Academic literature on the topic 'Complex Monge Ampere'

The aim of this paper is to give a new proof of the complete characterization of measures for which there exists a solution of the Dirichlet problem for the complex Monge-Ampere operator in the set of plurisubharmonic functions with finite pluricomplex energy. The proof uses variational methods.

The main threads of this thesis are related by the theme of the complex Monge-Ampère type equations. It consists of some analysis results from the partial differential equation aspect and several geometric consequences as applications.In the first part, we study the a priori estimates for complex Hessian type equations on Hermitian manifolds. These estimates are the key ingredients for the solvability of the corresponding equations by virtue of the continuity method. In particular, we establish the first and second order derivative estimates for complex Monge-Ampère equations which are analogous to Yau's estimates on Kãhler manifolds. In Chapter 3, we investigate the interior Schauder estimates of the solutions to complex Monge-Ampère equations. Moreover, aiming to extend such regularity results to more general geometric setting, we also establish the classical Bedford-Taylor's interior second order estimate and a local version of Calabi's third order estimate on Hermitian manifolds. The last two chapters of this thesis are devoted to the geometric problems related to complex Monge-Ampère type equations. In particular, we give some results on the nonnegative representation for the boundary class of Kãhler cone and the existence of generalized Kãhler-Einstein metrics.
Dans cette thèse, il est question de l'étude des équations de type Monge-Ampère complexes. On y présente une analyse basée sur les différentes techniques utilisées dans la théorie des équations aux dérivées partielles ainsi que certaines applications géométriques. En premier lieu, nous présentons l'estimation à priori des équations de type Hessienne complexes sur des variétés hermitiennes. Ces estimations sont indispensables à la résolution de ces équations par le biais des méthodes de continuité. Au fait, nous établirons des estimations sur la première et la seconde dérivée des équations Monge-Ampère complexes de la même manière faite par Yau sur les variétés kählériennes.Au troisième chapitre, nous étudions la régularité de Hölder intérieure des dérivées secondes de la solution pour les équations de type Monge-Ampère complexes. De plus, en visant la généralisation de ce type de résultats de régularité à des géométries plus généralee, on a obtenu une estimation de deuxième ordre de type Bedford-Taylor classique et une version locale des estimations de Calabi de troisième ordre sur des variétés hermitiennes. Les deux derniers chapitres de cette thèse sont consacrés aux problèmes géométriques reliés aux équations de type Monge-Ampère complexes. Nous donnons quelques résultats sur la représentation non négative pour la classe de frontière du cône de Kähler et l'existence des métriques généralisée Kähler-Einstein.

In questa trattazione si studia la regolarità delle soluzioni viscose plurisubarmoniche dell’equazione di Monge-Ampère complessa. Si tratta di un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine completamente non lineare il cui termine del secondo ordine è il determinante della matrice hessiana complessa di una funzione incognita a valori reali u. Il principale risultato della tesi è un nuovo controesempio di tipo Pogorelov per questa equazione. Si prova cioè l’esistenza di soluzioni viscose plurisubarmoniche e non classiche per un equazione di Monge-Ampère complessa.

Le but de cette thèse est de contribuer à la compréhension des équations de Monge-Ampère complexes paraboliques sur des domaines de Cn. Cette équation a un lien étroit avec le flot de Kähler-Ricci. Notre étude se concentre sur les cas où la condition initiale n'est pas régulière. Nous voulons démontrer l'existence de solutions satisfaisant la continuité jusqu'à la frontière et jusqu'au temps initial
The aim of this thesis is to make a contribution to understanding parabolic complex Monge-Ampère equations on domains of Cn. Our study is centered around cases where the initial condition is irregular. We want to prove the existence of solutions which satisfies continuity up to the boundary and continuity up to the initial time

