Dissertations / Theses on the topic 'Differentialgeometry'

In der vorliegenden Arbeit verallgemeinern wir im Wesentlichen zwei Theoreme von Mackaay-Picken und Picken (2002, 2004). Im ihrem Artikel zeigen Mackaay und Picken,dass es eine bijektive Korrespodenz zwischen Deligne 2-Klassen $xi in check{H}^2(M, mathcal{D}^2)$ und Holonomie Abbildungen von der zweiten dünnen Homotopiegruppe $pi_2^2(M)$ in die abelsche Gruppe $U(1)$ gibt. Im zweiten Artikel wird eine Verallgemeinerung dieses Theorems bewiesen: Picken zeigt, dass es eine Bijektion gibt zwischen Deligne 2-Kozykeln und gewissen 2-dimensionalen topologischen Quantenfeldtheorien. In dieser Arbeit zeigen wir, dass diese beiden Theoreme in allen Dimensionen gelten.Wir betrachten zunächst den Holonomie Fall und können mittels simplizialen Methoden nachweisen, dass die Gruppe der glatten Deligne $d$-Klassen isomorph ist zu der Gruppe der glatten Holonomie Abbildungen von der $d$-ten dünnen Homotopiegruppe $pi_d^d(M)$ nach $U(1)$, sofern $M$ eine $(d-1)$-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist. Wir vergleichen dieses Resultat mit einem Satz von Gajer (1999). Gajer zeigte, dass jede Deligne $d$-Klasse durch eine andere Klasse von Holonomie-Abbildungen rekonstruiert werden kann, die aber nicht nur Holonomien entlang von Sphären, sondern auch entlang von allgemeinen $d$-Mannigfaltigkeiten in $M$ enthält. Dieser Zugang benötigt dann aber nicht, dass $M$ hoch-zusammenhängend ist. Wir zeigen, dass im Falle von flachen Deligne $d$-Klassen unser Rekonstruktionstheorem sich von Gajers unterscheidet, sofern $M$ nicht als $(d-1)$, sondern nur als $(d-2)$-zusammenhängend angenommen wird. Stiefel Mannigfaltigkeiten besitzen genau diese Eigenschaft, und wendet man unser Theorem auf diese an und vergleicht das Resultat mit dem von Gajer, so zeigt sich, dass es zuviele Deligne Klassen rekonstruiert. Dies bedeutet, dass unser Rekonstruktionsthreorem ohne die Zusatzbedingungen an die Mannigfaltigkeit M nicht auskommt, d.h. unsere Rekonstruktion benötigt zwar weniger Informationen über die Holonomie entlang von d-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, aber dafür muss M auch $(d-1)$-zusammenhängend angenommen werden. Wir zeigen dann, dass auch das zweite Theorem verallgemeinert werden kann: Indem wir das Konzept einer Picken topologischen Quantenfeldtheorie in beliebigen Dimensionen einführen, können wir nachweisen, dass jeder Deligne $d$-Kozykel eine solche $d$-dimensionale Feldtheorie mit zwei besonderen Eigenschaften, der dünnen Invarianz und der Glattheit, induziert. Wir beweisen, dass jede $d$-dimensionale topologische Quantenfeldtheorie nach Picken mit diesen zwei Eigenschaften auch eine Deligne $d$-Klasse definiert und prüfen nach, dass diese Konstruktion sowohl surjektiv als auch injektiv ist. Demzufolge sind beide Gruppen isomorph.
In this thesis we mainly generalize two theorems from Mackaay-Picken and Picken (2002, 2004). In the first paper, Mackaay and Picken show that there is a bijective correspondence between Deligne 2-classes $xi in check{H}^2(M,mathcal{D}^2)$ and holonomy maps from the second thin-homotopy group $pi_2^2(M)$ to $U(1)$. In the second one, a generalization of this theorem to manifolds with boundaries is given: Picken shows that there is a bijection between Deligne 2-cocycles and a certain variant of 2-dimensional topological quantum field theories. In this thesis we show that these two theorems hold in every dimension. We consider first the holonomy case, and by using simplicial methods we can prove that the group of smooth Deligne $d$-classes is isomorphic to the group of smooth holonomy maps from the $d^{th}$ thin-homotopy group $pi_d^d(M)$ to $U(1)$, if $M$ is $(d-1)$-connected. We contrast this with a result of Gajer (1999). Gajer showed that Deligne $d$-classes can be reconstructed by a different class of holonomy maps, which not only include holonomies along spheres, but also along general $d$-manifolds in $M$. This approach does not require the manifold $M$ to be $(d-1)$-connected. We show that in the case of flat Deligne $d$-classes, our result differs from Gajers, if $M$ is not $(d-1)$-connected, but only $(d-2)$-connected. Stiefel manifolds do have this property, and if one applies our theorem to these and compare the result with that of Gajers theorem, it is revealed that our theorem reconstructs too many Deligne classes. This means, that our reconstruction theorem cannot live without the extra assumption on the manifold $M$, that is our reconstruction needs less informations about the holonomy of $d$-manifolds in $M$ at the price of assuming $M$ to be $(d-1)$-connected. We continue to show, that also the second theorem can be generalized: By introducing the concept of Picken-type topological quantum field theory in arbitrary dimensions, we can show that every Deligne $d$-cocycle induces such a $d$-dimensional field theory with two special properties, namely thin-invariance and smoothness. We show that any $d$-dimensional topological quantum field theory with these two properties gives rise to a Deligne $d$-cocycle and verify that this construction is surjective and injective, that is both groups are isomorphic.

