Academic literature on the topic 'Équation d'ondes élastique'

La propagation des ondes sismiques dans le sol est soumise à de nombreuses sources d'incertitudes, allant de l'activité incertaine des failles géologiques à notre connaissance imparfaite des propriétés mécaniques à l'intérieur de la croûte terrestre. Pour évaluer correctement l'aléa sismique, il est donc essentiel de quantifier l'influence des incertitudes sur l'intensité des mouvements du sol générés par les séismes.Dans les zones à sismicité faible à modérée, comme la plupart des régions de France métropolitaine, les enregistrements sismiques ne sont pas suffisants pour évaluer les incertitudes des mouvements du sol. Dans cette situation, les simulations numériques sont la seule option pour estimer l'intensité du mouvement du sol, mais les coûts de calcul élevés rendent impossible la plupart des analyses d'incertitude. Dans cette thèse, on propose un méta-modèle qui permet de remplacer le solveur numérique en réduisant considérablement les coûts de calcul tout en conservant sa flexibilité et une précision satisfaisante.On illustre tout d'abord l'influence des hétérogénéités géologiques sur l'intensité du mouvement du sol dans le contexte du séisme du Teil (Mw4.9, Ardèche, France, 2019). Des hétérogénéités sont ajoutées à un modèle géologique régional sous la forme de champs aléatoires et on montre que le mouvement sismique ainsi généré est plus réaliste. Cependant, les hétérogénéités induisent également une grande variabilité entre les réalisations.Pour étudier cette variabilité de manière systématique, on élabore une base de données de 30 000 modèles géologiques hétérogènes en 3D et à l'intérieur de chaque géologie, des ondes sismiques sont propagées à partir d'une source aléatoire en utilisant le code d'éléments spectraux SEM3D. La base de données est ensuite utilisée pour entraîner le méta-modèle.Notre méta-modèle est une extension de l'opérateur neuronal de Fourier appelée opérateur neuronal de Fourier à entrées multiples (MIFNO). Le MIFNO prend en entrée une géologie 3D et un vecteur de paramètres de source pour prédire le mouvement du sol en 3D. Le mouvement du sol est un champ d'ondes enregistré à la surface du domaine en fonction du temps. Il est prédit en une seule itération grâce à une conversion profondeur-temps. On caractérise ensuite l'erreur de prédiction du MIFNO et on explore sa capacité de généralisation aux données hors de la distribution d'entraînement.Enfin, on utilise l'apprentissage par transfert pour améliorer la précision du MIFNO dans le contexte du séisme du Teil. Avec ce méta-modèle spécifique, on obtient des distributions statistiques de plusieurs quantités d'intérêt pour l'aléa sismique. Ces distributions sont cohérentes avec les simulations numériques et fournissent des intervalles de confiance qui étaient hors de portée avec les méthodes précédentes
The propagation of seismic waves in the ground is subject to many sources of uncertainties, ranging from the uncertain activity of geological faults to the incomplete knowledge of mechanical properties inside the Earth's crust. To properly assess seismic hazard, it then becomes essential to quantify how uncertainties influence the intensity of ground motion generated by earthquakes.In areas with low-to-moderate seismicity, like most regions in metropolitan France, seismic records are too sparse to evaluate ground motion uncertainties. In this situation, numerical simulations are the only option to estimate ground motion intensity, but their high computational costs prevent most uncertainty analyses. In this thesis, we design a surrogate model that can replace the numerical solver by drastically reducing the computational costs while preserving its flexibility and a satisfying accuracy.We first illustrate the influence of geological heterogeneities on ground motion intensity in the context of the Mw4.9 Le Teil earthquake (Ardèche, France, 2019). Heterogeneities are added to a regional geological model in the form of random fields, and we show that it generates more realistic ground motion. However, heterogeneities also lead to a large variability between samples.To study this