Dissertations / Theses on the topic 'Control of PDEs'

Reaction-diffusion equations are parabolic Partial Differential Equations (PDEs) which often occur in practice, e.g., to model the concentration of one or more substances, distributed in space, under the in uence of different phenomena such as local chemical reactions, in which the substances are transformed into each other, and diffusion, which causes the substances to spread out over a surface in space. Certainly, reaction-diffusion PDEs are not confined to chemical applications but they also describe dynamical processes of non-chemical nature, with examples being found in thermodynamics, biology, geology, physics, ecology, etc. Problems such as parabolic Partial Differential Equations (PDEs) and many others require the user to have a considerable background in PDEs and functional analysis before one can study the control design methods for these systems, particularly boundary control design. Control and observation of coupled parabolic PDEs comes in roughly two settingsdepending on where the actuators and sensors are located \in domain" control, where the actuation penetrates inside the domain of the PDE system or is evenly distributed everywhere in the domain and \boundary" control, where the actuation and sensing are applied only through the boundary conditions. Boundary control is generally considered to be physically more realistic because actuation and sensing are nonintrusive but is also generally considered to be the harder problem, because the \input operator" and the "output operator" are unbounded operators. The method that this thesis develops for control of PDEs is the so-called backstepping control method. Backstepping is a particular approach to stabilization of dynamic systems and is particularly successful in the area of nonlinear control. The backstepping method achieves Lyapunov stabilization, which is often achieved by collectively shifting all the eigenvalues in a favorable direction in the complex plane, rather than by assigning individual eigenvalues. As the reader will soon learn, this task can be achieved in a rather elegant way, where the control gains are easy to compute symbolically, numerically, and in some cases even explicitly. In addition to presenting the methods for boundary control design, we present the dual methods for observer design using boundary sensing. Virtually every one of our control designs for full state stabilization has an observer counterpart. The observer gains are easy to compute symbolically or even explicitly in some cases. They are designed in such a way that the observer error system is exponentially stabilized. As in the case of finite-dimensional observer-based control, a separation principle holds in the sense that a closed-loop system remains stable after a full state stabilizing feedback is replaced by a feedback that employs the observer state instead of the plant state.

The topic of this thesis is the theoretical and numerical research of optimal control problems for uncertain nonlinear systems, described by semilinear parabolic differential equations with additive noise, where the state is not completely available. Based on a paper by Kazufumi Ito and Karl Kunisch, which was published in 2006 with the title "Receding Horizon Control with Incomplete Observations", we analyze a Model Predictive Control (MPC) approach where the resulting linear problems on small intervals are solved with a Linear Quadratic Gaussian (LQG) design. Further we define a performance index for the MPC/LQG approach, find estimates for it and present bounds for the solutions of the underlying Riccati equations. Another large part of the thesis is devoted to extensive numerical studies for an 1+1- and 3+1-dimensional problem to show the robustness of the MPC/LQG strategy. The last part is a generalization of the MPC/LQG approach to infinite-dimensional problems.

Cette thèse concerne la simulation et la commande d'un biofiltre de dénitrification. Selon que l'on considère ou que l'on néglige la diffusion, des modèles d'EDP paraboliques ou hyperboliques sont considérés. En plus des classiques méthodes des lignes, des approches spécifiques au type d'EDP sont évaluées pour simuler le système. La méthode des caractéristiques s'applique aux systèmes d'EDP hyperboliques. L'analyse modale utilisée pour les systèmes d'EDP paraboliques permet de manipuler un système d'ordre réduit. L'objectif de commande est alors de réduire la concentration en azote en sortie du réacteur sous une certaine limite, en dépit des perturbations externes et des incertitudes du modèle. Deux stratégies de commande sont considérées. Une approche "early lumping" permet la synthèse d'une loi de commande linéaire H2 de type retour de sortie avec observateur. Une approche "late lumping" associe une loi de commande linéarisante à un observateur à paramètres distribués
This thesis addresses the simulation and control of a denitrification biofilter. Parabolic and hyperbolic PDE models may be considered, which depends on the fact of considering or neglecting the diffusion phenomenon. In plus of the classical methods of lines, approaches specific to the type of PDE system are evaluated to simulate the biofilter. The method of characteristics applies to hyperbolic PDE systems. The modal analysis used on the parabolic PDE system allows manipulating a reduced order model. The control objective is then the reduction of the nitrogen concentration at the output of the reactor below some pre-specified upper limit, in spite of the external disturbances and uncertainties of the model. Two control strategies are considered. An early lumping approach is used to synthesize an observer-based H2 output feedback linear controller. A late lumping approach associates a linearizing control to a distributed parameter observer

Cette thèse vise à concevoir un contrôleur basé observateur au bord pour une classede systèmes modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP) paraboliquescouplées en utilisant la méthode dite backstepping. Grosso modo, la méthode dubackstepping pour les EDP consiste principalement à les transformer sous certainesformes faciles à analyser et à stabiliser à l’aide de contrôleurs ou d’observateurs. Cesformes seront appelées les systèmes cibles. Tout d’abord, ce travail considère un cassimple d’équations couplées avec des paramètres de diffusion constants. Pour ce cas,on met en évidence des conditions de stabilité moins contraignantes que les conditionsproposées dans la littérature sur ce sujet. De plus, pour le même cas, on conçoitune commande par retour d’état basé observateur. Ensuite, on donne une simulationsur un exemple pour prouver la consistance de la méthode proposée. Ce travail traiteégalement d’une classe de systèmes modélisés par équations de réaction-advectiondiffusionavec le même paramètre de diffusion constant en proposant des conditionsparticulières sur les systèmes cibles. Dans un second temps, on traite le cas des équationscouplées réaction-diffusion avec différentes diffusions. Cependant, comme lestermes de diffusions sont différents, il est plus difficile de calculer le noyau de la transformationbackstepping. Pour surmonter cette difficulté, on fait une hypothèse sur lenoyau qui définit la transformation backstepping. De plus, on conçoit également uncontrôleur basé observateur avec les mêmes conditions de stabilité proposées pour lesdeux premières situations. Ensuite, on utilise le principe de séparation pour concevoirun contrôleur basé observateur. Enfin, on utilise un modèle simplifié de réacteurtubulaire pour mettre en évidence la cohérence de la méthode proposée. Dans unetroisième partie, cette thèse étend ces résultats à une classe de systèmes modéliséspar des équations couplées de réaction-advection-diffusion à coefficients dépendantde la variable d’espace, ce qui rend la détermination du noyau de la transformationbackstepping plus difficile. Pour ce faire, on transforme les équations aux dérivéespartielles paraboliques qui définissent le noyau de la transformation en un ensembled’équations hyperboliques. Par conséquent, on peut prouver que le problème est bienposé en fixant des conditions aux limites appropriées pour la fonction noyau. De plus,on fournit également les conditions de stabilité pour les systèmes cibles. La performancede l’observateur proposé est illustrée sur un modèle numérique. Puis, on étendle contrôleur basé observateur aux systèmes EDP d’ordre fractionnaire. Enfin, desconclusions sont présentées avec quelques perspectives
This thesis aims to design a boundary observer-based output feedback controllerfor a class of systems modelled by linear coupled parabolic PDEs by using the backsteppingmethod.Roughly speaking, the backstepping method for PDEs mainly consists oftransforming some kinds of PDEs into some particular PDEs, that are easy to analyzeand stabilize by using controllers or observers. This kind of particular PDEs will becalled target systems. Firstly, it considers an easy case of coupled reaction-diffusionequations with the same constant diffusion parameter. For this case, it proposes amore relaxed stability condition for the target system of the backstepping transformation.Moreover, for the same case, it designs a backstepping boundary observer-basedoutput feedback controller. Then, it takes an example to verify the proposed method.It also deals with a class of systems modelled by reaction-advection-diffusion equationswith the same constant diffusion parameter, which are realized by proposingparticular conditions on the target systems. Secondly, it deals with a kind of systemsmodelled by coupled reaction-diffusion equations with different diffusions. In a similarway, it designs a boundary observer for this kind of systems. However, due to thefact that the constant diffusions are not the same, it is more difficult to solve the kernelfunctions of the backstepping transformation than the same diffusion case. Forthis, an assumption on the kernel functions is made to enable us to solve the problem.Moreover, it also designs a backstepping boundary controller based on the proposedstability conditions. Those stability conditions are more relaxed than the conditionswe can find in the literatures on this topic. Then, based on the Separation Principle,it designs an observer-based output feedback controller. It takes a simplified modelof Chemical Tubular Reactor to highlight the proposed method. Thirdly, this thesisdesigns a boundary observer as a more general extension by studying a class of systemsmodelled by coupled reaction-advection-diffusion equations with spatially-varyingcoefficients, which is more challenged to solve kernel functions of the backsteppingtransformation. To achieve this, it transforms the parabolic kernel equations into a setof hyperbolic equations. Then, it proves the well-posedness by setting suitable boundaryconditions for the kernel functions. Moreover, it also provides the stability conditionsfor the target systems. The performance of the proposed observer is illustrated bytaking a numerical model. Fourthly, it extends the above backstepping observer-basedoutput feedback controller to fractional-order PDE systems. Finally, conclusions areoutlined with some perspectives

This thesis is concerned with nonlinear elliptic PDEs and system of PDEs arising in various problems of stochastic control, differential games, specifically Mean Field Games, and differential geometry. It is divided in three parts. The first part is focused on stochastic ergodic control problems where both the state and the control space is R^d. The interest is in giving conditions on the fixed drift, the cost function and the Lagrangian function that are sufficient for synthesizing an optimal control of feedback type. In order to obtain such conditions, an approach that combines the Lyapunov method and the approximation of the problem on bounded sets with reflection of the diffusions at the boundary is proposed. A general framework is developed first, and then particular cases are considered, which show how Lyapunov functions can be constructed from the solutions of the approximating problems. The second part is devoted to the study of Mean Field Games, a recent theory which aims at modeling and analyzing complex decision processes involving a very large number of indistinguishable rational agents. The attention is given to existence results for the multi- population MFG system of PDEs with homogeneous Neumann boundary conditions, that are obtained combining elliptic a-priori estimates and fixed point arguments. A model of segregation between human populations, inspired by ideas of T. Schelling is then proposed. The model, that fits into the theoretical framework developed in the thesis, is analyzed from the qualitative point of view using numerical finite-difference techniques. The phenomenon of segregation between the population densities arises in the numerical experiments on the particular mean field game model, assuming mild ethnocentric attitude of people as in the original model of Schelling. In the last part of the thesis some results on existence and uniqueness of solutions for the prescribed k-th principal curvature equation are presented. The Dirichlet problem for such a family of degenerate elliptic fully nonlinear partial differential equations is solved using the theory of Viscosity solutions, by implementing a version of the Perron method which involves semiconvex subsolutions; the restriction to this class of functions is sufficient for proving a Lipschitz estimate on the elliptic operator with respect to the gradient entry which is also required for obtaining the comparison principle. Existence and uniqueness are stated under general assumptions, and examples of data which satisfy the general hypotheses are provided.
Questa tesi ha come oggetto di studio EDP ellittiche nonlineari e sistemi di EDP che si presentano in problemi di controllo stocastico, giochi differenziali, in particolare Mean Field Games e geometria differenziale. I risultati contenuti si possono suddividere in tre parti. Nella prima parte si pone l'attenzione su problemi di controllo ergodico stocastico dove lo spazio degli stati e dei controlli coincide con l'intero Rd. L'interesse è posto sul formulare condizioni sul drift, il funzionale di costo e la Lagrangiana sufficienti a sintetizzare un controllo ottimo di tipo feedback. Al fine di ottenere tali condizioni, viene proposto un approccio che combina il metodo delle funzioni di Lyapunov e l'approssimazione del problema su domini limitati con riflessione delle traiettorie al bordo. Le tecniche vengono formulate in termini generali e successivamente sono presi in considerazione esempi specifici, che mostrano come opportune funzioni di Lyapunov possono essere costruite a partire dalle soluzioni dei problemi approssimanti. La seconda parte è incentrata sullo studio di Mean Fielda Games, una recente teoria che mira a elaborare modelli per analizzare processi di decisione in cui è coinvolto un grande numero di agenti indistinguibili. Sono ottenuti nella tesi alcuni risultati di esistenza di soluzioni per sistemi MFG a più popolazioni con condizioni al bordo omogenee di tipo Neumann, attraverso stime a-priori ellittiche e argomenti di punto fisso. Viene in seguito proposto un modello di segregazione tra popolazioni umane che prende ispirazione da alcune idee di T. Schelling. Tale modello si inserisce nel contesto teorico sviluppato nella tesi, e viene analizzato dal punto di vista qualitativo tramite tecniche numeriche alle differenze finite. Il fenomeno di segregazione tra popolazioni si riscontra negli esperimenti numerici svolti sul particolare modello mean field, assumendo l'ipotesi di moderata mentalità etnocentrica delle persone, similmente all’originale modello di Schelling. L'ultima parte della tesi riguarda alcuni risultati di esistenza e unicità di soluzioni per l’equazione di k-esima curvatura principale prescritta. Il problema di Dirichlet per tale famiglia di equazioni ellittiche degeneri nonlineari è risolto implementando la teoria delle soluzioni di Viscosità, applicando in particolare una versione del metodo di Perron basata su soluzioni semiconvesse; la restrizione a tale classe di funzioni risulta sufficiente per dimostrare una stima di tipo Lipschitz sull'operatore ellittico, essenziale per ottenere un principio di confronto. Esistenza e unicità di soluzioni sono formulate in termini generali; vengono forniti infine esempi in cui condizioni particolari sui dati soddisfano tali ipotesi.

