Academic literature on the topic 'Discontinuous Hamiltonians'

In this article, we study the maximum number of limit cycles of discontinuous piecewise differential systems, formed by two Hamiltonians systems separated by a straight line. We consider three cases, when both Hamiltonians systems in each side of the discontinuity line have simultaneously degree one, two or three. We obtain that in these three cases, this maximum number is zero, one and three, respectively. Moreover, we prove that there are discontinuous piecewise differential systems realizing these maximum number of limit cycles. Note that we have solved the extension of the 16th Hilbert problem about the maximum number of limit cycles that these three classes of discontinuous piecewise differential systems separated by one straight line and formed by two Hamiltonian systems with a degree either one, two, or three, which such systems can exhibit.

AbstractWe propose and analyse finite volume Godunov type methods based on discontinuous flux for a 2×2 system of non-linear partial differential equations proposed by Hadeler and Kuttler to model the dynamics of growing sandpiles generated by a vertical source on a flat bounded rectangular table. The problem considered here is the so-called partially open table problem where sand is blocked by a wall (of infinite height) on some part of the boundary of the table. The novelty here is the corresponding modification of boundary conditions for the standing and the rolling layers and generalization of the techniques of the well-balancedness proposed in [1]. Presence of walls may lead to unbounded or discontinuous surface flow density at equilibrium resulting in solutions with singularities propagating from the extreme points of the walls. A scheme has been proposed to approximate efficiently the Hamiltonians with the coefficients which can be unbounded and discontinuous. Numerical experiments are presented to illustrate that the proposed schemes detect these singularities in the equilibrium solutions efficiently and comparisons are made with the previously studied finite difference and Semi-Lagrangian approaches by Finzi Vita et al.

We consider a feed-forward network with a single-server station serving jobs with multiple levels of priority. The service discipline is preemptive in that the server always serves a job with the current highest level of priority. For this system with discontinuous dynamics, we establish the sample path large deviation principle using a weak convergence argument. In the special case where jobs have two different levels of priority, we also explicitly identify the exponential decay rate of the total population overflow probabilities by examining the geometry of the zero-level sets of the system Hamiltonians.

We consider a feed-forward network with a single-server station serving jobs with multiple levels of priority. The service discipline is preemptive in that the server always serves a job with the current highest level of priority. For this system with discontinuous dynamics, we establish the sample path large deviation principle using a weak convergence argument. In the special case where jobs have two different levels of priority, we also explicitly identify the exponential decay rate of the total population overflow probabilities by examining the geometry of the zero-level sets of the system Hamiltonians.

In this article, we explore the set of thermal operations from a mathematical and topological point of view. First, we introduce the concept of Hamiltonians with a resonant spectrum with respect to some reference Hamiltonian, followed by proving that when defining thermal operations, it suffices to only consider bath Hamiltonians, which satisfy this resonance property. Next, we investigate the continuity of the set of thermal operations in certain parameters, such as energies of the system and temperature of the bath. We will see that the set of thermal operations changes discontinuously with respect to the Hausdorff metric at any Hamiltonian, which has the so-called degenerate Bohr spectrum, regardless of the temperature. Finally, we find a semigroup representation of (enhanced) thermal operations in two dimensions by characterizing any such operation via three real parameters, thus allowing for a visualization of this set. Using this, in the qubit case, we show commutativity of (enhanced) thermal operations and convexity of thermal operations without the closure. The latter is done by specifying the elements of this set exactly.

Orientador: Prof. Dr. Maurício Firmino Silva Lima
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2015.
Neste trabalho estudamos generalizações do Método de Melnikov para sistemas descontínuos no plano. Neste sentido, inicialmente abordamos esse problema como uma variação do estudo [1] onde um campo Hamiltoniano que admite um ciclo heteroclínico, cujo interior é folheado de órbitas periódicas, é perturbado por um campo Hamiltoniano não autonomo. Neste trabalho estendemos esse resultado para perturbações mais gerais (não conservativas) e apresentamos funções de Melnikov nesse novo contexto. Finalmente, abordamos o problema mais geral, relativo à perturbação de campos não conservativos, onde a função de Melnikov, associada a órbita heteroclínica, é obtida.
In this work we study generalizations of Melnikov's method to planar discontinuous dynamical system. Initially we study this problem as a variation of the work [1] where a Hamiltonian vector field that admits an heteroclinic cycle with its interior foliated by a family of periodic orbits is perturbed by a Hamiltonian perturbation. In this work we extended the results to more general perturbation (non conservative) and we show the Melnikov's functions in this new context. Finally, we approach a more general problem related to a perturbation of the non-conservative vector field where we obtained the Melnikov's function that is associated with a heteroclínic orbit.