Dans cette thèse nous nous intéressons aux flots de Monge-Ampère complexes, à leurs généralisations et à leurs applications géométriques sur les variétés hermitiennes compactes. Dans les deux premiers chapitres, nous prouvons qu'un flot de Monge-Ampère complexe sur une variété hermitienne compacte peut être exécuté à partir d'une condition initiale arbitraire avec un nombre Lelong nul en tous points. En utilisant cette propriété, nous con- firmons une conjecture de Tosatti-Weinkove: le flot de Chern-Ricci effectue une contraction chirurgicale canonique. Enfin, nous étudions une généralisation du flot de Chern-Ricci sur des variétés hermitiennes compactes, le flot de Chern-Ricci tordu. Cette partie a donné lieu à deux publications indépendantes. Dans le troisième chapitre, une notion de C -sous-solution parabolique est introduite pour les équations paraboliques, étendant la théorie des C -sous-solutions développée récem- ment par B. Guan et plus spécifiquement G. Székelyhidi pour les équations elliptiques. La théorie parabolique qui en résulte fournit une approche unifiée et pratique pour l'étude de nombreux flots géométriques. Il s'agit ici d'une collaboration avec Duong H. Phong (Université Columbia ) Dans le quatrième chapitre, une approche de viscosité est introduite pour le problème de Dirichlet associé aux équations complexes de type hessienne sur les domaines de Cn. Les arguments sont modélisés sur la théorie des solutions de viscosité pour les équations réelles de type hessienne développées par Trudinger. En conséquence, nous résolvons le problème de Dirichlet pour les équations de quotient de hessiennes et lagrangiennes spéciales. Nous établissons également des résultats de régularité de base pour les solutions. Il s'agit ici d'une collaboration avec Sl-awomir Dinew (Université Jagellonne) et Hoang-Son Do (Institut de Mathématiques de Hanoi)
In this thesis we study the complex Monge-Ampère flows, and their generalizations and geometric applications on compact Hermitian manifods. In the first two chapters, we prove that a general complex Monge-Ampère flow on a compact Hermitian manifold can be run from an arbitrary initial condition with zero Lelong number at all points. Using this property, we confirm a conjecture of Tosatti- Weinkove: the Chern-Ricci flow performs a canonical surgical contraction. Finally, we study a generalization of the Chern-Ricci flow on compact Hermitian manifolds, namely the twisted Chern-Ricci flow. This part gave rise to two independent publications. In the third chapter, a notion of parabolic C -subsolution is introduced for parabolic non-linear equations, extending the theory of C -subsolutions recently developed by B. Guan and more specifically G. Székelyhidi for elliptic equations. The resulting parabolic theory provides a convenient unified approach for the study of many geometric flows. This part is a joint work with Duong H. Phong (Columbia University) In the fourth chapter, a viscosity approach is introduced for the Dirichlet problem associated to complex Hessian type equations on domains in Cn. The arguments are modelled on the theory of viscosity solutions for real Hessian type equations developed by Trudinger. As consequence we solve the Dirichlet problem for the Hessian quotient and special Lagrangian equations. We also establish basic regularity results for the solutions. This part is a joint work with Sl-awomir Dinew (Jagiellonian University) and Hoang-Son Do (Hanoi Institute of Mathematics)