variability systematically, we build a database of 30,000 heterogeneous 3D geological models, and inside each geology, seismic waves are propagated from a random source using the spectral element code SEM3D. The database is then used to train a surrogate model in a purely data-driven framework.To design the surrogate model, we propose an extension of the Fourier Neural Operator called the Multiple Input Fourier Neural Operator (MIFNO). The MIFNO takes as inputs a 3D geology and a vector of source parameters to predict 3D ground motion. Ground motion is a time-dependent surface wavefield, but we do not need any time iteration thanks to a depth-to-time conversion. We characterize the MIFNO prediction error and explore the MIFNO generalization ability to out-of-distribution data.We finally take advantage of transfer learning to further improve the MIFNO accuracy in the context of the Le Teil earthquake. With this fine-tuned surrogate model, we obtain statistical distributions of several quantities of interest in seismic hazard assessment. They are coherent with numerical simulations and provide confidence intervals that were out of reach with existing methods

A long terme, le but de cette etude est la detection de fissures dans un milieu isotrope recouvert d'un materiau anisotrope. La these se divise en trois parties. La premiere partie rappelle les proprietes classiques de la propagation d'ondes elastiques. La seconde et principale partie concerne l'etude de la diffrction d'une onde elastique transitoire par une fissure dans un milieu homogene isotrope infini. La methode des equations integrales est bien adaptee aux problemes de diffraction car elle prend en compte le comportement a l'infini par l'intermediaire de la solution fondamentale et elle ramene a un probleme pose sur la frontiere ce qui fait gagner une dimension d'espace. L'equation integrale peut etre resolue numeriquement soit a l'aide d'une methode de collocation (la plus souvent utilisee) soit a l'aide d'une methode variationnelle. C'est cette derniere methode que nous avons choisie car elle permet d'obtenir une analyse mathematique et numerique et elle s'adapte mieux a un couplage avec la methode des elements finis. La partie b est donc consacree a l'obtention de la formulation variationnelle espace-temps, a son analyse (existence, unicite, traitement du noyau hypersingulier), a sa discretisation et aux resultats numeriques. La troisieme partie contient quelques resultats en milieu anisotrope. En vue d'utiliser des elements finis dans un milieu orthotrope non borne, nous introduisons, suivant une demarche classique, des conditions absorbantes dans ce milieu. Enfin, le dernier chapitre generalise, au cas ou le milieu est anisotrope, la methode de regularisation decrite dans la partie b

La determination de la forme d'un diffuseur par des methodes dites non destructives telles que les experiences de diffusion, souleve des problemes d'indetermination ou d'ambiguite au niveau de la forme de l'objet diffuseur selon les donnees de la diffusion que l'on possede. On sait, d'apres a. Nachman, qu'il y a unicite de la reconstruction d'un diffuseur borne au moyen d'ondes scalaires, si les donnees de la diffusion sont connues pour tout angle d'illumination et de reception a une energie fixee. Nous montrons ici par des exemples que si on affaiblit ces conditions, nous n'avons plus, en general, l'unicite de la reconstruction. Nous proposons des methodes de construction de problemes de diffusion equivalents, c'est-a-dire que nous determinons des diffuseurs qui donnent des reponses identiques pour l'amplitude de diffusion pour des conditions donnees (energie, angles d'illumination et de reception fixes). La premiere construction est etablie pour une energie fixee, un angle d'illumination et tout angle de reception, la seconde pour deux energies fixees, tout angle d'illumination avec les angles de reception tels que l'on ait une difference fixee entre l'angle de reception et l'angle d'illumination. Enfin ces methodes de construction se font dans le cadre d'une theorie generalisee de la diffusion d'ondes scalaires etablie par p. C. Sabatier, qui prend en compte les discontinuites des parametres du milieu diffuseur. En conclusion, le travail presente ici est un avertissement de plus pour quiconque espererait obtenir la reconstruction d'un diffuseur par des methodes non destructives d'evaluation des formes, en affaiblissant les hypotheses du theoreme de nachman, sans connaitre a priori des informations supplementaires sur le diffuseur

