Dissertations / Theses on the topic 'Complex Monge Ampere'

The main threads of this thesis are related by the theme of the complex Monge-Ampère type equations. It consists of some analysis results from the partial differential equation aspect and several geometric consequences as applications.In the first part, we study the a priori estimates for complex Hessian type equations on Hermitian manifolds. These estimates are the key ingredients for the solvability of the corresponding equations by virtue of the continuity method. In particular, we establish the first and second order derivative estimates for complex Monge-Ampère equations which are analogous to Yau's estimates on Kãhler manifolds. In Chapter 3, we investigate the interior Schauder estimates of the solutions to complex Monge-Ampère equations. Moreover, aiming to extend such regularity results to more general geometric setting, we also establish the classical Bedford-Taylor's interior second order estimate and a local version of Calabi's third order estimate on Hermitian manifolds. The last two chapters of this thesis are devoted to the geometric problems related to complex Monge-Ampère type equations. In particular, we give some results on the nonnegative representation for the boundary class of Kãhler cone and the existence of generalized Kãhler-Einstein metrics.
Dans cette thèse, il est question de l'étude des équations de type Monge-Ampère complexes. On y présente une analyse basée sur les différentes techniques utilisées dans la théorie des équations aux dérivées partielles ainsi que certaines applications géométriques. En premier lieu, nous présentons l'estimation à priori des équations de type Hessienne complexes sur des variétés hermitiennes. Ces estimations sont indispensables à la résolution de ces équations par le biais des méthodes de continuité. Au fait, nous établirons des estimations sur la première et la seconde dérivée des équations Monge-Ampère complexes de la même manière faite par Yau sur les variétés kählériennes.Au troisième chapitre, nous étudions la régularité de Hölder intérieure des dérivées secondes de la solution pour les équations de type Monge-Ampère complexes. De plus, en visant la généralisation de ce type de résultats de régularité à des géométries plus généralee, on a obtenu une estimation de deuxième ordre de type Bedford-Taylor classique et une version locale des estimations de Calabi de troisième ordre sur des variétés hermitiennes. Les deux derniers chapitres de cette thèse sont consacrés aux problèmes géométriques reliés aux équations de type Monge-Ampère complexes. Nous donnons quelques résultats sur la représentation non négative pour la classe de frontière du cône de Kähler et l'existence des métriques généralisée Kähler-Einstein.

In questa trattazione si studia la regolarità delle soluzioni viscose plurisubarmoniche dell’equazione di Monge-Ampère complessa. Si tratta di un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine completamente non lineare il cui termine del secondo ordine è il determinante della matrice hessiana complessa di una funzione incognita a valori reali u. Il principale risultato della tesi è un nuovo controesempio di tipo Pogorelov per questa equazione. Si prova cioè l’esistenza di soluzioni viscose plurisubarmoniche e non classiche per un equazione di Monge-Ampère complessa.

Le but de cette thèse est de contribuer à la compréhension des équations de Monge-Ampère complexes paraboliques sur des domaines de Cn. Cette équation a un lien étroit avec le flot de Kähler-Ricci. Notre étude se concentre sur les cas où la condition initiale n'est pas régulière. Nous voulons démontrer l'existence de solutions satisfaisant la continuité jusqu'à la frontière et jusqu'au temps initial
The aim of this thesis is to make a contribution to understanding parabolic complex Monge-Ampère equations on domains of Cn. Our study is centered around cases where the initial condition is irregular. We want to prove the existence of solutions which satisfies continuity up to the boundary and continuity up to the initial time