Cette thèse porte sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dégénérées, ainsi que pour des problèmes de contrôle d'EDP non-linéaires résultants d'un nouveau problème de transport optimal. Toutes ces questions sont motivées par des applications en mathématiques financières. La thèse est divisée en quatre parties. Dans une première partie, nous nous intéressons à la condition nécessaire et suffisante de la monotonie du thêta-schéma de différences finies pour l'équation de diffusion en dimension un. Nous donnons la formule explicite dans le cas de l'équation de la chaleur, qui est plus faible que la condition classique de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Dans une seconde partie, nous considérons une EDP parabolique non-linéaire dégénérée et proposons un schéma de type ''splitting'' pour la résoudre. Ce schéma réunit un schéma probabiliste et un schéma semi-lagrangien. Au final, il peut être considéré comme un schéma Monte-Carlo. Nous donnons un résultat de convergence et également un taux de convergence du schéma. Dans une troisième partie, nous étudions un problème de transport optimal, où la masse est transportée par un processus d'état type ''drift-diffusion'' controllé. Le coût associé est dépendant des trajectoires de processus d'état, de son drift et de son coefficient de diffusion. Le problème de transport consiste à minimiser le coût parmi toutes les dynamiques vérifiant les contraintes initiales et terminales sur les distributions marginales. Nous prouvons une formule de dualité pour ce problème de transport, étendant ainsi la dualité de Kantorovich à notre contexte. La formulation duale maximise une fonction valeur sur l'espace des fonctions continues bornées, et la fonction valeur correspondante à chaque fonction continue bornée est la solution d'un problème de contrôle stochastique optimal. Dans le cas markovien, nous prouvons un principe de programmation dynamique pour ces problèmes de contrôle optimal, proposons un algorithme de gradient projeté pour la résolution numérique du problème dual, et en démontrons la convergence. Enfin dans une quatrième partie, nous continuons à développer l'approche duale pour le problème de transport optimal avec une application à la recherche de bornes de prix sans arbitrage des options sur variance étant donnés les prix des options européennes. Après une première approximation analytique, nous proposons un algorithme de gradient projeté pour approcher la borne et la stratégie statique correspondante en options vanilles
This thesis deals with the numerical methods for a fully nonlinear degenerate parabolic partial differential equations (PDEs), and for a controlled nonlinear PDEs problem which results from a mass transportation problem. The manuscript is divided into four parts. In a first part of the thesis, we are interested in the necessary and sufficient condition of the monotonicity of finite difference thêta-scheme for a one-dimensional diffusion equations. An explicit formula is given in case of the heat equation, which is weaker than the classical Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) condition. In a second part, we consider a fully nonlinear degenerate parabolic PDE and propose a splitting scheme for its numerical resolution. The splitting scheme combines a probabilistic scheme and the semi-Lagrangian scheme, and in total, it can be viewed as a Monte-Carlo scheme for PDEs. We provide a convergence result as well as a rate of convergence. In the third part of the thesis, we study an optimal mass transportation problem. The mass is transported by the controlled drift-diffusion dynamics, and the associated cost depends on the trajectories, the drift as well as the diffusion coefficient of the dynamics. We prove a strong duality result for the transportation problem, thus extending the Kantorovich duality to our context. The dual formulation maximizes a value function on the space of all bounded continuous functions, and every value function corresponding to a bounded continuous function is the solution to a stochastic control problem. In the Markovian cases, we prove the dynamic programming principle of the optimal control problems, and we propose a gradient-projection algorithm for the numerical resolution of the dual problem, and provide a convergence result. Finally, in a fourth part, we continue to develop the dual approach of mass transportation problem with its applications in the computation of the model-independent no-arbitrage price bound of the variance option in a vanilla-liquid market. After a first analytic approximation, we propose a gradient-projection algorithm to approximate the bound as well as the corresponding static strategy in vanilla options

Diese Dissertation analysiert BSDEs und PDEs mit singulären Endbedingungen, welche in Problemen der optimalen Portfolioliquidierung auftreten. In den vergangenen Jahren haben Portfolioliquidierungsprobleme in der Literatur zur Finanzmathematik große Aufmerksamkeit erhalten. Ihre wichtigste Eigenschaft ist die singuläre Endbedingung der durch die Liquidierungsbedingung induzierten Wertfunktion, welche eine singuläre Endbedingung der zugehörigen BSDE oder PDE impliziert. Diese Arbeit besteht aus drei Kapiteln. Das erste Kapitel analysiert ein Portfolioliquidierungsproblem für mehrere Wertpapiere mit sofortigem und anhaltendem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Wir zeigen, dass die Wertfunktion durch eine mehrdimensionale BSRDE mit singulärer Endbedingung beschrieben werden kann. Wir weisen die Existenz einer Lösung dieser BSRDE nach und zeigen, dass diese durch eine Folge von Lösungen von BSRDEs mit endlicher und wachsender Endbedingung approximiert werden kann. Eine neue a priori-Abschätzung für die approximierenden BSRDEs wird für den Nachweis hergeleitet. Das zweite Kapitel betrachtet ein Portfolioliquidierungsproblem mit unbeschränkten Kostenkoeffizienten. Wir weisen die Existenz einer eindeutigen nichtnegativen Viskositätslösung der HJB-Gleichung nach. Das Existenzresultat basiert auf einem neuartigen Vergleichsprinzip für semi-stetige Viskositätssub-/-superlösungen für singuläre PDEs. Stetigkeit der Viskositätslösung ist hinreichend für das Verifikationsargument. Im dritten Kapitel untersuchen wir ein optimales Liquidierungsproblem unter Mehrdeutigkeit der Parameter des Preiseinflusses. In diesem Fall kann die Wertfunktion durch die Lösung einer semilinearen PDE mit superlinearem Gradienten beschrieben werden. Zuerst zeigen wir die Existenz einer Viskositätslösung indem wir unser Vergleichsprinzip für singuläre PDEs erweitern. Sodann weisen wir die Regularität mit einer asymptotischen Entwicklung der Lösung am Endzeitpunkt nach.
This dissertation analyzes BSDEs and PDEs with singular terminal condition arising in models of optimal portfolio liquidation. Portfolio liquidation problems have received considerable attention in the financial mathematics literature in recent years. Their main characteristic is the singular terminal condition of the value function induced by the liquidation constraint, which translates into a singular terminal state constraint on the associated BSDE or PDE. The dissertation consists of three chapters. The first chapter analyzes a multi-asset portfolio liquidation problem with instantaneous and persistent price impact and stochastic resilience. We show that the value function can be described by a multi-dimensional BSRDE with a singular terminal condition. We prove the existence of a solution to this BSRDE and show that it can be approximated by a sequence of the solutions to BSRDEs with finite increasing terminal condition. A novel a priori estimate for the approximating BSRDEs is established for the verification argument. The second chapter considers a portfolio liquidation problem with unbounded cost coefficients. We establish the existence of a unique nonnegative continuous viscosity solution to the HJB equation. The existence result is based on a novel comparison principle for semi-continuous viscosity sub-/supersolutions for singular PDEs. Continuity of the viscosity solution is enough to carry out the verification argument. The third chapter studies an optimal liquidation problem under ambiguity with respect to price impact parameters. In this case the value function can be characterized by the solution to a semilinear PDE with superlinear gradient. We first prove the existence of a solution in the viscosity sense by extending our comparison principle for singular PDEs. Higher regularity is then established using an asymptotic expansion of the solution at the terminal time.

In this thesis we treat the first singular perturbation problem of a stochastic model with unbounded and controlled fast variables with success. Our methods are based on the theory of viscosity solutions, homogenisation of fully nonlinear PDEs and a careful analysis of the associated ergodic stochastic control problem in the whole space R^m. The text is divided in two parts. In the first chapter, we investigate the existence and uniqueness as well as a suitable stability of the solution to the associated ergodic problem that are crucial to characterize the effective Hamiltonian of the limit (effective) Cauchy problem in Chapter II of this thesis. The main achievement obtained in this part is a purely analytical proof for the uniqueness of solution to such ergodic problem. Since the state space of the problem is not compact, in general there are infinitely many solutions to the ergodic problem. However, if one restrict the class of solutions to the set of bounded-below functions, then it is known that uniqueness holds up to an additive constant. The existing proof relies on some probabilistic techniques employing the invariant probability measure for the associated stochastic process. Here we give a new proof, purely analytic, based on the strong maximum principle. We believe that our results can be interesting and useful for researchers in the PDE community. In the second chapter, we introduce our singular perturbation model of a stochastic control problem and we prove our main result: the convergence of the value function $V^\epsilon$ associated to the problem to the solution of the limiting equation. More precisely, we prove that the functions \underline{V} (t,x):=\liminf_{(\epsilon,t',x') \to (0,t,x)} \inf_{y \in \mathbb{R}^m} V^\epsilon (t',x',y) and \bar{V} (t,x) :=(\sup_{R} \bar{V}_R)^* (t,x) \text{ (upper semi-continuous envelope of $\sup_{R} \bar{V}_R$ )} where $\bar{V}_{R} (t,x):=\limsup_{(\epsilon, t',x') \to (0,t,x)} \sup_{y \in B_R (0)} V^\epsilon (t',x',y)$, are, respectively, a super and a subsolution of the effective Cauchy problem. As a corollary of this result, $V^\epsilon$ converges to the unique solution $V$ of the effective equation provided the equation admits the comparison principle for discontinuous viscosity solutions. The justification of this convergence is not trivial at all. It especially involves some regularity issues and a careful treatment of viscosity techniques and stochastic analysis. This result has never been obtained before.
In questa tesi viene trattato con successo il primo problema di perturbazione singolare di un modello stocastico con variabili veloci controllate e non limitate. I metodi si basano sulla teoria delle soluzioni di viscosità, omogeinizzazione dei PDE completamente non lineari, e su un'attenta analisi del problema stocastico ergodico associato, valido nell'intero spazio R^m. Il testo è diviso in due parti. Nel primo capitolo, saranno studiate l'esistenza, l'unicità e alcune proprietà di stabilità della soluzione del problema ergodico, riferito sopra, che sono essenziali per caratterizzare il Hamiltoniano effettivo che appare in un Problema di Cauchy "limite", che sarà descritto nel capitolo II di questa tesi. Il principale contributo, presentato in questa parte, è una prova puramente analitica dell'unicità della soluzione di questo problema ergodico. Siccome lo stato dello spazio del problema non è compatto, in generale ci sono un numero infinito di soluzioni a questo problema. Tuttavia, se uno limitasse la classe di soluzioni all'insieme di funzioni limitate inferiormente, allora è noto che l'unicità sarà mantenuta a meno di una costante. La prova esistente si basa su alcune tecniche probabilistiche che impiegano la misura di probabilità invariante per l'associato processo stocastico. Qua verrà data una nuova prova, puramente analitica, basata sul principio del massimo. Si ritiene che il risultato potrà essere interessante ed utile per i ricercatori che lavorano all'interno della comunità di ricerca delle Equazioni Differenziali alle derivate Parziali (PDE). Nel secondo capitolo, sarà introdotto un modello di perturbazione singolare di un problema di controllo stocastico, e provato il risultato principale: la convergenza della funzione valore $V^\epsilon$, associata al nostro problema, per soluzione dell'equazione limite. Più precisamente, sarà provato che le funzioni: \underline{V} (t,x):=\liminf_{(\epsilon,t',x') \to (0,t,x)} \inf_{y \in \mathbb{R}^m} V^\epsilon (t',x',y) e \bar{V} (t,x) :=(\sup_{R} \bar{V}_R)^* (t,x) \text{ (upper semi-continuous envelope of $\sup_{R} \bar{V}_R$ )} dove $\bar{V}_{R} (t,x):=\limsup_{(\epsilon, t',x') \to (0,t,x)} \sup_{y \in B_R (0)} V^\epsilon (t',x',y)$, sono, rispettivamente, una super soluzione e una sottosoluzione del problema effettivo di Cauchy. Come corollario di questo risultato, $V^\epsilon$ converge all'unica soluzione V della equazione effettiva se l'equazione limite permette il principio di comparazione per le soluzioni di viscosità discontinue. La motivazione di questa convergenza non è ovvia del tutto. Coinvolge specialmente alcuni problemi di regolarità e un trattamento attento delle tecniche di viscosità e di analisi stocastica. Questo risultato è nuovo e non è mai stato ottenuto, prima d'ora, nella letteratura Matematica.

