Academic literature on the topic 'Contraction différentielle'

Une photographie aérienne prise à basse altitude a permis de repérer un réseau de grands polygones au sud de l'estuaire de la Gironde (France). Ses caractéristiques morphométriques ansi que celles de son contexte topographique et sédimentaire permettent d'exclure une origine liée à des phénomènes de dessiccation, de dissolution différentielle, d'haloturbation ou de tension. Il résulte vraisemblablement de contractions thermiques et constitue un nouveau témoignage de la présence d'un pergélisol en Médoc et dans les environs de Bordeaux (45° latitude Nord). Lors de son développement, vraisemblablement contemporain du dernier Pléniglaciaire, les températures moyennes annuelles de l'atmosphère ne devaient pas dépasser dans cette région -8°C.

Dans cette thèse, nous nous sommes principalement intéressés à l’étude théorique et numérique de quelques équations qui décrivent la dynamique des densités des dislocations. Les dislocations sont des défauts microscopiques qui se déplacent dans les matériaux sous l’effet des contraintes extérieures. Dans un premier travail, nous démontrons un résultat d’existence globale en temps des solutions discontinues pour un système hyperbolique diagonal qui n’est pas nécessairement strictement hyperbolique, dans un espace unidimensionnel. Ainsi dans un deuxième travail, nous élargissons notre portée en démontrant un résultat similaire pour un système d’équations de type eikonal non-linéaire qui est en fait une généralisation du système hyperbolique déjà étudié. En effet, nous prouvons aussi l’existence et l’unicité d’une solution continue pour le système eikonal. Ensuite, nous nous sommes intéressés à l’analyse numérique de ce système en proposant un schéma aux différences finies, par lequel nous montrons la convergence vers le problème continu et nous consolidons nos résultats avec quelques simulations numériques. Dans une autre direction, nous nous sommes intéressés à la théorie de contraction différentielle pour les équations d’évolutions. Après avoir introduit une nouvelle distance, nous construisons une nouvelle famille des solutions contractantes positives pour l’équation d’évolution p-Laplace
In this thesis, we are mainly interested in the theoretical and numerical study of certain equations that describe the dynamics of dislocation densities. Dislocations are microscopic defects in materials, which move under the effect of an external stress. As a first work, we prove a global in time existence result of a discontinuous solution to a diagonal hyperbolic system, which is not necessarily strictly hyperbolic, in one space dimension. Then in another work, we broaden our scope by proving a similar result to a non-linear eikonal system, which is in fact a generalization of the hyperbolic system studied first. We also prove the existence and uniqueness of a continuous solution to the eikonal system. After that, we study this system numerically in a third work through proposing a finite difference scheme approximating it, of which we prove the convergence to the continuous problem, strengthening our outcomes with some numerical simulations. On a different direction, we were enthused by the theory of differential contraction to evolutionary equations. By introducing a new distance, we create a new family of contracting positive solutions to the evolutionary p-Laplacian equation

Dans cette thèse, nous proposons un modèle de muscle actif formé d’équations différentielles ordinaires, étendu ensuite à la circulation sanguine, l’ensemble étant vu comme un système dynamique contrôlé. Dans une première partie, nous étudions la physiologie du système cardio-vasculaire, et particulièrement celle de l’activité musculaire relative au cœur; puis nous justifions l’approche de modélisation choisie. Dans une seconde partie nous étudions le modèle de contraction musculaire à l’échelle microscopique de A. F. Huxley, qui nous sert de base pour proposer ensuite un modèle de l’activité macroscopique. Le modèle obtenu est formé de deux équations différentielles couplées ; son étude qualitative montre qu’il rend compte de plusieurs comportements observés sur le muscle, concernant particulièrement le rôle de la chimie dans la commande de la contraction. Dans une troisième partie, ce modèle est étendu au ventricule cardiaque, assimilé à un cylindre pouvant se déformer dans une seule direction. On obtient alors l’expression de la pression dans la cavité cardiaque en fonction de la contrainte dans le myocarde. Moyennant l’introduction de deux autres variables d’état pour modéliser l’accélération de paroi, nous obtenons un système différentiel pour chaque ventricule, auquel nous couplons les équations d’évolution des pressions dans le système vasculaire, pour obtenir finalement un modèle de la circulation sanguine. Dans une quatrième partie, nous nous appuyons sur des données réelles et des rapports d’expériences pour attribuer aux paramètres et à la commande des valeurs numériques compatibles avec la physiologie. Ceci donne lieu à la programmation d’un simulateur dans Scilab. La dernière partie est consacrée à l'étude d’indicateurs de l’état du système, utilisant le modèle formel et des simulations numériques, et dont il ressort en particulier un indicateur possible de contractilité.