Dans cette thèse nous nous intéressons aux flots de Monge-Ampère complexes, à leurs généralisations et à leurs applications géométriques sur les variétés hermitiennes compactes. Dans les deux premiers chapitres, nous prouvons qu'un flot de Monge-Ampère complexe sur une variété hermitienne compacte peut être exécuté à partir d'une condition initiale arbitraire avec un nombre Lelong nul en tous points. En utilisant cette propriété, nous con- firmons une conjecture de Tosatti-Weinkove: le flot de Chern-Ricci effectue une contraction chirurgicale canonique. Enfin, nous étudions une généralisation du flot de Chern-Ricci sur des variétés hermitiennes compactes, le flot de Chern-Ricci tordu. Cette partie a donné lieu à deux publications indépendantes. Dans le troisième chapitre, une notion de C -sous-solution parabolique est introduite pour les équations paraboliques, étendant la théorie des C -sous-solutions développée récem- ment par B. Guan et plus spécifiquement G. Székelyhidi pour les équations elliptiques. La théorie parabolique qui en résulte fournit une approche unifiée et pratique pour l'étude de nombreux flots géométriques. Il s'agit ici d'une collaboration avec Duong H. Phong (Université Columbia ) Dans le quatrième chapitre, une approche de viscosité est introduite pour le problème de Dirichlet associé aux équations complexes de type hessienne sur les domaines de Cn. Les arguments sont modélisés sur la théorie des solutions de viscosité pour les équations réelles de type hessienne développées par Trudinger. En conséquence, nous résolvons le problème de Dirichlet pour les équations de quotient de hessiennes et lagrangiennes spéciales. Nous établissons également des résultats de régularité de base pour les solutions. Il s'agit ici d'une collaboration avec Sl-awomir Dinew (Université Jagellonne) et Hoang-Son Do (Institut de Mathématiques de Hanoi)
In this thesis we study the complex Monge-Ampère flows, and their generalizations and geometric applications on compact Hermitian manifods. In the first two chapters, we prove that a general complex Monge-Ampère flow on a compact Hermitian manifold can be run from an arbitrary initial condition with zero Lelong number at all points. Using this property, we confirm a conjecture of Tosatti- Weinkove: the Chern-Ricci flow performs a canonical surgical contraction. Finally, we study a generalization of the Chern-Ricci flow on compact Hermitian manifolds, namely the twisted Chern-Ricci flow. This part gave rise to two independent publications. In the third chapter, a notion of parabolic C -subsolution is introduced for parabolic non-linear equations, extending the theory of C -subsolutions recently developed by B. Guan and more specifically G. Székelyhidi for elliptic equations. The resulting parabolic theory provides a convenient unified approach for the study of many geometric flows. This part is a joint work with Duong H. Phong (Columbia University) In the fourth chapter, a viscosity approach is introduced for the Dirichlet problem associated to complex Hessian type equations on domains in Cn. The arguments are modelled on the theory of viscosity solutions for real Hessian type equations developed by Trudinger. As consequence we solve the Dirichlet problem for the Hessian quotient and special Lagrangian equations. We also establish basic regularity results for the solutions. This part is a joint work with Sl-awomir Dinew (Jagiellonian University) and Hoang-Son Do (Hanoi Institute of Mathematics)

In the theory of holomorphic functions of one complex variable it is often useful to study subharmonic functions. The subharmonic can be described using the Laplace operator. When one studies holomorphic functions of several complex variables one should study the plurisubharmonic functions instead. Here the complex Monge--Ampère operator has a role similar to that of the Laplace operator in the theory of subharmonic functions. The complex Monge--Ampère operator is nonlinear and therefore it is not as well understood as the Laplace operator. We consider two types of boundary value problems for the complex Monge--Ampere equation in certain pseudoconvex domains. In this thesis the right-hand side in the Monge--Ampère equation will always be smooth, strictly positive and meet a monotonicity condition. The first type of boundary value problem we consider is a Dirichlet problem where we look for plurisubharmonic solutions which are zero on the boundary of the domain. We show that this problem has a unique smooth solution if the domain has a smooth bounded plurisubharmonic exhaustion function which is globally Lipschitz and has Monge--Ampère mass larger than one everywhere. We obtain some results on which domains have such a bounded exhaustion function. The second type of boundary value problem we consider is a boundary blow-up problem where we look for plurisubharmonic solutions which tend to infinity at the boundary of the domain. Here we also assume that the right-hand side in the Monge--Ampère equation satisfies a growth condition. We study this problem in strongly pseudoconvex domains with smooth boundary and show that it has solutions which are Hölder continuous with arbitrary Hölder exponent α, 0 ≤ α < 1. We also show a uniqueness result. A result on the growth of the solutions is also proved. This result is used to describe the boundary behavior of the Bergman kernel.