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'une équation de Hamilton Jacobi Bellman discontinue, définie sur une stratification de R^N. Cette dernière est le résultat d'une union d'une collection finie de sous-variétés lisses et disjointes de R^N, que l'on nomme les sous-domaines. Sur chaque sous-domaine, un Hamiltonien continue y est définie. Cependant, le Hamiltonien global sur R^N présente des discontinuités lorsque l'on passe d'un sous-domaine à l'autre. On donne une interprétation commande optimale de ce problème et on utilise les techniques de l'analyse non lisse pour montrer que la fonction valeur est l'unique solution de viscosité de l'équation de Hamilton Jacobi Bellman définie dans ce chapitre. L'unicité de la solution est garantie par un principe de comparaison fort, valable pour toute sur-solution semicontinue inférieurement et toute sous-solution semicontinue supérieurement. En ce qui concerne l’existence de la solution, on utilise le principe de la programmation dynamique vérifiée par la fonction valeur pour montrer que cette dernière est une solution de viscosité du problème considéré. De plus, on prouve quelques résultats de stabilité en présence de perturbations sur le Hamiltonien discontinu. Finalement, en vertu du principe de comparaison, on montre un résultat de convergence général pour les schémas numériques monotones qui approchent ce problème.La deuxième partie de cette thèse est consacrée au développement d'une nouvelle notion de viscosité pour les équations de Hamilton Jacobi du premier ordre définies sur les espaces CAT(0) propres. Un espace métrique est dit CAT(0), s'il est un espace géodésique et si ses triangles géodésiques sont plus minces que les triangles du plan Euclidien. Les espaces CAT(0) peuvent être considérés comme une généralisation des espaces de Hilbert ou les variétés de Hadamad. Des exemples types des espaces CAT(0) sont les espaces de Hilbert, les arbres métriques et les networks obtenus en collant un nombre fini de demi-espaces selon leur frontière commune. On exploite la structure de ces espaces pour étudier les équations de Hamilton Jacobi du premier ordre stationnaires et dépendantes du temps. En particulier, le but du chapitre est de retrouver les principaux résultats de la théorie de la viscosité : le principe de comparaison et la méthode de Perron. On définit la notion de viscosité en utilisant des fonctions test qui sont Lipschitz et qui peuvent être représentées comme une différence de deux fonctions semiconvexes. On montre que cette notion de viscosité coïncide avec la notion classique développée sur R^N en étudiant quelques exemples d'équations classiques. De surcroît, on prouve l'existence et l'unicité de la solution de certaines équations du type Eikonal posées sur des networks qui peuvent résulter du collage de demi-espaces ayant différentes dimensions de Hausdorff.La troisième partie de la thèse se focalise sur l'étude d'un problème de commande optimale de Mayer sur l'espace des mesures Boréliennes de probabilité sur une variété compacte M. L'étude de ce problème est motivé par certaines situations où un planificateur central d'un système contrôlé n'a qu'une information imparfaite sur l'état initiale du système considéré. Le manque d'information est spécifique dans ce problème. Il est décrit par une mesure de probabilité Borélienne selon laquelle l'état initial est distribué. On définit la notion de viscosité sur cet espaces de la même manière que dans la deuxième partie de la thèse en considérant des fonctions test qui sont Lipschitz et qui peuvent être représentées par une différence de deux fonctions semiconvexes. Avec ce choix de fonctions test, on étend la notion de viscosité aux équations de Hamilton Jacobi Bellman définies sur l'espace de Wasserstein et on établit que la fonction valeur associée au problème de commande optimale et l'unique solution de viscosité sur l'espace de Wasserstein sur M
The main subject of this thesis is the study first order Hamilton Jacobi equations posed in certain classes of metric spaces. Furthermore, the Hamiltonian of these equations can potentially present some structured discontinuities.In the first part of this thesis, we study a discontinuous first order Hamilton Jacobi Bellman equation defined on a stratification of R^N. The latter is a finite and disjoint union of smooth submanifolds of R^N called the the subdomains of R^N. On each subdomain, a continuous Hamiltonian is defined on it, However the global Hamiltonian in R^N presents discontinuities once one goes from one subdomain to the other. We give an optimal control interpretation of this problem and we use nonsmooth analysis techniques to prove that the value function is the unique viscosity solution to the discontinuous Hamilton Jacobi Bellman equation in this setting. The uniqueness of the solution is guaranteed by means of a strong comparison principle valid for any lower semicontinuous supersolution and any upper semicontinuous subsolution. As far as existence of the solution is concerned, we use the dynamic programming principle verified by the value function to prove that it is a viscosity solution of the discontinuous Hamilton Jacobi equation. Moreover, we prove some stability results in the presence of perturbations on the discontinuous Hamiltonian. Finally, by virtue of the comparison principle, we prove a general convergence result of monotone numerical schemes approximating this problem.The second part of this thesis is concerned with defining a novel notion of viscosity for first order Hamilton Jacobi equations defined in proper CAT(0) spaces. A metric space is said to be a CAT(0) space if, roughly speaking, it is a geodesic space and its geodesic triangles are "thinner" than the triangles of the Euclidean plane. They can be seen as a generalization of Hilbert spaces or Hadamard manifolds. Typical examples of CAT(0) spaces include Hilbert spaces, metric trees and networks obtained by gluing a finite number of half-spaces along their common boundary. We exploit the additional structure that these spaces enjoy to study stationary and time-dependent first order Hamilton-Jacobi equation in them. In particular, we want to recover the main features of viscosity theory: the comparison principle and Perron's method}.We define the notion of viscosity using test functions that are Lipschitz and can be represented as a difference of two semiconvex function. We show that this new notion of viscosity coincides with the classical one in R^N by studying the examples of Hamilton Jacobi Bellman and Hamilton Jacobi Isaacs' equations. Furthermore, we prove existence and uniqueness of the solution of Eikonal type equations posed in networks that can result from gluing half-spaces of different Hausdorff dimension.In the third part of this thesis, we study a Mayer optimal control problem on the space of Borel probability measures over a compact Riemannian manifold M. This is motivated by certain situations where a central planner of a deterministic controlled system has only imperfect information on the initial state of the system. The lack of information here is very specific. It is described by a Borel probability measure along which the initial state is distributed. We define the new notion of viscosity in this space in a similar manner as in the previous part by taking test functions that are Lipschitz and can be written as a difference of two semiconvex functions. With this choice of test functions, we extend the notion of viscosity to Hamilton Jacobi Bellman equations in Wasserstein spaces and we establish that the value function is the unique viscosity solution of a Hamilton Jacobi Bellman equation in the Wasserstein space over M