Cette thèse est consacrée à deux problèmes independants sur les courbes algébriques. Dans la première partie, on considère des courbes algébriques, éventuellement singulières avec des singularités de type axes de coordonnées, une notion qui est plus générale que celle de point double ordinaire. On étude la stabilité de ce type de singularité par contractions. Come application, on généralise un résultat récent de Deninger et Werner. Dans la seconde partie, on étude, pour une courbe X en caractéristique p>0, les propriétés géométriques et arithmétiques du diviseur thêta associé au faisceau des formes différentielles localement exactes. C’est un diviseur effectif dans la jacobienne de X, canoniquement attaché à X. Dans cette partie, après avoir donné les définitions et les premières propriétés du diviseur thêta, on fait une étude différentielle et générique de ce diviseur. En particulier, on montre que, pour une courbe assez générale, le diviseur thêta est géométriquement normal. On donne aussi des résultats sur le diviseur thêta dans le cas soit p, soit le genre sont petits. On termine par une application à la variation du groupe fondamental de X au voisinage d’une fibre supersingulière
This thesis is devoted to two independent problems of algebraic curves. In the first part, we consider the singularities of axes coordinate type on a curve. This is a notion a little more general than the ordinary double point. We study the stability of this kind of singularity by contractions. As an application, we generalize a recent result of Deninger and Werner. In the second part, we study, for a curve in positive characteristic, its theta divisor associated to the sheaf of locally exact differential forms. This is an effective divisor defined on the jacobian of the curve. In this part, we explore the geometric and arithmetic properties of this divisor. In particular, we prove that, for a generic curve, the theta divisor is geometrically normal. We give also some results of this theta divisor when p or the genus are small. At the end, we apply the previous results to the study of the variation of fundamental group of X

Deux thèmes importants en mathématiques appliquées sont abordés. Ils sont indépendants mais ils ont des liens. Le premier volet est relatif à la persistance et à la stabilité de points fixes associés à des applications définies sur différentes parties d'un espace métrique. Du fait de la variation des domaines de définition, de nouvelles notions de convergence d'applications sont introduites, étudiées puis comparées avec les notions classiques de convergence simple et uniforme. D'une part, nous établissons des résultats de convergence des points fixes relatifs aux applications paramétrées vers le point fixe de l'application limite. Divers résultats sont obtenus selon que les applications sont contractantes, contractives ou encore non-dilatantes et selon la convergence considérées pour les opérateurs. . D'autre part, nous obtenons des résultats d'existence de points fixes pour l'application limite lorsque les applications paramétrées admettent des points fixes. Deux cas principaux sont analysés, celui d'une suite " équi-continue " et " simplement convergente " (en des sens généralisés) et celui d'une suite " uniformément convergente " (en un sens généralisé) vers une application continue. Des résultats de stabilité sont aussi obtenus lorsque les applications paramétrées sont des contractions relativement à divers distances. Enfin, nous généraliserons au cas multivoque certains résultats de stabilité de points fixes. Le second thème concerne l'application de concepts de différentiabilité pour l'étude locale de multi-applications. Nous introduisons, dans un premier temps, une nouvelle notion de différentiabilité pour les multi-applications. Des règles classiques de calcul sont établies ainsi qu'une version du théorème des accroissements finis. Nous définissons, dans un second temps, la notion plus forte de " péri-différentiabilité " d'une multi-application généralisant la notion de stricte différentiabilité dans le cas univoque. Après avoir établi diverses propriétés, nous généralisons au cas multivoque le théorème d'inversion locale ainsi que le théorème des fonctions implicites. Enfin, nous appliquons ces résultats à la résolutions d'inclusions différentielles
Two important subjects of applied mathematics are studied in this thesis. In the first part, we are interested in persistence and stability of fixed points of some sequence of mappings defined on different subsets of a metric space. Thus, we introduce some new notions of convergence which can be compared with the classical notions (pointwise and uniform convergence). We obtain some existence results of fixed points for the limit map when the approximating maps admit fixed points. We give also some convergence results of fixed points with respect to different kind of convergence of the maps. Different classes are considered : contraction, contractive and nonexpansive maps. Other stability convergence results are given when different metrics are considered. Finally, these results are generalized for multifunctions. In the second part, we present a new inverse mapping theorem for multimapping. We introduce a new notion of differentiability of multimappings and we compare it with previous versions. Many calculus rules and a mean value theorem are obtained. An implicit multimapping theorem is also given. Finally, we provide an application to differential inclusions