Dans les années 70, Aubin-Yau ont résolu le problème de l'existence de metriques kaehleriennes à courbure de Ricci constante négative ou nulle sur les variétés kaehleriennes compactes. En particulier, ils ont prouvé l'existence et la régularité de la solution de l'équation de Monge-Ampére dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar où la forme dollar\omegadollar est kaehlerienne et la densitè dollar f dollar est lisse. Dans cette thèse on étudie les équations de Monge-Ampère dégénérées, où le mot "dégénérées" signifie ou bien que la classe de cohomologie est seulement grosse et non plus kaehlerienne, ou que les densités ont des singularités sur un diviseur. Si on considère une équation du type(*) (\theta+dd^c \f)^n= \mu où dollar\mu dollar est une mesure positive, il n'est pas toujours possible de donner un sens à la partie gauche de (*). Cependant, Guedj et Zeriahi ont observé que la construction par suite de Bedford et Taylor permet dans le cas global de définir la partie non-pluripolaire de la mesure positive dollar(\theta+dd^c\f)^ndollar pour toute fonction dollar\thetadollar-psh, où dollar\thetadollar est un represenant lisse dans la classe grosse. La notion de classes grosses est invariante par biméromorphisme tandis que ce n'est pas le cas dans le cadre des classes kaehleriennes. Donc, il est naturel d'étudier les propriétés d'invariance du produit non-pluripolaire dans le contexte de classes de cohomologie grosses. En effet, on montre que le produit non-pluripolaire est un invariant biméromorphe. En généralisant la fonctionnelle d'énergie de Aubin-Mabuchi, Boucksom, Eyssidieux, Guedj et Zeriahi ont introduit des énergies pondérés associées à des classes grosses. Sous certaines hypothéses naturelles, on démontre que ces énergies sont également des invariants par biméromorphisme. Nous étudions également les mesures de probabilité à énergie finie (ce concept était introduit par Berman, Boucksom, Guedj et Zeriahi) et prouvons que cette notion est un invariant biholomorphe mais pas biméromorphe. Par ailleurs, nous donnons des critères pour s'assurer qu'une mesure donnée est à énergie finie. Nous étudions ensuite les équations de Monge-Ampère sur les variétés quasi-projectives. En particulier, on considére une variété k\"ahlerienne compacte, dollarD\subset Xdollar un diviseur et on \'etudie l'\'equation dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar où dollar f dollar est lisse en dehors de dollar D dollar. Nous démontrons que l'unique solution dollar \f dollar (normalisée) est lisse en dehors de dollar D dollar (travail en collaboration avec Hoang Chinh Lu). La solution n'est pas bornée en general, et donc l'idée est de trouver la bonne fonction "modèle" (à priori singulière) qui est une borne inférieure de la solution. Pour faire celà on a introduit les capacités de Monge-Ampère generalisées, et on les a utlisé en suivant l'approche de Kolodziej, qui, cependant est valable pour les fonctions globalement bornées uniquement. Ces capacités, qui généralisent la capacité de Bedford et Taylor, s'avérent être le point clé pour étudier l'existence et la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère du type dollar dollar\MA(\f)=e^{\lambda\f}f \omega^n, \qquad \lambda\in \R dollar dollar où dollar f dollar a des singularités le long d'un diviseur. Nous traitons aussi des cas où dollar f dollar n'est pas dans L^1, un problème important pour l'existence de metriques de Kaehler-Einstein singuliéres sur des variétés du type general avec singularités de type log-canoniques
In the mid 70's, Aubin-Yau solved the problem of the existence of Kaehler metrics with constant negative or identically zero Ricci curvature on compact Kaehler manifolds. In particular, they proved the existence and regularity of the solution of the complex Monge-Ampère equation (*) (\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar where dollar \mu dollar is a positive measure, it is not always possible to make sense of the left-hand side of (*). It was nevertheless observed by Guedj and Zeriahi thata construction going back to Bedford and Taylor enables in this global setting to define the non-pluripolar part of the would-be positive measure dollar (\theta+dd^c\f)^n dollar for an arbitrary dollar \thetadollar-psh function, where dollar\theta dollar represents a big class. The notion of big classes is invariant by bimeromorphism while this is not the case in the Kaehler setting. It is therefore natural to study the invariance property of the non-pluripolar product in the wider context of big cohomology classes. We indeed show that it is a bimeromorphic invariant. Generalizing the Aubin-Mabuchi energy functional, Boucksom, Eyssidieux, Guedj et Zeriahi introduced weighted energies associated to big cohomology classes. Under some natural assumptions, we show that such energies are also bimeromorphic invariants. We also investigate probability measures with finite energy and we show that this notion is a biholomorphic but not a bimeromorphic invariant. Furtheremore, we give criteria insuring that a given measure has finite energy and test these on various examples. We then study complex Monge-Ampère equations on quasi-projective varieties. In particular we consider a compact Kaehler manifold dollar X dollar, dollar D\subset X dollar a divisor and we look at the equation dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar where dollar f dollar is smooth outside dollar D dollar and with a precise behavior near the divisor. We prove that the unique normalized solution dollar \f dollar is smooth outside dollar D dollar and we are able to describe its asymptotic behavior near dollar D dollar (joint work with Hoang Chinh Lu). The solution is clearly not bounded in general and thus the idea is to find a convenient ``model" function (a priori singular) bounding from below the solution. To do so we introduce generalized Monge-Ampère capacities, and use them following Kolodziej's approach who deals with globally bounded potentials. These capacities, which generalize the Bedford-Taylor Monge-Ampère capacity, turn out to be the key point when investigating the existence and the regularity of solutions of complex Monge-Ampère equations of type dollar dollar \MA(\f)=e^{\lambda\f}f \omega^n, \qquad \lambda\in \R dollar dollar where dollar f dollar has divisorial singularities. We also treat some cases when dollar f dollar is not in L^1, an important issue for the existence of singular Kaehler-Einstein metrics on general type varieties with log-canonical singularities