Vorlesungsscript zur Lehrveranstaltung ¨Differentialgeometrie¨ fuer Mathematiker, Lehramtsstudenten/Gymnasiallehrer Mathematik, Ingenieure und andere Interessenten. Dieses Vorlesungsscript gibt Einblicke in die Grundlagen der Vektorrechnung, der Kurventheorie und der Flaechentheorie im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum. Die entwickelten Theorien werden durch Anwendungsbeispiele untermauert. Weiterhin ist eine Formelsammlung zur Kurven- und Flaechentheorie enthalten.

In der vorliegenden Arbeit werden Geradenkongruenzen des projektiv abgeschlossenen dreidimensionalen euklidischen Raumes differentialgeometrisch untersucht. Nach J. PLÜCKER lassen sich Geraden in gleicher Weise als Grundelemente eines Geradenraumes auffassen wie die Punkte in einem Punktraum. Unter Beachtung dieser Überlegung scheint eine "natürliche" Behandlung der Geradenkongruenzen interessant und sinnvoll. Sie bildet den Gegenstand der vorliegenden Dissertation. Ein besonderes Augenmerk richtet sich dabei auf die Frage nach "kleinsten" Geradenkongruenzen ("Minimalkongruenzen") in der Geradenmenge des reellen projektiv abgeschlossenen dreidimensionalen euklidischen Raumes. Dahinter verbirgt sich eine gewisse Analogiebildung in der Liniengeometrie, die der klassischen Differentialgeometrie entstammt. Die Geradenkongruenzen bilden hierbei das liniengeometrische Analogon zu den Flächen des dreidimensionalen (Punkt-)Raumes. Das Wort "Kleinste" stellt im Geradenraum einen Bezug zu den Minimalflächen in der Differentialgeometrie her. Nun gestatten diese Fragestellungen in der Liniengeometrie eine anschauliche Interpretation, sobald man ein Punktmodell des Geradenraumes vorliegen hat. Einparametrige Geradenmannigfaltigkeiten (Regelflächen) lassen sich darin als Kurven und Geradenkongruenzen als zweidimensionale Flächen auffassen. Die vierparametrige Geradenmenge des reellen projektiven dreidimensionalen Raumes ist in diesem Modell eine Quadrik vom Index 2 in einem reellen projektiven fünfdimensionalen Raum, die so genannte KLEINsche Hyperquadrik. Der Modellwechsel wird durch die KLEINsche Abbildung vollzogen
In the available work line congruences of the projectively extended three-dimensional euclidean space will be analysed. Following to J. PLÜCKER lines can be seen as basic elements of an line space like in the same way points in a point-space. Taking this fact in consideration a "natural" handling with line congruences might be interesting and reasonable. A special detail in the thesis is the question to minimal congruences in the set of lines of the projectively extended euclidean three-space. It can also be seen as an analogous problem in the geometry of lines which can be find in the differential geometry of surfaces. In this case the line congruences are similar to the surfaces of the three-dimensional (point-)space. The phrase "minimal" means in the line space the connection to the minimal surfaces in the differential geometry. These questions offer in line geometry demonstrative interpretation possibilities if a point-model in the line space exists. One-parameter manifolds of lines (rule surfaces) can be seen in this ambiance as curves and line congruences as two dimensional surfaces. The four-parametric set of lines in the projectively extended three-dimensional euclidian space is in this model a quadric of the index 2 in a real projective five-dimensional space, the so called KLEIN-quadric. The changing of the model is managed by the KLEIN-mapping

Nous proposons dans cette thèse de nouvelles méthodes de réduction de dimension fondées sur la géométrie différentielle. Il s'agit de trouver une représentation d'un ensemble d'observations dans un espace de dimension inférieure à l'espace d'origine des données. Les méthodes de réduction de dimension constituent la pierre angulaire des statistiques et ont donc un très large éventail d'applications. Dans les statistiques euclidiennes ordinaires, les données appartiennent à un espace vectoriel et l'espace de dimension inférieure peut être un sous-espace linéaire ou une sous-variété non linéaire approximant les observations. L'étude de telles variétés lisses, la géométrie différentielle, joue naturellement un rôle important dans ce dernier cas. Lorsque l'espace des données est lui-même une variété, l'espace approximant de dimension réduite est naturellement une sous-variété de la variété initiale. Les méthodes d'analyse de ce type de données relèvent du domaine des statistiques géométriques. Les statistiques géométriques pour des observations appartenant à une variété riemannienne sont le point de départ de cette thèse, mais une partie de notre travail apporte une contribution même dans le cas de données appartenant à l'espace euclidien, mathbb{R}^d.Les formes, dans notre cas des courbes ou des surfaces discrètes ou continues, sont un exemple important de données à valeurs dans les variétés. En biologie évolutive, les chercheurs s'intéressent aux raisons et aux implications des différences morphologiques entre les espèces. Cette application motive la première contribution principale de la thèse. Nous généralisons une méthode de réduction de dimension utilisée en biologie évolutive, l'analyse en composantes principales phylogénétiques (P-PCA), pour travailler sur des données à valeur dans une variété riemannienne - afin qu'elle puisse être appliquée à des données de forme. P-PCA est une version de PCA pour des observations qui sont les feuilles d'un arbre phylogénétique. D'un point de vue statistique, la propriété importante de ces données est que les observations ne sont pas indépendantes. Nous définissons et estimons des moyennes et des covariances intrinsèquement pondérées sur une variété qui prennent en compte cette dépendance des observations. Nous définissons ensuite l'ACP phylogénétique sur une variété comme la décomposition propre de la covariance pondérée dans l'espace tangent de la moyenne pondérée. Nous montrons que l'estimateur de moyenne actuellement utilisé en biologie évolutive pour étudier la morphologie correspond à ne prendre qu'une seule étape de notre algorithme de descente de gradient riemannien pour la moyenne intrinsèque, lorsque les observations sont représentées dans l'espace des formes de Kendall.Notre deuxième contribution principale est une méthode non paramétrique de réduction de dimension fondée sur une classe très flexible de sous-variétés qui est novatrice même dans le cas de données euclidiennes. Grâce à une PCA locale, nous construisons tout d'abord un sous-fibré du fibré tangent sur la variété des données que nous appelons le sous-fibré principal. Cette distribution (au sens géométrique) induit une structure sous riemannienne. Nous montrons que les géodésiques sous-riemanniennes correspondantes restent proches de l'ensemble des observations et que l'ensemble des géodésiques partant d'un point donné génèrent localement une sous-variété qui est radialement alignée avec le sous-fibré principal, même lorsqu'il est non intégrables, ce qui apparait lorsque les données sont bruitées. Notre méthode démontre que la géométrie sous-riemannienne est le cadre naturel pour traiter de tels problèmes. Des expériences numériques illustrent la puissance de notre cadre en montrant que nous pouvons réaliser des reconstructions d'une extension importante, même en présence de niveaux de bruit assez élevés