La thèse présentée comporte deux parties. Une partie expérimentale qui consiste à étudier le caractère tridimensionnel de l'écoulement d'un PEbd dans des contractions brusques (planes et 3D). La cinématique de ce type d'écoulement a été mise en évidence par la technique du suivi des particules colorées. Dans les contractions planes, l'écoulement secondaire est caractérisé par un mouvement spiralé des particules dans la troisième direction, du plan de symétrie vers les parois latérales, avant de rejoindre l'écoulement principal en aval de la contraction. Avec les contractions purement 3D, le même type de cinématique a été observé : l'écoulement secondaire dans les vortex est orienté des plans de symétrie médians vers les plans de symétrie diagonaux, puis les particules rejoignent l'écoulement principal dans le chenal. La biréfringence induite par l'écoulement d'un PEbd dans une contraction plane confirme l'importance des effets 3D sur la distribution des contraintes globales. Ces effets sont détectés par la forme des franges isochromatiques en amont et en aval de la contraction. Dans les conditions 3D, ces franges ont une forme aplatie en amont avec l'apparition de franges en forme « W » en aval de la contraction, contrairement au cas 2D où nous avons observé une forme des franges en aile-papillon en amont de la contraction et l’absence de franges « W » en aval. Concernant l'origine de franges « W », notre étude montre que leur présence est corrélée avec la cinématique tri-dimensionnelle de ce type d'écoulement ; la possibilité de les observer dépend de la dimension de la géométrie dans la direction neutre. Dans la deuxième partie, une comparaison entre l’expérience et la simulation a été effectuée en terme de cinématique et de contraintes, ce qui constitue un critère de sélection important pour les modèles constitutifs. Les résultats obtenus confirment la pertinence du modèle Pom-Pom différentiel à prédire les écoulements du PEbd dans des géométries complexes, ainsi que l'importance d'une analyse 3D pour ce type d’études
The present PhD work contains two principal parts. The first part is dedicated to the experimental characterization of the 3D viscoelastic flow of LDPE in different contraction geometries. This study is focused on the global flow kinematics characterized in terms of experimental particle tracking and image analysis as well as on the stress distribution characterized in terms of flow induced birefringence. It was presented a detailed analysis of the complex three-dimensional motion of the secondary flow inside the vortex region. In contrary to the two-dimensional axisymmetric flow, where the secondary vortex motion is completely separated from the bulk flow, the detected 3D vortex was proven experimentally to be open with much more complex flow kinematics. In the case of 3D planar contraction flow the material is entering the vortex region at the plane of symmetry and gradually moving to the side wall where it goes to the slit die of the contraction. In the case of 3D square to square and square to circular contraction geometry, the material is entering the vortex region at the median planes and moves in helical manner to the diagonal planes of symmetry where it goes to the capillary die of the geometry. The flow induced birefringence confirms the 3D character of the stress distribution. The main character of the 3D viscoelastic stress distribution is expressed by the presence of more flatten type of fringes in the upstream part of the contraction as well as the appearance of specific “W” shaped fringes at the beginning of the downstream part. In fact our results give the first confirmation of the 3D nature of the “W” fringes. The second part presents an extensive comparison between the experimental results of part 1 and the 3D numerical simulations based on the recently proposed Pom Pom differential model. A good up to excellent agreement in terms of flow kinematics and stress distribution was observed. These encouraging results confirm the excellent predictive capabilities of the Pom Pom differential model as well as the necessity of full 3D numerical analysis for this kind of complex 3D flows