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère complexes ainsi que des équations hessiennes complexes dans un domaine borné de Cn. Dans le premier chapitre, on donne des rappels sur la théorie du pluripotentiel. Dans le deuxième chapitre, on étudie le module de continuité des solutions du problème de Dirichlet pour les équations de Monge-Ampère lorsque le second membre est une mesure à densité continue par rapport à la mesure de Lebesgue dans un domaine strictement hyperconvexe lipschitzien. Dans le troisième chapitre, on prouve la continuité hölderienne des solutions de ce problème pour certaines mesures générales. Dans le quatrième chapitre, on considère le problème de Dirichlet pour les équations hessiennes complexes plus générales où le second membre dépend de la fonction inconnue. On donne une estimation précise du module de continuité de la solution lorsque la densité est continue. De plus, si la densité est dans Lp , on démontre que la solution est Hölder-continue jusqu'au bord
In this thesis we study the regularity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations and also for complex Hessian equations in a bounded domain of Cn. In the first chapter, we give basic facts in pluripotential theory. In the second chapter, we study the modulus of continuity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations when the right hand side is a measure with continuous density with respect to the Lebesgue measure in a bounded strongly hyperconvex Lipschitz domain. In the third chapter, we prove the Hölder continuity of solutions to this problem for some general measures. In the fourth chapter, we consider the Dirichlet problem for complex Hessian equations when the right hand side depends on the unknown function. We give a sharp estimate of the modulus of continuity of the solution as the density is continuous. Moreover, for the case of Lp-density we demonstrate that the solution is Hölder continuous up to the boundary

Tout p-cycle tropical VT de Rn, on attache naturellement un courant fermé (p, p) dimensionnel d'ordre 0 sur (C)n, noté Tp n(VT). Un tel "courant tropical" T p n(VT) ne saurait etre le courant d'intégration sur un quelconque sous-ensemble analytique de (C)n du fait qu'il a pour support l'ensemble log-1(VT) (C)n, où l'application Log désigne la multivluation (Z1, ..., Zn) 7! (logIZ1I, ..., logIZnI). On donne des conditions suffisantes (de nature locale) sur un p-cycle tropical VT pour le courant tropical T p n(VT) qui lui est associé soit" fortement extrémal" dans D0p, p((C)n). En particulier, si une telle condition s'avère remplie pour un p-cycle tropical effectif, alors le courant tropical qui lui est attaché est extrémal dans le cône des courants fermés de bidimension (p, p) sur (C)n. On explique ensuite comment prolonger ces courants tropicaux et les propirétés d'extrémilité dont ils héritent à l'espace projectif CPn. On montre également comment définir le produit de tels courants tropicaux pour en déduire une théorie de l'intersection entre cycles tropicaux. pour opérer ces calculs, on établit une formule pour la mesure de Monge Ampère réelle associée à un polynôme tropical. De plus, comme un tel courant tropical attaché à un p-cycle tropical VT s'obtient en moyennisant des courants d'intégration sur des variétés toriques, on met en correspondance théorie de l'intersection dans le cadre torique et théorie de l'intersection dans le cadre tropical. On explicite enfin certains liens entre les problèmes relevant de l'approximation (an sens ensembliste, pour la métrique de Hausdorff) des cycles tropicaus de Rn par les amibes de cycles algébriques de (C)n et l'approximation (ans sens faible) des courants tropicaux associées par des multiples positifs de courants d'intégration sur de tels cycles algébriques. on explique en quoi ces questions d'approximation se trouvent reliées à une formulation forte de la célèbre confecture de Hodge
To a tropical p-cycle VT in Rn, we naturally assoicate a closed (p, p)-dimensional current of order zero on (C)n denoted bu T p n(VT). Such e "tropical current" T p n(VT) cannot be an integration current along any analytic set since its support has the form log -1(VT) (C)n, where log is the coordinate-wise valuation with log(I.I). We provide sufficient (local) conditions on a tropical p-cycle such that its associated tropical is "strongly extremal" in Dop, p((C)n). In particular, if these conditions hokd for the effective cycles, then the associated current are extremal in the cone of strongly positive closed currents of bidimension (p, p) on (C)n. Nexte we explain how to extend the currents and extremality results to CPn. Further, we demonstrate how to use the intersection theory of currents to derive an intersection theory for the inderlying tropical cycles. The explicit calculations will be established by using e formula for the real Monge-Ampère measure of a tropical polynomial. Moreoer, since such tropical currents are obtained by an averaging of integration currents on toric sets, an equality between toric intersection multipmicities and the tropical multiplicities is readily settled. Finally, we explain certain relations between approximation problems of tropical cycles by amoebas of algebraic cycles and approximations of the associated currents by positive multiples of integration currents along analytic cycles. Il will be discussed haw these approximtion problems are related to a stronger formulation of the celebrated hodge conjecture

