Academic literature on the topic 'Catégories Morita'

Nous développons une version homotopique de la théorie de Morita classique en utilisant la notion de monade forte. C’était Anders Kock qui a montré qu’une monade T dans une catégorie monoidale Σ est forte si et seulement si la monade T est enrichie. Nous montrons que cette correspondance entre force et enrichissement se traduit par un 2-isomorphisme de 2-catégories. Sous certaines conditions sur la monade T, nous montrons que la catégorie homotopique des T-algèbres est équivalente au sens de Quillen à la catégorie homotopique des modules sur le monoïde d’endomorphismes de la T-algèbre T (I) librement engendré par l’unité de Σ. Dans le cas particulier ou le Σ est la catégorie des Γ-espaces de Segal munie de la structure de modèle stable de Bousfield-Friedlander et T est la monade forte associée à une Γ-théorie bien pointée, nous retrouvons un théorème de Stefan Schwede, comme corollaire du théorème homotopique de Morita
We develop a homotopy theoretical version of classical Morita theory using the notion of a strong monad. It was Anders Kock who proved that a monad T in a monoidal category Σ is strong if and only if T is enriched in Σ. We prove that this correspondence between strength and enrichment follows from a 2-isomorphism of 2-catgories. Under certain conditions on T, we prove that the category of T-algebras is Quillen equivalent to the category of modules over the endomorphism monoid of the T-algebra T (I) freely generated by the unit I of Σ. In the special case where Σ is the category of Γ-spaces equipped with Bousfield-Friedlander’s stable model structure and T is the strong monad associated to a well-pointed Γ-theory, we recover a theorem of Stefan Schwede, as an instance of a general homotopical Morita theorem

Nous développons une version homotopique de la théorie de Morita classique en utilisant la notion de monade forte. C'était Anders Kock qui a montré qu'une monade T dans une catégorie monoidale E est forte si et seulement si la monade T est enrichie. Nous montrons que cette correspondance entre force et enrichissement se traduit par un 2-isomorphisme de 2-catégories. Sous certaines conditions sur la monade T, nous montrons que la catégorie homotopique des T-algèbre est équivalente au sens de Quillen à la catégorie homotopique des modules sur le monoïde d'endomorphismes de la T-algèbre T (I) librement engendré par l'unité I de E . Dans le cas particulier où E est la catégorie des Γ-espaces de Segal munie de la structure de modèle stable de Bousfi eld-Friedlander et T est la monade forte associée à une Γ-théorie bien pointée, nous retrouvons un théorème de Stefan Schwede, comme corollaire du théorème homotopique de Morita.

Dans le cadre de la théorie des topos, nous généralisons deux équivalences classiques qui s'inscrivent dans le domaine des MV-algèbres: l'équivalence de Mundici entre la catégorie des MV-algèbres et celle des groupes abéliennes réticulés (1-groupes) avec unité forte et l'équivalence de Di Nola-Lettieri entre la catégorie des MV-algèbres parfaites et celle des 1-groupes. Ces généralisations produisent deux équivalences de Morita; l'une entre la théorie MV des MV-algèbres et la théorie Lu des 1-groupes avec unité forte et l'autre entre la théorie P des MV-algèbres parfaites et la théorie L des 1-groupes. Les deux équivalences de Morita nous permet d'appliquer la technique 'topos comme ponts' pour transférer des propriétés et des résultats d'une théorie à l'autre, en obtenant des nouvelles connaissances sur ces théories. Parmi elles, nous mentionnons une correspondance biunivoque entre les extensions géométriques de MV et celles de Lu, une forme de complétude et de compacité de la théorie infinitaire Lu, trois niveaux différents de bi-interprétabilitité entre la théorie P et la théorie L et un théorème de représentation pour les objets finiment présentables de la variété de Chang comme produits finis de MV-algèbres parfaites. Nous montrons ensuite que l'équivalence de Morita, résultant de l'équivalence de Di Nola-Lettieri, est seulement l'une de la classe des équivalences de Morita que nous établissons entre les théories des MV-algèbres locales dam des variétés propres des MV-algèbres et les appropriées extensions de la théorie des 1-groupes. En outre, nous généralisons dans ce cadre les résultats de représentation obtenus dans le cas de la variété de Chang