Dans cette thèse, deux problèmes complètement indépendants sont étudiés. Le premier sujet porte sur l'analyse mathématique d'un modèle simple de délamination de films minces et d'apparition de cloques. Le second sujet est une étude fine de l'équation des milieux poreux motivée par des problèmes d'intrusion saline. Dans le premier sujet de ce travail, nous considérons un modèle variationnel simple unidimensionnel décrivant la délamination de films minces sous l'effet d'un refroidissement. Nous caractérisons les minimiseurs globaux qui correspondent à trois types de films: non-délaminés, partiellement délaminés (appelés cloques) ou bien complètement délaminés. Deux paramètres jouent un rôle crucial dans un tel phénomène : la longueur du film et la température. Dans le plan de phase de ces deux derniers, nous classifions l'ensemble des minimiseurs. Comme conséquence de notre analyse, nous identifions explicitement les cloques les plus petites pour ce modèle. Dans le deuxième sujet, nous répondons d'abord à une question ouverte depuis longtemps concernant l'existence de nouvelles contractions pour l'équation de type milieux poreux. Pour m>0, nous nous sommes intéressés à des solutions positives de l'équation suivanteU_t=Delta U^m. Pour 0
In this thesis, we study two completely independent problems. The first one focuses on a simple mathematical model of thin films delamination and blistering analysis. In the second one, we are interested in the study of the porous medium equation motivated by seawater intrusion problems. In the first part of this work, we consider a simple one-dimensional variational model, describing the delamination of thin films under cooling. We characterize the global minimizers, which correspond to films of three possible types : non delaminated, partially delaminated (called blisters), or fully delaminated. Two parameters play an important role : the length of the film and the cooling parameter. In the phase plane of those two parameters, we classify all the minimizers. As a consequence of our analysis, we identify explicitly the smallest possible blisters for this model. In the second part, we answer a long standing open question about the existence of new contractions for porous medium type equations. For m>0, we consider nonnegative solutions U(t,x) of the following equationU_t=Delta U^m.For 0

Dans cette thèse, nous proposons une approximation numérique pour la mesure d’équilibre d’une équation différentielle stochastique (EDS) du type McKean Vlasov, lorsque le drift est donné par une fonction avec des propriétés ergodiques, qui est perturbé par un noyau d’interaction non-linéaire Lipschitzien. Nous établissons un théorème d’existence et d’unicité de la mesure d’équilibre, ainsi que la vitesse de convergence exponentielle à cet équilibre. Nous utilisons la méthode basée sur le couplage des variables aléatoires pour obtenir des contractions dans la métrique de Wasserstein, comme l’a fait Cattiaux-Guillin-Malrieu (2006) pour le cas drift de la forme potentielle convexe. Ensuite, à l’aide du système de particules, la propriété de propagation du chaos et du schéma d’Euler pour approximer l’EDS, nous estimons numériquement l’intégrale d’une fonction Lipschitz par rapport à la mesure à temps fixé, avec une erreur d’estimation uniforme en temps. Par conséquent, nous donnons aussi une approximation numérique pour l’intégrale par rapport à la mesure d’équilibre. Finalement, dans le cas unidimensionnel, nous obtenons des estimations de la fonction densité et de la fonction de distribution cumulative de la mesure d’équilibre. Nous utilisons l’algorithme proposé par Bossy-Talay (1996) et nous fournissons la vitesse de convergence optimale de cette approximation, exprimée avec différentes normes. Ce résultat généralise la technique développée dans Bossy (2004) au cas ergodique, où l’ordre de convergence ne doit pas dépendre de l’intervalle de temps considéré
In this thesis we propose a numerical approximation for the equilibrium measure of a McKean Vlasov stochastic differential equation (SDE), when the drift coefficient is given by a function with ergodic properties, which is perturbed by a Lipschitzian nonlinear interaction function. We establish a theorem of existence and uniqueness of the equilibrium measure, as well the exponential convergence rate to this equilibrium. We apply the method based on the obtention of Wasserstein contractions using the random coupling variables, as suggested by Cattiaux-Gullin-Malrieu (2006) for the convex potential drift case. After, using the particle system, the chaos propagation property and Euler’s scheme to approximate the SDE, we estimate numerically the integral of every Lipschit function w. R. T. The measure at fixed time, with a time-uniform estimation error. Then, using this numerical estimation we approximate the integral w. R. T. The equilibrium measure. Finally, in the one-dimensional case, we provide numerical estimations for the density and the cumulative distribution function of the equilibrium measure. We use the algorithm proposed by Bossy-Talay (1996) and obtain the optimal rate convergence of the approximation in different norms

