Academic literature on the topic 'Équation d’évolution de Laplace'

International audience We develop general theory for degenerate hyperbolic-parabolic type problems using semi-group theory in Banach spaces. We establish existence, uniqness results and continuous dependance with respects to data for mild solution. Similar results are developped for weak solution of entropy type, and existence of solutions are studied. Nous développons une théorie générale pour des équations d’évolution de type hyperbolique parabolique non linéaire à l’aide de la théorie des semi-groupes non linéaires dans les espaces de Banach. Nous établissons des résultats d’existence, d’unicité et de dépendance continue par rapport aux données d’une bonne solution du problème de Cauchy ou des problèmes aux limites associées à cette équation sous des hypothèses très générales. Avec des hypothèses complémentaires, nous montrons que cette bonne solution est une solution locale de type entropique, nous étudions également l’unicité des solutions faibles et l’existence de solution forte.

Dans cette thèse, nous nous sommes principalement intéressés à l’étude théorique et numérique de quelques équations qui décrivent la dynamique des densités des dislocations. Les dislocations sont des défauts microscopiques qui se déplacent dans les matériaux sous l’effet des contraintes extérieures. Dans un premier travail, nous démontrons un résultat d’existence globale en temps des solutions discontinues pour un système hyperbolique diagonal qui n’est pas nécessairement strictement hyperbolique, dans un espace unidimensionnel. Ainsi dans un deuxième travail, nous élargissons notre portée en démontrant un résultat similaire pour un système d’équations de type eikonal non-linéaire qui est en fait une généralisation du système hyperbolique déjà étudié. En effet, nous prouvons aussi l’existence et l’unicité d’une solution continue pour le système eikonal. Ensuite, nous nous sommes intéressés à l’analyse numérique de ce système en proposant un schéma aux différences finies, par lequel nous montrons la convergence vers le problème continu et nous consolidons nos résultats avec quelques simulations numériques. Dans une autre direction, nous nous sommes intéressés à la théorie de contraction différentielle pour les équations d’évolutions. Après avoir introduit une nouvelle distance, nous construisons une nouvelle famille des solutions contractantes positives pour l’équation d’évolution p-Laplace<br>In this thesis, we are mainly interested in the theoretical and numerical study of certain equations that describe the dynamics of dislocation densities. Dislocations are microscopic defects in materials, which move under the effect of an external stress. As a first work, we prove a global in time existence result of a discontinuous solution to a diagonal hyperbolic system, which is not necessarily strictly hyperbolic, in one space dimension. Then in another work, we broaden our scope by proving a similar result to a non-linear eikonal system, which is in fact a generalization of the hyperbolic system studied first. We also prove the existence and uniqueness of a continuous solution to the eikonal system. After that, we study this system numerically in a third work through proposing a finite difference scheme approximating it, of which we prove the convergence to the continuous problem, strengthening our outcomes with some numerical simulations. On a different direction, we were enthused by the theory of differential contraction to evolutionary equations. By introducing a new distance, we create a new family of contracting positive solutions to the evolutionary p-Laplacian equation