Ce travail de thèse s'intéresse à la résolution d'équations de Monge-Ampère complexes et à ses applications sur certains types de variétés non compactes. Ce mémoire décrit plus précisément deux situations distinctes dans lesquelles on résout des équations de Monge-Ampère, avant de tirer les conséquences de ces résolutions. Dans une première partie, on travaille sur le complémentaire d'un diviseur à croisements normaux dans une variété kählérienne compacte. On fixe sur le complémentaire du diviseur une classe de métriques kählériennes à singularités cusp le long du diviseur. Pour construire des géodésiques entre métriques de cette classe, on résout une équation de Monge-Ampère homogène, sur le produit de notre ouvert de Zariski par une surface de Riemann à bord. On applique cette construction à un résultat d'unicité de métriques à courbure scalaire constante dans la classe considérée ; on résout encore pour cela une équation de Monge-Ampère avec second membre sur le complémentaire du diviseur. On exhibe enfin des obstructions topologiques à l'existence de métriques à courbure scalaire constante au sein des classes de métriques kählériennes singulières envisagées. La seconde partie du mémoire traite d'une construction analytique d'instantons gravitationnels ALF, ou variétés complètes de dimension 4, hyperkählériennes, à croissance cubique du volume. On donne la construction d'instantons diédraux ; on considère plus exactement des résolutions de singularités kleiniennes diédrales. Le traitement d'une équation de Monge-Ampère, donné pour des variétés kählériennes ALF assez générales, nous permet sur nos exemples de corriger un prototype simple pour obtenir la métrique hyperkählérienne recherchée.

In this thesis we focus on Dirichlet's problem for the complex Monge-Ampère equation. That is, for a given non-negative Radon measure µ we are interested in the conditions under which there exists a plurisubharmonic function u such that (ddcu)n=µ, where (ddc)n is the complex Monge-Ampère operator. If this function u exists, then can it be chosen with given boundary values? Is this solution uniquely determined within a given class of functions?