Des modèles de prévision du champ de déplacement diffracté par les défauts ont été développés ces dernières années dans le cadre de l'évaluation non destructive par ultrasons. Ces modèles présentent deux limitations majeures : ils sont basés sur des méthodes dépendant du type de défaut considéré et ils exigent que les défauts soient des formes géométriques simples. L'objet de notre étude est de palier à ces limitations en développant une méthode numérique. La méthode est basée sur une représentation intégrale indirecte en terme de saut de déplacement sur la surface du défaut. Elle a l'avantage de traiter simultanément les problèmes internes et externes. On considère un problème bidimensionnel de diffraction d'ondes élastiques harmoniques en déformation plane, par un défaut de forme quelconque, placé dans un demi-plan isotrope homogène limité par une surface libre infinie. Afin de s'affranchir de la discrétisation de cette surface libre infinie, une solution fondamentale spécifique est présentée. Celle-ci nécessite l'évaluation numérique de transformations de Fourier inverse spatiales. Les développements induits augmentent de façon significative le temps de calcul. Le même type de solution fondamentale est employée pour le cas du problème de diffraction d'ondes acoustiques par un obstacle posé sur un sol infini d'admittance homogène. Ce problème est développé et validé dans la première partie de notre travail. La représentation intégrale indirecte est résolue par une formulation variationnelle. Conjuguée à un processus de régularisation, elle permet de traiter les hypersingularités et d'aboutir à un système matriciel symétrique. Cette formulation est mise en œuvre numériquement en utilisant la solution fondamentale du plan entier, pour des problèmes de propagation d'ondes élastiques dans un solide illimité ou borné, avec ou sans défaut. Le modèle développé est validé en confrontant les résultats numériques obtenus à des solutions analytiques issues de la littérature.

Motivée par des applications en géophysique et ingénierie sismique, cette thèse cherche à contribuer à l'étude de phénomènes de propagation d'ondes en milieux élastiques non bornés. Nous développons des techniques mathématiques et numériques pour résoudre des problèmes de diffraction en régime harmonique, dans des domaines infinis extérieurs et demi-infinis localement perturbés. En plus, nous introduisons une nouvelle condition aux limites du type impédance en élasticité, laquelle généralise la condition de frontière libre utilisée d'habitude pour décrire la surface de la terre en problèmes géophysiques. Les ondes de surface qui apparaissent avec cette condition aux limites sont étudiées. Nous montrons l'existence de l'onde de Rayleigh et comment elle dépend de l'impédance. En plus, nous prouvons qu'il apparaît une onde de surface additionnelle dans un cas particulière. Pour traiter numériquement les domaines non bornés, nous considérons des approches basées sur des conditions aux limites exactes et des méthodes d'équations intégrales de frontière. Les premières s'appliquent à des domaines extérieurs, pendant que les deuxièmes s'emploient pour les deux types de domaine. Un accent particulier est mis sur les équations intégrales et les méthodes d'éléments de frontière pour résoudre des problèmes de diffraction dans des demi-plans localement perturbés. Nous calculons de manière efficace et précise la fonction de Green d'un demi-plan élastique avec des conditions aux limites d'impédance, à l'aide d'une méthode de calcul qui combine de façon appropriée des techniques analytiques et numériques. Nous proposons aussi une méthode d'équations intégrales de frontière basée sur la fonction de Green calculée. Finalement, les procédures numériques sont validées en utilisant des problèmes benchmark appropriés.