In the thesis we generalize to a topos-theoretic setting two classical equivalences arising in the field of MV-algebras: Mundici's equivalence between the category of MV-algebras and the that of lattice-ordered abelian groups (1-groups, for short) with strong unit and Di Nola-Lettieri's equivalence between the category of perfect MV-algebras and that of 1-groups. These generalizations yield respectively a Morita-equivalence between the theory MV of MV-algebras and the theory Lu of 1-groups with strong unit and one between the theory P of perfect MV-algebras and the theory L of 1-groups. These Morita-equivalences allow us to apply the `bridge technique' whence to transfer properties and results from one theory to the other, obtaining new insights on the theories which are not visible by using classical techniques. Among these results, we mention a bijective correspondence between the geometric extensions of the theory MV and those of the theory Lu, a form of completeness and compactness for the infinitary theory Lu, three different levels of bi-interpretabilitity between the theory P and the theory L and a representation theorem for the finitely presentable objects of Chang's variety as finite products of perfect MV-algebras. We then show that the Morita-equivalence arising from Di Nola-Lettieri's equivalence is just one of a whole class of Morita¬equivalences that we establish between theories of local MV-algebras in proper varieties of MV-algebras and appropriate extensions of the theory of 1-groups. Furthermore, we generalize to this setting the representation results obtained in the case of Chang's variety

Cette thèse explore la relation entre les catégories de modules sur les catégories différentielles graduées (abrégées DG) petites, d'une part, et les catégories triangulées bien engendrées d'autre part. Dans la première partie, on construit la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A d'une catégorie DG $\alpha$-cocomplète petite A, où $\alpha$ est un cardinal régulier. Cette construction jouit d'une propriété très intéressante, qui est la clef pour démontrer le théorème principal de la thèse. Les catégories D_\alpha A s'avèrent être les prototypes des catégories triangulées algébriques à engendrement $\alpha$-compact. On entend par algébrique, équivalente, en tant que catégorie triangulée à la catégorie stable d'une catégorie de Frobenius. Le résultat principal établit que les catégories algébriques bien engendrées sont précisément celles qui sont des localisations de la catégorie dérivée d'une catégorie DG petite. Ce résultat rappelle beaucoup un théorème de Gabriel et Popescu de 1964, qui caractérise les catégories abéliennes de Grothendieck comme des localisations de catégories de modules sur des anneaux. Il donne aussi une réponse positive à une question de Drinfeld qui demandait si toutes les catégories triangulées bien engendrées sont des localisations de catégories triangulées à engendrement compact, pour la classe des catégories triangulées algébriques. Dans la deuxième partie, on étudie les catégories DA et D_\alpha A en utilisant la structure projective de catégories de modèles de Quillen présente sur la catégorie des DG modules. On introduit la sous-catégorie des DG modules cofibrants homotopiquement $\alpha$-compacts et on montre que sa catégorie homotopique est précisément la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A. Cela nous permet de donner une deuxième preuve, complètement différente du résultat-clef de la première partie.