In this thesis, we propose new methods for dimension reduction based on differential geometry, that is, finding a representation of a set of observations in a space of lower dimension than the original data space. Methods for dimension reduction form a cornerstone of statistics, and thus have a very wide range of applications. For instance, a lower dimensional representation of a data set allows visualization and is often necessary for subsequent statistical analyses. In ordinary Euclidean statistics, the data belong to a vector space and the lower dimensional space might be a linear subspace or a non-linear submanifold approximating the observations. The study of such smooth manifolds, differential geometry, naturally plays an important role in this last case, or when the data space is itself a known manifold. Methods for analysing this type of data form the field of geometric statistics. In this setting, the approximating space found by dimension reduction is naturally a submanifold of the given manifold. The starting point of this thesis is geometric statistics for observations belonging to a known Riemannian manifold, but parts of our work form a contribution even in the case of data belonging to Euclidean space, mathbb{R}^d.An important example of manifold valued data is shapes, in our case discrete or continuous curves or surfaces. In evolutionary biology, researchers are interested in studying reasons for and implications of morphological differences between species. Shape is one way to formalize morphology. This application motivates the first main contribution of the thesis. We generalize a dimension reduction method used in evolutionary biology, phylogenetic principal component analysis (P-PCA), to work for data on a Riemannian manifold - so that it can be applied to shape data. P-PCA is a version of PCA for observations that are assumed to be leaf nodes of a phylogenetic tree. From a statistical point of view, the important property of such data is that the observations (leaf node values) are not necessarily independent. We define and estimate intrinsic weighted means and covariances on a manifold which takes the dependency of the observations into account. We then define phylogenetic PCA on a manifold to be the eigendecomposition of the weighted covariance in the tangent space of the weighted mean. We show that the mean estimator that is currently used in evolutionary biology for studying morphology corresponds to taking only a single step of our Riemannian gradient descent algorithm for the intrinsic mean, when the observations are represented in Kendall's shape space. Our second main contribution is a non-parametric method for dimension reduction that can be used for approximating a set of observations based on a very flexible class of submanifolds. This method is novel even in the case of Euclidean data. The method works by constructing a subbundle of the tangent bundle on the data manifold via local PCA. We call this subbundle the principal subbundle. We then observe that this subbundle induces a sub-Riemannian structure and we show that the resulting sub-Riemannian geodesics with respect to this structure stay close to the set of observations. Moreover, we show that sub-Riemannian geodesics starting from a given point locally generate a submanifold which is radially aligned with the estimated subbundle, even for non-integrable subbundles. Non-integrability is likely to occur when the subbundle is estimated from noisy data, and our method demonstrates that sub-Riemannian geometry is a natural framework for dealing which such problems. Numerical experiments illustrate the power of our framework by showing that we can achieve impressively large range reconstructions even in the presence of quite high levels of noise
I denne afhandling præsenteres nye metoder til dimensionsreduktion, baseret p˚adifferential geometri. Det vil sige metoder til at finde en repræsentation af et datasæti et rum af lavere dimension end det opringelige rum. S˚adanne metoder spiller enhelt central rolle i statistik, og har et meget bredt anvendelsesomr˚ade. En laveredimensionalrepræsentation af et datasæt tillader visualisering og er ofte nødvendigtfor efterfølgende statistisk analyse. I traditionel, Euklidisk statistik ligger observationernei et vektor rum, og det lavere-dimensionale rum kan være et lineært underrumeller en ikke-lineær undermangfoldighed som approksimerer observationerne.Studiet af s˚adanne glatte mangfoldigheder, differential geometri, spiller en vigtig rollei sidstnævnte tilfælde, eller hvis rummet hvori observationerne ligger i sig selv er enmangfoldighed. Metoder til at analysere observationer p˚a en mangfoldighed udgørfeltet geometrisk statistik. I denne kontekst er det approksimerende rum, fundetvia dimensionsreduktion, naturligt en submangfoldighed af den givne mangfoldighed.Udgangspunktet for denne afhandling er geometrisk statistik for observationer p˚a ena priori kendt Riemannsk mangfoldighed, men dele af vores arbejde udgør et bidragselv i tilfældet med observationer i Euklidisk rum, Rd.Et vigtigt eksempel p˚a data p˚a en mangfoldighed er former, i vores tilfældediskrete kurver eller overflader. I evolutionsbiologi er forskere interesseret i at studeregrunde til og implikationer af morfologiske forskelle mellem arter. Former er ´en m˚adeat formalisere morfologi p˚a. Denne anvendelse motiverer det første hovedbidrag idenne afhandling. We generaliserer en metode til dimensionsreduktion brugt i evolutionsbiologi,phylogenetisk principal component analysis (P-PCA), til at virke for datap˚a en Riemannsk mangfoldighed - s˚a den kan anvendes til observationer af former. PPCAer en version af PCA for observationer som antages at være de yderste knuder iet phylogenetisk træ. Fra et statistisk synspunkt er den