Academic literature on the topic 'Équations de Mahler'

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de Mahler et des solutions de ces équations, appelées fonctions de Mahler. Des exemples classiques de fonctions de Mahler sont les séries génératrices des suites automatiques. La première partie de cette thèse porte sur les aspects galoisiens des équations de Mahler. Notre résultat principal est un analogue pour ces équations du théorème de densité de Schlesinger selon lequel la monodromie d'une équation différentielle à points singuliers réguliers est Zariski-dense dans son groupe de Galois différentiel. Pour cela, nous commençons par attacher une paire de matrices de connexion à chaque équation de Mahler singulière régulière. Ces matrices nous permettent de construire un sous-groupe du groupe de Galois de l'équation de Mahler et nous montrons que ce sous-groupe est Zariski-dense dans le groupe de Galois. La seule hypothèse de ce théorème de densité est le caractère singulier régulier de l'équation de Mahler considérée. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la construction d'un algorithme qui permet de reconnaître si une équation de Mahler est singulière régulière
This thesis is devoted to the study of Mahler equations and the solutions of these equations, called Mahler functions. Classic examples of Mahler functions are the generating series of automatic sequences. The first part of this thesis deals with the Galoisian aspects of Mahler equations. Our main result is an analog for Mahler equations of the Schlesinger’s density theorem according to which the monodromy of a regular singular differential equation is Zariski-dense in its differential Galois group. To this end, we start by attaching a pair of connection matrices to each regular singular Mahler equation. These matrices enable us to construct a subgroup of the Galois group of the Mahler equation and we prove that this subgroup is Zariski-dense in the Galois group. The only assumption of this density theorem is the regular singular condition on the considered Mahler equation. The second part of this thesis is devoted to the construction of an algorithm which recognizes whether or not a Mahler equation is regular singular

Le concept de suite p-régulière, introduit par Allouche et Shallit, généralise celui de suite p-automatique. La série génératrice d'une telle suite est considérée, tantôt comme une série formelle, tantôt comme une fonction holomorphe (dans le cas complexe) ; elle vérifie une équation fonctionnelle linéaire, dite de Mahler. Ce travail étudie ces équations fonctionnelles de façon générale, pour les appliquer au cas particulier des suites p-régulières. Le cadre formel est celui des chapitres 1, 2 et 3. On y étudie certaines structures mahlériennes. Le chapitre 4 montre la transcendance des solutions non rationnelles, par l'étude de leurs singularités. On étend ainsi un résultat bien connu dans le cas automatique. Le chapitre 5, répondant à une question posée par Rubel, montre que, dans un cas, les solutions non rationnelles sont différentiellement transcendantes (ou hypertranscendantes). Le chapitre 7, reprenant des méthodes bien connues, s'appuie sur le chapitre 4 pour établir la transcendance des valeurs prises, s'intéressant ainsi à une question posée par Allouche et Shallit. Le chapitre 8 montre un résultat très partiel en direction d'une conjecture de Loxton et van der Poorten. Le chapitre 6 esquisse une étude dans le cas non linéaire.

L'objet de cette thèse est l'étude d'une classe de séries entières solutions de certaines équations fonctionnelles, dites mahlériennes. Ces séries interviennent en combinatoire avec des problèmes de comptage de mots et en analyse d'algorithmes où elles sont liées aux récurrences diviser pour régner. La résolution des équations mahlériennes est fondée sur les propriétés des fractions rationnelles vis à vis de l'opérateur fondamental, analogue de la dérivation pour les équations différentielles, et sur l'arithmétique des opérateurs sous-jacents à ces équations. Les méthodes décrites fournissent à la fois des procédés effectifs de calcul et des résultats qualitatifs sur les propriétés de clôture de cette classe et, dans le cas complexe, sur les propriétés analytiques des solutions. Une sous-classe importante de séries mahlériennes est fournie par les séries B-régulières, généralisation des séries B-automatiques. Elles sont la traduction, via la numération en base B, des séries rationnelles en indéterminées non commutatives de la théorie des langages formels et héritent de leurs propriétés. On peut par exemple définir les notions de représentation linéaire, de rang et de matrice de Hankel. Sous certaines conditions simples, une série mahlérienne est B-régulière ; en particulier la plupart des récurrences diviser pour régner fournissent des séries B-régulières. L'analyse asymptotique des coefficients des séries mahlériennes complexes sàppuie sur une classification qui met en valeur l'importance des séries B-régulières, sur des techniques d'algèbre linéaire et sur des méthodes de théorie analytique des nombres. Les résultats obtenus permettent de traiter les exemples rencontrés dans la pratique. Ils montrent pour les séries B-régulières un lien entre le comportement asymptotique des coefficients et le spectre des représentations linéaires et dans beaucoup de cas un phénomène de périodicité en échelle logarithmique.

We study bounds on the distances of roots of integer polynomials and applications of such results. The separation of complex roots for reducible monic integer polynomials of fourth degree is thoroughly explained. Lemmas on roots of polynomials in the p-adic setting are proved. Explicit families of polynomials of general degree as well as families in some classes of quadratic and cubic polynomials with very good separation of roots in the same setting are exhibited. The second part of the thesis is concerned with results on p-adic versions of Mahler's and Koksma's functions wn and w*n and the related classifications of transcendental numbers in Cp. The main result is a construction of numbers such that the two functions wn and w*n differ on them for every n and later on expanding the interval of possible values for wn-w*n. The inequalities linking values of Koksma's functions for algebraically dependent numbers are proved.