L'objectif de ce travail est double : D'une part, la résolution à l'aide de la méthode de décomposition de domaine, de l'équation de Poisson et de l'équation de Helmholtz, avec donnée de Dirichlet homogène au bord. D'autre part, l'étude de l'équation de Laplace, avec donnée non linéaire g au bord en se basant sur la méthode du Min-Max. Dans la première partie, nous introduisons les outils indispensables sur lesquels nous nous sommes appuyés pour aborder les équations à résoudre et nous présentons deux méthodes indirectes de résolution de l'équation de Poisson: l'algorithme de Dirichlet-Neumann pénalisé barycentriquement et l'algorithme de Dirichlet-Neumann symétrisé, donné par le problème couplé. Le premier schéma a été proposé et démontré convergent par A. Quarteroni et A. Valli. Nous élaborons dans ce mémoire une nouvelle démonstration de convergence de l'algorithme. Le second schéma est nouveau : la condition de Dirichlet-Neumann est symétrisé. Nous montrons la convergence de cet algorithme vers le problème global. Les études théoriques ont montré que les deux méthodes discrétisées convergent et des estimations d'erreur portant sur l'ordre de la convergence ont été établies. Les résultats déjà trouvés ont été validés par les essais numériques, en utilisant le logiciel Comsol pour le maillage, avec le solveur de Matlab. Notons que l'algorithme symétrisé converge plus rapidement que celui pénalisé. Nous étudions ensuite le problème de Helmholtz avec données mixtes sur le bord actif, qui fournit le cadre du travail nécessaire pour examiner l'algorithme introduit par M. Balabane. Nous analysons les résultats théoriques obtenus et nous testons l'algorithme numériquement. Les essais décèlent une saturation de cette méthode pour le maillage considéré. De plus, cette méthode converge très lentement dans un voisinage de la fréquence résonnante. Une dégradation de la convergence est relevée quand la géométrie du domaine est complexe. Dans la deuxième partie, nous exposons une généralisation de l'étude faite par K. Medville et A. Vogelius, pour la résolution de l'équation de Laplace avec donnée non linéaire au bord. Dans le cas où la fonction est sous-linéaire, nous montrons que le problème admet au moins une solution. L'unicité est obtenue en imposant une condition de monotonie sur la fonction sous-linéaire. Dans le cas sur-linéaire, le nombre de solutions du problème dépend du signe du coefficient multipliant la fonction<br>This work is divided into two parts : First, a domain decomposition method for the resolution of the Poisson equation and the Helmholtz equation in a bounded domain,with Dirich let boundary condition. Second, The study of the Laplace equation, with non linear boundary condition g. Using the Min-Max method. First, we elaborate some essential tools to introduce our equations, then we present two indirect methods for solving the Poisson equation : there laxed barycentric Dirichlet-Neumann algorithm and the symmetric Dirichlet-Neumann algorithm. The first algorithm was introduced and studied by A. Quarteroni, A. Valli. We present in this work a new proof of its convergence. The second scheme presented is new : we give asymmetric version of the Dirichlet-Neumann condition. We prove that this algorithm is convergent. The theoretical results show that both of the discretization methods are convergent and estimation son the error of convergence are given. We test the two methods numerically, using Comsol with Matlab solver. We notice that the symmetric method converges faster than the barycentric one

Dans ce mémoire, nous nous intéressons au phénomène d’explosion en temps fini de solutions qui changent de signe de l’équation suivante :[. . . ] Ce résultat étend un résultat similaire obtenu par Cazenave, Dickstein, et Weissler [. . . ]<br>In this memory, we study the phenomenon of explosion in finite time for sign changing solution of the following equation : [. . . ] This result extends a similar result of Cazenave, Dickstein, and Weissler [. . . ]

Dans cette thèse, nous étudions la stabilisation de certaines équations d’évolution par des lois de rétroaction. Dans le premier chapitre nous étudions l’équation des ondes dans R avec conditions aux limites dynamiques appliquées sur une partie du bord et une condition de Dirichlet sur la partie restante. Nous fournissons des conditions suffisantes qui garantissent une stabilité polynomiale en utilisant une méthode qui combine une inégalité d’observabilité pour le problème non amorti associé avec des résultats de régularité du problème non amorti. L’optimalité de la décroissance est montrée dans certains cas à l’aide des résultats spectraux précis de l’opérateur associé. Dans le deuxième chapitre nous considérons le système sur un domaine de Rd, d ≥ 2. On trouve des conditions suffisantes qui permettent la stabilité forte. Ensuite, nous discutons de la stabilité non uniforme ainsi que de la stabilité polynomiale. L’approche en domaine fréquentiel nous permet d’établir une décroissance polynomiale sur des domaines pour lesquels l’équation des ondes avec l’amortissement standard est exponentiellement ou polynomialement stable. Dans le troisième chapitre nous considérons un cadre général d’équations d’évolution avec une dissipation dynamique. Sous une hypothèse de régularité, nous montrons que les propriétés d’observabilité pour le problème non amorti impliquent des estimations de décroissance pour le problème amorti<br>In this thesis, we study the stabilization of some evolution equations by feedback laws. In the first chapter we study the wave equation in R with dynamical boundary control applied on a part of the boundary and a Dirichlet boundary condition on the remaining part. We furnish sufficient conditions that guarantee a polynomial stability proved using a method that combines an observability inequality for the associated undamped problem with regularity results of the solution of the undamped problem. In addition, the optimality of the decay is shown in some cases with the help of precise spectral results of the operator associated with the damped problem. Then in the second chapter we consider the system on a domain of Rd, d ≥ 2. In this case, the domain of the associated operator is not compactly embedded into the energy space. Nevertheless, we find sufficient conditions that give the strong stability. Then, we discuss the non uniform stability as well as the polynomial stability by two methods. The frequency domain approach allows us to establish a polynomial decay on some domains for which the wave equation with the standard damping is exponentially or polynomially stable. Finally, in the third chapter we consider a general framework of second order evolution equations with dynamical feedbacks. Under a regularity assumption we show that observability properties for the undamped problem imply decay estimates for the damped problem. We finally illustrate our general results by a variety of examples