vigtige egenskab ved s˚adanneobservationer at de ikke nødvendigvis er uafhængige. We definerer og estimerer intrinsiskevægtede middelværdier og kovarianser p˚a en mangfoldighed, som tager højde fors˚adanne observationers afhængighed. Vi definerer derefter phylogenetisk PCA p˚a enmangfoldighed som egendekomposition af den vægtede kovarians i tanget-rummet tilden vægtede middelværdi. Vi viser at estimatoren af middelværdien som pt. bruges ievolutionsbiologi til at studere morfologi svarer til at tage kun et enkelt skridt af voresRiemannske gradient descent algoritme for den intrinsiske middelværdi, n˚ar formernerepræsenteres i Kendall´s form-mangfoldighed.Vores andet hovedbidrag er en ikke-parametrisk metode til dimensionsreduktionsom kan bruges til at approksimere et data sæt baseret p˚a en meget flexibel klasse afsubmangfoldigheder. Denne metode er ny ogs˚a i tilfældet med Euklidisk data. Metodenvirker ved at konstruere et under-bundt af tangentbundet p˚a datamangfoldighedenM via lokale PCA´er. Vi kalder dette underbundt principal underbundtet. Viobserverer at dette underbundt inducerer en sub-Riemannsk struktur p˚a M og vi viserat sub-Riemannske geodæter fra et givent punkt lokalt genererer en submangfoldighedsom radialt flugter med det estimerede subbundt, selv for ikke-integrable subbundter.Ved støjfyldt data forekommer ikke-integrabilitet med stor sandsynlighed, og voresmetode demonstrerer at sub-Riemannsk geometri er en naturlig tilgang til at h˚andteredette. Numeriske eksperimenter illustrerer styrkerne ved metoden ved at vise at denopn˚ar rekonstruktioner over store afstande, selv under høje niveauer af støj

If we consider ruled surfaces of the projective 3-space as a one parameter family of lines, then they appear in the well-known KLEIN-model of lines in the projective 3-space as curves of a hyperquadric in the projective 5-space. The osculating spaces of such a curve are represented in the projective 3-space by spaces of linear complexes. Those points of a generator e of the ruled surface, in which the tangent bundles are in the same time complex line bundles in the accompanying osculating line complex of the ruled surface along e, are called the LIE-points of e. The LIE-points fulfil two (real or imaginary conjugate) curves on the ruled surface called the LIE-curves. The support of the osculating-3-space of the ruled surface along a regular non-torsal generator e are two, one or zero straight lines in the osculating regulus. If thes straight lines exist, one calls them the flecnode tangents of the ruled surface. On a hyperbolic ruled surface build the points of contact of the flecnode tangents two projective distinguished curves called the flecnode curves. In this work we present the different methods of treating these curves in the history, and we give a new explicit calculation of the flecnode points and the LIE-points depending on the basis of a PLÜCKER-coordinates representation of the ruled surface. In addition we study the questions that appears by considering the LIE-curves of a ruled surface to form a pair of BERTRAND curves for which this ruled surface is the surface of common main normals. For example, the question about ruled surfaces, whose LIE-curves are orthogonal to the generators will be answered here
Regelflächen des projektiven 3-Raums erscheinen, als (eindimensionalen) Geradenmengen aufgefasst, im bekannten KLEINschen Punktmodell der Geradenmenge vom projektiven 3-Raum als Kurven einer Hyperquadrik in einem projektiven 5-Raum. Die Schmiegräume einer solchen Kurve werden im projektiven 3-Raum durch Räume linearer Komplexe repräsentiert. Diejenigen Punkte einer Erzeugende e der Regelfläche, in denen die Tangentenbüschel gleichzeitig auch Komplexgeradenbüschel im begleitenden Schmiegkomplex von e sind, heißen LIE-Punkte von e. Die LIE-Punkte erfüllen zwei (reelle oder konjugiert imaginäre) Kurvenzüge auf der Regelfläche, die LIE-Kurven. Die Träger des Schmieg-3-Raums der Regelfläche längs einer reguläre nichttorsalen Erzeugende e sind zwei, eine oder null Geraden im Schmiegregulus. Sofern diese Geraden existieren, nennt man sie die Fleknodaltangenten der Regelfläche. Auf hyperbolischen Regelflächen bilden die Berührpunkte der Fleknodaltangenten zwei projektiv ausgezeichnete Kurven, die Fleknodalkurven. In der vorliegenden Arbeit stellen wir die unterschiedlichen Behandelungen diesen ausgezeichneten Kurven in der Geschichte dar, und geben wir eine neue explizite Berechnung von den Fleknodal- bzw. LIE-Punkte auf der Basis einer PLÜCKER-Koordinaten-Darstellung der Regelfläche. Außerdem untersuchen wir die Fragestellungen, die man bekommt, wenn man versucht, dass das paarweise auftreten der LIE-Kurven irgendwie in Analogie zum klassischen euklidischen BERTRAND-Kurvenpaar zu stellen. Z.B. lässt sich die Frage nach Regelflächen, deren LIE-Kurven Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden sind, hier beantwortet

I detta kandidatarbete undersöker och jämför vi två olika metoder för att approximera gauss- och medelkrökningen hos en yta i rummet som är given som en mängd av punkter. Det är viktigt att försöka få en bra analogi mellan diskret krökning och analytisk krökning då man ofta startar med en mängd punkter i de praktiska fallen, som t ex i tillverkningsindustrin, igenkänning av objekt (inscannade bilder) och datorgrafik. Givet dessa punkter och en bra approximation av gauss- och medelkrökningen kan man få mer information om ytans geometri och beteende. För att kunna förstå dessa begrepp och metoder/algoritmer så behandlas först den bakomliggande teorin och sedan metoderna. Den första metoden är att återge ytan med hjälp av Bézierytor, vilka vi kan utföra geometriska operationer på utan problem och även få fram gauss- och medelkrökningen. Den andra metoden kommer från artikeln ``Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds'' av Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder och Alan H. Barr. Deras approximationer av krökningarna kräver en triangulering av ytan, vilket de inte ger någon algoritm för. De tittar på ett område runt varje punkt och approximerar krökningarna genom detta område, även Gauss-Bonnets sats används för approximering av gausskrökningen. Mina simuleringar visar att Bézierytornas approximationer av gauss- och medelkrökningar är konvergenta och att alla värden ligger relativt nära varandra. Artikelns algoritm fungerar bra för gauss- och medelkrökning men deras algoritm beror väldigt mycket på trianguleringen vilket gör att man behöver ha krav på den triangulerade ytan, vilket i sig är ett svårt problem att lösa.