L'étude porte sur le calcul numérique en dimension 2 des pôles de la matrice de diffusion, appelés résonances, et associés au problème de diffraction d'ondes acoustiques et élastiques par un obstacle. Nous caractérisons les résonances comme pôles d'un operateur méromorphe défini sur le bord de l'obstacle, et d'inverse analytique connu explicitement. L'approximation par une méthode d'éléments finis classique permet de définir naturellement des résonances numériques comme solutions d'équations non linéaires provenant de la résolution d'un problème de valeurs propres. Nous résolvons ces équations en appliquant l'algorithme de Newton, et démontrons la convergence numérique des résonances. Finalement, nous présentons les résultats numériques ainsi obtenus, les validons pour les cas connus, puis énonçons des conjectures quant à la répartition des résonances pour d'autres cas

Les milieux à propriétés continûment variables selon une direction particulière de l'espace intéressent les géophysiciens depuis plus de cinquante ans. La croûte terrestre, les océans et l'atmosphère sont des milieux naturels continûment hétérogènes. Mais on rencontre également ce type de configuration, variation continue des propriétés caractéristiques des matériaux, pour de nombreux produits industriels. La caractérisation de ces matériaux représente donc un enjeu important. Le schéma classique de résolution des équations d'ondes en milieux à hétérogénéité unidirectionnelle repose sur un modèle multicouche, la stratification du milieu étudié pouvant être naturelle, les propriétés sont des fonctions constantes par morceaux, ou artificielle, les propriétés sont des fonctions continues que l'on discrétise. Cette approche est alors connue sous le nom de méthode de Thomson-Haskell. Dans le cas de milieux continûment variables, on calcule une solution exacte à un problème approché ce qui suscite de nombreuses interrogations quant à la précision et à la validété des solutions obtenues. Dans ce travail, le problème est abordé sous un angle offrant ainsi de nouvelles perspectives d'approche des milieux hétérogènes. Afin de conserver l'authenticité du problème, nous proposons d'utiliser une méthode basée sur le développement en série de Peano du matricant, forme explicite de la solution analytique exacte des équations d'ondes mises sous la forme d'un système différentiel ordinaire du premier ordre à coefficents non-constants, pour des profils quelconques de propriétés. Les développements analytiques et numériques de cette écriture appliquée à des problèmes de conditions aux limites ont fourni une méthode robuste d'analyse des phénomènes acoustiques (courbes de dispersion, spectre fréquentiel du coefficent de réflexion etc. ). Des résultats prometteurs quant à la caractérisation ultrasonore des milieux continûment variables ont été obtenus.

La méthode d’imagerie la plus répandue dans l’industrie pétrolière est la RTM (Reverse Time Migration) qui repose sur la simulation de la propagation des ondes dans le sous-sol. Nous nous sommes concentrés sur un propagateur d'ondes élastiques 3D en milieu anisotrope de type TTI (Tilted Transverse Isotropic). Nous avons directement travaillé dans le code de recherche de Total DIVA (Depth Imaging Velocity Analysis), basé sur une discrétisation par la méthode de Galerkin Discontinue et le schéma Leap-Frog, et développé pour le calcul parallèle intensif – HPC (High Performance Computing). Nous avons ciblé plus particulièrement deux contributions possibles qui, si elles supposent des compétences très différentes, ont la même finalité : réduire les coûts de calculs requis pour la simulation. D'une part, les conditions aux limites classiques de type PML (Perfectly Matched Layers) ne sont pas stables dans des milieux TTI. Nous avons proposé de formuler une CLA (Conditions aux Limites Absorbantes) stable dans des milieux anisotropes. La méthode de construction repose sur les propriétés des courbes de lenteur, ce qui donne à notre approche un caractère original. D'autre part, le parallélisme initial, basé sur une décomposition de domaine et des communications par passage de messages à l'aide de la bibliothèque MPI, conduit à un déséquilibrage de charge qui détériore son efficacité parallèle. Nous avons corrigé cela en remplaçant le paradigme parallélisme par l'utilisation de la programmation à base de tâches sur support d'exécution. Cette thèse a été réalisée dans le cadre de l'action de recherche DIP (Depth Imaging Partnership) qui lie la compagnie pétrolière Total et Inria