Cette thèse concerne la simulation et la commande d'un biofiltre de dénitrification. Selon que l'on considère ou que l'on néglige la diffusion, des modèles d'EDP paraboliques ou hyperboliques sont considérés. En plus des classiques méthodes des lignes, des approches spécifiques au type d'EDP sont évaluées pour simuler le système. La méthode des caractéristiques s'applique aux systèmes d'EDP hyperboliques. L'analyse modale utilisée pour les systèmes d'EDP paraboliques permet de manipuler un système d'ordre réduit. L'objectif de commande est alors de réduire la concentration en azote en sortie du réacteur sous une certaine limite, en dépit des perturbations externes et des incertitudes du modèle. Deux stratégies de commande sont considérées. Une approche "early lumping" permet la synthèse d'une loi de commande linéaire H2 de type retour de sortie avec observateur. Une approche "late lumping" associe une loi de commande linéarisante un observateur à paramètres distribués.

Cette thèse s'intéresse aux équations différentielles stochastiques de type McKean(EDS) et à leur utilisation pour représenter des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires. Ces équations ne dépendent pas seulement du temps et de la position d'une certaine particule mais également de sa loi. En particulier nous traitons le cas inhabituel de la représentation d'EDP de type Fokker-Planck avec condition terminale fixée. Nous discutons existence et unicité pour ces EDP et de leur représentation sous la forme d'une EDS de type McKean, dont l'unique solutioncorrespond à la dynamique du retourné dans le temps d'un processus de diffusion.Nous introduisons la notion de représentation complètement non-linéaire d'une EDP semilinéaire. Celle-ci consiste dans le couplage d'une EDS rétrograde et d'un processus solution d'une EDS évoluant de manière rétrograde dans le temps. Nous discutons également une application à la représentation d'une équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) en contrôle stochastique. Sur cette base, nous proposonsun algorithme de Monte-Carlo pour résoudre des problèmes de contrôle. Celui ciest avantageux en termes d'efficience calculatoire et de mémoire, en comparaisonavec les approches traditionnelles progressive rétrograde. Nous appliquons cette méthode dans le contexte de la gestion de la demande dans les réseaux électriques. Pour finir, nous faisons le point sur l'utilisation d'EDS de type McKean généralisées pour représenter des EDP non-linéaires et non-conservatives plus générales que Fokker-Planck
This thesis concerns McKean Stochastic Differential Equations (SDEs) to representpossibly non-linear Partial Differential Equations (PDEs). Those depend not onlyon the time and position of a given particle, but also on its probability law. In particular, we treat the unusual case of Fokker-Planck type PDEs with prescribed final data. We discuss existence and uniqueness for those equations and provide a probabilistic representation in the form of McKean type equation, whose unique solution corresponds to the time-reversal dynamics of a diffusion process.We introduce the notion of fully backward representation of a semilinear PDE: thatconsists in fact in the coupling of a classical Backward SDE with an underlying processevolving backwardly in time. We also discuss an application to the representationof Hamilton-Jacobi-Bellman Equation (HJB) in stochastic control. Based on this, we propose a Monte-Carlo algorithm to solve some control problems which has advantages in terms of computational efficiency and memory whencompared to traditional forward-backward approaches. We apply this method in the context of demand side management problems occurring in power systems. Finally, we survey the use of generalized McKean SDEs to represent non-linear and non-conservative extensions of Fokker-Planck type PDEs

Matrix Lyapunov and Riccati equations are an important tool in mathematical systems theory. They are the key ingredients in balancing based model order reduction techniques and linear quadratic regulator problems. For small and moderately sized problems these equations are solved by techniques with at least cubic complexity which prohibits their usage in large scale applications. Around the year 2000 solvers for large scale problems have been introduced. The basic idea there is to compute a low rank decomposition of the quadratic and dense solution matrix and in turn reduce the memory and computational complexity of the algorithms. In this thesis efficiency enhancing techniques for the low rank alternating directions implicit iteration based solution of large scale matrix equations are introduced and discussed. Also the applicability in the context of real world systems is demonstrated. The thesis is structured in seven central chapters. After the introduction chapter 2 introduces the basic concepts and notations needed as fundamental tools for the remainder of the thesis. The next chapter then introduces a collection of test examples spanning from easily scalable academic test systems to badly conditioned technical applications which are used to demonstrate the features of the solvers. Chapter four and five describe the basic solvers and the modifications taken to make them applicable to an even larger class of problems. The following two chapters treat the application of the solvers in the context of model order reduction and linear quadratic optimal control of PDEs. The final chapter then presents the extensive numerical testing undertaken with the solvers proposed in the prior chapters. Some conclusions and an appendix complete the thesis.

Heart failure is a global epidemic. 50% of patients die within 5 years of diagnosis and 30–50% will be of sudden death due to an arrhythmia. New medicines for heart failure are urgently required. This thesis used explanted hearts from patients with heart failure undergoing heart transplantation to investigate the cause of dangerous ventricular arrhythmias. It was found that both noradrenaline and adrenaline through activation of β1- and β2-adrenoceptors caused arrhythmias which could be controlled by enzymes called phosphodiesterases. These enzymes provide a novel target for future medicines to reduce the risk of arrhythmias in patients with heart failure.

Les problèmes de contrôle stochastique optimal à horizon fini forment une classe de problèmes de contrôle optimal où interviennent des processus stochastiques considérés sur un intervalle de temps borné. Tout comme beaucoup de problème de contrôle optimal, ces problèmes sont résolus en utilisant le principe de la programmation dynamique qui induit une équation aux dérivées partielles (EDP) appelée équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Les méthodes basées sur la discrétisation de l’espace sous forme de grille, les méthodes probabilistes ou plus récemment les méthodes max-plus peuvent alors être utilisées pour résoudre cette équation. Cependant, le premier type de méthode est mis en défaut quand un espace à dimension grande est considéré à cause de la malédiction de la dimension tandis que le deuxième type de méthode ne permettait jusqu'ici que de résoudre des problèmes où la non linéarité de l'équation aux dérivées partielles par rapport à la Hessienne n'est pas trop forte. Quant au troisième type de méthode, il entraine une explosion de la complexité de la fonction valeur. Nous introduisons dans cette thèse deux nouveaux schémas probabilistes permettant d'agrandir la classe des problèmes pouvant être résolus par les méthodes probabilistes. L'une est adaptée aux EDP à coefficients bornés tandis que l'autre peut être appliqué aux EDP à coefficients bornés ou non bornés. Nous prouvons la convergence des deux schémas probabilistes et obtenons des estimées de l'erreur de convergence dans le cas d'EDP à coefficients bornés. Nous donnons également quelques résultats sur le comportement du deuxième schéma dans le cas d'EDP à coefficients non bornés. Ensuite, nous introduisons une méthode complètement nouvelle pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique optimal à horizon fini que nous appelons la méthode max-plus probabiliste. Elle permet d'utiliser le caractère non linéaire des méthodes max-plus dans un contexte probabiliste tout en contrôlant la complexité de la fonction valeur. Une application au calcul du prix de sur-réplication d'une option dans un modèle de corrélation incertaine est donnée dans le cas d’un espace à dimension 2 et 5
Stochastic optimal control problems with finite horizon are a class of optimal control problems where intervene stochastic processes in a bounded time. As many optimal control problems, they are often solved using a dynamic programming approach which results in a second order Partial Differential Equation (PDE) called the Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Grid-based methods, probabilistic methods or more recently max-plus methods can be used then to solve this PDE. However, the first type of methods default in a space of high dimension because of the curse of dimensionality while the second type of methods allowed till now to solve only problems where the nonlinearity of the PDE with respect to the second order derivatives is not very high. As for the third type of method, it results in an explosion of the complexity of the value function. We introduce two new probabilistic schemes in order to enlarge the class of problems that can be solved with probabilistic methods. One is adapted to PDE with bounded coefficients while the other can be applied to PDE with bounded or unbounded coefficients. We prove the convergence of the two probabilistic scheme and obtain error estimates in the case of a PDE with bounded coefficients. We also give some results about the behavior of the second probabilistic scheme in the case of a PDE with unbounded coefficients. After that, we introduce a completely new type of method to solve stochastic optimal control problems with finite horizon that we call the max-plus probabilistic method. It allows to add the non linearity feature of max-plus methods to a probabilistic method while controlling the complexity of the value function. An application to the computation of the optimal super replication price of an option in an uncertain correlation model is given in a 5 dimensional space

Thesis (Ph. D.)--Aerospace Engineering, Georgia Institute of Technology, 2008.
Committee Chair: Tsiotras, Panagiotis; Committee Member: Calise, Anthony J.; Committee Member: Egerstedt, Magnus; Committee Member: Prasad, J. V. R.; Committee Member: Russell, Ryan P.; Committee Member: Zhou, Hao-Min.

