Academic literature on the topic 'Cartan's equivalence method'

In this note we revisit E. Cartan's address at the 1928 International Congress of Mathematicians at Bologna, Italy. The distributions considered here will be of the same class as those considered by Cartan, a special type which we call strongly or maximally non-holonomic. We set up the groundwork for using Cartan's method of equivalence (a powerful tool for obtaining invariants associated to geometrical objects), to more general non-holonomic distributions.

AbstractThe method of moving frames, introduced by Elie Cartan, is a powerful tool for the solution of various equivalence problems. The practical implementation of Cartan's method, however, remains challenging, despite its later significant development and generalization. This paper presents two new variations on the Fels and Olver algorithm, which under some conditions on the group action, simplify a moving frame construction. In addition, the first algorithm leads to a better understanding of invariant differential forms on the jet bundles, while the second expresses the differential invariants for the entire group in terms of the differential invariants of its subgroup.

AbstractThis paper investigates the relationship between a system of differential equations and the underlying geometry associated with it. The geometry of a surface determines shortest paths, or geodesics connecting nearby points, which are defined as the solutions to a pair of second-order differential equations: the Euler–Lagrange equations of the metric. We ask when the converse holds, that is, when solutions to a system of differential equations reveals an underlying geometry. Specifically, when may the solutions to a given pair of second order ordinary differential equations d2y1/dt2 = f (y, ẏ, t) and d2y2/dt2 = g(y, ẏ, t) be reparameterized by t → T(y, t) so as to give locally the geodesics of a Euclidean space? Our approach is based upon Cartan's method of equivalence. In the second part of the paper, the equivalence problem is solved for a generic pair of second order ordinary differential equations of the above form revealing the existence of 24 invariant functions.

L'apport principal de cette thèse est l'élaboration d'une nouvelle méthode d'équivalence, algorithmique, en partie inspirée de celle d’Élie Cartan, et applicable aux groupes de Lie de dimensions finie ou infinie. Ses résultats techniques reposent sur plusieurs centaines de fichiers de calculs réalisés à l'aide du logiciel de calcul formel Maple. Le mémoire se compose de 7 chapitres, dont 6 sont consacrés à des problèmes de classification, et 1 à une forme normale <<à la Moser>>.(1) Une classification des hypersurfaces Hn⊂ℝn+1 affinement homogènes de Hessienne de rang 1 en dimensions n=2,3,4.On détermine toutes les hypersurfaces Hn⊂ℝn+1 à l'aide de la méthode d'équivalence des séries entières, qui capture les invariants à l'origine, qui crée des branches, et qui infinitésimalise les calculs. On trouve 6 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes.(2) Une (autre) classification des surfaces S2⊂ℂ3 affinement homogènes.En utilisant la même méthode, on détermine toutes les surfaces homogènes S2⊂ℂ3, qui capture les invariants à l'origine, qui crée des branches, et qui infinitésimalise les calculs. On trouve 12 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes.(3) Une classification des surfaces S2⊂ℝ4 affinement homogènes.Avec la même méthode, on détermine toutes les surfaces S2⊂ℝ4 qui sont affinement homogènes. On trouve 103 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes de surfaces S2⊂ℝ4, dont certaines sont paramétrées par des variétés algébriques réelles, notamment dans le cas simplement transitif.(4) Une classification des hypersurfaces S3⊂ℝ4 affinement homogènes de Hessienne de rang 2.En appliquant toujours la même méthode, on trouve 34 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes de surfaces S3⊂ℝ4 à matrice hessienne de rang 2. A nouveau, les modèles simplement transitifs sont souvent paramétrés par des variétés algébriques réelles.(5) Une forme normale locale pour les équations différentielles ordinaires du 2nd ordre sous l'action de transformations préservant la fibre.On étudie le problème d'équivalence des équations différentielles ordinaires du second ordre analytiques réellesyxx=J(x,y,yx) modulo les transformations ponctuellespréservant les fibres x→φ(x), y→ψ(x,y) en utilisant la méthode des formes normales de Moser.(6) Une (autre) classification des équations différentielles ordinaires du 2nd ordre homogènes sous l'action de transformations préservant la fibre.On détermine toutes les équations différentielles ordinaires du 2nd ordre sous l'action de transformations préservant la fibre à l'aide de la méthode d'équivalence des séries entières. Dans ce contexte délicat, le groupe d'ambiguïté est de dimension infinie. On trouve 7 branches terminalesfournissant des (familles de) modèles homogènes, qui peuvent être paramétrées par une certaine variété algébrique.(7) Une classification des EDP du 2nd ordre de dimension 5 homogènes sous l'action de transformations préservant la fibre.Toujours avec une adaptation de la méthode d'équivalence des séries entières au contexte de la dimension infinie, on trouve 24 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes multiplement transitifs
The main contribution of this Ph.D. thesis is the elaboration of a new equivalence method, algorithmic, partly based on the Elie Cartan method, and applicable to Lie groups of finite or infinite dimensions. Its technical results are based on hundreds of calculation files, made using the Maple formal computing software. The thesis consists of 7 chapters, 6 of which are problem-oriented classifications, and 1 to a normal form ``à la Moser''.(1) A classification of Hessian rank 1 affinely homogeneous hypersurfaces Hn⊂ℝn+1 in dimensions n=2,3,4.All homogeneous hypersurfaces Hn⊂ℝn+1 are determined using of the power series equivalence method, which captures the invariants at the origin, which creates branches, and which infinitesimalizes the calculations. There are 6 terminal branches providing (families of) homogeneous models.(2) Another classification of affinely homogeneous surfaces S2⊂ℂ3.All homogeneous surfaces S2⊂ℂ3 are determined using of the power series equivalence method, which captures the invariants at the origin, which creates branches, and which infinitesimalizes the calculations. There are 12 terminal branches providing (families of) homogeneous models.(3) A classification of affinely homogeneous surfaces S2⊂ℝ4.Using the same method, we determine all surfaces S2⊂ℝ4 which are affinely homogeneous.There are 103 terminal branches providing homogeneous (families of) surface models, some of which are parameterized by real algebraic varieties, especially in the case of simply transitive.(4) A classification of affinely homogeneous hypersurfaces S3⊂ℝ4 of constant rank 2 Hessian.By always applying the same method, we find 34 terminal branches providing (families of) homogeneous surface models S3⊂ℝ4 of rank 2 Hessian matrix. Again, simply transitive models are often parameterized by real algebraic varieties.(5) A local normal form for the ordinary differential equations of 2nd order under the action of fiber-preserving point transformations.We study the equivalence problem of real analytic second order ordinary differential equationsyxx=J(x,y,yx) under fiber-preserving transformations x→φ(x), y→ψ(x,y) using the Moser normal form method.(6) Another classification of homogeneous 2nd order ordinary differential equations under the action of fiber-preserving point transformations.All 2nd order ordinary differential equations are determined under the action of fiber-preserving transformations using the equivalence method of power series. In this delicate context, the ambiguity group is of infinite dimension. There are 7 terminal branches providing homogeneous (families of) models, which can be parameterized by a certain algebraic variety.(7) A classification of homogeneous 2nd order 5-dimensional PDEs under the action of fiber preserving point transformations.Still with an adaptation of the method of equivalence of the power series to the context of the infinite dimension, we find 24 terminal branches providing (families of) homogeneous multiply transitive models