The most common method of Seismic Imaging is the RTM (Reverse Time Migration) which depends on wave propagation simulations in the subsurface. We focused on a 3D elastic wave propagator in anisotropic media, more precisely TTI (Tilted Transverse Isotropic). We directly worked in the Total code DIVA (Depth Imaging Velocity Analysis) which is based on a discretization by the Discontinuous Galerkin method and the Leap-Frog scheme, and developed for intensive parallel computing – HPC (High Performance Computing). We choose to especially target two contributions. Although they required very different skills, they share the same goal: to reduce the computational cost of the simulation. On one hand, classical boundary conditions like PML (Perfectly Matched Layers) are unstable in TTI media. We have proposed a formulation of a stable ABC (Absorbing Boundary Condition) in anisotropic media. The technique is based on slowness curve properties, giving to our approach an original side. On the other hand, the initial parallelism, which is based on a domain decomposition and communications by message passing through the MPI library, leads to load-imbalance and so poor parallel efficiency. We have fixed this issue by replacing the paradigm for parallelism by the use of task-based programming through runtime system. This PhD thesis have been done in the framework of the research action DIP (Depth Imaging Partnership) between the Total oil company and Inria

On étudie quelques problèmes de stabilisation de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles de type ondes ou poutres, avec un contrôle frontière qui est un bouclage sur l'état. Ce travail est constitué de deux parties. Dans la première, on détermine le taux optimal de décroissance de l'énergie par l'abscisse spectrale de l'opérateur associé au problème. On utilise pour cela la théorie de Shkalikov qui parait mieux adaptée pour des problèmes où les valeurs propres apparaissent dans les conditions au bord, ce qui est le cas pour les problèmes qu'on étudie. Elle demande une adaptation à chacun d'entre eux, notamment pour reconstituer l'opérateur du problème avec sa base de Riesz formée de vecteurs propres. On propose quelques applications de cette méthode (poutre avec contrôle force, contrôle moment. . . ). On donne aussi quelques résultats de stabilité uniforme et non uniforme. Dans la seconde partie, on étudie un modèle de pont roulant formé d'un cable flexible pesant attaché à un chariot se déplacant sur un rail. On montre, dans le cas d'un contrôle linéaire, que la solution tend vers une constante que l'on explicite en fonction de la condition initiale uniquement. Et que dans le cas d'un contrôle non linéaire, la solution tend vers une constante qui dépend de toute la trajectoire.

La résolution de l'équation des ondes acoustiques et élastiques en 3D dans le domaine fréquentiel représente un enjeu majeur dans le cadre de l'inversion des formes d'ondes pour l'imagerie haute résolution de cibles crustales (Virieux, 2009). Après discrétisation, ce problème revient à résoudre un système linéaire à valeurs complexes, creux, de grande taille non défini et mal conditionné. Les méthodes d'inversion sismique requièrent la solution de ce problème pour l'évaluation du problème direct pour un grand nombre de sources (plusieurs milliers voir dizaines de milliers). Dans l'approximation acoustique, les méthodes directes sont privilégiées. Cependant, le coût mémoire de ces méthodes les rendent aujourd'hui inutilisables pour résoudre les problèmes élastiques 3D. En raison de leur plus faible coût mémoire, les méthodes itératives pour les équations en fréquence peuvent être considérées pour l'élastodynamique. Cependant, une convergence rapide passe par des préconditionneurs adaptés pour les solveurs itératifs. Par ailleurs, les stratégies pour résoudre des systèmes linéaires avec des seconds membres multiples ne sont pas aussi efficaces que pour les méthodes directes. La modélisation dans le domaine temporelle quant à elle présente une importante complexité en coût de calcul et cette complexité croît linéairement avec le nombre de sources.Dans cette thèse, l'approche utilisant un solveur itératif est considérée. Le solveur itératif CARP-CG introduit par Gordon (2010) est considéré. Cette méthode est basée sur la méthode de Kaczmarz qui transforme un système linéaire mal conditionné en un système hermitien, positif et qui peut être résolu en utilisant les méthodes du type gradient conjugué (CG). Dans des configurations de forts contrastes et hétérogénéités, ce solveur s'est révélé être extrêmement robuste alors que les méthodes itératives standards basées sur les sous-espaces de Krylov telles que GMRES et BiCGSTAB nécessitent l'utilisation d'un préconditionneur pour converger (Li, 2015). Malgré les bonnes propriétés de la méthode CARP-CG, le nombre d'itérations nécessaires pour atteindre une précision suffisante reste néanmoins élevé. Je présente alors une stratégie de préconditionnement adaptée au problème de propagation des ondes et à la méthode CARP-CG. Ce préconditionneur est un