Academic literature on the topic 'Cohomologie completée'

The aim of this paper is to show that rigid syntomic cohomology – defined by Besser – is representable by a rational ring spectrum in the motivic homotopical sense. In fact, extending previous constructions, we exhibit a simple representability criterion and we apply it to several cohomologies in order to get our central result. This theorem gives new results for rigid syntomic cohomology such as h-descent and the compatibility of cycle classes with Gysin morphisms. Along the way, we prove that motivic ring spectra induce a complete Bloch–Ogus cohomological formalism and even more. Finally, following a general motivic homotopical philosophy, we exhibit a natural notion of rigid syntomic coefficients.

Abstract Soient p un nombre premier, V un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques (0,p) , et G un groupe réductif et deployé sur \operatorname{Spec}V . Nous obtenons un théorème de localisation, en utilisant les distributions arithmétiques, pour le faisceau des opérateurs différentiels arithmétiques sur la variété de drapeaux formelle de G. Nous donnons une application à la cohomologie rigide pour des ouverts dans la variété de drapeaux en caractéristique p. Let p be a prime number, V a complete discrete valuation ring of unequal characteristics (0,p) , and G a connected split reductive algebraic group over \operatorname{Spec}V . We obtain a localization theorem, involving arithmetic distributions, for the sheaf of arithmetic differential operators on the formal flag variety of G. We give an application to the rigid cohomology of open subsets in the characteristic p flag variety.

There is a complete cohomology theory developed over a commutative noetherian ring in which injectives take the role of projectives in Vogel's construction of complete cohomology theory. We study the interaction between this complete cohomology, that is referred to as [Formula: see text]-complete cohomology, and Vogel's one and give some sufficient conditions for their equivalence. Using [Formula: see text]-complete functors, we assign a new homological invariant to any finitely generated module over an arbitrary commutative noetherian local ring, that would generalize Auslander's delta invariant. We generalize the results about the δ-invariant to arbitrary rings and give a sufficient condition for the vanishing of this new invariant. We also introduce an analogue of the notion of the index of a Gorenstein local ring, introduced by Auslander, for arbitrary local rings and study its behavior under flat extensions of local rings. Finally, we study the connection between the index and Loewy length of a local ring and generalize the main result of [11] to arbitrary rings.

Let [Formula: see text] be an extriangulated category with a proper class [Formula: see text] of [Formula: see text]-triangles. We study complete cohomology of objects in [Formula: see text] by applying [Formula: see text]-projective resolutions and [Formula: see text]-injective coresolutions constructed in [Formula: see text]. Vanishing of complete cohomology detects objects with finite [Formula: see text]-projective dimension and finite [Formula: see text]-injective dimension. As a consequence, we obtain some criteria for the validity of the Wakamatsu tilting conjecture and give a necessary and sufficient condition for a virtually Gorenstein algebra to be Gorenstein. Moreover, we give a general technique for computing complete cohomology of objects with finite [Formula: see text]-[Formula: see text]projective dimension. As an application, the relations between [Formula: see text]-projective dimension and [Formula: see text]-[Formula: see text]projective dimension for objects in [Formula: see text] are given.

We compute the Hochschild cohomology ring of the algebras [Formula: see text] over a field [Formula: see text] where [Formula: see text] and where [Formula: see text] is a primitive [Formula: see text]th root of unity. We find the dimension of [Formula: see text] and show that it is independent of [Formula: see text]. We compute explicitly the ring structure of the even part of the Hochschild cohomology modulo homogeneous nilpotent elements.