Cette thèse porte sur la synthèse de contrôleurs robustes par retour de sortie pour des systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP) hyperboliques interconnectés en une structure de chaine. Nous proposons des solutions innovantes basées sur la méthode de backstepping et exploitant les liens entre systèmes d'EDP hyperboliques et systèmes à retard de type neutre présentés en Partie I. Nous étudions ici deux configurations d'actionnement de structures en chaîne. Tout d'abord, nous examinons le cas où l'actionnement est disponible à une extrémité (Partie II) pour deux différents réseaux (ODE-EDP-ODE et N EDPs-ODE). Ces structures peuvent modéliser des systèmes de forage. Ensuite, nous considérons une chaîne simple où l'actionnement est disponible au niveau de la jonction (Partie III). Sa stabilisation nécessite une transformation intégrale plus générale. Enfin, nous explorons les aspects négligés des contrôleurs basés sur la méthode de backstepping (Partie IV), tels que le choix d'un système cible atteignable avec des propriétés de stabilité spécifiques, ou la réduction du temps de calcul par des techniques d'apprentissage automatique
This thesis focuses on designing robust output-feedback backstepping-based controllers for hyperbolic partial differential equation (PDE) systems interconnected in a chain structure. We take advantage of connections between the class of hyperbolic PDE systems under consideration and time-delay systems of the neutral type presented in Part I. Then, we focus on two classes of chain structures. First, we consider the case where the actuation is available at one end (Part II) for two different networks (ODE-PDE-ODE and arbitrarily many N PDEs-ODE). Such chain structures can be found in drilling applications. Next, we consider a simple chain of two hyperbolic PDE subsystems where the actuation is available at the junction (Part III). A more general integral transform is necessary for its stabilization. Finally, we explore controller design tuning and implementation limitations of backstepping-based controllers (Part IV). We question the choice of a reachable target system with specific stability properties. Additionally, we examine the potential of machine learning techniques to improve computation time in distributed state and parameter estimation

Cette thèse présente des algorithmes permettant la parallélisation dans la direction temporelle de la simulation des systèmes régis par des équations aux dérivées partielles issues de trois domaines d'application proposant des modèles complexes: \textbf{1. Contrôle optimal d'équations paraboliques:}\\ Nous développons deux algorithmes parallèles (SITPOC et PITPOC). Ces deux algorithmes sont basés sur une méthode générale de décomposition en temps des problèmes de contrôle optimal. Un résultat de convergence est obtenu pour SITPOC ainsi que des interprétations matricielles des deux algorithmes. \textbf{2. Cinétique de la population de neutrons dans un réacteur nucléaire:}\\ Nous concevons un solveur parallélisé en temps regroupant toutes les variables issues de la modélisation neutronique d'un réacteur. Notre méthode est adaptée aux différents scénarios possibles réduisant la physique. Les résultats numériques sont comparables à ceux obtenus par le code MINOS du CEA. La parallélisation repose sur un schéma de type pararéel pour la résolution en temps. Nous considérons plusieurs modèles physiques de la cinétique des neutrons que nous traitons par notre algorithme dans lequel le solveur grossier utilisé correspond à une simulation par réduction du modèle physique. Cette réduction est bénéfique puisqu'elle permet une accélération importante du traitement en temps machine. \textbf{3. Contrôle par résonance magnétique nucléaire et information quantique:}\\ Ce chapitre présente un travail d'ouverture sur une méthode parallèle en temps pour la résolution d'un problème de contrôle optimal en résonance magnétique nucléaire. Notre méthode produit une accélération importante par rapport à l'algorithme de référence non parallèle. De plus, les champs de contrôle calculés par notre méthode sont lisses, ce qui permet une mise en œuvre expérimentale plus simple dans les instruments. Les tests numériques prouvent l'efficacité de notre approche. Sur des exemples académiques et sans faire usage de techniques de programmation avancées, nous obtenons des accélérations de résolution significatives.

Los receptores β-adrenérgicos (βAR) y de serotonina (5-HT4) median sus efectos en tejidos cardiacos a través de la ruta receptor-Gs-AC-AMPc. Las fosfodiesterasas (PDE) son una amplia familia de enzimas cuya función es la degradación del AMPc. Se desconocía que isoenzimas de PDEs son responsables de la hidrólisis de AMPc en las diferentes regiones cardiacas. El objetivo de esta tesis doctoral es investigar que isoenzimas de PDEs tienen actividad en el miocardio humano, porcino y de roedores. Se han realizado estudios cronotrópicos, inotrópicos, lusitrópicos, bioquímicos y electrofisiológicos. Los principales resultados son: Las PDEs se comportan de manera distinta en las diferentes regiones cardiacas y compartimentos celulares; y La frecuencia basal de nódulo sinusal está controlada por PDEs pero en ninguna especie estudiada las PDEs controlan la taquicardia causada por los βARs y los receptores 5-HT4. La extrapolación de la función de las PDEs al humano debe h acerse con cautela.
Myocardial β-adrenoceptors (βAR) and serotonin receptors (5-HT4) mediate their signals through the receptor-Gs-AC-cAMP pathway. Phosphodiesterases (PDEs) are a large enzyme family that degrade cAMP. It was unknown which PDE isoenzymes are responsible for the hydrolysis of the cAMP in different cardiac regions. The aim of this doctoral thesis is to investigate which isoenzymes have a role in human, porcine and rodent myocardium. We performed chronotropic, inotropic, lusitropic, biochemical and electrophysiological studies. The key results are: PDEs have different roles in different cardiac regions and cellular compartments; and the basal beating rate of the sinoatrial node is controlled by PDE3 and/or PDE4, but these PDEs do not limit the tachycardia mediated through the stimulation of β1AR, β2AR and 5-HT4. Given the diverse roles of PDE3 and PDE4 and their dependence on species, extrapolation to humans should be done cautiously because these animal models usually do not reflect the human myocardium.

Peer data management system (PDMS) is a decentralized system, in which each peer is autonomous and has its own schema and database. With the help of pairwise schema mapping built between any two relevant peers, a query at one peer can be rewritten and broadcast to the whole PDMS. Then answers from multiple peers are returned to the querying peer. In our thesis, we exploit the access control issues in the query-answering process of the XML PDMS. We propose a formal syntax for access control policy (ACP) to specify the fine-grained access control privileges on peers' local XML database. We also design several query-answering algorithms that aim to handle access control in the PDMS, define the algorithm properties of Information Leakage Free and Completeness, and analyze every designed query-answering algorithm on the two properties. A comprehensive cost model, which consists of the major tasks and primitive operations, is proposed by us to assess the query-answering algorithms. We implement the designed query-answering algorithms, compare their running time, and test the scalability in different facets.
Science, Faculty of
Computer Science, Department of
Graduate

Ce mémoire présente les travaux réalisés au cours de ma thèse sur le contrôle d'équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'équations de Schrödinger bilinéaires unidimensionnelles autour de deux axes : la non contrôlabilité en temps petit avec des contrôles petits et la contrôlabilité simultanée. On établit un cadre pour lequel, bien que la vitesse de propagation du système soit infinie, la contrôlabilité exacte locale avec des contrôles petits est vérifiée si et seulement si le temps est suffisamment grand. Ces résultats, basés sur la coercivité d'une forme quadratique associée au développement de l'état à l'ordre deux, sont étendus dans le contexte de la contrôlabilité simultanée. On montre alors, en utilisant la méthode du retour de J.-M.~Coron, des résultats de contrôle exact local simultané pour deux ou trois équations, à phase globale et/ou à retard global près. La trajectoire de référence utilisée est construite via des résultats de contrôle partiel. En utilisant un argument de perturbation, on étend cette idée pour montrer la contrôlabilité exacte globale d'un nombre quelconque d'équations sans hypothèse sur le potentiel. Dans la deuxième partie, on prend en compte dans le modèle un terme supplémentaire quadratique en le contrôle. Ce terme, dit de polarisabilité, généralement négligé, présente un intérêt physique dans la modélisation, mais aussi mathématique dans le cas où le terme bilinéaire est insuffisant pour conclure à la contrôlabilité. En dimension quelconque, on construit des contrôles explicites réalisant la contrôlabilité approchée de l'état fondamental. En adaptant conjointement l'argument de perturbation précédent et certains résultats du contrôle bilinéaire, on prouve la contrôlabilité globale exacte de l'équation de Schrödinger avec polarisabilité 1D. La dernière partie de ce mémoire est consacrée à l'étude de la continuation unique pour un opérateur de type Grushin sur un rectangle 2D. Cet opérateur présente une singularité et une dégénérescence sur un segment séparant le domaine en deux composantes. On donne une condition nécessaire et suffisante sur le coefficient du potentiel singulier pour obtenir la continuation unique.

Dans un grand nombre d'applications modernes, on est amené à estimer l'état initial (ou final) d'un système infini-dimensionnel (typiquement un système gouverné par une Équation aux Dérivées Partielles (EDP) d'évolution) à partir de la connaissance partielle du système sur un intervalle de temps limité. Un champ d'applications dans lequel apparaît fréquemment ce type de problème d'identification est celui de la médecine. Ainsi, la détection de tumeurs par tomographie thermo-acoustique peut se ramener à des problèmes de reconstruction de données initiales. D'autres méthodes nécessitent l'identification d'un terme source, qui, sous certaines hypothèses, peut également se réécrire sous la forme d'un problème de reconstruction de données initiales. On s'intéresse dans cette thèse à la reconstruction de la donnée initiale d'un système d'évolution, en travaillant autant que possible sur le système infini-dimensionnel, à l'aide du nouvel algorithme développé par Ramdani, Tucsnak et Weiss (Automatica 2010). Nous abordons en particulier l'analyse numérique de l'algorithme dans le cadre des équations de Schrödinger et des ondes avec observation interne. Nous étudions les espaces fonctionnels adéquats pour son utilisation dans les équations de Maxwell, avec observations interne et frontière. Enfin, nous tentons d'étendre le cadre d'application de cet algorithme lorsque le système initial est perturbé ou que le problème inverse n'est plus bien posé, avec application à la tomographie thermo-acoustique.

This thesis is devoted to the mathematical analysis of models describing the energy of defects in crystalline solids via variational methods. The first part of this work studies a discrete model describing the energy of a point defect in a one dimensional chain of atoms. We derive an expansion of the ground state energy using Gamma-convergence, following previous work on similar models [BDMG99,BC07,SSZ11]. The main novelty here is an explicit characterisation of the first order limit as the solution of a variational problem in an infinite lattice. Analysing this variational problem, we prove a regularity result for the perturbation caused by the defect, and demonstrate the order of the next term in the expansion. The second main topic is a discrete model describing screw dislocations in body centred cubic crystals. We formulate an anti plane lattice model which describes the energy difference between deformations and, using the framework defined in [AO05], provide a kinematic description of the Burgers vector, which is a key geometric quantity used to describe dislocations. Apart from the anti plane restriction, this model is invariant under all the natural symmetries of the lattice and in particular allows for the creation and annihilation of dislocations. The energy difference formulation enables us to provide a clear definition of what it means to be a stable deformation. The main results of the analysis of this model are then first, a proof that deformations with unit net Burgers vector exist as globally stable states in an infinite body, and second, that deformations containing multiple screw dislocations exist as locally stable states in both infinite bodies and finite convex bodies. To prove the former result, we establish coercivity with respect to the elastic strain, and exploit a concentration compactness principle. In the latter case, we use a form of the inverse function theorem, proving careful estimates on the residual and stability of an ansatz which combines continuum linear elasticity theory with an atomistic core correction.