inverse creux et approché d'un opérateur de propagation des ondes fortement amorti. Le calcul du préconditionneur est réalisé grâce un algorithme massivement parallèle pour les architectures à mémoire distribuée.La méthode développée est appliquée à des cas d'étude réalistes. Les applications sont faites sur des modèles synthétiques 2D dans l'approximation visco-acoustique pour des fréquences allant jusqu'à 40 Hz puis dans l'approximation élastique pour des fréquences allant jusqu'à 20 Hz. Ces études montrent l'efficacité de la méthode CARP-CG munie de la stratégie de préconditionnement. Le nombre d'itérations est fortement réduit (jusqu'à un facteur 9) permettant d'améliorer considérablement la complexité de la méthode CARP-CG. Des gains en temps de calcul allant jusqu'à un facteur 3.5 sont ainsi obtenus. La méthode est ensuite appliquée à un cas 3D synthétique et réaliste dans l'approximation visco-élastique pour des fréquences allant de 1.25 Hz à 7.5 Hz. Des résultats encourageants sont obtenus. Munie du préconditioneur, la méthode CARP-CG permet de résoudre ces systèmes linéaires deux fois plus rapidement.La stratégie de préconditionnement implique la nécessité de plus grandes ressources en mémoire pour le solveur itératif; cependant, elles ne constituent pas une limitation pour la méthode et restent très négligeables devant celles requises par les solveurs directs. La principale limitation réside dans le temps de calcul qui demeure assez significatif. Cependant, cette méthode constitue un solveur compétitif comparé aux autres solveurs en temps et direct utilisés aujourd'hui dans le cadre de l'inversion des formes d'ondes
A robust and efficient wave modeling method is the cornerstone of high resolution seismic inversion methods such as the frequency-domain Full Waveform Inversion (Virieux, 2009). After discretization, frequency-domain wave modeling amounts to the solution of large (up to several billion of unknowns for realistic case studies), sparse, indefinite and ill-conditioned linear systems. Furthermore, seismic inversion methods require the solution of this problem for numerous sources (from several thousands up to tens of thousands). In the acoustic approximation, 3D real case studies can be handled efficiently using direct solvers. However because of their tremendous intrinsic memory requirements, they are not yet adapted to the solution of the 3D elastodynamics equations. Iterative solvers provide an alternative to direct solvers. However, they require a preconditioning strategy to ensure convergence for the frequency-domain wave equation. Besides, multiple right-hand sides linear systems are not treated as efficiently as direct solvers do.In this thesis, we are interested in the use of a robust iterative solver adapted to the solution of these systems called CARP-CG (Gordon, 2010). The CARP-CG method has shown robust convergence properties for 2D and 3D elastic problems in highly heterogeneous media compared to standard Krylov methods such as GMRES or Bi-CGSTAB which require the use of a preconditioner to ensure convergence (Li, 2015). Despite the good convergence properties of CARP-CG, the latter still requires a large number of iterations to reach sufficient accuracy. I introduce an efficient preconditioning strategy adapted to the CARP-CG method and the frequency-domain wave problem. This preconditioner is computed as a sparse approximate inverse of a strongly damped wave propagation operator. The computation of the preconditioner is performed in a massively parallel algorithm for distributed memory architectures.The efficiency of the preconditioner is evaluated on several case studies. First, applications are performed on realistic synthetic models in the 2D visco-acoustic approximation (up to $40$ Hz) and the 2D visco-elastic approximation (up to $20$ Hz). These studies show that the CARP-CG method together with the preconditioning strategy is robust and efficient. The number of iterations is significantly reduced (up to a factor $9$) enabling a speedup in the computation time by a factor up to $3.5$. Second, this method is investigated in the 3D elastic approximation on a realistic synthetic case study on the range of frequencies 1.25 to 7.5 Hz. Very encouraging results are obtained with a significant reduction in the number of iterations. A slow increase of the number of iterations with respect to the frequency is noted.This preconditioning strategy adapted to the CARP-CG method implies larger memory requirements. However, this extra memory cost remains one order lower compared to direct solver memory requirement, and should be affordable on standard HPC facilities. The main bottleneck preventing from the possible use of this iterative solver for 3D elastic FWI remains the computation time for the wave equation solves