In the theory of holomorphic functions of one complex variable it is often useful to study subharmonic functions. The subharmonic can be described using the Laplace operator. When one studies holomorphic functions of several complex variables one should study the plurisubharmonic functions instead. Here the complex Monge--Ampère operator has a role similar to that of the Laplace operator in the theory of subharmonic functions. The complex Monge--Ampère operator is nonlinear and therefore it is not as well understood as the Laplace operator. We consider two types of boundary value problems for the complex Monge--Ampere equation in certain pseudoconvex domains. In this thesis the right-hand side in the Monge--Ampère equation will always be smooth, strictly positive and meet a monotonicity condition. The first type of boundary value problem we consider is a Dirichlet problem where we look for plurisubharmonic solutions which are zero on the boundary of the domain. We show that this problem has a unique smooth solution if the domain has a smooth bounded plurisubharmonic exhaustion function which is globally Lipschitz and has Monge--Ampère mass larger than one everywhere. We obtain some results on which domains have such a bounded exhaustion function. The second type of boundary value problem we consider is a boundary blow-up problem where we look for plurisubharmonic solutions which tend to infinity at the boundary of the domain. Here we also assume that the right-hand side in the Monge--Ampère equation satisfies a growth condition. We study this problem in strongly pseudoconvex domains with smooth boundary and show that it has solutions which are Hölder continuous with arbitrary Hölder exponent α, 0 ≤ α < 1. We also show a uniqueness result. A result on the growth of the solutions is also proved. This result is used to describe the boundary behavior of the Bergman kernel.

Dans les années 70, Aubin-Yau ont résolu le problème de l'existence de metriques kaehleriennes à courbure de Ricci constante négative ou nulle sur les variétés kaehleriennes compactes. En particulier, ils ont prouvé l'existence et la régularité de la solution de l'équation de Monge-Ampére dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar où la forme dollar\omegadollar est kaehlerienne et la densitè dollar f dollar est lisse. Dans cette thèse on étudie les équations de Monge-Ampère dégénérées, où le mot "dégénérées" signifie ou bien que la classe de cohomologie est seulement grosse et non plus kaehlerienne, ou que les densités ont des singularités sur un diviseur. Si on considère une équation du type(*) (\theta+dd^c \f)^n= \mu où dollar\mu dollar est une mesure positive, il n'est pas toujours possible de donner un sens à la partie gauche de (*). Cependant, Guedj et Zeriahi ont observé que la construction par suite de Bedford et Taylor permet dans le cas global de définir la partie non-pluripolaire de la mesure positive dollar(\theta+dd^c\f)^ndollar pour toute fonction dollar\thetadollar-psh, où dollar\thetadollar est un represenant lisse dans la classe grosse. La notion de classes grosses est invariante par biméromorphisme tandis que ce n'est pas le cas dans le cadre des classes kaehleriennes. Donc, il est naturel d'étudier les propriétés d'invariance du produit non-pluripolaire dans le contexte de classes de cohomologie grosses. En effet, on montre que le produit non-pluripolaire est un invariant biméromorphe. En généralisant la fonctionnelle d'énergie de Aubin-Mabuchi, Boucksom, Eyssidieux, Guedj et Zeriahi ont introduit des énergies pondérés associées à des classes grosses. Sous certaines hypothéses naturelles, on démontre que ces énergies sont également des invariants par biméromorphisme. Nous étudions également les mesures de probabilité à énergie finie (ce concept était introduit par Berman, Boucksom, Guedj et Zeriahi) et prouvons que cette notion est un invariant biholomorphe mais pas biméromorphe. Par ailleurs, nous donnons des critères pour s'assurer qu'une mesure donnée est à énergie finie. Nous étudions ensuite les équations de Monge-Ampère sur les variétés quasi-projectives. En particulier, on considére une variété k\"ahlerienne compacte, dollarD\subset Xdollar un diviseur et on \'etudie l'\'equation dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar où dollar f dollar est lisse en dehors de dollar D dollar. Nous démontrons que l'unique solution dollar \f dollar (normalisée) est lisse en dehors de dollar D dollar (travail en collaboration avec Hoang Chinh Lu). La solution n'est pas bornée en general, et donc l'idée est de trouver la bonne fonction "modèle" (à priori singulière) qui est une borne inférieure de la solution. Pour faire celà on a introduit les capacités de Monge-Ampère generalisées, et on les a utlisé en suivant l'approche de Kolodziej, qui, cependant est valable pour les fonctions globalement bornées uniquement. Ces capacités, qui généralisent la capacité de Bedford et Taylor, s'avérent être le point clé pour étudier l'existence et la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère du type dollar dollar\MA(\f)=e^{\lambda\f}f \omega^n, \qquad \lambda\in \R dollar dollar où dollar f dollar a des singularités le long d'un diviseur. Nous traitons aussi des cas où dollar f dollar n'est pas dans L^1, un problème important pour l'existence de metriques de Kaehler-Einstein singuliéres sur des variétés du type general avec singularités de type log-canoniques
In the mid 70's, Aubin-Yau solved the problem of the existence of Kaehler metrics with constant negative or identically zero Ricci curvature on compact Kaehler manifolds. In particular, they proved the existence and regularity of the solution of the complex Monge-Ampère equation (*) (\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar where dollar \mu dollar is a positive measure, it is not always possible to make sense of the left-hand side of (*). It was nevertheless observed by Guedj and Zeriahi thata construction going back to Bedford and Taylor enables in this global setting to define the non-pluripolar part of the would-be positive measure dollar (\theta+dd^c\f)^n dollar for an arbitrary dollar \thetadollar-psh function, where dollar\theta dollar represents a big class. The notion of big classes is invariant by bimeromorphism while this is not the case in the Kaehler setting. It is therefore natural to study the invariance property of the non-pluripolar product in the wider context of big cohomology classes. We indeed show that it is a bimeromorphic invariant. Generalizing the Aubin-Mabuchi energy functional, Boucksom, Eyssidieux, Guedj et Zeriahi introduced weighted energies associated to big cohomology classes. Under some natural assumptions, we show that such energies are also bimeromorphic invariants. We also investigate probability measures with finite energy and we show that this notion is a biholomorphic but not a bimeromorphic invariant. Furtheremore, we give criteria insuring that a given measure has finite energy and test these on various examples. We then study complex Monge-Ampère equations on quasi-projective varieties. In particular we consider a compact Kaehler manifold dollar X dollar, dollar D\subset X dollar a divisor and we look at the equation dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar where dollar f dollar is smooth outside dollar D dollar and with a precise behavior near the divisor. We prove that the unique normalized solution dollar \f dollar is smooth outside dollar D dollar and we are able to describe its asymptotic behavior near dollar D dollar (joint work with Hoang Chinh Lu). The solution is clearly not bounded in general and thus the idea is to find a convenient ``model" function (a priori singular) bounding from below the solution. To do so we introduce generalized Monge-Ampère capacities, and use them following Kolodziej's approach who deals with globally bounded potentials. These capacities, which generalize the Bedford-Taylor Monge-Ampère capacity, turn out to be the key point when investigating the existence and the regularity of solutions of complex Monge-Ampère equations of type dollar dollar \MA(\f)=e^{\lambda\f}f \omega^n, \qquad \lambda\in \R dollar dollar where dollar f dollar has divisorial singularities. We also treat some cases when dollar f dollar is not in L^1, an important issue for the existence of singular Kaehler-Einstein metrics on general type varieties with log-canonical singularities