Cette thèse est consacrée à l’étude de l’existence globale de solutions pour des équations de Klein-Gordon – ou des systèmes ondes-Klein-Gordon – quasi-linéaires critiques, à données petites,régulières, décroissantes à l’infini, en dimension un ou deux d’espace. On étudie d’abord ce problème pour des équations de Klein-Gordon à non-linéarité cubique en dimension un, pour lesquelles il est connu qu’il y a existence globale des solutions lorsque la non-linéarité vérifie une condition de structure et les données initiales sont petites et à support compact. Nous prouvons que ce résultat est vrai aussi lorsque les données initiales ne sont pas localisées en espace mais décroissent faiblement à l’infini, en combinant la méthode des champs de vecteurs de Klainerman avec une analyse micro-locale semi-classique de la solution. La deuxième et principale contribution à la thèse s’attache à l’étude de l’existence globale des solutions pour un système modèle ondes-Klein-Gordon quadratique, quasi-linéaire, en dimension deux,toujours pour des données initiales petites régulières à décroissance modérée à l’infini, les non-linéarités étant données en termes de «formes nulles ». Notre but est d’obtenir des estimations d’énergie sur la solution sur laquelle agissent des champs de Klainerman, et des estimations de décroissance uniforme optimales, dans une version para-différentielle. Nous prouvons les secondes par une réduction du système d’équations aux dérivées partielles du départ à un système d’équations ordinaires, stratégie qui pourrait nous emmener, dans le futur, à traiter le cas de non-linéarités plus générales<br>In this thesis we study the problem of global existence of solutions to critical quasi-linear Klein-Gordon equations – or to critical quasi-linear coupled wave-Klein-Gordon systems – when initial data are small, smooth, decaying at infinity, in space dimension one or two. We first study this problem for Klein-Gordon equations with cubic non-linearities in space dimension one. It is known that, under a suitable structure condition on the non-linearity, the global well-posedness of the solution is ensured when initial data are small and compactly supported. We prove that this result holds true even when initial data are not localized in space but only mildly decaying at infinity, by combining the Klainerman vector fields’ method with a semi-classical micro-local analysis of the solution. The second and main contribution to the thesis concerns the study of the global existence of solutions to a quadratic quasilinear wave-Klein-Gordon system in space dimension two, again when initial data are small smooth and mildly decaying at infinity. We consider the case of a model non-linearity, expressed in terms of "nullforms". Our aim is to obtain some energy estimates on the solution when some Klainerman vector fieldsare acting on it, and sharp uniform estimates. The former ones are recovered making systematically use of normal forms’ arguments for quasi-linear equations, in their para-differential version. We derive the latter ones by deducing a system of ordinary differential equations from the starting partial differential system, this strategy maying leading us in the future to treat the case of the most general non-linearities

Nous étudions ici la répartition des entiers dont tous les facteurs premiers sont dans un intervalle. Nous montrons que sous certaines conditions, le nombre de ces entiers plus petits que le paramètre X peut être approché avec une grande précision par une fonction à variations régulières. En montrant cela, nous améliorions certains résultats de De Bruijn, Hildebrand et Friedlander. De plus, nous comparons le nombre de ces entiers avec l'estimation qui découle de certaines hypothèses probabilistes, caractéristiques de la théorie du crible combinatoire. Tout cela nous amène à étudier aussi le comportement asymptotique d'une solution d'une équation différentielle aux différences introduites par Friedlander. Les principaux outils utilisés ici sont la méthode du point-selle et la formule d'inversion de Laplace