Dans cette thèse nous étudions des questions de stabilité géométrique pour des variétés kähleriennes à courbure scalaire constante (cscK) avec classe de cohomologie transcendante. En tant que point de départ, nous introduisons des notions généralisées de K-stabilité, étendant une image classique introduite par G. Tian et S. Donaldson dans le cadre des variétés polarisées. Contrairement à la théorie classique, ce formalisme nous permet de traiter des questions de stabilité pour des variétés kähleriennes compactes non projectives ainsi que des variétés projectives munis de polarisations non rationnelles. Dans une première partie, nous étudions les rayons sous-géodésiques associés aux configurations tests dites cohomologiques, objets introduitent dans cette thèse. Nous établissons ainsi des formules fondamentales pour la pente asymptotique d'une famille de fonctionnelles d'énergie, le long de ces rayons géodésiques. Ceci est lié au couplage de Deligne en géométrie algébrique, et ce formalise permet en particulier de comprendre le comportement asymptotique d'un grand nombre de fonctionnelles d'énergie classiques en géométrie kählerienne, y compris la fonctionnelle d'Aubin-Mabuchi et la K-énergie. En particulier, ceci fournit une approche pluripotentielle naturelle pour étudier le comportement asymptotique des fonctionnelles d'énergie dans la théorie de K-stabilité. En s'appuyant sur cette première partie, nous démontrons ensuite un certain nombre de résultats de stabilité pour les variétés cscK. Tout d'abord, nous prouvons que les variétés cscK sont K-semistables dans notre sens généralisé, prolongeant ainsi un résultat dû à Donaldson dans le cadre projectif. En supposant que le groupe d'automorphisme est discret, nous montrons en outre que la K-stabilité est une condition nécessaire pour l'existence des métriques cscK sur des variétés kähleriennes compactes. Plus précisément, nous prouvons que la coercivité de la K-énergie implique la K-stabilité uniforme, ainsi généralisant des résultats de Mabuchi, Stoppa, Berman, Dervan et Boucksom-Hisamoto-Jonsson pour des variétés polarisées. Cela donne une preuve nouvelle et plus générale d'une direction de la conjecture Yau-Tian-Donaldson dans ce contexte. L'autre direction (suffisance de K-stabilité) est considérée comme l'un des problèmes ouverts les plus importants en géométrie kählerienne. Nous donnons enfin des résultats partiels dans le cas des variétés kähleriennes compactes qui admettent des champs de vecteurs holomorphes non triviaux. Nous discutons également autour des perspectives et applications de notre théorie de K-stabilité pour les variétés kähleriennes avec classe transcendante, notamment à l'étude des lieux de stabilité dans le cône de Kähler
In this thesis we are interested in questions of geometric stability for constant scalar curvature Kähler (cscK) manifolds with transcendental cohomology class. As a starting point we develop generalized notions of K-stability, extending a classical picture for polarized manifolds due to G. Tian, S. Donaldson, and others, to the setting of arbitrary compact Kähler manifolds. We refer to these notions as cohomological K-stability. By contrast to the classical theory, this formalism allows us to treat stability questions for non-projective compact Kähler manifolds as well as projective manifolds endowed with non-rational polarizations. As a first main result and a fundamental tool in this thesis, we study subgeodesic rays associated to test configurations in our generalized sense, and establish formulas for the asymptotic slope of a certain family of energy functionals along these rays. This is related to the Deligne pairing construction in algebraic geometry, and covers many of the classical energy functionals in Kähler geometry (including Aubin's J-functional and the Mabuchi K-energy functional). In particular, this yields a natural potential-theoretic aproach to energy functional asymptotics in the theory of K-stability. Building on this foundation we establish a number of stability results for cscK manifolds: First, we show that cscK manifolds are K-semistable in our generalized sense, extending a result due to S. Donaldson in the projective setting. Assuming that the automorphism group is discrete we further show that K-stability is a necessary condition for existence of constant scalar curvature Kähler metrics on compact Kähler manifolds. More precisely, we prove that coercivity of the Mabuchi functional implies uniform K-stability, generalizing results of T. Mabuchi, J. Stoppa, R. Berman, R. Dervan as well as S. Boucksom, T. Hisamoto and M. Jonsson for polarized manifolds. This gives a new and more general proof of one direction of the Yau-Tian-Donaldson conjecture in this setting. The other direction (sufficiency of K-stability) is considered to be one of the most important open problems in Kähler geometry. We finally give some partial results in the case of compact Kähler manifolds admitting non-trivial holomorphic vector fields, discuss some further perspectives and applications of the theory of K-stability for compact Kähler manifolds with transcendental cohomology class, and ask some questions related to stability loci in the Kähler cone

This thesis consists of three papers concerning problems related to plurisubharmonic functions on bounded hyperconvex domains, in particular boundary values of such functions. The papers summarized in this thesis are:* Paper I Urban Cegrell and Berit Kemppe, Monge-Ampère boundary measures, Ann. Polon. Math. 96 (2009), 175-196.* Paper II Berit Kemppe, An ordering of measures induced by plurisubharmonic functions, manuscript (2009).* Paper III Berit Kemppe, On boundary values of plurisubharmonic functions, manuscript (2009).In the first paper we study a procedure for sweeping out Monge-Ampère measures to the boundary of the domain. The boundary measures thus obtained generalize measures studied by Demailly. A number of properties of the boundary measures are proved, and we describe how boundary values of bounded plurisubharmonic functions can be associated to the boundary measures.In the second paper, we study an ordering of measures induced by plurisubharmonic functions. This ordering arises naturally in connection with problems related to negative plurisubharmonic functions. We study maximality with respect to the ordering and a related notion of minimality for certain plurisubharmonic functions. The ordering is then applied to problems of weak*-convergence of measures, in particular Monge-Ampère measures.In the third paper we continue the work on boundary values in a more general setting than in Paper I. We approximate measures living on the boundary with measures on the interior of the domain, and present conditions on the approximation which makes the procedure suitable for defining boundary values of certain plurisubharmonic functions.