In this thesis we analyze and compare two different methods for approximating the Gauss and mean curvature on a surface, which is given as a set of points. It is important to find a method that agrees well with the analytic Gauss and mean curvatures and guarantees robust estimations. There is a great interest in Gauss and mean curvature since these two curvatures give information about the local geometry of the surface around the point at which these curvatures are calculated. The thesis begins with a short overview of differential theory and then the methods are explained and described. The reason for this is to give the reader an understanding of the theory before explaining the methods. The first method is called Bézier surfaces, which interpolates the given points. These surfaces are differentiable which makes it possible to approximate the Gauss and mean curvature, and are therefore very well suited for our problem. The second method comes from the research article ``Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds'' by Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder and Alan H. Barr. Their algorithm requires a triangulated surface, which itself is a hard problem to solve (at least if one has requirements on the triangulation). Their approximations of the Gauss and mean curvatures use a well chosen area around the point, and the Gauss curvature also makes use of the Gauss-Bonnet theorem. My simulations show that Bézier surfaces approximate both Gauss and mean curvature well, and the approximations seem to converge to the analytic value when the information gets better. The articles algorithm also works well for approximating both curvatures, though this method seems to depend somewhat on the triangulation. This gives some requirements on the triangulation and will therefore be a harder problem to solve. The approximations do not converge when given a triangulation with obtuse triangles, though it shows signs to do so.

The present habilitation thesis in theoretical biological physics addresses two central dynamical processes in cells and organisms: (i) active motility and motility control and (ii) self-organized pattern formation. The unifying theme is the nonlinear dynamics of biological function and its robustness in the presence of strong fluctuations, structural variations, and external perturbations. We theoretically investigate motility control at the cellular scale, using cilia and flagella as ideal model system. Cilia and flagella are highly conserved slender cell appendages that exhibit spontaneous bending waves. This flagellar beat represents a prime example of a chemo-mechanical oscillator, which is driven by the collective dynamics of molecular motors inside the flagellar axoneme. We study the nonlinear dynamics of flagellar swimming, steering, and synchronization, which encompasses shape control of the flagellar beat by chemical signals and mechanical forces. Mechanical forces can synchronize collections of flagella to beat at a common frequency, despite active motor noise that tends to randomize flagellar synchrony. In Chapter 2, we present a new physical mechanism for flagellar synchronization by mechanical self-stabilization that applies to free-swimming flagellated cells. This new mechanism is independent of direct hydrodynamic interactions between flagella. Comparison with experimental data provided by experimental collaboration partners in the laboratory of J. Howard (Yale, New Haven) confirmed our new mechanism in the model organism of the unicellular green alga Chlamydomonas. Further, we characterize the beating flagellum as a noisy oscillator. Using a minimal model of collective motor dynamics, we argue that measured non-equilibrium fluctuations of the flagellar beat result from stochastic motor dynamics at the molecular scale. Noise and mechanical coupling are antagonists for flagellar synchronization. In addition to the control of the flagellar beat by mechanical forces, we study the control of the flagellar beat by chemical signals in the context of sperm chemotaxis. We characterize a fundamental paradigm for navigation in external concentration gradients that relies on active swimming along helical paths. In this helical chemotaxis, the direction of a spatial concentration gradient becomes encoded in the phase of an oscillatory chemical signal. Helical chemotaxis represents a distinct gradient-sensing strategy, which is different from bacterial chemotaxis. Helical chemotaxis is employed, for example, by sperm cells from marine invertebrates with external fertilization. We present a theory of sensorimotor control, which combines hydrodynamic simulations of chiral flagellar swimming with a dynamic regulation of flagellar beat shape in response to chemical signals perceived by the cell. Our theory is compared to three-dimensional tracking experiments of sperm chemotaxis performed by the laboratory of U. B. Kaupp (CAESAR, Bonn). In addition to motility control, we investigate in Chapter 3 self-organized pattern formation in two selected biological systems at the cell and organism scale, respectively. On the cellular scale, we present a minimal physical mechanism for the spontaneous self-assembly of periodic cytoskeletal patterns, as observed in myofibrils in striated muscle cells. This minimal mechanism relies on the interplay of a passive coarsening process of crosslinked actin clusters and active cytoskeletal forces. This mechanism of cytoskeletal pattern formation exemplifies how local interactions can generate large-scale spatial order in active systems. On the organism scale, we present an extension of Turing’s framework for self-organized pattern formation that is capable of a proportionate scaling of steady-state patterns with system size. This new mechanism does not require any pre-pattering clues and can restore proportional patterns in regeneration scenarios. We analytically derive the hierarchy of steady-state patterns and analyze their stability and basins of attraction. We demonstrate that this scaling mechanism is structurally robust. Applications to the growth and regeneration dynamics in flatworms are discussed (experiments by J. Rink, MPI CBG, Dresden)