Lorsque les polluants sont liés à des particules colloïdales mobiles, le modèle classique qui veut qu'ils soient repartis entre une phase fluide mobile et une phase solide immobile n'est plus applicable. Ceci est en particulier vrai pour les polluants insolubles qui sont considérés immobiles par cette première modélisation. Il est donc nécessaire de trouver une modélisation qui tienne compte de ce transfert de polluants favorisé par les particules colloïdales. C'est le propos de cette recherche. Le problème posé consistait à modéliser la dispersion et la rétention éventuelle de particules colloïdales dans un milieu poreux. Ce problème est délicat à résoudre avec les méthodes usuelles d'analyse numérique (couplage d'équations aux différentielles partielles). Ceci nous a incite à préférer à cette approche celle du milieu discret équivalent des micromodèles. En conférant aux particules le plus de comportements physiques possible à l'échelle du lien, nous avons tenté de retrouver le comportement macroscopique décrit par ces équations. Nous présentons les modèles et validons la modélisation intégrant les mécanismes physiques au niveau du pore et, grâce a la transformation de Laplace, la diffusion moléculaire.

Ce travail propose une méthode originale de mesure de la diffusivité thermique dans le sens longitudinal des matériaux conducteurs ou isolants de faible épaisseur (inferieure a 1 mm). L'équation de la chaleur est résolue en régime transitoire pour un flux thermique quelconque (en temps et en espace). Nous donnons la description mathématique exacte de la solution en trois dimensions, avec prise en compte des pertes thermiques, mais indépendamment du flux imposé, en utilisant la transformation de Laplace-Fourier. L'analyse theorique montre les limites de la zone utilisable pour déterminer la diffusivité. La méthode est particulièrement simple et se ramène a la mesure de la température en deux points de l'échantillon. Une extension de cette méthode est aussi étudiée pour laquelle la diffusivité est déterminée à partir de la température moyenne de deux surfaces. La validation expérimentale de cette méthode est faite pour différents matériaux métalliques ou isolants (PVC), plats ou en anneau. Dans le cas général, la mesure ponctuelle de température est faite a l'aide de thermocouples. Pour certaines applications (métaux amorphes d'épaisseur environ 20 m, matériaux isolants) la méthode basée sur la mesure de température moyenne a été utilisée. Cette mesure a été réalisée par camera infrarouge

Dans le cadre de la thèse des modèles physico-mathématiques pour des microsystèmes électromécaniques avec une permittivité générale sont développés et analysés par des méthodes mathématiques modernes du domaine des équations aux dérivées partielles. En particulier ces systèmes sont à frontière libre et pour conséquence difficiles à traiter. Des méthodes numériques ont été développées pour valider les résultats analytiques obtenus<br>In the framework of this thesis physical/mathematical models for microelectromechanical systems with general permittivity have been developed and analysed with modern mathematical methods from the domain of partial differential equations. In particular these systems are moving boundary problems and thus difficult to handle. Numerical methods have been developed in order to validate the obtained analytical results