Les modèles mathématiques sont importants pour la compréhension de la dynamique de l'atmosphère et de l'océan. Mais si ils étaient notre seule source d'information aucune prévision ne serait possible faute, notamment au manque de la connaissance d'une condition initiale cohérente. On dispose également d'observations de ces systèmes en nombre de plus en plus important, notamment grâce aux nombreux satellites d'observation qui croisent maintenant au large de notre planète. Ces observations sont souvent indirectes et incomplètes, et de ce fait ne fournissent pas non plus, à elles seules, une connaissance approfondie de l'état du milieu considéré. Et pour finir, on dispose de statistiques sur les champs des variables atmosphériques, leur variabilité, leur cohérence en temps et en espace. Je présente donc, dans ce document, des méthodes permettant de combiner tout ou partie de ces informations afin d'améliorer la prévision et la connaissance du fonctionnement de ces systèmes. Ces méthodes se basent le plus souvent sur une théorie mathématique solide, mais les appliquer dans un contexte réaliste n'est pas toujours chose aisée. C'est pourquoi on gardera le souci d'accompagner les développements que nous effectuons jusqu'à des applications opérationnelles ou quasi opérationnelles afin de démontrer la faisabilité de ceux ci.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution de problèmes inverses provenant d'une modélisation multi-échelle de l'écoulement de l'air dans les poumons. Dans un premier temps, nous considérons une version simplifiée du modèle de l'écoulement de l'air dans les poumons : l'écoulement est modélisé par les équations de Stokes incompressibles avec des conditions aux limites de type Robin sur une partie du bord. Nous cherchons à identifier le coefficient de Robin défini sur une partie non accessible du bord à partir de mesures de la vitesse et de la pression disponibles sur une autre partie du bord. Après avoir quantifié des résultats de continuation unique pour le système de Stokes, nous établissons deux inégalités de stabilité logarithmiques, l'une valable en dimension 2 et l'autre valable en toute dimension. Toutes deux sont basées sur des inégalités de Carleman, globale dans le premier cas et locales dans le second. Les inégalités de stabilité sont d'abord montrées sur le problème stationnaire puis la théorie des semi-groupes permet de passer au problème non stationnaire. De plus, sous l'hypothèse a priori que le coefficient de Robin est constant par morceaux, nous prouvons une inégalité de stabilité Lipschitzienne pour le problème stationnaire. Nous concluons cette thèse en revenant au problème initial pour lequel nous imposons des conditions au bord non-standard faisant intervenir le flux. En particulier, nous obtenons des premiers résultats numériques encourageants concernant l'identification de certains paramètres du modèle.

Dans cette thèse, on a surtout étudié le caractère bien posé pour des équations aux dérivées partielles et des problèmes de contrôle optimal. On a étudié les problèmes de Cauchy associés à des lois de conservation hyperboliques avec des vitesses non locales, pour un modèle 1D (système de fabrication industrielle), puis 2D (processus de sélection folliculaire). Dans les deux cas, on montre l'existence et l'unicité de solutions des problèmes de Cauchy, en utilisant le théorème du point fixe de Banach. On a étudié par la suite des problèmes de contrôle optimal, d'abord sur le modèle 2D, puis sur un modèle basé sur des équations differentielles ordinaires (amplification de protéines mal repliées). Dans le premier modèle, on montre que les contrôles optimaux sont bang-bang avec un seul instant de commutation. Dans le second modèle, les contrôles optimaux sont relaxés, nous déterminons leur positionnement dans l'espace des contrôles admissibles.

In this Thesis, the problem of controlling and Observing some classes of distributed parameter systems is addressed. The particularity of this work is to consider partial differential equations (PDE) under the effect of external unknown disturbances. We consider generalized forms of two popular parabolic and hyperbolic infinite dimensional dynamics, the heat and wave equations. Sliding-mode control is used to achieve the control goals, exploiting the robustness properties of this robust control technique against persistent disturbances and parameter uncertainties.

L'objectif principal de cette thèse est de concevoir une méthode d'optimisation de structures qui jouit d'une description exacte (i.e. au moyen d'un maillage) de la forme à chaque itération du processus, tout en bénéficiant des avantages de la méthode des lignes de niveaux lorsqu'il s'agit de suivre leur évolution. Indépendamment, on étudie également deux problèmes de modélisation en optimisation structurale. Dans une première partie bibliographique, on présente quelques notions classiques, ainsi qu'un état de l'art sommaire autour des trois thématiques principales de la thèse - méthode des lignes de niveaux (Chapitre 1), optimisation de formes (Chapitre 2) et maillage (Chapitre 3). La seconde partie de ce manuscrit traite de deux questions en optimisation de formes, celle de la répartition optimale de plusieurs matériaux au sein d'une structure donnée (Chapitre 4), et celle de l'optimisation robuste de fonctions dépendant du domaine lorsque des perturbations s'exercent sur le modèle (Chapitre 5). Dans une troisième partie, on étudie la conception de schémas numériques en lien avec la méthode des lignes de niveaux lorsque le maillage de calcul est simplicial (et potentiellement adapté). Le calcul de la distance signée à un domaine est étudié dans le chapitre 6, et la résolution de l'équation de transport d'une fonction 'level set' est détaillée dans le chapitre 7. La quatrième partie (Chapitre 8) traite des aspects de la thèse liés à la modification locale de maillages surfaciques et volumiques. Enfin, la dernière partie (Chapitre 9) détaille la stratégie conçue pour l'évolution de maillage en optimisation de formes, à partir des ingrédients des chapitres 6, 7 et 8.

Les équations des ondes et de Schrödinger modélisent une grande variété de phénomènes ondulatoires, tels que la propagation de la lumière, les vibrations d'un objet ou l'évolution temporelle d'une particule quantique. Dans ces modèles, l'asymptotique des hautes énergies peut être décrite par des équations de la mécanique classique, comme l'optique géométrique. Dans cette thèse, nous étudions plusieurs applications de la correspondance classique-quantique à des problèmes de contrôle des équations des ondes et de Schrödinger dans l'espace euclidien, en utilisant des méthodes d'analyse microlocale.Dans les deux premières parties, nous étudions l'équation des ondes amorties et l'équation de Schrödinger avec un potentiel confinant dans l'espace euclidien. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité uniforme pour la première, et d'observabilité pour la seconde. Ces conditions font intervenir la dynamique classique sous-jacente qui consiste en une optique géométrique tordue par la présence du potentiel.Nous analysons ensuite dans une troisième partie la correspondance classique-quantique dans un cadre général qui contient les deux problèmes mentionnés ci-dessus. Nous démontrons une version du théorème d'Egorov dans le formalisme des métriques sur l'espace des phases et du calcul de Weyl--Hörmander. On présente différents cadres d'application de ce théorème pour des équations de Schrödinger, de demi-ondes et de transport
Wave and Schrödinger equations model a variety of phenomena, such as propagation of light, vibrating structures or the time evolution of a quantum particle. In these models, the high-energy asymptotics can be approximated by classical mechanics, as geometric optics. In this thesis, we study several applications of this principle to control problems for wave and Schrödinger equations in the Euclidean space, using microlocal analysis.In the first two chapters, we study the damped wave equation and the Schrödinger equation with a confining potential in the euclidean space. We provide necessary and sufficient conditions for uniform stability in the first case, or observability in the second one. These conditions involve the underlying classical dynamics which consists in a distorted version of geometric optics, due to the presence of the potential.Then in the third part, we analyze the quantum-classical correspondence principle in a general setting that encompasses the two aforementioned problems. We prove a version of Egorov's theorem in the Weyl--Hörmander framework of metrics on the phase space. We provide with various examples of application of this theorem for Schrödinger, half-wave and transport equations

Ce mémoire comprend les chapitres : 1) Introduction 2) La généricité et les notions de "presque toujours" 3) Dynamique générique des équations paraboliques 4) Dissipativit é de l'équation des ondes amorties et application au contrôle global 5) Etude de fronts dans des EDP dissipatives

A primeira etapa do projeto foi realizar testes para usinagem controlada e otimizada de vidro ótico de borosilicato (BK7) por laser de femtossegundos. Parâmetros como energia, pulsos sobrepostos e a variação da posição focal foram investigados para controle da taxa de remoção do material e extensão da cratera ablacionada. Especial atenção foi dada à condição física e topográfica da superfície resultante da usinagem para torná-la menos rugosa e evitar a retenção de reagentes que possam contaminar e alterar as reações pretendidas. Microcanais, microválvulas, microbombas, misturadores, microrreatores, aquecedores e outros componentes foram desenvolvidos para compor sistemas microfluídicos. Os microcanais construídos sobre a superfície de vidro BK7 vedados por uma lâmina de polidimetilsiloxano (PDMS) são a base dos sistemas microfluídicos. O controle de fluxo de reagentes é feito por miniválvulas pneumáticas controladas por um microcontrolador Arduino através de uma plataforma Labview. Este trabalho mostra os componentes desenvolvidos e dois sistemas microfluídicos criados. O primeiro contém um circuito capaz de replicar ensaios imunoenzimáticos (ELISA) com um custo muito menor de insumos. O segundo é um sistema para a produção de nanocristais fluorescentes de NaYF4 especialmente utilizados como marcadores em imagens de sistemas biológicos.
The first stage of the project was to perform tests for controlled and optimized machining of borosilicate optical glass (BK7) by femtosecond laser. Parameters such as energy, number of overlapped pulses, and the focal position variation were investigated for a better extraction of material. Microchannels, microvalves, micropumps, mixers, reactors, heaters and other components were developed to compose applied microfluidic systems. Microchannels built on the surface of BK7 glass sealed by a polydimethylsiloxane (PDMS) sheet form the basis of the microfluidic circuits. The reagents flow control is done by pneumatic mini-valves controlled by an Arduino microcontroller through a Labview platform. This work shows the components developed and two microfluidic systems created. The first contains a microfluidic circuit capable of replicating enzyme-linked immunosorbent assays (ELISA) with a much lower cost of materials. The second has a microfluidic circuit for the production of NaYF4 fluorescent nanocrystals specially used as markers in images of biologic systems.

Ma recherche se situe dans le cadre de l'analyse harmonique et fonctionnelle avec des applications en théorie du contrôle. Le fil conducteur de mes travaux est le calcul fonctionnel ainsi que les estimations de fonctions carrées associées. Mes travaux concernent les thèmes ci-dessous : a) calcul fonctionnel H1 et estimations de fonctions carrées, b) applications des estimations de fonctions carrées au probl eme de Cauchy stochastique, c) résultats de perturbation pour des opérateurs (R) sectoriels, d) admissibilité et observabilité d'opérateurs de contrôle et d'observation, e) applications aux equations non-autonomes ou non-linéaires, en particulier aux équations de type Volterra et aux équations de Navier-Stokes, f) liens entre la théorie du contrôle et les mesures de Carleson.