Das Thema der vorliegenden Habilitationsschrift in Theoretischer Biologischer Physik ist die nichtlineare Dynamik funktionaler biologischer Systeme und deren Robustheit gegenüber Fluktuationen und äußeren Störungen. Wir entwickeln hierzu theoretische Beschreibungen für zwei grundlegende biologische Prozesse: (i) die zell-autonome Kontrolle aktiver Bewegung, sowie (ii) selbstorganisierte Musterbildung in Zellen und Organismen. In Kapitel 2, untersuchen wir Bewegungskontrolle auf zellulärer Ebene am Modelsystem von Zilien und Geißeln. Spontane Biegewellen dieser dünnen Zellfortsätze ermöglichen es eukaryotischen Zellen, in einer Flüssigkeit zu schwimmen. Wir beschreiben einen neuen physikalischen Mechanismus für die Synchronisation zweier schlagender Geißeln, unabhängig von direkten hydrodynamischen Wechselwirkungen. Der Vergleich mit experimentellen Daten, zur Verfügung gestellt von unseren experimentellen Kooperationspartnern im Labor von J. Howard (Yale, New Haven), bestätigt diesen neuen Mechanismus im Modellorganismus der einzelligen Grünalge Chlamydomonas. Der Gegenspieler dieser Synchronisation durch mechanische Kopplung sind Fluktuationen. Wir bestimmen erstmals Nichtgleichgewichts-Fluktuationen des Geißel-Schlags direkt, wofür wir eine neue Analyse-Methode der Grenzzykel-Rekonstruktion entwickeln. Die von uns gemessenen Fluktuationen entstehen mutmaßlich durch die stochastische Dynamik molekularen Motoren im Innern der Geißeln, welche auch den Geißelschlag antreiben. Um die statistische Physik dieser Nichtgleichgewichts-Fluktuationen zu verstehen, entwickeln wir eine analytische Theorie der Fluktuationen in einem minimalen Modell kollektiver Motor-Dynamik. Zusätzlich zur Regulation des Geißelschlags durch mechanische Kräfte untersuchen wir dessen Regulation durch chemische Signale am Modell der Chemotaxis von Spermien-Zellen. Dabei charakterisieren wir einen grundlegenden Mechanismus für die Navigation in externen Konzentrationsgradienten. Dieser Mechanismus beruht auf dem aktiven Schwimmen entlang von Spiralbahnen, wodurch ein räumlicher Konzentrationsgradient in der Phase eines oszillierenden chemischen Signals kodiert wird. Dieser Chemotaxis-Mechanismus unterscheidet sich grundlegend vom bekannten Chemotaxis-Mechanismus von Bakterien. Wir entwickeln eine Theorie der senso-motorischen Steuerung des Geißelschlags während der Spermien-Chemotaxis. Vorhersagen dieser Theorie werden durch Experimente der Gruppe von U.B. Kaupp (CAESAR, Bonn) quantitativ bestätigt. In Kapitel 3, untersuchen wir selbstorganisierte Strukturbildung in zwei ausgewählten biologischen Systemen. Auf zellulärer Ebene schlagen wir einen einfachen physikalischen Mechanismus vor für die spontane Selbstorganisation von periodischen Zellskelett-Strukturen, wie sie sich z.B. in den Myofibrillen gestreifter Muskelzellen finden. Dieser Mechanismus zeigt exemplarisch auf, wie allein durch lokale Wechselwirkungen räumliche Ordnung auf größeren Längenskalen in einem Nichtgleichgewichtssystem entstehen kann. Auf der Ebene des Organismus stellen wir eine Erweiterung der Turingschen Theorie für selbstorganisierte Musterbildung vor. Wir beschreiben eine neue Klasse von Musterbildungssystemen, welche selbst-organisierte Muster erzeugt, die mit der Systemgröße skalieren. Dieser neue Mechanismus erfordert weder eine vorgegebene Kompartimentalisierung des Systems noch spezielle Randbedingungen. Insbesondere kann dieser Mechanismus proportionale Muster wiederherstellen, wenn Teile des Systems amputiert werden. Wir bestimmen analytisch die Hierarchie aller stationären Muster und analysieren deren Stabilität und Einzugsgebiete. Damit können wir zeigen, dass dieser Skalierungs-Mechanismus strukturell robust ist bezüglich Variationen von Parametern und sogar funktionalen Beziehungen zwischen dynamischen Variablen. Zusammen mit Kollaborationspartnern im Labor von J. Rink (MPI CBG, Dresden) diskutieren wir Anwendungen auf das Wachstum von Plattwürmern und deren Regeneration in Amputations-Experimenten

This doctoral thesis provides a classification of equivariant star products (star products together with quantum momentum maps) in terms of equivariant de Rham cohomology. This classification result is then used to construct an analogon of the Kirwan map from which one can directly obtain the characteristic class of certain reduced star products on Marsden-Weinstein reduced symplectic manifolds from the equivariant characteristic class of their corresponding unreduced equivariant star product. From the surjectivity of this map one can conclude that every star product on Marsden-Weinstein reduced symplectic manifolds can (up to equivalence) be obtained as a reduced equivariant star product