Dans cette thèse, nous étudions les théories des champs quantiques topologiques (TQFT) construites à partir d'une catégorie enrubannée. Nous sommes particulièrement intéressés par le cas non-semisimple. Notre angle d'attaque est de faire communiquer la topologie de basse dimension avec l'algèbre supérieure. Dans un sens, les constructions explicites basées sur des écheveaux guident l'algèbre supérieure vers les exemples qu'on sait intéressants. Dans l'autre, l'hypothèse du cobordisme prédit de nouvelles constructions. Nous construisons des TQFTs de dimension 4 à partir de catégories non-semisimples et finies qui vérifient des conditions de non-dégénérescence. Cette contruction est un travail en collaboration avec Costantino, Geer et Patureau-Mirand. À l'inverse de la plupart des constructions non-semisimples précédentes, notre TQFT est bien définie sur tous les 4-cobordismes. Cette propriété était en fait prévisible par l'hypothèse du cobordisme. Notre construction est très explicite et nous étudions quelques exemples. Sous des hypothèses de non-dégénérescence supplémentaire, nous définissons des invariants de 3-variétés fermées décorées, qui sont calculés par notre TQFT sur une 4-variété bordante. Nous prouvons que ces invariants retrouvent les invariants de Lyubashenko renormalisés. Ils fournissent l'ingrédient de base des 3-TQFTs de DGGPR, qui sont des généralisations non-semisimples des TQFTs de Witten-Reshetikhin-Turaev. Nous défendons l'idée que ce point de vue est très fructueux pour étudier ces théories non-semisimples à la WRT, et qu'il permet de les voir comme des TQFTs pleinement étendues. Quand la catégorie enrubannée V est modulaire, la (3+1)-TQFT que nous définissons plus haut est inversible. Il avait déjà été montré par Brochier, Jordan, Snyder et Safronov que la catégorie V est inversible vue comme un objet d'une 4-catégorie de catégories tressées. Nous nous attendons naturellement à ce que la TQFT pleinement étendue Z associée à V par l'hypothèse du cobordisme retrouve celle que nous avons décrite plus haut. De plus, on devrait pouvoir retrouver les TQFTs de DGGPR en appliquant les mêmes idées que plus haut. Plus précisément, nous nous attendons à ce qu'il existe une condition de bord pleinement étendue à Z qui, composée avec la théorie Z évaluée sur une variété bordante, retrouve DGGPR. Nous montrons que l'inclusion de l'unité dans V, dont on s'attend à ce qu'elle soit associée à cette condition de bord, est, en effet, suffisamment dualisable. Nous montrons en fait qu'elle est quasiment, mais pas entièrement, 3-dualisable. Nous décrivons une version dite non-compacte de l'hypothèse du cobordisme, et définissons la notion associée d'objet dualisable non-compact. Ces objets donnent sous l'hypothèse du cobordisme des TQFTs partiellement définies, que nous appelons non-compactes. Cette dualisabilité partielle explique précisément pourquoi les TQFTs de DGGPR ne sont pas définies sur tous les 3-cobordismes. Nous conjecturons que l'hypothèse du cobordisme, appliquée à l'inclusion de l'unité et à V, retrouve, par une procédure que nous détaillons, les TQFTs de DGGPR. Sur les surfaces, la 4-TQFT Z est décrite par l'homologie de factorisation, qui est elle-même décrite par des catégories de modules sur les algèbres d'écheveaux internes de Brochier, Ben-Zvi et Jordan. Nous donnons une correspondance précise entre ces algèbres et les algèbres d'écheveaux à états de Lê, montrant en particulier qu'elles en sont une généralisation raisonnable. Notre preuve est explicite et montre directement que les algèbres d'écheveaux à états vérifient la propriété universelle qui définit les algèbres d'écheveaux internes. De plus, nous montrons des propriétés de recollement pour n'importe quelle catégorie enrubannée, un résultat que n'est pas connu pour d'autres généralisations des algèbres d'écheveaux à états
In this manuscript, we study Topological Quantum Field Theories built from a ribbon tensor category. We are particularly interested in the non-semisimple case. The main angle of this work is to make low-dimensional topology and higher algebra communicate. In one direction, explicit constructions from skein theory guide the higher algebra towards interesting examples. In the other, the cobordism hypothesis predicts new constructions. We construct 4-dimensional TQFTs from non-semisimple finite tensor categories satisfying some non-degeneracy conditions. This construction is joint work with Costantino, Geer and Patureau-Mirand. Unlike most other non-semisimple constructions, this TQFT is defined on every 4-cobordism. This feature was actually predictable from the cobordism hypothesis. Our construction is very explicit and we study some examples. Under some extra non-degeneracy conditions, we also provide an invariant of decorated 3-manifolds which is computed