Nous présentons dans cette thèse des théorèmes de point fixe pour des contractions multivoques définies sur des espaces métriques, et, sur des espaces de jauges munis d’un graphe. Nous illustrons également les applications de ces résultats à des inclusions intégrales et à la théorie des fractales. Cette thèse est composée de quatre articles qui sont présentés dans quatre chapitres. Dans le chapitre 1, nous établissons des résultats de point fixe pour des fonctions multivoques, appelées G-contractions faibles. Celles-ci envoient des points connexes dans des points connexes et contractent la longueur des chemins. Les ensembles de points fixes sont étudiés. La propriété d’invariance homotopique d’existence d’un point fixe est également établie pour une famille de Gcontractions multivoques faibles. Dans le chapitre 2, nous établissons l’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions intégrales de Hammerstein sous des conditions de type de monotonie mixte. L’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions différentielles avec conditions initiales ou conditions aux limites périodiques est également obtenue. Nos résultats s’appuient sur nos théorèmes de point fixe pour des G-contractions multivoques faibles établis au chapitre 1. Dans le chapitre 3, nous appliquons ces mêmes résultats de point fixe aux systèmes de fonctions itérées assujettis à un graphe orienté. Plus précisément, nous construisons un espace métrique muni d’un graphe G et une G-contraction appropriés. En utilisant les points fixes de cette G-contraction, nous obtenons plus d’information sur les attracteurs de ces systèmes de fonctions itérées. Dans le chapitre 4, nous considérons des contractions multivoques définies sur un espace de jauges muni d’un graphe. Nous prouvons un résultat de point fixe pour des fonctions multivoques qui envoient des points connexes dans des points connexes et qui satisfont une condition de contraction généralisée. Ensuite, nous étudions des systèmes infinis de fonctions itérées assujettis à un graphe orienté (H-IIFS). Nous donnons des conditions assurant l’existence d’un attracteur unique à un H-IIFS. Enfin, nous appliquons notre résultat de point fixe pour des contractions multivoques définies sur un espace de jauges muni d’un graphe pour obtenir plus d’information sur l’attracteur d’un H-IIFS. Plus précisément, nous construisons un espace de jauges muni d’un graphe G et une G-contraction appropriés tels que ses points fixes sont des sous-attracteurs du H-IIFS.
In this thesis, we present fixed point theorems for multivalued contractions defined on metric spaces, and, on gauge spaces endowed with directed graphs. We also illustrate the applications of these results to integral inclusions and to the theory of fractals. chapters. In Chapter 1, we establish fixed point results for the maps, called multivalued weak G-contractions, which send connected points to connected points and contract the length of paths. The fixed point sets are studied. The homotopical invariance property of having a fixed point is also established for a family of weak G-contractions. In Chapter 2, we establish the existence of solutions of systems of Hammerstein integral inclusions under mixed monotonicity type conditions. Existence of solutions to systems of differential inclusions with initial value condition or periodic boundary value condition are also obtained. Our results rely on our fixed point theorems for multivalued weak G-contractions established in Chapter 1. In Chapter 3, those fixed point results for multivalued G-contractions are applied to graph-directed iterated function systems. More precisely, we construct a suitable metric space endowed with a graph G and an appropriate G-contraction. Using the fixed points of this G-contraction, we obtain more information on the attractors of graph-directed iterated function systems. In Chapter 4, we consider multivalued maps defined on a complete gauge space endowed with a directed graph. We establish a fixed point result for maps which send connected points into connected points and satisfy a generalized contraction condition. Then, we study infinite graph-directed iterated function systems (H-IIFS). We give conditions insuring the existence of a unique attractor to an H-IIFS. Finally, we apply our fixed point result for multivalued contractions on gauge spaces endowed with a graph to obtain more information on the attractor of an H-IIFS. More precisely, we construct a suitable gauge space endowed with a graph G and a suitable multivalued G-contraction such that its fixed points are sub-attractors of the H-IIFS.