Academic literature on the topic 'EDP paraboliques'

Cette thèse introduit quelques extensions non-triviales de la synthèse classique des observateurs grand gain pour des systèmes nonlinéaires de dimension finie à quelques classes de systèmes de dimension infinie, ayant la forme de systèmes triangulaires décrites par des équations différentielles aux dérivées partielles (EDP) couplées, où une seule coordonnée de l' état dans tout le domaine spatial est considérée comme la sortie du système. Pour aborder ce problème, des synthèses directes et indirectes d' observateurs sont proposées, en fonction d' une propriété de l' opérateur différentiel, associé à chaque système d' EDP. D' abord, en suivant la synthèse directe, la solvabilité de ce problème de synthèse des observateurs grand gain est prouvée pour une classe de systèmes d' équations integrodifféréntielles hyperboliques quasilinéaires avec termes sources et une seule vitesse de propagation. Ensuite, pour le cas de vitesses distinctes, une synthèse indirecte est proposée pour une classe de systèmes quasilinéaires hyperboliques 2x2 et une classe de systèmes linéaires inhomogènes hyperboliques nxn. Ce type de synthèse est aussi appliqué à une classe de systèmes semilinéaires de reaction-diffusion de 2 ou de 3 équations. La synthèse indirecte introduit des transformations d' état de dimension infinie des systèmes considérés vers des systèmes cibles d' EDP, qui permettent l' injection de dérivées spatiales de la sortie dans la dynamique de l' observateur. La convergence des observateurs proposés dans des normes appropriées est basée sur des outils de type Lyapunov. La thèse contient aussi des applications des résultats théoriques obtenus à des exemples de modèles épidémiques, de réacteurs chimiques et de systèmes Lotka-Volterra avec diffusion. Enfin, les synthèses d' observateurs proposées sont appliquées à la stabilisation par retour de sortie d'un système d'équations linéaires de Korteweg-de Vries en cascade, où deux problèmes de commande aux bords différents sont considérés<br>This thesis introduces some non-trivial extensions of the classical high-gain observer design for finite-dimensional nonlinear systems to some classes of infinite-dimensional systems, written as triangular systems of coupled partial differential equations (PDEs), where an observation of one coordinate of the state along the spatial domain is considered as system's output. To deal with this problem, depending on a property of the differential operator associated to each system of PDEs, direct and indirect observer design is proposed. First, via direct observer design, solvability of this high-gain observer design problem is proven for a class of systems of quasilinear hyperbolic partial integro-differential equations of balance laws with a single characteristic velocity. Then, for the case of distinct velocities, indirect observer design is proposed for a class of 2x2 quasilinear and a class of nxn linear inhomogeneous hyperbolic systems. This design is also applied to semilinear reaction-diffusion systems of 2 and 3 equations. The indirect design introduces infinite-dimensional state transformations of the considered systems to target systems of PDEs and this leads to the injection of spatial derivatives of the output in the observer dynamics. The convergence of the proposed observers in appropriate regularity space norms is based upon various introduced Lyapunov tools. The thesis also addresses the application of the proposed theoretical results to epidemic models, chemical reactors, and diffusional Lotka-Volterra systems. Finally, the proposed observer designs are applied to the output feedback stabilization of a cascade system of linear Korteweg-de Vries equations, where two different boundary control problems are considered

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de réaction-dispersion. L'objectif est de comprendre l'influence du terme de réaction, de l'opérateur de dispersion, et de la donnée initiale sur la propagation des solutions de ces équations. Nous nous sommes intéressés principalement à deux types d'équations de réaction-dispersion : les équations de réaction-diffusion où l'opérateur de dispersion différentielle est le laplacien et les équations intégro-différentielles pour lesquelles l'opérateur de dispersion est de type convolution. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu homogène, nous proposons une nouvelle approche plus intuitive concernant les notions de fronts progressifs tirés et poussés. Cette nouvelle caractérisation nous a permis de mieux comprendre d'une part les mécanismes de propagation des fronts et d'autre part l'influence de l'effet Allee, correspondant à une diminution de la fertilité à faible densité, lors d'une colonisation. Ces résultats ont des conséquences importantes en génétique des populations. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène, nous avons montré sur un exemple précis comment la fragmentation du milieu modifie la vitesse de propagation des solutions. Enfin, dans le cadre des équations intégro-différentielles, nous avons montré que la nature sur- ou sous-exponentielle du noyau de dispersion $J$ modifie totalement la vitesse de propagation. Plus précisément, la présence de noyaux de dispersion à queue lourde ou à décroissance sous-exponentielle entraîne l'accélération des lignes de niveaux de la solution.