Cartan's method of equivalence is used to prove that there exists two fundamental tensorial invariants which determine the geometry of systems of n ($ ge$ 2) second order ordinary differential equations. These invariants allow us prove that there exist a unique equivalence class of second order equations which admit a Lie point symmetry group of maximal dimension, the dimension being $n sp2 + 4n + 3$. For third order systems of ordinary differential equations, we prove that the possible dimension of the point symmetry group is bounded by $n sp2 + 3n + 3$. As well we find that there is a unique third order system whose symmetry group has dimension n$ sp2$ + 3n + 3.
We also characterize invariantly under point transformations some equivalence classes of parabolic quasi-linear second order partial differential equations, and examine their point symmetry groups. We are able to make our characterizations by proving a reduction theorem for principal fibre bundles.

La première partie présente des calculs explicites de terminaison effective de l'algorithme de Kohn proposée par Siu. Dans la deuxième partie, nous étudions la géométrie des hypersurfaces réelles dans Cⁿ, et nous calculons des invariants explicites avec la méthode d'équivalences de Cartan pour déterminer les lieux CR-ombilics
The first part of the thesis consists of calculations around Siu's effective termination of Kohn's algorithm. The second part of the thesis studies the CR real hypersurfaces in complex spaces and calculates various explicit invariants using Cartan's equivalence method to study CR-umbilical points

Ce mémoire contient des résultats de recherche en géométrie complexe et en géométrie CR. Les sujets comprennent les limites de degré pour les hypersurfaces dans les problèmes liés à l'hyperbolicité de Kobayashi, problèmes d'équivalence et construction de formes normales pour certaines classes d'hypersurfaces 5-dimensionnelles dégénérées de Levi dans des espaces complexes et des enquêtes sur le lieu de disparition des courbures de Cartan CR aux limites de certains Des collecteurs CR 3-dimensionnels. Le thème commun est l'utilisation de jets plus hauts dans diverses situations géométriques pour étudier les invariants des objets géométriques, et l'utilisation extensive de programmes de calcul symbolique pour aider aux calculs compliqués
This memoir contains research results in complex geometry and CR geometry. The topics include degree bounds for hypersurfaces in Kobayashi hyperbolicity related problems, equivalence problems and construction of normal forms for certain classes of Levi degenerate 5-dimensional hypersurfaces in complex spaces and investigations on the vanishing locus of Cartan CR curvatures on boundaries of some 3-dimensional CR manifolds. The common theme is the use of higher jets in diverse geometric situations to investigate invariants of geometric objects, and the extensive use of symbolic computational programs to help with complicated calculations