Diese Doktorarbeit klassifiziert äquivariante Sternprodukte (Sternprodukte zusammen mit Quantenimpulsabbildungen) über die äquivariante de Rham Kohomologie. Diese Klassifizierung wird im Folgenen genutzt um ein Analogon der Kirwan-Abbildung zu konstruieren, welches ermöglicht die charakteristische Klasse von bestimmten reduzierten Sternprodukten auf Marsden-Weinstein reduzierten symplektischen Mannigfaltigkeiten direkt aus der äquivarianten charakteristischen Klasse des zugehörigen unreduzierten äquivarianten Sternprodukts zu erhalten. Die Surjektivität dieser Abbildung zeigt schließlich, dass jedes Sternprodukt auf einer Marsden-Weinstein reduzierten symplektischen Mannigfaltigkeit (bis auf Äquivalenz) als Reduktion eines äquivarianten Sternprodukts verstanden werden kann

The present habilitation thesis in theoretical biological physics addresses two central dynamical processes in cells and organisms: (i) active motility and motility control and (ii) self-organized pattern formation. The unifying theme is the nonlinear dynamics of biological function and its robustness in the presence of strong fluctuations, structural variations, and external perturbations. We theoretically investigate motility control at the cellular scale, using cilia and flagella as ideal model system. Cilia and flagella are highly conserved slender cell appendages that exhibit spontaneous bending waves. This flagellar beat represents a prime example of a chemo-mechanical oscillator, which is driven by the collective dynamics of molecular motors inside the flagellar axoneme. We study the nonlinear dynamics of flagellar swimming, steering, and synchronization, which encompasses shape control of the flagellar beat by chemical signals and mechanical forces. Mechanical forces can synchronize collections of flagella to beat at a common frequency, despite active motor noise that tends to randomize flagellar synchrony. In Chapter 2, we present a new physical mechanism for flagellar synchronization by mechanical self-stabilization that applies to free-swimming flagellated cells. This new mechanism is independent of direct hydrodynamic interactions between flagella. Comparison with experimental data provided by experimental collaboration partners in the laboratory of J. Howard (Yale, New Haven) confirmed our new mechanism in the model organism of the unicellular green alga Chlamydomonas. Further, we characterize the beating flagellum as a noisy oscillator. Using a minimal model of collective motor dynamics, we argue that measured non-equilibrium fluctuations of the flagellar beat result from stochastic motor dynamics at the molecular scale. Noise and mechanical coupling are antagonists for flagellar synchronization. In addition to the control of the flagellar beat by mechanical forces, we study the control of the flagellar beat by chemical signals in the context of sperm chemotaxis. We characterize a fundamental paradigm for navigation in external concentration gradients that relies on active swimming along helical paths. In this helical chemotaxis, the direction of a spatial concentration gradient becomes encoded in the phase of an oscillatory chemical signal. Helical chemotaxis represents a distinct gradient-sensing strategy, which is different from bacterial chemotaxis. Helical chemotaxis is employed, for example, by sperm cells from marine invertebrates with external fertilization. We present a theory of sensorimotor control, which combines hydrodynamic simulations of chiral flagellar swimming with a dynamic regulation of flagellar beat shape in response to chemical signals perceived by the cell. Our theory is compared to three-dimensional tracking experiments of sperm chemotaxis performed by the laboratory of U. B. Kaupp (CAESAR, Bonn). In addition to motility control, we investigate in Chapter 3 self-organized pattern formation in two selected biological systems at the cell and organism scale, respectively. On the cellular scale, we present a minimal physical mechanism for the spontaneous self-assembly of periodic cytoskeletal patterns, as observed in myofibrils in striated muscle cells. This minimal mechanism relies on the interplay of a passive coarsening process of crosslinked actin clusters and active cytoskeletal forces. This mechanism of cytoskeletal pattern formation exemplifies how local interactions can generate large-scale spatial order in active systems. On the organism scale, we present an extension of Turing’s framework for self-organized pattern formation that is capable of a proportionate scaling of steady-state patterns with system size. This new mechanism does not require any pre-pattering clues and can restore proportional patterns in regeneration scenarios. We analytically derive the hierarchy of steady-state patterns and analyze their stability and basins of attraction. We demonstrate that this scaling mechanism is structurally robust. Applications to the growth and regeneration dynamics in flatworms are discussed (experiments by J. Rink, MPI CBG, Dresden).:1 Introduction 10 1.1 Overview of the thesis 10 1.2 What is biological physics? 12 1.3 Nonlinear dynamics and control 14 1.3.1 Mechanisms of cell motility 16 1.3.2 Self-organized pattern formation in cells and tissues 28 1.4 Fluctuations and biological robustness 34 1.4.1 Sources of fluctuations in biological systems 34 1.4.2 Example of stochastic dynamics: synchronization of noisy oscillators 36 1.4.3 Cellular navigation strategies reveal adaptation to noise 39 2 Selected publications: Cell motility and motility control 56 2.1 “Flagellar synchronization independent of hydrodynamic interactions” 56 2.2 “Cell body rocking is a dominant mechanism for flagellar synchronization” 57 2.3 “Active phase and amplitude fluctuations of the flagellar beat” 58 2.4 “Sperm navigation in 3D chemoattractant landscapes” 59 3 Selected publications: Self-organized pattern formation in cells and tissues 60 3.1 “Sarcomeric pattern formation by actin cluster coalescence” 60 3.2 “Scaling and regeneration of self-organized patterns” 61 4 Contribution of the author in collaborative publications 62 5 Eidesstattliche Versicherung 64 6 Appendix: Reprints of publications 66