Cette thèse est divisée en deux parties principales : La première partie concerne la déformation plastique d'un matériau contraint. Nous commençons cette partie par une introduction physique sur la dislocation et son rôle dans l'étude de la déformation plastique. Nous exposons ensuite deux types de modélisation de la déformation plastique ce qui nous conduit à deux équations différentielles à retard de Mecking-Lüke-Grilhé. Nous présentons une analyse mathématique complète des deux modèles linéaire et non linéaire. Nous terminons cette partie par des tests numériques et une comparaison des deux modèles. La deuxième partie de la thèse traite l'instabilité de Rayleigh-Plateau. Cette étude porte sur les instabilités de surface d'un pore cylindrique sans contraintes. Nous nous intéressons à une EDP parabolique non linéaire d'ordre quatre, obtenue à partir d'une équation d'évolution des films minces. Le résultat principal est l'existence globale de la solution et la convergence vers la valeur moyenne de la donnée initiale en temps long. L'étude théorique est aussi appuyée comme dans la première partie par une validation numérique<br>This thesis is divided into two main parts: The first part relates to the plastic deformation of a constrained material. We begin this part by physical introduction on the dislocation and its role in the study of plastic deformation. We also present two types modelling for the plastic deformation, which leads to two delayed differential equations of Mecking-Lücke-Grilhé. We present a complete mathematical analysis of linear and nonlinear models. We conclude this part by numerical tests and a comparison of the two models. The second part of the thesis treats the Rayleigh-Plateau instability. This study focuses on the surface instabilities of a cylindrical pore without constraints. We are interested in a nonlinear parabolic PDE of fourth order, obtained from an evolution equation model of thin films. The main result is the global existence of the solution and the convergence to the average value of the initial data in long time. Numerical validation of the theoretical results is also presented in this part

La propagation d'ondes élastiques dans un milieu poreux saturé de fluide est un phénomène complexe intervenant dans de nombreuses applications comme la prospection d'hydrocarbures. Ce phénomène est transcrit au moyen d'un système couplé d'équations hyperbolique-parabolique dû à M. A. Biot d'inconnues u, déplacement de la structure et p, pression du fluide. La première équation décrit l'évolution en temps de u tandis que la seconde est une équation de diffusion obtenue en injectant la loi de Darcy dans la loi de conservation de la masse. Le couplage représente les effets dits de consolidation dus aux interactions entre le fluide et la structure poreuse. Un terme de consolidation secondaire peut intervenir dans la première équation et si on le néglige, le système obtenu correspond à un modèle utilisé en thermoélasticité. Un autre cas limite du modèle de Biot est le cas quasi-statique où la densité de la structure est négligeable. Enfin, un modèle non linéaire peut s'obtenir en perturbant le potentiel d'élasticité linéaire par un potentiel non linéaire représenté par un q-Laplacien. On montre ici l'existence et l'unicité des solutions des modèles de Biot linéaire et non linéaire dans différents cas variant en fonction des paramètres physiques. On utilise des méthodes d'approximation de Galerkin, des techniques de régularisation et de pénalisation pour l'existence et des fonctions-test de Ladyzenskaja pour les résultats d'unicité. On compare les modèles thermoélastique et quasi-statique au modèle complet en estimant dans chaque cas les taux de convergence en fonction des paramètres avant d'étudier le comportement en temps long du modèle.