Ce travail de thèse se situe dans le contexte de l'appariement d'images par difféomorphismes qui a été récemment développé dans le but d'applications à l'anatomie computationnelle et l'imagerie médicale. D'un point de vue mathématique, on utilise l'action de groupe de difféomorphismes de l'espace euclidien pour décrire la variabilité des formes biologiques.

Le cas des images discontinues n'était compris que partiellement. La première contribution de ce travail est de traiter complètement le cas des images discontinues en considérant comme modèle d'image discontinues l'espace des fonctions à variations bornées. On apporte des outils techniques pour traiter les discontinuités dans le cadre d'appariement par difféomorphismes. Ces résultats sont appliqués à la formulation Hamiltonienne des géodésiques dans le cadre d'un nouveau modèle qui incorpore l'action d'un difféomorphisme sur les niveaux de grille de l'image pour prendre en compte un changement d'intensité. La seconde application permet d'étendre la théorie des métamorphoses développée par A.Trouvé et L.Younes aux fonctions discontinues. Il apparait que la géométrie de ces espaces est plus compliquée que pour des fonctions lisses.

La seconde partie de cette thèse aborde des aspects plus probabilistes du domaine. On étudie une perturbation stochastique du système Hamiltonien pour le cas de particules (ou landmarks). D'un point de vue physique, on peut interpréter cette perturbation comme des forces aléatoires agissant sur les particules. Il est donc naturel de considérer ce modèle comme un premier modèle de croissance de forme ou au moins d'évolutions aléatoires de formes.

On montre que les solutions n'explosent pas en temps fini presque sûrement et on étend ce modèle stochastique en dimension infinie sur un espace de Hilbert bien choisi (en quelque sorte un espace de Besov ou Sobolev sur une base de Haar). En dimension infinie la propriété précédente reste vraie et on obtient un important (aussi d'un point de vue numérique) résultat de convergence du cas des particules vers le cas de dimension infinie. Le cadre ainsi développé est suffisamment général pour être adaptable dans de nombreuses situations de modélisation.

Thesis (Ph.D.)--University of Illinois at Urbana-Champaign, 2007.
Source: Dissertation Abstracts International, Volume: 68-11, Section: B, page: 7379. Adviser: Richard B. Sowers. Includes bibliographical references (leaf 90) Available on microfilm from Pro Quest Information and Learning.