Dans ce manuscrit, nous étudions la structure de Hodge-Tate de la cohomologie proétale des variétés de Shimura. Cette thèse est divisée dans quatre parties. D’abord, nous construisons un modèle entière de la courbe modulaire perfectoïde. Avec ce schema formel, on montre quelques résultats d’annulation de la cohomologie cohérente en niveau infini, et nous donnons une description du dual de la cohomologie completée en termes de formes modulaires intégrales de poids 2 et de traces normalisées. Dans un second temps, on construit l’application surconvergente d’Eichler-Shimura pour le premier groupe de cohomologie cohérente, il s’agit d’un morphisme de la cohomologie surconvergente à support compact de Boxer-Pilloni vers les symboles modulaires localement analytiques d’Ash- Stevens, qui interpole l’application d’Eichler-Shimura classique. Nous réinterpre ́tons les construc- tions précédentes en termes du morphisme des périodes de Hodge-Tate et de la courbe perfectoïde.Ensuite, dans un travail un commun avec Joaquín Rodrigues Jacinto, nous introduisons le concept de représentation localement analytique solide pour un groupe de Lie p-adique compact G. Nous nous inspirons des travaux de Lazard, Schneider-Teitelbaum et Emerton pour réinterpréter la propriété localement analytique dans la catégorie des représentations solides de G, et nous voyons que les objets obtenus peuvent être décrit en termes de modules sur des algèbres de distributions analytiques. En guise d’une application, nous démontrons quelques théorèmes de comparaison entre la cohomologie solide des groupes et la cohomologie de l’algèbre de Lie des vecteurs localement analytiques derivés. Pour finir, nous généralisons à des variétés de Shimura quelconque les travaux de Lue Pan sur la cohomologie complétée localement analytique des courbes modulaires. Le premier point technique est l’existence d’un opérateur de Sen géométrique qui est lié à la correspondence de Simpson p- adique. On montre que cet opérateur calcule la cohomologie proétale des modules sur le faisceau structural complété dans un sens précis. En appliquant cette théorie dans le cas des variétés de Shimura, nous arrivons à réduire le calcule de la cohomologie proétale de certains faisceaux à celui de la cohomologie de Lie des D-modules sur la variété de drapeaux. En particulier, nous prouvons que l’extension des scalaires à Cp de la cohomologie completée localement analytique se calcule comme la cohomologie des sections localement analytiques du faisceau structural de la variété de Shimura de niveau infini en p sur le site analytique. Comme corollaire, on en déduit une version rationnelle des conjectures de Calegari-Emerton sur l’annulation de la cohomologie completée. Ensuite, nous étudions les composantes isotypiques de la cohomologie completée localement analytique pour l’action d’un Borel. En utilisant le dictionnaire entre cohomologie proétale et cohomologie de Lie des faisceaux sur la variété de drapeaux, on arrive à construire des applications de BGG surconvergentes. De plus, nous donnons une preuve locale de la décomposition de Hodge-Tate avec coefficients, en utilisant la résolution BGG-dual et le morphisme des périodes de Hodge-Tate
In this thesis, we study the Hodge-Tate structure of the proétale cohomology of Shimura varieties. This document is divided in four main issues. First, we construct an integral model of the perfectoid modular curve. Using this formal scheme, we prove some vanishing results for the coherent cohomology of the perfectoid modular curve, we also provide a description of the dual completed cohomology as an inverse limit of integral modular forms of weight 2 by normalized traces. Secondly, we construct the overconvergent Eichler-Shimura map for the first coherent cohomology group, complementing the work of Andreatta-Iovita-Stevens. More precisely, we construct a map from the overconvergent cohomology with compact support of Boxer-Pilloni to the locally analytic modular symbols of Ash-Stevens. We reinterpret the construction of these maps in terms of the Hodge-Tate period map and the perfectoid modular curve. Thirdly, in a joint work with Joaquín Rodrigues Jacinto, we develop the classical theory of locally analytic representations of p-adic Lie groups in the context of condensed mathematics. Inspired from foundational works of Lazard, Schneider-Teitelbaum and Emerton, we define a notion of solid locally analytic representation for a compact p-adic Lie group. We prove that the category of solid locally analytic representations can be described as modules over algebras of analytic distributions. As an application, we prove a cohomological comparison theorem between solid group cohomology, solid group cohomology of the (derived) locally analytic vectors, and Lie algebra cohomology. Finally, we generalize the work of Lue Pan to arbitrary Shimura varieties. We construct a geometric Sen operator for a particular class of proetale modules over the structural sheaf which we call relative locally analytic. We prove that this Sen operator is related with the p-adic Simpson correspondence, and that it computes proétale cohomology. We apply this theory to Shimura varieties, obtaining that the computation of proétale cohomology can be translated in terms of Lie algebra cohomology over the flag variety via the Hodge-Tate period map. In particular, we prove that the Cp-extension of scalars of the locally analytic completed cohomology can be described as the analytic cohomology of the infinite-at-p level Shimura variety, of the locally analytic sections of the structural sheaf. This implies a rational version of the Calegari-Emerton conjectures for any Shimura variety without the hypothesis of the infinite-at-p level Shimura variety to be perfectoid. Then, we study the isotypic components of the locally analytic completed cohomology for the action of a Borel subalgebra. Using the interpretation as Lie algebra cohomology over the flag variety, we construct overconvergent BGG maps generalizing the previous work for the modular curve. In addition, we give a local proof of the classical Hodge-Tate decompositions for Shimura varieties, using the dual BGG resolution and the Hodge-Tate period map