by our TQFT on a bounding 4-manifold. We relate this invariant to the renormalized Lyubashenko's invariants. These invariants provide the building block of DGGPR 3-dimensional TQFTs, which are non-semisimple variants of the well-known Witten-Reshetikhin-Turaev TQFTs. We argue that this point of view is very fruitful to understand these non-semisimple WRT theories and enables one to understand them as fully extended TQFTs. In the case where the ribbon category V is modular, the (3+1)-TQFT described above is invertible. It is also shown by Brochier, Jordan, Snyder and Safronov that the category V is invertible when thought of as an object of a 4-category of braided tensor categories. It is natural to expect that the TQFT Z associated to V by the cobordism hypothesis coincides with the one described above. Moreover, one should be able to recover DGGPR theories in a similar way, in a fully extended setting. More precisely, it is expected that there exists a fully extended boundary condition to Z which, when composed with Z on a bounding manifold, recovers DGGPR. We show that the unit inclusion, expected to be associated to this boundary condition under the cobordism hypothesis, is indeed sufficiently dualizable. Actually, we show that it is almost, but not entirely, 3-dualizable. We describe a so-called non-compact version of the cobordism hypothesis, and introduce the associated notion of non-compact dualizable object. Such objects give a partially defined, which we call non-compact, TQFT under the cobordism hypothesis. This explains precisely why the DGGPR theories are not defined on every 3-cobordim. We conjecture that the cobordism hypothesis applied on the unit inclusion and the modular category recovers, through a construction we describe, the non-semisimple WRT theories. On surfaces, the fully extended 4-TQFT is known to give factorization homology, which is described as modules over the so-called internal skein algebras by Brochier, Ben-Zvi and Jordan. We relate these internal skein algebras to Lê's stated skein algebras and study some of their properties. We give an explicit proof, and show that stated skein algebras do satisfy the universal property defining internal skein algebras. In particular, we argue that internal skein algebras are a very reasonable generalization of stated skein algebras. Moreover, we show gluing properties of internal skein algebras in any ribbon category, a result which is not known for other generalizations of stated skein algebras

L’objet de cette thèse est l’étude des catégories singulières des k-algèbres associatives surun anneau commutatif k. On développe la théorie de Morita pour les catégories singulières. Plus précisément, on propose une définition d’équivalence singulière à la Morita avec niveau, qui généralise la notion d’équivalence stable à la Morita introduite par Michel Broué. On montre qu’une équivalence dérivée de type standard induit une équivalence singulière à la Morita avec niveau. La deuxième partie de cette thèse est l’étude de la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A) c’est-à-dire, l’espace des morphismes de A vers A[i] dans la catégorie singulière Dsg(A Aop) pour tous les nombres entiers i. Similaire à la cohomologie de Hochschild HH_(A,A), on montre que la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A) est une algèbre de Gerstenhaber et donne une interprétation pour le crochet de Lie sur HH_sg(A,A) du point de vue de la théorie de PROP. On peut associer un complexe de cochaînes, qu’on appelle complexe de cochaînes de Hochschild singulières, C_sg(A,A) qui calcule la cohomologie de Hochschild singulière HH_sg(A,A). Alors on étudie une structure algébrique supérieure (e.g. l’algèbre de B1) sur C_sg(A,A) et propose une version singulière d’une conjecture de Deligne. L’objet de la troisième partie de cette thèse est de montrer que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild singulière est invariante par équivalences dérivées et équivalences singulières à la Morita avec niveau. L’idée de cette démonstration est analogue à l’approche développée par Keller lorsqu’il démontre que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild est invariante par équivalences dérivées. Similaire à la démonstration par Keller, on réalise HH_sg(A,A) avec le crochet de Lie comme une algèbre de Lie graduée du groupe algébrique gradué associé au groupe de Picard singulière sgDPic(A)