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère complexes ainsi que des équations hessiennes complexes dans un domaine borné de Cn. Dans le premier chapitre, on donne des rappels sur la théorie du pluripotentiel. Dans le deuxième chapitre, on étudie le module de continuité des solutions du problème de Dirichlet pour les équations de Monge-Ampère lorsque le second membre est une mesure à densité continue par rapport à la mesure de Lebesgue dans un domaine strictement hyperconvexe lipschitzien. Dans le troisième chapitre, on prouve la continuité hölderienne des solutions de ce problème pour certaines mesures générales. Dans le quatrième chapitre, on considère le problème de Dirichlet pour les équations hessiennes complexes plus générales où le second membre dépend de la fonction inconnue. On donne une estimation précise du module de continuité de la solution lorsque la densité est continue. De plus, si la densité est dans Lp , on démontre que la solution est Hölder-continue jusqu'au bord
In this thesis we study the regularity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations and also for complex Hessian equations in a bounded domain of Cn. In the first chapter, we give basic facts in pluripotential theory. In the second chapter, we study the modulus of continuity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations when the right hand side is a measure with continuous density with respect to the Lebesgue measure in a bounded strongly hyperconvex Lipschitz domain. In the third chapter, we prove the Hölder continuity of solutions to this problem for some general measures. In the fourth chapter, we consider the Dirichlet problem for complex Hessian equations when the right hand side depends on the unknown function. We give a sharp estimate of the modulus of continuity of the solution as the density is continuous. Moreover, for the case of Lp-density we demonstrate that the solution is Hölder continuous up to the boundary