A toute fonction de Morse généralisée f sur un feuilletage mesuré, nous associons un complexe longitudinal dont nous montrons qu'il calcule la cohomologie longitudinale introduite par A. Connes. L'espace d'indice q de ce complexe est donné par le champ d'espaces $E^q=(l^2(C^q \cap L))_L$ , où C^q est la variété des points critiques longitudinaux d'indice q de f, et où L désigne la feuille générique . Les différentielles $\delta^q:E^q \rightarrow E^{q+1}$ expriment comment l'orientation de la variété instable se transporte le long d'une trajectoire du champ de gradient feuilleté reliant un point critique d'indice q à un point critique d'indice q+1. Pour montrer que ce complexe calcule la cohomologie longitudinale, nous l'identifions au complexe obtenu comme limite, lorsque tau tend vers l'infini, du complexe feuilleté $(W^q_{\tau,L},d^q_{\tau,L})$ considéré par A. Connes et T. Fack. Ce travail étend au cas des feuilletages celui de B. Helffer et J. Sjörstrand.

This paper is an overview of the developments and generalizations of Tate Cohomology. The number of such generalizations is high and the literature on many of them is vast. Hence, we do not pretend to give a complete account of all the branches that have developed from the original ideas of Tate. This is rather an overview of how the ideas developed.
Este artículo es una revisión del desarrollo y generalizaciones de la cohomología de Tate. El número de tales generalizaciones es alto y la literatura en torno a muchas de ellas es vasta. Por consiguiente, no pretendemos dar un recuento completo de las ramas que se desprenden de las ideas originales de Tate; esto más bien representa un bosquejo de cómo estas ideas se han ido desarrollando.

L'objet de cette thèse est la construction d'objets géométriques sur une variété C paramétrant des courbes rationnelles dans l'espace des twisteurs d'une variété hyperkählérienne. On établira une correspondance entre la géométrie complexe de l'espace des twisteurs et des propriétés différentielles sur C (opérateurs différentiels et courbure de la structure riemanienne complexe héritée de la variété hyperkählérienne). Les premiers chapitres précisent le cadre et les résultats connus. Dans les chapitres 4, 5 et 6 on établit une équivalence de catégories entre fibrés triviaux en restriction à chaque droite de l'espace des twisteurs et les fibrés à connexion sur C satisfaisant une condition de courbure. Le chapitre 7 prolonge cette correspondance sur le plan cohomologique tandis que le chapitre 8 en fait l'étude infinitésimale en reliant la courbure de la connexion avec les épaississements infinitésimaux des fibrés le long des droites
The purpose of this thesis is to construct geometric objects on a manifold C parametrizing rational curves in the twistor space of a hyperkähler manifold. We shall establish a correspondence between the complex geometry of the twistor space and some differential properties of C (differential operators and curvature of a complex riemannian structure inherited from the base hyperkähler manifold). The first chapters gather some classical results of the theory of hyperkähler manifolds and their twistor spaces. In the chapters 4, 5 and 6, we construct an equivalence of categories between bundles on the twistor space which are trivial on each line and bundles with a connexion of C satisfying certain curvature conditions. The chapter 7 extends this correspondence on the cohomological level whereas the chapter 8 explores its infinitesimal version ; it links curvature of the connexion with thickening (in the sense of LeBrun) of the bundle along the lines