Dans ce mémoire, une étude des conditions de contrôles d’écoulements aérodynamiques par des réseaux de générateurs de tourbillons fluidiques pulsés est menée pour établir un cahier des charges des micro-actionneurs instrumentés de faible coût, indispensables à la réalisation de ce type de contrôle actif à l’échelle industrielle. Une discussion des problématiques rencontrées dans la mise en place de ces dispositifs permet de définir des solutions techniques pertinentes. Une micro-valve encapsulée, constituée d’un canal micro-fluidique en silicium dont l’ouverture est contrôlée par un résonateur annulaire en PDMS, actionnée par différents dispositifs macroscopiques magnétiques, est alors modélisée, fabriquée et caractérisée. Le dispositif permet de générer des jets d’air pulsés complètement contrôlés jusqu’à des vitesses de 150m/s sur la gamme de fréquence [0 ; 500 Hz]. Des réseaux de ces micro-actionneurs polyvalents sont ensuite utilisés en soufflerie pour démontrer sur différents profils aérodynamiques classiques l’intérêt du contrôle par jet pulsé. Le recollement du flux d’air décollé est obtenu sur chacune de ces maquettes pour des conditions réalistes et avec un rendement fluidique supérieur à celui des jets continus.Un débitmètre massique composé d’un capteur de température, d’un capteur de frottement pariétal et d’un capteur de pression de type Pirani, réalisés dans le même procédé de fabrication, est intégré au micro-actionneur. Il permet de caractériser in-situ les jets d’air produits.Enfin un prototype répondant complètement au cahier des charges industriel est obtenu. Sa taille est minimisée par l’optimisation de l’actionneur grâce à un algorithme génétique
This thesis starts with a study of aerodynamic flow control conditions by arrays of pulsed fluidic vortex generators. Detailed specifications are synthesised for the conception of low cost, sensors equipped, micro-actuators required to manage industrial scale active flow control experiments. Devices implementation is discussed to define relevant technical solutions.A packaged micro valve is modelled, fabricated and characterized. It is composed of a micro fluidic channel modulated by an annular membrane resonator made of PDMS. The membrane is controlled by different kinds of magnetic actuation. Fully controlled pulsed air jets are obtained in the frequency range [0; 500 Hz] with velocities up to 150 m/s. Arrays of these micro actuators are used in wind tunnel experiments to demonstrate the ability of pulsed jet to manage control on a wide range of classical separated flows. Reattachment is achieved under industrial flow conditions with improved fluidic yield compared to continuous jets.A mass flow meter constituted of a thermal sensor, a shear flow sensor and a Pirani pressure sensor, all of them built in a single fabrication step, is integrated in the micro-actuator. It allows in-situ characterization of the produced air jets.Finally, a fully satisfying demonstrator is obtained. Its sized is minimized through the use of a genetic algorithm

Thesis (Ph. D.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Mechanical Engineering, 2010.
Cataloged from PDF version of thesis.
Includes bibliographical references (p. 147-151).
Polydimethylsiloxane (PDMS) is an important thermosetting elastomer for microfluidic devices because it can replicate nano-scale features and form flexible membranes useful for microactuation. PDMS is used extensively in research environments because it is readily available and biocompatible. However, the prototyping process is too slow for volume manufacturing. The dominant rate limiting step is curing, and high temperature cures used to speed the curing process have adverse effects on the shape of the parts produced. This thesis examines the PDMS cure process and presents a methodology to intelligently design faster cure processes without compromising the quality of parts produced. The first part of this thesis applies statistical mechanics to relate the time evolution of cure with the modulus of elasticity. This enables mechanical testing strategies to be used in situ to monitor the extent of cure, which is important to determine the critical gel point and quantify when the cure process is complete. The gel point describes when PDMS first transitions from a liquid to a solid, and is important for modeling shrinkage and warpage. A novel heated microindentation setup is designed to monitor curing of thin PDMS films, and experimentally validate the theory. The second part of this thesis presents a model for final PDMS shrinkage and warpage using the gel point. Gelation is spatially and temporally distributed, and temperature at the gel point has a direct impact on the shrinkage and warpage observed. The model is validated with experimental data. Since gel temperature is the only parameter to affect shrinkage and curvature, the cure process is accelerated after the gel point without affecting dimensional quality. Increasing the process temperature immediately following gelation is indeed shown to decrease the current cure process time by a factor of five, while maintaining comparable quality. Tolerances on shrinkage and curvature can be used with these models to determine the gel temperatures required, and design multi-temperature processes that speed the cure process.
by Eehern J. Wong.
Ph.D.

This thesis deals with the optimal control of PDEs. After a brief introduction in the theory of elliptic and parabolic PDEs, we introduce a software that solves systems of PDEs by the finite elements method. In the second chapter we derive optimality conditions in terms of function spaces, i.e. a systems of PDEs coupled by some pointwise relations. Now we present algorithms to solve the optimality systems numerically and present some numerical test cases. A further chapter deals with the so called lack of adjointness, an issue of gradient methods applied on parabolic optimal control problems. However, since optimal control problems lead to large numerical schemes, model reduction becomes popular. We analyze the proper orthogonal decomposition method and apply it to our model problems. Finally, we apply all considered techniques to a real world problem.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de type détection à l'aide du calcul de forme et de l'analyse asymptotique : l'objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes : peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d'une mesure effectuée à la surface du fluide ? Peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ? Peut-on connaître le nombre d'objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ? Pour répondre à ces questions, le problème inverse est analysé comme un problème d'optimisation en minimisant une fonctionnelle coût, la variable étant la forme inconnue. Deux différentes approches sont considérées dans ce travail : l'optimisation géométrique (à l'aide des dérivées de forme et du gradient de forme) et l'optimisation topologique (à l'aide d'un développement asymptotique et du "gradient" topologique). Dans un premier temps, un cadre mathématique est mis en place pour démontrer l'existence des dérivées de forme d'ordre un et deux pour les problèmes de détection d'inclusions. Le problème inverse considéré est ensuite analysé à l'aide de l'optimisation géométrique de forme : un résultat d'identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l'instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée. Ces résultats théoriques sont alors utilisés pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient régularisé par une méthode de projection. Enfin, la localisation de petites inclusions dans un fluide est étudiée à l'aide de l'optimisation topologique pour une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius. L'expression théorique de la dérivée topologique est finalement utilisée pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient topologique. Les limites effectives de cette approche sont explorées : la pénétration reste faible dans ce problème stationnaire.

Nous nous intéressons à l'imagerie d'un objet enfoui dans un milieu multi-couches inhomogène, avec des données ne contenant pas la phase. Nous résolvons un problème direct modèle de propagation des ondes dans un tel milieu, à l'aide de l'analyse asymptotique et des équations intégrales. Puis nous développons des algorithmes de reconstruction à base de dérivée topologique et des techniques de l'optimisation de forme.

In recent years, there has been an increasing interest in modeling crowd and evacuation dynamics. Pedestrian models are based on macroscopic or microscopic behavior. In this work, we are interested in developing models that can be used for evacuation control strategies. Hence, we use macroscopic modeling approach, where pedestrians are treated in an aggregate way and detailed interactions are overlooked. In this dissertation, we developed two-dimensional space crowd dynamic models to allow bi-directional low by modifying and enhancing various features of existing traffic and fluid dynamic models. In this work, four models based on continuum theory are developed, and conservation laws such as the continuity and momentum equations are used. The first model uses a single hyperbolic partial differential equation with a velocity-density relationship, while the other three models are systems of hyperbolic partial differential equations. For one of the system models presented, we show how it can be derived independently from a microscopic crowd model. The models are nonlinear, time-varying, hyperbolic partial differential equations, and the numerical simulation results given for the four macroscopic models were based on computational fluid dynamics schemes. We also started an initial control design that synthesizes the feedback linearization method for the one-dimensional traffic flow problem applied directly on the distributed parameter system. In addition, we suggest and discuss the information technology requirements for an evacuation system. This research was supported in part from the National Science Foundation through grant no. CMS-0428196 with Dr. S. C. Liu as the Program Director. This support is gratefully acknowledged. Any opinion, findings, and conclusions or recommendations expressed in this study are those of the writer and do not necessarily reflect the views of the National Science Foundation.
Ph. D.

Cette thèse présente une contribution originale à la compréhension et la maîtrise des mécanismes physico-chimiques qui contrôlent l’élaboration d’un nouveau matériau polymère biphasique de type Super-TPV (thermoplastique vulcanisé) contenant une phase réticulée par le procédé d’extrusion réactive. La phase caoutchoutique est constituée d’un Vinyl-Polydiméthylsiloxane (vinyl-PDMS) de haute masse molaire (gomme silicone) qui est réticiluée dynamiquement avec une matrice thermoplastique PA12 lors du procédé de mise en œuvre à l’état fondu (T200°C). Le premier des quatre chapitres de ce mémoire est consacré à une étude bibliographique des différents aspects fondamentaux de la réticulation radicalaire des silicones. Dans le chapitre 2, nous avons étudié le processus de réticulation radicalaire du PDMS en fonction de la température (T>160°C). Le peroxyde de dicumyle (DCP) a été utilisé comme amorceur de la réaction. L’effet de la température et de la concentration en DCP sur la cinétique de réticulation et les propriétés viscoélastiques finales du matériau ont été étudiées. Pour tenter de contrôler cette réaction de réticulation à ces températures élevées, le tétraméthylpipéridyloxyde (TEMPO) a été utilisé. Nous avons ainsi montré que le temps à la transition sol-gel viscoélastique augmente en fonction de la concentration de l’inhibiteur. La variation du rapport molaire DCP/TEMPO a permis de définir un rapport molaire optimal et ainsi de contrôler le temps d’inhibition et la densité de réticulation finale. Des études en RMN, DSC et TGA-MS ont montré que le mécanisme à l’origine de ce temps d’inhibition est le greffage des radicaux nitroxyles sur la chaine polymère silicone. Dans le chapitre 3, un modèle original a été développé avec succès pour décrire la rhéocinétique de la réticulation radicalaire contrôlée du PDMS. Cette modélisation est basée sur le couplage de la cinétique des macro-radicaux PDMS recombinés [Rcc(t)] et la variation des modules complexes de cisaillement (G'(t) et de G"(t)). Notre modèle rhéocinétique tient compte de la décomposition de l'initiateur (DCP) et des macro-radicaux PDMS piégés en présence d'un inhibiteur tel que le TEMPO. Finalement, dans le chapitre 4 ces études fondamentales ont été développées à l’élaboration d’un TPV basé sur la réticulation radicalire de la gomme silicone dans une matrice PA12. Nous avons alors montré que l'addition du TEMPO permet d’élaborer par un procédé dynamique un nouveau Super-TPV ayant une structure et une morphologie contrôlée.
The control of macromolecular structure has recently become an important topic of polymer science from both an academic and an industrial point of view. Indeed, free-radical crosslinking of Polydimethyl-vinylmethyl-siloxane (vinyl-PDMS) rubber by organic peroxide suffers from premature crosslinking at high temperatures, which is called scorching. Consequently, the basic aim of the investigations described in this thesis is to widen and explore the network topology–crosslinking kinetics relationships and find a novel way to control free-radical crosslinking chemistry and topological parameters of final PDMS networks. The work is primarily focused on the extensive study of the crosslinking control of PDMS rubber at high temperatures. A novel composition using 2,2,6,6-tetramethylpiperidinyloxyl (TEMPO) and dicumyl peroxide (DCP) for scorch delay and control of the final network topology of the PDMS has been proposed. The work specified in this thesis is therefore directed to find a proper [TEMPO]/[DCP] ratio provided the development of a new biphasic material such as PA12/PDMS blend type TPV (Thermoplastic Vulcanizated). For this purpose a new method based on the relationship between the kinetics of the macro-radicals coupling [Rcc(t)] was derived from a fundamental kinetic model and the viscoelastic changes of the complex shear modulus (G’(t) and G”(t)). The kinetic model takes into account the initiator (DCP) decomposition and the trapped PDMS macro-radicals in the presence of a radical scavenger such as TEMPO. As a main result, the rheological modelling shows that this new method accurately predicts the time variation of complex shear modulus at any temperature and [TEMPO]/[DCP] ratio. Interestingly, addition of TEMPO to the TPV novel composition provided the PA12/PDMS blend compatibilization in the dynamic process and gives a new material having a controlled structure and morphology. A better insight in understanding the blend composition and the morphology development relationships is aimed at.

Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité et son coût pour un certain nombre d'équations aux dérivées partielles linéaires ou non linéaires issues de la physique. La première partie de la thèse concerne la contrôlabilité à zéro de l'équation de Navier-Stokes tridimensionnelle avec conditions au bord de Dirichlet et contrôle interne distribué sur un sous-ouvert de domaine de définition n'agissant que sur une seule des trois équations. La preuve repose sur la méthode du retour ainsi que sur une méthode originale de résolution algébrique de systèmes différentiels inspirée de travaux de Gromov. La deuxième partie de la thèse concerne le coût du contrôle en temps petit ou en viscosité évanescente d'équations linéaires unidimensionnelles. Dans un premier temps, on montre que l'on peut, dans certains cas, faire un lien entre ces deux problèmes. Notamment il est possible d'obtenir des résultats de contrôlabilité uniforme de l'équation de transport-diffusion unidimensionnelle à coefficients constants contrôlée sur le bord gauche à l'aide de résultats déjà connus sur le contrôle de l'équation de la chaleur. Dans un second temps, on s'intéresse au coût du contrôle frontière en temps petit d'un certain nombre d'équations pour lesquelles l'opérateur spatial associé est autoadjoint ou anti-autoadjoint à résolvante compacte et ayant des valeurs propres se comportant de manière polynomiale, en utilisant la méthode des moments. On en déduit des résultats pour des équations de type Korteweg-de-Vries linéarisées, diffusion fractionnaire et Schrödinger fractionnaire.