Das Thema der vorliegenden Habilitationsschrift in Theoretischer Biologischer Physik ist die nichtlineare Dynamik funktionaler biologischer Systeme und deren Robustheit gegenüber Fluktuationen und äußeren Störungen. Wir entwickeln hierzu theoretische Beschreibungen für zwei grundlegende biologische Prozesse: (i) die zell-autonome Kontrolle aktiver Bewegung, sowie (ii) selbstorganisierte Musterbildung in Zellen und Organismen. In Kapitel 2, untersuchen wir Bewegungskontrolle auf zellulärer Ebene am Modelsystem von Zilien und Geißeln. Spontane Biegewellen dieser dünnen Zellfortsätze ermöglichen es eukaryotischen Zellen, in einer Flüssigkeit zu schwimmen. Wir beschreiben einen neuen physikalischen Mechanismus für die Synchronisation zweier schlagender Geißeln, unabhängig von direkten hydrodynamischen Wechselwirkungen. Der Vergleich mit experimentellen Daten, zur Verfügung gestellt von unseren experimentellen Kooperationspartnern im Labor von J. Howard (Yale, New Haven), bestätigt diesen neuen Mechanismus im Modellorganismus der einzelligen Grünalge Chlamydomonas. Der Gegenspieler dieser Synchronisation durch mechanische Kopplung sind Fluktuationen. Wir bestimmen erstmals Nichtgleichgewichts-Fluktuationen des Geißel-Schlags direkt, wofür wir eine neue Analyse-Methode der Grenzzykel-Rekonstruktion entwickeln. Die von uns gemessenen Fluktuationen entstehen mutmaßlich durch die stochastische Dynamik molekularen Motoren im Innern der Geißeln, welche auch den Geißelschlag antreiben. Um die statistische Physik dieser Nichtgleichgewichts-Fluktuationen zu verstehen, entwickeln wir eine analytische Theorie der Fluktuationen in einem minimalen Modell kollektiver Motor-Dynamik. Zusätzlich zur Regulation des Geißelschlags durch mechanische Kräfte untersuchen wir dessen Regulation durch chemische Signale am Modell der Chemotaxis von Spermien-Zellen. Dabei charakterisieren wir einen grundlegenden Mechanismus für die Navigation in externen Konzentrationsgradienten. Dieser Mechanismus beruht auf dem aktiven Schwimmen entlang von Spiralbahnen, wodurch ein räumlicher Konzentrationsgradient in der Phase eines oszillierenden chemischen Signals kodiert wird. Dieser Chemotaxis-Mechanismus unterscheidet sich grundlegend vom bekannten Chemotaxis-Mechanismus von Bakterien. Wir entwickeln eine Theorie der senso-motorischen Steuerung des Geißelschlags während der Spermien-Chemotaxis. Vorhersagen dieser Theorie werden durch Experimente der Gruppe von U.B. Kaupp (CAESAR, Bonn) quantitativ bestätigt. In Kapitel 3, untersuchen wir selbstorganisierte Strukturbildung in zwei ausgewählten biologischen Systemen. Auf zellulärer Ebene schlagen wir einen einfachen physikalischen Mechanismus vor für die spontane Selbstorganisation von periodischen Zellskelett-Strukturen, wie sie sich z.B. in den Myofibrillen gestreifter Muskelzellen finden. Dieser Mechanismus zeigt exemplarisch auf, wie allein durch lokale Wechselwirkungen räumliche Ordnung auf größeren Längenskalen in einem Nichtgleichgewichtssystem entstehen kann. Auf der Ebene des Organismus stellen wir eine Erweiterung der Turingschen Theorie für selbstorganisierte Musterbildung vor. Wir beschreiben eine neue Klasse von Musterbildungssystemen, welche selbst-organisierte Muster erzeugt, die mit der Systemgröße skalieren. Dieser neue Mechanismus erfordert weder eine vorgegebene Kompartimentalisierung des Systems noch spezielle Randbedingungen. Insbesondere kann dieser Mechanismus proportionale Muster wiederherstellen, wenn Teile des Systems amputiert werden. Wir bestimmen analytisch die Hierarchie aller stationären Muster und analysieren deren Stabilität und Einzugsgebiete. Damit können wir zeigen, dass dieser Skalierungs-Mechanismus strukturell robust ist bezüglich Variationen von Parametern und sogar funktionalen Beziehungen zwischen dynamischen Variablen. Zusammen mit Kollaborationspartnern im Labor von J. Rink (MPI CBG, Dresden) diskutieren wir Anwendungen auf das Wachstum von Plattwürmern und deren Regeneration in Amputations-Experimenten.:1 Introduction 10 1.1 Overview of the thesis 10 1.2 What is biological physics? 12 1.3 Nonlinear dynamics and control 14 1.3.1 Mechanisms of cell motility 16 1.3.2 Self-organized pattern formation in cells and tissues 28 1.4 Fluctuations and biological robustness 34 1.4.1 Sources of fluctuations in biological systems 34 1.4.2 Example of stochastic dynamics: synchronization of noisy oscillators 36 1.4.3 Cellular navigation strategies reveal adaptation to noise 39 2 Selected publications: Cell motility and motility control 56 2.1 “Flagellar synchronization independent of hydrodynamic interactions” 56 2.2 “Cell body rocking is a dominant mechanism for flagellar synchronization” 57 2.3 “Active phase and amplitude fluctuations of the flagellar beat” 58 2.4 “Sperm navigation in 3D chemoattractant landscapes” 59 3 Selected publications: Self-organized pattern formation in cells and tissues 60 3.1 “Sarcomeric pattern formation by actin cluster coalescence” 60 3.2 “Scaling and regeneration of self-organized patterns” 61 4 Contribution of the author in collaborative publications 62 5 Eidesstattliche Versicherung 64 6 Appendix: Reprints of publications 66