Cette thèse porte sur l'étude du problème inverse de détection d'obstacle/objet par des méthodes d'optimisation. Ce problème consiste à localiser un objet inconnu oméga situé à l'intérieur d'un domaine borné connu Oméga à l'aide de mesures de bord et plus précisément de données de Cauchy sur une partie Gammaobs de thetaOmega. Nous étudions les cas scalaires et vectoriels pour ce problème en considérant les équations de Laplace et de Stokes. Dans tous les cas, nous nous appuyons sur une résultat d'identifiabilité qui assure qu'il existe un unique obstacle/objet qui correspond à la mesure de bord considérée. La stratégie utilisée dans ce travail est de réduire le problème inverse à la minimisation d'une fonctionnelle coût: la fonctionnelle de Kohn-Vogelius. Cette approche est fréquemment utilisée et permet notamment d'utiliser des méthodes d'optimisation pour des implémentations numériques. Cependant, afin de bien définir la fonctionnelle, cette méthode nécessite de connaître une mesure sur tout le bord extérieur thetaOmega. Ce dernier point nous conduit à étudier le problème de complétion de données qui consiste à retrouver les conditions de bord sur une région inaccessible, i.e. sur thetaOmega\Gammaobs, à partir des données de Cauchy sur la région accessible Gammaobs. Ce problème inverse est également étudié en minimisant une fonctionnelle de type Kohn-Vogelius. La caractère mal posé de ce problème nous amène à régulariser la fonctionnelle via une régularisation de Tikhonov. Nous obtenons plusieurs propriétés théoriques comme des propriétés de convergence, en particulier lorsque les données sont bruitées. En tenant compte de ces résultats théoriques, nous reconstruisons numériquement les données de bord en mettant en oeuvre un algorithme de gradient afin de minimiser la fonctionnelle régularisée. Nous étudions ensuite le problème de détection d'obstacle lorsque seule une mesure de bord partielle est disponible. Nous considérons alors les conditions de bord inaccessibles et l'objet inconnu comme les variables de la fonctionnelle et ainsi, en utilisant des méthodes d'optimisation de forme géométrique, en particulier le gradient de forme de la fonctionnelle de Kohn-Vogelius, nous obtenons la reconstruction numérique de l'inclusion inconnue. Enfin, nous considérons, dans le cas vectoriel bi-dimensionnel, un nouveau degré de liberté en étudiant le cas où le nombre d'objets est inconnu. Ainsi, nous utilisons l'optimisation de forme topologique afin de minimiser la fonctionnelle de Kohn-Vogelius. Nous obtenons le développement asymptotique topologique de la solution des équations de Stokes 2D et caractérisons le gradient topologique de cette fonctionnelle. Nous déterminons alors numériquement le nombre d'obstacles ainsi que leur position. De plus, nous proposons un algorithme qui combine les méthodes d'optimisation de forme topologique et géométrique afin de déterminer numériquement le nombre d'obstacles, leur position ainsi que leur forme<br>This PhD thesis is dedicated to the study of the inverse problem of obstacle/object detection using optimization methods. This problem consists in localizing an unknown object omega inside a known bounded domain omega by means of boundary measurements and more precisely by a given Cauchy pair on a part Gammaobs of thetaOmega. We cover the scalar and vector scenarios for this problem considering both the Laplace and the Stokes equations. For both cases, we rely on identifiability result which ensures that there is a unique obstacle/object which corresponds to the considered boundary measurements. The strategy used in this work is to reduce the inverse problem into the minimization of a cost-type functional: the Kohn-Vogelius functional. This kind of approach is widely used and permits to use optimization tools for numerical implementations. However, in order to well-define the functional, this approach needs to assume the knowledge of a measurement on the whole exterior boundary thetaOmega. This last point leads us to first study the data completion problem which consists in recovering the boundary conditions on an inaccessible region, i.e. on thetaOmega\Gammaobs, from the Cauchy data on the accessible region Gammaobs. This inverse problem is also studied through the minimization of a Kohn-Vogelius type functional. The ill-posedness of this problem enforces us to regularize the functional via a Tikhonov regularization. We obtain several theoretical properties as convergence properties, in particular when data is corrupted by noise. Based on these theoretical results, we reconstruct numerically the boundary data by implementing a gradient algorithm in order to minimize the regularized functional. Then we study the obstacle detection problem when only partial boundary measurements are available. We consider the inaccessible boundary conditions and the unknown object as the variables of the functional and then, using geometrical shape optimization tools, in particular the shape gradient of the Kohn-Vogelius functional, we perform the numerical reconstruction of the unknown inclusion. Finally, we consider, into the two dimensional vector case, a new degree of freedom by studying the case when the number of objects is unknown. Hence, we use the topological shape optimization in order to minimize the Kohn-Vogelius functional. We obtain the topological asymptotic expansion of the solution of the 2D Stokes equations and characterize the topological gradient for this functional. Then we determine numerically the number and location of the obstacles. Additionally, we propose a blending algorithm which combines the topological and geometrical shape optimization methods in order to determine numerically the number, location and shape of the objects