In this thesis, we are concerned with some aspects of singular categories of unitalassociative k-algebras over a commutative ring k. First, we develop a Morita theory for singular categories. Analogous to the classical Morita theory, we propose a definition of singular equivalence of Morita type with level. This follows and generalizes a definition of stable equivalence of Morita type introduced by Michel Broué. A derived equivalence of standard type induces a singular equivalence of Morita type with level. Second, we study the Hom-space from A to A[i] in the singular category Dsg(AkAop) of the enveloping algebra AkAop, where A is an associative k-projective k-algebra and i is any integer. Recall that the i-th Hochschild cohomology group HHi(A,A) can be realized as the Hom-space from A to A[i] in the bounded derived category Db(A k Aop). From this motivation, we call HomDsg(AkAop)(A,A[i]) the i-th singular Hochschild cohomology group and denote this group by HHi sg(A,A). Analogous to the Hochschild cohomology ring HH_(A,A), we prove that there is a Gerstenhaber algebra structure on the singular Hochschild ring HH_sg(A,A) and provide an interpretation of the Lie bracket from the point of view of PROP theory. We also associate a cochain complex, which we call singular Hochschild cochain complex, C_sg(A,A) to the singular Hochschild cohomology. Thenwe study the higher algebraic structures (e.g. B1-algebra) on C_sg(A,A) and propose asingular version of the Deligne conjecture. Following Keller’s approach which was developed for derived equivalences, we establish the invariance of the Gerstenhaber algebra structure which we defined on the singular Hochschild cohomology under singular equivalence of Morita type with level. In this proof, we define the singular derived Picard group sgDPic(A) of an associative algebra A and develop what we call a singular infinitesimal deformation theory. Then we realize HH_sg(A,A) as the graded Lie algebra of the ‘graded algebraic group’ associated to sgDPic(A)

Le but de cette thèse est l'étude, d'un point de vue fonctoriel, des K-théories de Morava modulo 2 des 2-groupes abéliens élémentaires. Autrement dit, nous étudions les foncteurs covariants $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ pour le premier p=2 et n un entier positif.Le cas n=1, qui résulte directement du travail d'Atiyah sur la K-théorie topologique, nous donne un foncteur coanalytique qui ne possède aucun sous-foncteur polynomial non-constant. Il est très différent du cas n>1, où les foncteurs mentionnés ci-dessus s'avèrent être analytiques.La théorie de Henn-Lannes-Schwartz fournit une correspondance entre les foncteurs analytiques et les modules instables sur l'algèbre de Steenrod. Nous déterminons le module instable correspondant au foncteur analytique $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, en étudiant la relation entre ce foncteur et la structure d'anneau de Hopf de l'homologie de l'omega-spectre associé à la théorie K(2)
The aim of this PhD thesis is to study, from a functorial point of view, the mod 2 Morava K-theories of elementary abelian 2-groups. Namely, we study the covariant functors $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ for the prime p=2 and n a positive integer.The case n=1, which follows directly from the work of Atiyah on topological K-theory, gives us a coanalytic functor which contains no non-constant polynomial sub-functor. This is very different from the case n>1, where the above-mentioned functors are analytic.The theory of Henn-Lannes-Schwartz provides a correspondence between analytic functors and unstable modules over the Steenrod algebra. We determine the unstable module corresponding to the analytic functor $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, by studying the relation between this functor and the Hopf ring structure of the homology of the omega-spectrum associated to the theory K(2)

Artiste ou charlatan, ce curieux médecin se trouve aux marges d’un art contemporain qui peine aujourd’hui à dire son nom. Une autre forme de création vient, depuis quelques décennies, revendiquer également une catégorie artistique spécifique : la bande dessinée. Aussi vieille que les plus vieilles civilisations, elle a toujours été considérée comme genre mineur, bien qu’elle connaisse un engouement universel. Et ce mode d’expression traite à sa manière la mort et l’agonie. C’est René Nouailhat qui s’est chargé de décoder un certain nombre de ces ouvrages qui ne constituent plus, depuis déjà fort longtemps, une sous-littérature réservée à la jeunesse. Historien des religions, René Nouailhat a fondé l’Institut de formation à l’étude et l’enseignement des religions au Centre universitaire catholique de Bourgogne où il est directeur des études universitaires et de la recherche. Auteur d’ouvrages consacrés à l’histoire du christianisme ancien 1 , il travaille depuis de nombreuses années les questions de transmission et de pédagogie relatives à la prise en compte du fait religieux dans l’enseignement 2 . Sur la bande dessinée, il a analysé le ressort religieux qui habite implicitement plusieurs séries classiques (notamment Blake et Mortimer, dans La marque du fantastique 3 ) ou contemporaines.