L’objectif de ce travail est d’étudier différentes suites spectrales permettant d’obtenir des propriétés intéressantes concernant la cohomologie d’algèbres de Leibniz en générale ou dans certains cas particuliers. Cette étude est faite dans l’esprit des travaux effectués par J.-P. Serre et G. Hochschild sur les algèbres de Lie, et dans la continuité de ceux effectués par A.V. Gnedbaye sur l’homologie d’algèbre de Leibniz à valeurs dans une semi-représentation. Dans le premier chapitre, on définit la notion d’algèbre de Leibniz, comme généralisation des algèbres de Lie, et on en donne les propriétés fondamentales qui vont nous être utiles pour l’étude ultérieure. Le deuxième chapitre est un préambule rappelant les principales définitions et propriétés liées aux suites spectrales, en particulier celles définies à partir d’une filtration de complexe. On étudiera attentivement la convergence de ces suites spectrales. Le chapitre trois, corps de cette étude, est consacré spécifiquement à la définition de différentes suites spectrales et à l’étude des propriétés qu’elles permettent de prouver concernant la cohomologie d’algèbre de Leibniz. Enfin le dernier chapitre permettra d’étudier des applications des résultats énoncés dans le chapitre trois
This thesis is devoted to the study of different spectral sequences for the cohomology of Leibniz alebras in general or in certain specific examples. Some of the results are motivated by work of G.Hochschild and J.-P. Serre for Lie algebras and groups as well as the thesis of A.V. Gnedbaye on the homology of Leibniz algebras with values in a special kind of modules. In the first chapter we define the notion of aLeibniz algebras as a generalization of a Lie algebras with a non-antisymmetric bracket. We also prove some basic properties of Leibniz algebras. The second chapter is a general introduction to spectral sequences, especially those defined from a filtration of a complex. Among other topics, we consider the notion of convergence of a spectral sequence. In the third chapter four different filtrations of Loday’s complex defining Leibniz cohomology are studied. We compute the first pages for the spectral sequences arising from each of these filtrations. As a consequence we derive some properties of Leibniz cohomology. The last chapter give some other applications of the results obtain in Chapter 3

D'une part, á partir des propriétés de la cohomologie de Floer, invariant associé á une variété symplectique, je définis et étudie une notion d'hyperbolicité symplectique et une capacité symplectique la mesurant. D'autre part, pour une variété , on dispose des notions classiques d'hyperbolicités complexes, définies à partir des courbes pseudo-holomorphes. J'étudie donc les liens entre ces deux notions d'hyperbolicités quand une variété est munie de structures pseudo-complexe et symplectique compatibles. J'explique principalement comment la non-hyperbolicité symplectique implique l'existence de courbes pseudo-holomorphes, et donc ainsi la non-hyperbolicité complexe. Cette analyse me permet à la fois de mieux comprendre la cohomologie de Floer, et d'obtenir de nouveaux résultats sur l'hyperbolicité complexe. J'établis notamment des résultats de stabilité pour la non-hyperbolicité complexe par déformation de la structure pseudo-complexe dans l'ensemble des structures pseudo-complexes compatibles à une structure symplectique non-hyperbolique fixée, généralisant ainsi un théorème de Bangert énoncant ce même résultat dans le cas particulier du tore standard. Par ailleurs, j'aborde la question de l'hyperbolicité complexe des feuilletages: en exhibant un tenseur invariant associé au feuilletage, j'étudie l'existence de cylindres holomorphes feuilletés.