We study numerical approximations for the payoff function of the stochastic optimal stopping and control problem. It is known that the payoff function of the optimal stopping and control problem corresponds to the solution of a normalized Bellman PDE. The principal aim of this thesis is to study the rate at which finite difference approximations, derived from the normalized Bellman PDE, converge to the payoff function of the optimal stopping and control problem. We do this by extending results of N.V. Krylov from the Bellman equation to the normalized Bellman equation. To our best knowledge, until recently, no results about the rate of convergence of finite difference approximations to Bellman equations have been known. A major breakthrough has been made by N. V. Krylov. He proved rate of rate of convergence of tau 1/4 + h 1/2 where tau and h are the step sizes in time and space respectively. We will use the known idea of randomized stopping to give a direct proof showing that optimal stopping and control problems can be rewritten as pure optimal control problems by introducing a new control parameter and by allowing the reward and discounting functions to be unbounded in the control parameter. We extend important results of N. V. Krylov on the numerical solutions to the Bellman equations to the normalized Bellman equations associated with the optimal stopping of controlled diffusion processes. We obtain the same rate of convergence of tau1/4 + h1/2. This rate of convergence holds for finite difference schemes defined on a grid on the whole space [0, T]×Rd i.e. on a grid with infinitely many elements. This leads to the study of localization error, which arises when restricting the finite difference approximations to a cylindrical domain. As an application of our results, we consider an optimal stopping problem from mathematical finance: the pricing of American put option on multiple assets. We prove the rate of convergence of tau1/4 + h1/2 for the finite difference approximations.

This dissertation studies hyperbolic partial differential equations for Conservation Laws motivated by traffic control problems. New traffic models for multi-directional flow in two dimensions are derived and their properties studied. Control models are proposed where the control variable is a multiplicative term in the flux function. Control models are also proposed for relaxation type systems of hyperbolic PDEs. Existence of optimal control for the case of constant controls is presented. Unbounded and bounded feedback control designs are proposed. These include advective, diffusive, and advective-diffusive controls. Existence result for the bounded advective control is derived. Performance of the relaxation model using bounded advective control is analyzed. Finally simulations using Godunov scheme are performed on unbounded and bounded feedback advective controls.
Ph. D.

La première partie de la thèse est dédiée à la contrôlabilité exacte globale de l'équation de Schrödinger bilinéaire (BSE).Nous montrons comment construire un voisinage de toute fonction propre du Laplacien Dirichlet où la contrôlabilité exacte locale est satisfaite à un temps explicit. Ensuite, pour tout couple de telles fonctions propres, nous étudions comment construire des contrôles et des temps tels que le flot de (BSE) envoie la première sur un voisinage de la seconde arbitrairement petit. Finalement, en regroupant les deux résultats précédents, nous définissons une dynamique entre états propres et nous fournissons un temps explicite requis pour atteindre l'état propre ciblé.Dans la deuxième partie, nous étudions la contrôlabilité exacte globale en projection d'une infinité d'équation de type (BSE) et nous prouvons la contrôlabilité exacte locale en projection à des termes dephases près pour tout temps positif. Dans la démonstration, nous adoptons différentes techniques provenant de la méthode du retour de Coron habituellement utilisée pour ces types de résultats. La principale nouveauté de ce travail est le fait que nous fournissons un ensemble de conditions en le champ de contrôle, impliquant la validité du résultat. Pour un champs de contrôle donné, nous pouvons vérifier si ces hypothèses sont satisfaites.La troisième partie du travail traite de la contrôlabilité de l'équation de Schrödinger bilinéaire (BSE) sur des graphiques compactes. Considérer (BSE) sur un telle structure est utile quand nous devons étudier la dynamique des paquets d'ondes sur un modèle de type graphes. Nous étudions les hypothèses sur le graphe et le champ de contrôle implique que (BSE) soit bien posée dans des espaces appropriés que nous caractérisons en utilisant les méthodes d'interpolation. Ensuite, nous fournissons la contrôlabilité exacte globale dans ces espaces en étudiant comment la structure du graphe et des conditions de bords affectent le résultat. Nous donnons également des exemples de graphes et de champ de contrôle, tels que les hypothèses spectrales de la contrôlabilité exacte globale soient vérifiées, par exemple les graphes en étoile, graphe dit « têtard » et graphe à double anneau. Enfin, quand nos hypothèses de la contrôlabilité exacte globale ne sont pas vérifiées, nous définissons une notion plus faible de contrôlabilité appelée « contrôlabilité énergétique » qui assure l'existence d'un ensemble d'états liés pour lesquels la contrôlabilité exacte est vérifiée. En d'autres termes, nous prouvons l'existence de niveaux d'énergie pour lesquelles il est possible de changer l'état du système. Cette technique permet de traiter un grand nombre de problèmes intéressants. En effet, pour des graphes complexes, il n'est pas possible de vérifier les hypothèses spectrales donnant la contrôlabilité exacte globale. Cependant, la contrôlabilité énergétique permet d'obtenir des résultats intéressants en regardant seulement des sous-graphes particuliers
The first part of the research is dedicated to the global exact controllability of the bilinear Schrödinger equation (BSE).We show how to construct a neighborhood of some eigenfunctions of the Dirichlet Laplacian where the local exact controllability is satisfied in a specific time. Then, for any couple of those eigenfunctions, we study how to construct controls and times such that the relative dynamics of (BSE) drives the first close to the second as much desired. Third, by gathering the two previous results, we define a dynamics steering eigenstates in eigenstates and we provide an explicit time required to reach the target.In the second part, we study the simultaneous global exact controllability in projection of infinitely many (BSE) and we prove the simultaneous local exact controllability in projection up to phases for any positive time. In the proof, we use different techniques from the Coron's return method usually adopted for those types of results. The main novelty of the work is the fact that it provides a set of conditions implying the validity of the result. Given any control field, one can verify if those assumptions are satisfied.The third part of the work treats the controllability of the bilinear Schrödinger equation (BSE) on compact graph. Considering (BSE) on such a complex structure is useful when one has to study the dynamics of wave packets on graph type model. We investigate assumptions on the graph and on the control field implying the well-posedness of (BSE) in suitable spaces that we characterize by providing peculiar interpolation features.Then, we provide the global exact controllability in those spaces by studying how the structure of the graph and the boundary conditions affect the result. We also provide examples of graphs and control fields so that the spectral assumptions of the global exact controllability are satisfied, e.g. star graphs, tadpole graphs and double-ring graphs.Afterwards, when the hypothesis for the global exact controllability fail, we define a weaker notion of controllability, the so-called “energetic controllability" which ensures the existence of a set of bounded states for which the exact controllability is verified. In other words, we prove the existence of energy levels in which it is possible to change the energy of the system.This technique allows to treat a large number of interesting problems. Indeed, for complex graphs, it is not possible to verify the spectral hypothesis of the global exact controllability. However, the energetic controllability allows to obtain interesting results only by looking for particular substructure contained in the graph

Méthodes et modèles numériques appliqués aux risques du marché et à l'évaluation financière Ce travail de thèse aborde deux sujets : (i) L'utilisation d'une nouvelle méthode numérique pour l'évaluation des options sur un panier d'actifs, (ii) Le risque de liquidité, la modélisation du carnet d'ordres et la microstructure de marché. Premier thème : Un algorithme glouton et ses applications pour résoudre des équa- tions aux dérivées partielles Beaucoup de problèmes d'intérêt dans différents domaines (sciences des matériaux, finance, etc) font intervenir des équations aux dérivées partielles (EDP) en grande dimension. L'exemple typique en finance est l'évaluation d'une option sur un panier d'actifs, laquelle peut être obtenue en résolvant l'EDP de Black-Scholes ayant comme dimension le nombre d'actifs considérés. Nous proposons d'é- tudier un algorithme qui a été proposé et étudié récemment dans [ACKM06, BLM09] pour résoudre des problèmes en grande dimension et essayer de contourner la malédiction de la dimension. L'idée est de représenter la solution comme une somme de produits tensoriels et de calculer itérativement les termes de cette somme en utilisant un algorithme glouton. La résolution des EDP en grande di- mension est fortement liée à la représentation des fonctions en grande dimension. Dans le Chapitre 1, nous décrivons différentes approches pour représenter des fonctions en grande dimension et nous introduisons les problèmes en grande dimension en finance qui sont traités dans ce travail de thèse. La méthode sélectionnée dans ce manuscrit est une méthode d'approximation non-linéaire ap- pelée Proper Generalized Decomposition (PGD). Le Chapitre 2 montre l'application de cette méthode pour l'approximation de la solution d'une EDP linéaire (le problème de Poisson) et pour l'approxima- tion d'une fonction de carré intégrable par une somme des produits tensoriels. Un étude numérique de ce dernier problème est présenté dans le Chapitre 3. Le problème de Poisson et celui de l'approxima- tion d'une fonction de carré intégrable serviront de base dans le Chapitre 4 pour résoudre l'équation de Black-Scholes en utilisant l'approche PGD. Dans des exemples numériques, nous avons obtenu des résultats jusqu'en dimension 10. Outre l'approximation de la solution de l'équation de Black-Scholes, nous proposons une méthode de réduction de variance des méthodes Monte Carlo classiques pour évaluer des options financières. Second thème : Risque de liquidité, modélisation du carnet d'ordres, microstructure de marché Le risque de liquidité et la microstructure de marché sont devenus des sujets très importants dans les mathématiques financières. La dérégulation des marchés financiers et la compétition entre eux pour attirer plus d'investisseurs constituent une des raisons possibles. Les règles de cotation sont en train de changer et, en général, plus d'information est disponible. En particulier, il est possible de savoir à chaque instant le nombre d'ordres en attente pour certains actifs et d'avoir un historique de toutes les transactions passées. Dans ce travail, nous étudions comment utiliser cette information pour exécuter de facon optimale la vente ou l'achat des ordres. Ceci est lié au comportement des traders qui veulent minimiser leurs coûts de transaction. La structure du carnet d'ordres (Limit Order Book) est très complexe. Les ordres peuvent seulement être placés dans une grille des prix. A chaque instant, le nombre d'ordres en attente d'achat (ou vente) pour chaque prix est enregistré. Pour un prix donné, quand deux ordres se correspondent, ils sont exécutés selon une règle First In First Out. Ainsi, à cause de cette complexité, un modèle exhaustif du carnet d'ordres peut ne pas nous amener à un modèle où, par exemple, il pourrait être difficile de tirer des conclusions sur la stratégie optimale du trader. Nous devons donc proposer des modèles qui puissent capturer les caractéristiques les plus importantes de la structure du carnet d'ordres tout en restant possible d'obtenir des résultats analytiques. Dans [AFS10], Alfonsi, Fruth et Schied ont proposé un modèle simple du carnet d'ordres. Dans ce modèle, il est possible de trouver explicitement la stratégie optimale pour acheter (ou vendre) une quantité donnée d'actions avant une maturité. L'idée est de diviser l'ordre d'achat (ou de vente) dans d'autres ordres plus petits afin de trouver l'équilibre entre l'acquisition des nouveaux ordres et leur prix. Ce travail de thèse se concentre sur une extension du modèle du carnet d'ordres introduit par Alfonsi, Fruth et Schied. Ici, l'originalité est de permettre à la profondeur du carnet d'ordres de dépendre du temps, ce qui représente une nouvelle caractéristique du carnet d'ordres qui a été illustré par [JJ88, GM92, HH95, KW96]. Dans ce cadre, nous résolvons le problème de l'exécution optimale pour des stratégies discrétes et continues. Ceci nous donne, en particulier, des conditions suffisantes pour exclure les manipulations des prix au sens de Huberman et Stanzl [HS04] ou de Transaction- Triggered Price Manipulation (voir Alfonsi, Schied et Slynko). Ces conditions nous donnent des intu- itions qualitatives sur la manière dont les teneurs de marché (market makers) peuvent créer ou pas des manipulations des prix.