In this thesis, we study two different kinds of approximation of plurisubharmonic functions. The first one is a Mergelyan type approximation for plurisubharmonic functions. That is, we study which domains in C^n have the property that every continuous plurisubharmonic function can be uniformly approximated with continuous and plurisubharmonic functions defined on neighborhoods of the domain. We will improve a result by Fornaess and Wiegerinck and show that domains with C^0-boundary have this property. We will also use the notion of plurisubharmonic functions on compact sets when trying to characterize those continuous and plurisubharmonic functions that can be approximated from outside. Here a new kind of convexity of a domain comes in handy, namely those domains in C^n that have a negative exhaustion function that is plurisubharmonic on the closure. For these domains, we prove that it is enough to look at the boundary values of a plurisubharmonic function to know whether it can be approximated from outside. The second type of approximation is the following: we want to approximate functions u that are defined on bounded hyperconvex domains Omega in C^n and have essentially boundary values zero and bounded Monge-Ampère mass, with increasing sequences of certain functions u_j that are defined on strictly larger domains. We show that for certain conditions on Omega, this is always possible. We also generalize this to functions with given boundary values. The main tool in the proofs concerning this second approximation is subextension of plurisubharmonic functions.

Le résultat principal de cette thèse est l'obtention d'une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une métrique de Kähler-Einstein sur une compactification bi-équivariante lisse et Fano d'un groupe complexe réductif connexe. Ces variétés comprennent les variétés toriques et les compactifications magnifiques de groupes semisimples adjoints.Dans la première partie de ce travail sont développés les outils nécessaires à l'étude de l'existence de métriques de Kähler-Einstein sur ces variétés. Nous calculons en particulier la Hessienne complexe d'une fonction $Ktimes K$-invariante sur la complexification d'un groupe compact $K$. Nous associonségalement, à toute métrique invariante à courbure positive sur un fibré linéarisé ample sur une compactification de groupe, une fonction convexe dont le comportement asymptotique est prescrit. Ceci est utilisé une première fois pour obtenir une formule pour l'invariant alpha d'un fibré en droite ample sur une compactification de groupe Fano. Cette formule est obtenue par le calcul des seuils log canoniques des métriques hermitiennes invariantes à courbure positive, et induit, dans le cas particulier des variétés toriques, un résultat obtenu auparavant, figurant dans l'article par ailleurs inclus en appendice de la thèse.Nous prouvons ensuite le résultat principal en obtenant des estimées $C^0$ le long de la méthode de continuité, en se ramenant à une équation de Monge-Ampèreréelle sur un cône. La condition obtenue est que le barycentre du polytope associé à la compactification de groupe, par rapport à la mesure de Duistermaat-Heckman, doit être dans une zone particulière du polytope. Cette condition peut être vérifiée sur les exemples, donne de nouveaux exemples de variétés deKähler-Einstein Fano, et donne aussi un exemple qui n'admet aucun soliton de Kähler-Ricci. Nous calculons de plus la plus grande borne inférieure de Ricci lorsqu'il n'y a pas de métrique de Kähler-Einstein
The main result of this work is a necessary and sufficient condition for the existence of a Kähler-Einstein metric on a smooth and Fano bi-equivariant compactification of a complex connected reductive group. Examples of such varieties include wonderful compactifications of adjoint semisimple groups.The tools needed to study the existence of Kähler-Einstein metrics on these varieties are developed in the first part of the work, including a computation of the complex Hessian of a $Ktimes K$-invariant function on the complexification of a compact group $K$. Another step is to associate to any non-negatively curved invariant hermitian metric on an ample linearized line bundle on a group compactification a convex function with prescribed asymptotic behavior. This is used a first time to derive a formula for the alpha invariantof an ample line bundle on a Fano group compactification. This formula is obtained through the computation of the log canonical thresholds of any non-negatively curved invariant hermitian metric, and gives the sameresult, for toric manifolds, as the one we obtained before, in an article that is included in this thesis as an appendix.Then we prove the main result by obtaining $C^0$ estimates along the continuity method, using the tools developed to reduce to a real Monge-Ampère equation on a cone. The condition obtained is that the barycenter of the polytope associated to the group compactification, with respect to the Duistermaat-Heckman measure, lies in a certain zone in the polytope. This condition can be checked on examples, gives new examples of Fano Kähler-Einstein manifolds, and also gives an example that admits no Kähler-Ricci solitons. We also compute the greatest Ricci lower bound when there are no Kähler-Einstein metrics