Les catégories linéaires ont naturellement plusieurs notions d'identification : l'isomorphie, l'équivalence de catégories et l'équivalence de Morita. On construit les champs classifiant les catégories pour ces trois structures ($\ukcatiso$, $\ukcateq$, $\ukcatmor$) ainsi que le champ classifiant les catégories abéliennes ($\ukab$), l'originalité étant que les trois derniers champs sont des champs supérieurs.

Le résultat principal de la thèse est que, sous des conditions de finitude des objets classifiés, ces champs sont géométriques au sens de C.~Simpson. En particulier, on trouve que les complexes tangents de ces champs en une catégorie $C$, i.e. les objets classifiant les déformations au premier ordre de $C$, sont donnés par des tronqués du complexe de cohomologie de Hochschild de $C$.

En plus, il existe une suite naturelle de morphismes surjectifs de champs :
$$\ukcatiso \tto \ukcateq \tto \ukcatmor \tto \ukab$$
dont on montre que celui du milieu est étale, et celui de droite une équivalence.

This book presents the complete proof of the Bloch–Kato conjecture and several related conjectures of Beilinson and Lichtenbaum in algebraic geometry. Brought together here for the first time, these conjectures describe the structure of étale cohomology and its relation to motivic cohomology and Chow groups. Although the proof relies on the work of several people, it is credited primarily to Vladimir Voevodsky. The book draws on a multitude of published and unpublished sources to explain the large-scale structure of Voevodsky's proof and introduces the key figures behind its development. It proceeds to describe the highly innovative geometric constructions of Markus Rost, including the construction of norm varieties, which play a crucial role in the proof. It then addresses symmetric powers of motives and motivic cohomology operations. The book unites various components of the proof that until now were scattered across many sources of varying accessibility, often with differing hypotheses, definitions, and language.

This book provides an introduction to algebraic cycles on complex algebraic varieties, to the major conjectures relating them to cohomology, and even more precisely to Hodge structures on cohomology. The book is intended for both students and researchers, and not only presents a survey of the geometric methods developed in the last thirty years to understand the famous Bloch-Beilinson conjectures, but also examines recent work by the author. It focuses on two central objects: the diagonal of a variety—and the partial Bloch-Srinivas type decompositions it may have depending on the size of Chow groups—as well as its small diagonal, which is the right object to consider in order to understand the ring structure on Chow groups and cohomology. An exploration of a sampling of recent works by the author looks at the relation, conjectured in general by Bloch and Beilinson, between the coniveau of general complete intersections and their Chow groups and a very particular property satisfied by the Chow ring of K3 surfaces and conjecturally by hyper-Kähler manifolds. In particular, the book delves into arguments originating in Nori's work that have been further developed by others.

After abelian varieties, K3 surfaces are the second most interesting special class of varieties. These have a rich internal geometry and a highly interesting moduli theory. Paralleling the famous Torelli theorem, results from Mukai and Orlov show that two K3 surfaces have equivalent derived categories precisely when their cohomologies are isomorphic weighing two Hodge structures. Their techniques also give an almost complete description of the cohomological action of the group of autoequivalences of the derived category of a K3 surface. The basic definitions and fundamental facts from K3 surface theory are recalled. As moduli spaces of stable sheaves on K3 surfaces are crucial for the argument, a brief outline of their theory is presented.

Spherical objects — motivated by considerations in the context of mirror symmetry — are used to construct special autoequivalences. Their action on cohomology can be described precisely, considering more than one spherical object often leads to complicated (braid) groups acting on the derived category. The results related to Beilinson are almost classical. Section 3 of this chapter gives an account of the Beilinson spectral sequence and how it is used to deduce a complete description of the derived category of the projective space. This will use the language of exceptional sequences and semi-orthogonal decompositions encountered here. The final section gives a simplified account of the work of Horja, which extends the theory of spherical objects and their associated twists to a broader geometric context.