Este trabalho apresenta a modelagem comportamental desenvolvida para diferentes componentes necessários para a construção de uma microválvula eletromagneticamente atuável, associada ao uso de uma membrana flexível. Foram desenvolvidos modelos teóricos para a descrição do fluxo de fluidos em microcanais, especialmente canais com secções transversais retangulares, utilizadas na construção da maioria dos microcanais usados em microfluídica. O modelo para descrição da deformação experimentada por uma microponte de PDMS foi desenvolvido, permitindo estimar a rigidez elástica para diversas membranas desenvolvidas neste trabalho. Além disso um modelo teórico foi desenvolvido com o intuito de estudar as forças produzidas por uma microbobina com enrolamentos em formato espiral quadrado, sobre um imã permanente de NdFeB localizado em posições genéricas em relação à bobina. Utilizando o primeiro modelamento, estudo de microcanais, foi possível estimar a resistência hidráulica oferecida por microcanais com dimensões sub-milimétricas, permitindo avaliar a relação entre pressão de entrada e vazão de saída correspondente. Foi possível verificar analiticamente que para a faixa de trabalho especificada (vazões na faixa de 0,2 a 6 mL/min utilizando pressões na faixa de 0 a 30 kPa), canais com 1 cm de comprimento e 200 ?m de altura, devem possuir a largura variando na faixa de 300 µm a 500 µm de modo a operar na faixa de interesse estabelecida neste trabalho. Utilizando um canal com 2 cm de comprimento e 300 µm, o valor da altura pode estar entre 200 µm a 400 µm, permitindo miniaturizar o dispositivo final, garantindo a faixa de operação desejada. A partir da modelagem realizada com a finalidade de descrever o comportamento da membrana de PDMS, foi possível estimar teoricamente que uma membrana com 2 cm de comprimento, 2 mm de largura e a espessura variando na faixa de 1,6 a 2 mm, exige a realização de uma força na faixa de 10,5 mN a 13 mN (faixa para a força de atuação necessária), de modo a obter a deflexão de interesse neste trabalho (250 µm). Avaliando as microbobinas com base no modelo teórico desenvolvido neste trabalho, foi possível verificar que uma bobina contendo 36 enrolamentos, espaçamento de 80 µm, a uma distância de 1 mm do centro do imã, aplicando-se 10V (considerando uma resistência total de 100 Ohm), utilizando 10 camadas sobrepostas, é possível produzir uma força sobre um imã de NdFeB de até 0,18 N nas regiões de 3 mm a 10 mm afastadas em relação ao eixo x do imã, ainda a uma altura de 1 mm em relação ao plano xOy do imã. Após a fabricação dos componentes mencionados acima, foram propostos arranjos experimentais para a caracterização das respostas associadas a cada componente separadamente. As simulações apresentaram resultados similares aos obtidos experimentalmente, conforme pode ser avaliado visualizando os erros obtidos relacionando os resultados teóricos e experimentais, especialmente para os microcanais. Dispositivos microfluídicos foram fabricados obtendo canais com as seguintes dimensões: comprimento na faixa de 1 a 4 cm, largura na faixa de 100 a 400 µm e alturas na faixa de 200 a 600 µm, correspondentes à construção de 9 dispositivos com diferentes tamanhos, em que os 6 primeiros foram submetidos às análises experimentais sob as mesmas condições, repetidamente. Foi observado que tais microcanais foram capazes de fornecer até 1,41 mL/min a 0,8 kPa. O valor de vazão está dentro da faixa de desempenho do dispositivo (0,2 a 6 mL/min) com foco em sua aplicação na realização de análises químicas, onde as pressões fornecidas podem chegar até 60 kPa, fornecendo flexibilidade na produção de propulsão dos líquidos transportados através dos canais fabricados. Em relação aos resultados obtidos utilizando o modelo teórico para descrição do comportamento fluídico em microcanais, erros menores que 5% relativos aos resultados experimentais foram obtidos, indicando a validação do modelo teórico apresentado. Foram fabricados dispositivos com características comutadoras, normalmente abertas e normalmente fechadas, dependendo do método de fixação da membrana de PDMS ao substrato cerâmico. O projeto para o desenvolvimento de um chanfro na base do substrato cerâmico, na região de contato com a membrana de PDMS, foi desenvolvido com a finalidade de melhorar a selagem do canal com a válvula no estado fechado. Observou-se que para uma pressão de 5 kPa aplicada à entrada da válvula, não houve vazamento para os dispositivos normalmente fechados, e utilizando uma força em torno de 1 N é possível atingir taxas de fluxo de líquido da ordem de 0,45 mL/min, sendo esta superior às vazões necessárias para a aplicação em foco, qual seja, a automatização de microlaboratórios autônomos. Dois processos de montagem dos componentes para confecção das microválvulas foram desenvolvidos. Um deles visou a montagem da membrana de PDMS após a sinterização do sistema microfluídico junto à microbobina, e o outro visou a fixação da membrana antes da união entre o sistema e a bobina, necessitando de uma etapa de soldagem entre estes componentes após a fabricação das membranas junto ao substrato de LTCC. Microbobinas foram fabricadas com o intuito de realizar a atuação das microválvulas, a partir da atração/repulsão relacionada a um imã permanente de NdFeB (neodímio-ferro-boro) fixado à membrana flexível em contato com o canal. As bobinas foram fabricadas utilizando dimensões da ordem de 1 cm x 1 cm x 0,2 mm, apresentando de 15 a 44 enrolamentos, com gaps variando na faixa de 80 a 150 µm e as larguras dos fios condutores presente nos enrolamentos variando na faixa de 60 a 90 µm. Os resultados experimentais preliminares realizados demonstraram que uma bobina plana (uma camada, 36 enrolamentos, gap igual a 80 ?m, seção transversal de 1 cm x 1 cm), submetida a uma diferença de potencial de 1 V, é capaz de produzir uma força de 0,02 N sobre o imã permanente (localizado no centro a uma distância (no eixo z) de 1 mm da bobina). Este valor indica que para uma tensão de 10 V, devido a relação linear entre corrente e força magnética, utilizando até 10 camadas de bobinas sobrepostas, é possível obter esforços da ordem de 1 a 2 N (considerando a espessura do LTCC), permitindo que os dispositivos microfluídicos fabricados sejam acionados.
This work presents the physical modeling and implementation developed for different components necessary for the construction of electromagnetically actuating microvalves using a flexible membrane. Theoretical models were developed for describing the flow of fluids in microchannels, especially channels with rectangular transverse sections, routinely used as microchannels microfluidics. The model for the description of the deformation experienced by a PDMS microbridge was developed, allowing to estimate the elastic stiffness for various membranes developed in this work. In addition, a theoretical model was developed to study the forces produced by a microcoil with planar windings in squared spiral format, on a permanent magnet of NdFeB. Using the microchannel modeling, it was possible to estimate the hydraulic resistance offered by microchannels with micrometric dimensions, allowing to evaluate the relationship between inlet pressure and flow rate. It was possible to verify analytically that for the working range specified (flow rates of 0.2 to 6 mL/min for pressures from 0 to 30 kPa), channels with 1 cm in length and 200 ?m height should have a width varying in the range of 300 ?m to 500 µm in order to operate in the range of interest established in this study. Concerning the PDMS membrane, it was possible to estimate theoretically that a membrane with 2 cm in length, width of 2 mm and a thickness varying in the range of 1.6 to 2 mm, requires the implementation of a force in the range of 10.5 mN to 13 mN (range for the strength of action required) to obtain full deflection (250 µm). Evaluating Furthermore, using the theoretical model developed for the microcoils, it was possible to verify that a coil containing 36 windings, spacing of 80 µm, at a distance of 1 mm from the center of the magnet, and composed of 10 overlapping layers, it is possible to produce a force on a magnet of NdFeB up to 0.18 N in the regions from 3 mm to 10 mm away from the x-axis of the magnet, even at a height of 1 mm in relation to the plane xOy of magnet. The characterization of the responses associated with each component was made separately. The simulations showed similar results to those obtained experimentally, as evidenced from the errors obtained by relating the results of theoretical and experimental studies, especially for the microchannels. Microfluidic channels were manufactured with the following dimensions: length in the range of 1 to 4 cm, width in the range of 100 to 400 µm and heights in the range of 200 to 600 µm, 9 different devices were fabricated. It was observed that such microchannels were able to provide up to 1.41 mL/min to 0.8 kPa. The value of flow rate is within the expected range (0.2 to 6 mL/min) considering their application in chemical analysis, where the pressures provided can reach up to 60 kPa. Errors smaller than 5% for hydraulic resistance were obtained, indicating the validation of the theoretical model presented. Devices for fluidic switching with normally open and normally closed operation were fabricated and characterized with PDMS membranes and LTCC layers. Particularly a chamfer on the base of the ceramic substrates was proposed , in the region of contact with the membrane of PDMS, to better sealing the channel with the valve in a closed state. It has been observed that for a pressure of 5 kPa applied at the inlet of the valve, there was no leakage for the normally closed devices, and using a force around 1 N it is possible to achieve rates of liquid flow in the order of 0.45 mL/min, this being higher than the flow required for the intended application. Two assembling processes were developed for the microfluidic switching devices, one through the assembly of the PDMS membrane after LTCC sintering with the microcoil, and the other before the union between the switching device and the microcoil, requiring a step of welding between these components after the fabrication of membranes. Microcoils were manufactured and integrated with a NdFeB permanent magnet attached to a flexible membrane in contact with the channel. The coils were manufactured using dimensions of approximately 1 cm x 1 cm x 0.2 mm, containing 15 to 44 windings, with gaps ranging from 80 to 150 µm and the widths of the conductive wires in the range from 60 to 90 µm. The preliminary experimental results demonstrated that a planar coil (one layer, 36 windings, gap equal to 80 µm, cross section of 1 cm x 1 cm), subject to a potential difference of 1 Volt, is capable of producing a force of 0.02 N on the permanent magnet (located in the center at a z distance of 1 mm of the coil). This value indicates that at a voltage of 10 V it is possible to obtain a force of approximately 1 to 2 N for a coil with 10 layers, allowing for actuation of the microvalves developed.

In this thesis, we develop preconditioned iterative methods for the solution of matrix systems arising from PDE-constrained optimization problems. In order to do this, we exploit saddle point theory, as this is the form of the matrix systems we wish to solve. We utilize well-known results on saddle point systems to motivate preconditioners based on effective approximations of the (1,1)-block and Schur complement of the matrices involved. These preconditioners are used in conjunction with suitable iterative solvers, which include MINRES, non-standard Conjugate Gradients, GMRES and BiCG. The solvers we use are selected based on the particular problem and preconditioning strategy employed. We consider the numerical solution of a range of PDE-constrained optimization problems, namely the distributed control, Neumann boundary control and subdomain control of Poisson's equation, convection-diffusion control, Stokes and Navier-Stokes control, the optimal control of the heat equation, and the optimal control of reaction-diffusion problems arising in chemical processes. Each of these problems has a special structure which we make use of when developing our preconditioners, and specific techniques and approximations are required for each problem. In each case, we motivate and derive our preconditioners, obtain eigenvalue bounds for the preconditioners where relevant, and demonstrate the effectiveness of our strategies through numerical experiments. The goal throughout this work is for our iterative solvers to be feasible and reliable, but also robust with respect to the parameters involved in the problems we consider.