Cette thèse est consacrée à l'étude des limites d'idéaux de fonctions holomorphes et de fonctions de Green pluricomplexes sur un domaine ouvert connexe hyperconvexe borné qui contient l'origine dans C puissance n. Les idéaux concernés sont définis par l'annulation sur un nombre fini de points. Dans le premier chapitre, on introduit quelques notions élémentaires de théorie du potentiel en plusieurs variables complexes et la fonction de Green pluricomplexe à plusieurs pôles. Ensuite, on étudie la convergence de cette fonction à pôles logarithmiques simples dans le cas où le nombre de pôles est fini et tous les pôles tendent vers un seul point. Dans le deuxième chapitre, nous allons donner une méthode pour réduire la vérification de la convergence d'une famille des idéaux de fonctions holomorphes. Plus précisément, nous allons démontrer deux conditions nécessaires et suffisantes pour que la limite d'une famille des idéaux de fonctions holomorphes existe. Le troisième chapitre est consacré à l'étude de la limite de la fonction de Green pluricomplexe sur la base de 3 points distincts qui tendent vers l'origine dans le cas particulier où les limites de toutes les directions de droites qui passent par les deux points sont alignées. Nous allons commencer par étudier la limite de la famille des idéaux de fonctions holomorphes de même base, puis nous donnons quelques estimations pour la borne supérieure et la borne inférieure de la limite de la fonction de Green pluricomplexe. Finalement, en utilisant les notions de puissance des idéaux de fonctions holomorphes, nous introduisons une méthode de Rashkovskii-Thomas et recherchons la limite de la fonction de Green pluricomplexe dans ce cas-là. Dans le quatrième chapitre, nous allons étudier la convergence des fonctions de Green pluricomplexes à quatre pôles distincts qui tendent vers l'origine dans C au carré dans le cas générique. Ensuite, nous allons étudier la limite de la famille des idéaux de fonctions holomorphes basés, de même, sur quatre points, dans le cas dégénéré. Enfin, en utilisant la notion de puissance des idéaux de fonctions holomorphes et la méthode de Rashkovskii-Thomas, nous donnons quelques estimations pour la limite des fonctions de Green pluricomplexes dans un cas particulier
The aim of this thesis is to study the convergence of pluricomplex Green functions on a bounded hyperconvex domain in Cn, with a domaine ouvert connexe and the convergence of some families of ideals in the space ouvert connexe of all holomorphic functions on ouvert connexe. The zero variety of each those ideals, consisting of all common zeros of the holomorphic functions in the ideal, is a finite set. In the first chapter, we introduce some basic notions of potential theory in several complex variables and the pluricomplex Green function with simple logarithmic poles at finitely many points. Then, we study the convergence of these functions with simple logarithmic poles at finitely many points as the poles tend to a single point. In the second chapter, we give a method to reduce the verification of the convergence of a family of ideals of holomorphic functions. More precisely, we prove two necessary and sufficient conditions for the convergence of the family of ideals. The third chapter is devoted to the study of the convergence of pluricomplex Green functions based on three distinct poles in the particular case where all the poles tend to the origin along the same asymptotic direction. We begin by studying the limit of the family of ideals of holomorphic functions based on the same points, then we give some estimates for the upper and the lower limit of the pluricomplex Green functions. Finally, using the notion of powers of ideals of holomorphic functions, we introduce a method of Rashkovskii - Thomas and study the limit of the pluricomplex Green functions in this case. In the fourth chapter, we study the convergence of pluricomplex Green functions with simple logarithmic poles at four points as the poles tend to C² for the generic case. Then we study the limit of the family of ideals of holomorphic functions based on the same points for the degenerate case. Finally, using the notion of powers of ideals of holomorphic functions and the method of Rashkovskii - Thomas, we give some estimates for the limit of the pluricomplex Green functions for a particular case

In this thesis, we present a self-contained account of the current development in the local regularity theory of the complex Monge-Ampere equation through the modern fully-nonlinear PDE point of view. We have apply the modern elliptic techniques to establish new local regularity results. These includes: regularity of small perturbed solutions, Holder regularity of the Hessian of the W^{2,p} solutions and a Liouville-type theorem.