo numerico in linguaggio di programmazione Fortran 90. Nel programma sono state 7 implementate, tra le altre cose, una funzione RBF del quarto ordine (detta anche thin plate spline), le approssimazioni di Comina, Bonacina e Toffan (1973) per la capacità e conducibilità termica degli alimenti, e un algoritmo iterativo che viene calcolato per ogni timestep in cui viene suddiviso il periodo di osservazione del fenomeno fisico e che utilizza il metodo di Crank-Nicolson per l’approssimazione dell’operatore derivata in funzione della soluzione del sistema di equazioni ad un istante precedente. Per la validazione del modello matematico implementato sono state effettuate diverse simulazioni su un modello di purea di patata sottoposto al processo di congelazione rapida, rilevandone la temperatura in sezioni diverse al variare delle condizioni al contorno imposte. Gli andamenti della temperatura simulati sono stati confrontati con le temperature rilevate sperimentalmente su un provino di purea di patate di simmetria sferica e densità omogenea sottoposto al processo di surgelazione in laboratorio. La rilevazione delle temperature è stata acquisita tramite delle termocoppie rame-costantana, posizionate in punti diversi del provino in esame e collegate ad un data logger a sua volta connesso ad un personal computer per la registrazione nel tempo dei dati rilevati. Per la cella frigorifera è stato utilizzato lo scomparto a bassa temperatura di un armadio frigorifero presente in laboratorio in grado di mantenere al suo interno una temperatura di -30°C. Per lo studio termico ci si è limitati all’analisi della forma semisferica e si è resa adiabatica la base della semisfera attraverso l’utilizzo di un idoneo spessore di isolante termico su cui è stato posizionato il modello in studio. Si è deciso di misurare le temperature dei prodotti sia al centro della semisfera che ad intervalli di 10 mm, a partire dal centro stesso, su due raggi tra loro ortogonali. La prima condizione al contorno che è stata considerata è quella del primo tipo (di Dirichlet), che impone ad ogni singolo timestep la temperatura della superficie del provino ottenuta dalla media di valori di temperatura registrati dalle termocoppie durante i rilievi sperimentali. Il limite della condizione al contorno di cui sopra è la mancanza di flessibilità nel caso di un reale processo industriale di surgelazione durante il quale non è agevole ricavare la temperatura sulla superficie degli alimenti. Per poter utilizzare la simulazione con un grado di flessibilità maggiore in un contesto di tipo reale è stata quindi considerata una condizione al contorno del terzo tipo (di Robin). Questa condizione, che è quella legata al moto convettivo tra le pareti della cella frigorifera e il provino considerato, viene imposta considerando la temperatura rilevata in prossimità del campione e utilizzando 8 nel calcolo del coefficiente convettivo opportune relazioni sperimentali, ricavate dalla letteratura scientifica sull’argomento. In particolare l’algoritmo utilizzato prevede, rispetto al precedente, il calcolo all’interno di ogni timestep prima del numero di Rayleigh e poi, tramite la correlazione sperimentale, il calcolo del numero di Nusselt per risalire infine a una una stima del coefficiente convettivo da utilizzare nella condizione del terzo tipo. I risultati ottenuti dalle simulazioni con entrambe le condizioni al contorno sono stati validati utilizzando i rilievi di temperatura ottenuti nel caso reale. Nella fattispecie, la comparazione delle temperature stimate con il programma con quelle reali misurate dà una buona validazione della accuratezza dei risultati ottenuti dalle simulazioni, ancora più significativi se si tiene conto della grossa variazione delle proprietà termiche degli alimenti durante il cambiamento di fase.

La tesi riguarda lo studio di stime a-priori per sistemi ellittici del calcolo delle variazioni con condizioni di crescita generale. La prima parte riguarda stime per la maggiore sommabilità del gradiente di soluzioni di particolari problemi variazionali. La seconda stime a priori della norma L-infinito del gradiente di soluzioni nel caso di crescita sia lenta che veloce. This thesis is about a-priori estimates in the calculus of variations with general growth conditions. The first part contains some higher integrability estimates for gradients of particular solutions of particular variational problems. The second part contains L-infinity a-priori estimates for the gradient of solutions with either slow or fast growth conditions.