Tout p-cycle tropical VT de Rn, on attache naturellement un courant fermé (p, p) dimensionnel d'ordre 0 sur (C)n, noté Tp n(VT). Un tel "courant tropical" T p n(VT) ne saurait etre le courant d'intégration sur un quelconque sous-ensemble analytique de (C)n du fait qu'il a pour support l'ensemble log-1(VT) (C)n, où l'application Log désigne la multivluation (Z1, ..., Zn) 7! (logIZ1I, ..., logIZnI). On donne des conditions suffisantes (de nature locale) sur un p-cycle tropical VT pour le courant tropical T p n(VT) qui lui est associé soit" fortement extrémal" dans D0p, p((C)n). En particulier, si une telle condition s'avère remplie pour un p-cycle tropical effectif, alors le courant tropical qui lui est attaché est extrémal dans le cône des courants fermés de bidimension (p, p) sur (C)n. On explique ensuite comment prolonger ces courants tropicaux et les propirétés d'extrémilité dont ils héritent à l'espace projectif CPn. On montre également comment définir le produit de tels courants tropicaux pour en déduire une théorie de l'intersection entre cycles tropicaux. pour opérer ces calculs, on établit une formule pour la mesure de Monge Ampère réelle associée à un polynôme tropical. De plus, comme un tel courant tropical attaché à un p-cycle tropical VT s'obtient en moyennisant des courants d'intégration sur des variétés toriques, on met en correspondance théorie de l'intersection dans le cadre torique et théorie de l'intersection dans le cadre tropical. On explicite enfin certains liens entre les problèmes relevant de l'approximation (an sens ensembliste, pour la métrique de Hausdorff) des cycles tropicaus de Rn par les amibes de cycles algébriques de (C)n et l'approximation (ans sens faible) des courants tropicaux associées par des multiples positifs de courants d'intégration sur de tels cycles algébriques. on explique en quoi ces questions d'approximation se trouvent reliées à une formulation forte de la célèbre confecture de Hodge
To a tropical p-cycle VT in Rn, we naturally assoicate a closed (p, p)-dimensional current of order zero on (C)n denoted bu T p n(VT). Such e "tropical current" T p n(VT) cannot be an integration current along any analytic set since its support has the form log -1(VT) (C)n, where log is the coordinate-wise valuation with log(I.I). We provide sufficient (local) conditions on a tropical p-cycle such that its associated tropical is "strongly extremal" in Dop, p((C)n). In particular, if these conditions hokd for the effective cycles, then the associated current are extremal in the cone of strongly positive closed currents of bidimension (p, p) on (C)n. Nexte we explain how to extend the currents and extremality results to CPn. Further, we demonstrate how to use the intersection theory of currents to derive an intersection theory for the inderlying tropical cycles. The explicit calculations will be established by using e formula for the real Monge-Ampère measure of a tropical polynomial. Moreoer, since such tropical currents are obtained by an averaging of integration currents on toric sets, an equality between toric intersection multipmicities and the tropical multiplicities is readily settled. Finally, we explain certain relations between approximation problems of tropical cycles by amoebas of algebraic cycles and approximations of the associated currents by positive multiples of integration currents along analytic cycles. Il will be discussed haw these approximtion problems are related to a stronger formulation of the celebrated hodge conjecture